高中數(shù)學(xué)-【課堂實(shí)錄】圓的一般方程教學(xué)設(shè)計(jì)學(xué)情分析教材分析課后反思

1圓的一般方程教學(xué)設(shè)計(jì)【一】教學(xué)背景分析1.教材結(jié)構(gòu)分析《圓的一般方程》安排在高中數(shù)學(xué)必修2第四章第一節(jié)第二課時(shí).圓作為常見的簡單幾何圖形，在實(shí)際生活和生產(chǎn)實(shí)踐中有著廣泛的應(yīng)用.圓的一般方程屬于解析幾何學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)，是研究二次曲線的開始，對后續(xù)直線與圓的位置關(guān)系、圓錐曲線等內(nèi)容的學(xué)習(xí)，無論在知識(shí)上還是思想方法上都有著深遠(yuǎn)的意義，所以本課內(nèi)容在整個(gè)解析幾何中起著承前啟后的作2.學(xué)情分析圓的一般方程是學(xué)生在學(xué)習(xí)過圓的標(biāo)準(zhǔn)方程之后進(jìn)行研究的，但由于學(xué)生學(xué)習(xí)解析幾何的時(shí)間還不長、學(xué)習(xí)程度較淺，在學(xué)習(xí)過程中難免會(huì)出現(xiàn)困難.另外學(xué)生在探究問題的能力，合作交流的意識(shí)等方面有待加強(qiáng).根據(jù)上述教材結(jié)構(gòu)與內(nèi)容分析，考慮到學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)和心理特征，我制定如下教學(xué)目標(biāo)：3.教學(xué)目標(biāo)1.通過實(shí)例，掌握圓的一般方程及其特點(diǎn)；2.探究出將圓的一般方程化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，并能熟練地指出圓心的位置和半徑的大3.能根據(jù)某些具體條件，運(yùn)用待定系數(shù)法確定圓的方程；4.通過對方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圓的條件的探究，提高探索發(fā)現(xiàn)及分析問題的實(shí)際能力；體驗(yàn)數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法；通過求圓的方程，培養(yǎng)用配方法和待定系數(shù)法解決實(shí)際問題的能力.過程與方法：(1)進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生用代數(shù)方法研究幾何問題的能力；(2)加深對數(shù)形結(jié)合思想的理解和加強(qiáng)對待定系數(shù)法的運(yùn)用，認(rèn)識(shí)研究問題中由簡單到復(fù)雜，由特殊到一般的化歸思想，充分了解分類思想在數(shù)學(xué)中的重要地位，強(qiáng)化學(xué)生的觀察，思考能力。(3)增強(qiáng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí).情感，態(tài)度與價(jià)值觀：(1)培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)探究知識(shí)、合作交流的意識(shí)；(2)培養(yǎng)學(xué)生勇于思考，探究問題的精神。(3)在體驗(yàn)數(shù)學(xué)美的過程中激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.根據(jù)以上對教材、學(xué)情及教學(xué)目標(biāo)的分析，我確定如下的教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)：教學(xué)重點(diǎn)：圓的一般方程的代數(shù)特征，一般方程與標(biāo)準(zhǔn)方程間的互化，根據(jù)已知條件確定方程中的系數(shù)，D、E、F.教學(xué)難點(diǎn)：對圓的一般方程的認(rèn)識(shí)、掌握和運(yùn)用.為了充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，本節(jié)課采用“誘思探究”教學(xué)法，用環(huán)環(huán)相扣的問題將探究活動(dòng)層層深入，使教師總是站在學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū)上.另外我利用多媒體課件進(jìn)行輔助教學(xué)，借助信息技術(shù)創(chuàng)設(shè)問題情境，直觀的誘導(dǎo)了學(xué)生的思維過程.2.學(xué)法分析眾所周知，高中數(shù)學(xué)教學(xué)不但要傳授給學(xué)生基本的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能，更要注重過程與方法，態(tài)度情感與價(jià)值觀，因此我在教學(xué)活動(dòng)中，不斷地設(shè)置問題，提出疑問，誘導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)思考，主動(dòng)探究，討論交流，使學(xué)生在積極的學(xué)習(xí)中解決問題。因此我的教學(xué)貫穿“疑問”—“思考”—“探究與發(fā)現(xiàn)”—“問題解決”四個(gè)環(huán)節(jié)。教學(xué)中，我很關(guān)注學(xué)生已有的2認(rèn)知結(jié)構(gòu)，學(xué)生數(shù)學(xué)思維的形成，以期提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，實(shí)現(xiàn)素質(zhì)教育的目標(biāo)。下面我就對具體的教學(xué)過程和設(shè)計(jì)意圖加以說明：【三】教學(xué)過程與設(shè)計(jì)意圖我的整個(gè)教學(xué)過程是由問題鏈驅(qū)動(dòng)的，共分為六個(gè)環(huán)節(jié)，分別為：問題引入、問題探究、成果展示、變式訓(xùn)練、拓展引申、課堂小結(jié)教學(xué)過程及方法教學(xué)內(nèi)容教學(xué)環(huán)節(jié)與活動(dòng)設(shè)計(jì)問題引入：問題1:圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么?問題2:在圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x-a)2+(y-b)2=r2中，圓心坐標(biāo)和半徑分別為什么?問題3:方程x2+y2-2x+4y+1=0表示什么圖形?x2+y2-2x+4y+6=0表示什么圖形?圓也可以用二元二次方程表示，并認(rèn)識(shí)到圓與二元二次帶著這個(gè)問題我們來共同研究圓的方程的另一種形式——圓的一般方程。自主探索：請同學(xué)們寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(x—a)2+(y-b)2=r2,圓心(a,b),半徑r.把圓的標(biāo)準(zhǔn)方程展開，并整理：x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0.取D=-2a,E=-2b,F=a2+b2-r2得x2+y2+Dx+Ey+F=0①這個(gè)方程是圓的方程.②反過來給出一個(gè)形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程，它表示的曲線一定是圓嗎?教師提出三個(gè)問題，由學(xué)生回答,通過實(shí)例發(fā)現(xiàn)圓的另外一種表達(dá)形式。教師通過導(dǎo)引：把圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x-a)2+(y-b)2=r2展開，是否是二元二次方程的形式?引入圓都可以寫成二元二次方程3教學(xué)過程及方法②(配方過程由學(xué)生去完成)這個(gè)方程是不是表示圓?為半徑的圓：,,即只表示一個(gè)點(diǎn);(3)當(dāng)D2+E2-4F<0時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)解，因而它不表示任何圖形綜上所述，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的曲線不一定是圓只有當(dāng)D2+E2-4F>0時(shí)，它表示的曲線才是圓，我們把形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的表示圓的方程稱為員的一般方程設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生自主探究x2+y2+Dx+Ey+F=0與圓的我們來看圓的一般方程的特點(diǎn)：(啟發(fā)學(xué)生歸納)(1)①x2和y2的系數(shù)相同，不等于0.②沒有xy這樣的二次項(xiàng).(2)圓的一般方程中有三個(gè)特定的系數(shù)D、E、F,因之只要求出這三個(gè)系數(shù)，圓的方程就確定了.二次方程，代數(shù)特征明顯，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程則指出了圓設(shè)計(jì)意圖：以問題形式讓學(xué)生觀察圓的一般方程，深x2+y2+Dx+Ey+F=0配方后，將得到怎樣的方程?這個(gè)方程是不是表示圓?,讓學(xué)生拿出練習(xí)本自主探究，教師選擇一名補(bǔ)充不足后對黑板同學(xué)做法般方程教師讓學(xué)生總結(jié)圓的一般方程的特點(diǎn)(1分鐘思考時(shí)間)4圓的一般方程的判斷方法求解。但是，要注意對于(1)4x2+4y2-4x+12y+9=0來說，這里的-4,12,11并練習(xí)突出半徑為r的絕對值。二.求圓方程例2:求過三點(diǎn)A(0,0),B(1,1),C(4,2)的圓的方程，解：設(shè)所求的圓的方程為：x2+y2+Dx+Ey+F=0∵A(0,0),B(1,1),C(4,2)在圓上，所以它們的坐標(biāo)是方程的解.把它們的坐標(biāo)代入上面的方程，可以得到關(guān)于D,E,F的三元一次方程組，解此方程組，可得：D=-8,E=6,F=0∴所求圓的方程為：x2+y2-8x+6y=0選擇兩名基礎(chǔ)一般的學(xué)生上黑板展示做題過程，讓學(xué)生們?nèi)c(diǎn)評(píng)做題過程正誤，不足進(jìn)行補(bǔ)充，教師在最后要加以總結(jié)法的使用前兩道題目口答，第三個(gè)學(xué)生上黑板展示，學(xué)生很容易不討論a的值半徑不加絕對值，在這;.5教學(xué)過程及方法變式訓(xùn)練2:已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A(-1,0),B(1,0),C(3,2),其外接圓為圓H.H的方程設(shè)計(jì)意圖：解決方法有三種，最好的方法是利用垂直平分線的方法，讓學(xué)習(xí)對各種方法對比，體會(huì)數(shù)形結(jié)合方法對于解題的幫助三、與圓有關(guān)的軌跡問題例3、已知線段AB的端點(diǎn)B的坐標(biāo)是(4,3),端點(diǎn)A在圓上(x+1)2+y2=4運(yùn)動(dòng)，求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程。分析：如圖點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)引起點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)，而點(diǎn)A在已知圓上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)A的坐標(biāo)滿足方程(x+1)2+y2=4。建立點(diǎn)M與點(diǎn)A坐標(biāo)之間的關(guān)系，就可以建立點(diǎn)M的坐標(biāo)滿足的條件，求出點(diǎn)M的軌跡方程。設(shè)計(jì)意圖：通過探究與小組討論方式解決求軌跡方法發(fā)現(xiàn)一動(dòng)點(diǎn)的產(chǎn)生是由另外一個(gè)動(dòng)點(diǎn)變化引起的，而這個(gè)動(dòng)點(diǎn)在圓上，領(lǐng)會(huì)代入法的特征及步驟。解：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)是(x,y),點(diǎn)A的坐標(biāo)是(x,vo)由于點(diǎn)B的坐標(biāo)是(4,3)且M是線段AB中重點(diǎn)，所以①于是有xo=2x-4,yo=2y-3因?yàn)辄c(diǎn)A在圓(x+1)2+y2=4上運(yùn)動(dòng)，所以點(diǎn)A的坐標(biāo)滿足方程(x+1)2+y2=4,即(xo+1)2+yo2=4②把①代入②,得所以，點(diǎn)M的軌跡是以為圓心，半徑長為1的圓.現(xiàn)由學(xué)生自行解決并選擇一方法的運(yùn)用，讓有不同做法的深刻的認(rèn)識(shí)，并學(xué)會(huì)利用。答思路在給出時(shí)間整理過程黑板把過程完整。教師要進(jìn)一步規(guī)范代入法的步驟書寫。6教學(xué)小結(jié)給出一分鐘時(shí)間結(jié)合所學(xué)、所思、所做讓學(xué)生談這節(jié)課的收獲并在大屏幕上展示教學(xué)目標(biāo)1.圓的一般方程的特征2.與標(biāo)準(zhǔn)方程的互化3.用待定系數(shù)法求圓的方程4.求與圓有關(guān)的點(diǎn)的軌跡。教學(xué)反思可取之處：內(nèi)容準(zhǔn)備充分，環(huán)環(huán)相扣。我在教學(xué)活動(dòng)中，不斷地設(shè)置問題，提出疑問，誘導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)思考，主動(dòng)探究，討論交流，使學(xué)生在積極的學(xué)習(xí)中解決問題。教學(xué)貫穿“疑問”—“思考”—“探究與發(fā)現(xiàn)”—“問題解決”四個(gè)環(huán)節(jié)。例題選取符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律難易得當(dāng)。努力做到學(xué)生能做學(xué)生做，學(xué)生能回答老師不代替、學(xué)生有疑問其他同學(xué)解決。讓學(xué)生做課堂的主人，教師只是起引導(dǎo)、適時(shí)歸納的作用。不足之處：時(shí)間安排略顯緊張，拓展題目沒有很好完成，有點(diǎn)前松后緊之感。學(xué)情分析圓的一般方程是學(xué)生在學(xué)習(xí)過圓的標(biāo)準(zhǔn)方程之后進(jìn)行研究的，但由于學(xué)生學(xué)習(xí)解析幾何的時(shí)間還不長、學(xué)習(xí)程度較淺，在學(xué)習(xí)過程中難免會(huì)出現(xiàn)困難.另外學(xué)生在探究問題的能力，合作交流的意識(shí)等方面有待加強(qiáng).根據(jù)上述教材結(jié)構(gòu)與內(nèi)容分析，考慮到學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)和心理特征，所以通過實(shí)例，讓學(xué)生掌握圓的一般方程及其特點(diǎn)；探究出將圓的一般方程化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，并能熟練地指出圓心的位置和半徑的大?。桓欣谔岣咛剿靼l(fā)現(xiàn)及分析問題的實(shí)際能力；體驗(yàn)數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法效果分析7圓的一般方程這部分知識(shí)在學(xué)完圓的標(biāo)準(zhǔn)方程之后，學(xué)生對于圓有了一定的認(rèn)識(shí)，內(nèi)容相對來說比較易于接受，大膽的讓學(xué)生去思考、去探究，把時(shí)間交給學(xué)生。使學(xué)生在主動(dòng)獲取知識(shí)的過程中完成重點(diǎn)、難點(diǎn)知識(shí)的學(xué)習(xí)、提高思維能力，形成相應(yīng)的觀點(diǎn)。通過一個(gè)個(gè)問題創(chuàng)設(shè)探究情境，激發(fā)學(xué)生興的求知欲。課堂充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用和教師的主導(dǎo)作用，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行科學(xué)思維，啟發(fā)學(xué)生用已知去探究未知，并對自己的探究結(jié)果加以歸納總結(jié)，最終促進(jìn)學(xué)生透徹理解圓的一般方程判斷、方程的求法技巧的歸納。通過對課堂反饋、課后練習(xí)分析來看，這節(jié)課，在教師的引導(dǎo)下主動(dòng)探究，學(xué)生能夠積教材結(jié)構(gòu)分析《圓的一般方程》安排在高中數(shù)學(xué)必修2第四章第一節(jié)第二課時(shí).圓作為常見的簡單幾何圖形，在實(shí)際生活和生產(chǎn)實(shí)踐中有著廣泛的應(yīng)用.圓的一般方程屬于解析幾何學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)，是研究二次曲線的開始，對后續(xù)直線與圓的位置關(guān)系、圓錐曲線等內(nèi)容的學(xué)習(xí)，無論在知識(shí)上還是思想方法上都有著深遠(yuǎn)的意義，所以本課內(nèi)容在整個(gè)解析幾何中起著承前啟后的作用.就學(xué)生實(shí)際學(xué)習(xí)情況與能力把第一節(jié)中內(nèi)容安排較為簡單，易于學(xué)生知識(shí)的掌握、消化、鞏教學(xué)重點(diǎn)：圓的一般方程的代數(shù)特征，一般方程與標(biāo)準(zhǔn)方程間的互化，根據(jù)已知條件確定方程中的系數(shù)，D、E、F..教學(xué)難點(diǎn)：對圓的一般方程的認(rèn)識(shí)、掌握和運(yùn)用.評(píng)測練習(xí)1下列各方程表示什么圖形?若表示圓，求出圓心和半徑.(2)x2+y2+2ac+a=0(a≠0);(3)2x2+2y2+2ax-2ay=0(a≠0).設(shè)計(jì)意圖與方法：(1)因?yàn)镈=1,E=0,F=1,(1)不表示任何圖形；(2)因?yàn)镈=2a,E=0,F=a,所以D+E-4F<0方程所以D+E-4F=4a-4a=0,所以方程(2)表示點(diǎn)(-a,0);8(3)兩邊同時(shí)除以2,得x2+y2+ax-ay=0,所以D=a,E=-a,F=0.所以D+E-4F>0,所以方程(3)表示圓，圓心為點(diǎn)評(píng)：也可以先將方程配方再判斷.的方程.設(shè)計(jì)意圖與方法：涉及與圓的弦長有關(guān)的問題時(shí)，為簡化運(yùn)算，則利用垂徑直徑定理和由半弦長、弦心距、半徑所構(gòu)成的三角形解之.【解析】法一：設(shè)圓的方程為：x2+y2+Dx+Ey+F=0①③②③令x=0,由①,得y2+Ey+F=0④∴(yi-y?)2=(n+y?)-4y?y?=E-4F=48⑤解②③⑤聯(lián)立成的方程組，得故所求方程為：x2+y2-2x-12=0或x2+y2-10x-8y+4=0.法二：求得PQ的中垂線方程為x-y-1=0①∵所求圓的圓心C在直線①上，故設(shè)其坐標(biāo)為(a,a-1),代入②并將兩端平方，得a2-5a+解得a=1,a?=5.9故所求的圓的方程為：(x-1)2+y2=13或(x-5)2+(y-4)2=37.【評(píng)析】(1)在解本題時(shí)，為簡化運(yùn)算，要避開直接去求圓和y軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，否則計(jì)算要復(fù)雜得多.(2)涉及與圓的弦長有關(guān)問題，常用垂徑定理和由半弦長、弦心距及半徑所構(gòu)成的直角三角形解之，以簡化運(yùn)算.3已知方程x2+y2-2(t+3)x+2(1-t)y+16t+9(2)該圓半徑r的取值范圍.=0表示一個(gè)圓，求設(shè)計(jì)意圖與方法：原方程表示一個(gè)圓的條件是D+E-4F=4(t+3)2+4(1-t2)2-4(16t?+9)>0課后反思設(shè)計(jì)思路：首先以3個(gè)問題形式引入新課，讓學(xué)生通過例子認(rèn)識(shí)到圓與二元二次方程之間存在一定關(guān)系，給學(xué)生以直觀感受。其次在問題探究環(huán)節(jié)通過具體問題讓學(xué)生自主探究圓與二元二次方程之間的關(guān)系，貼近學(xué)生的認(rèn)知水平，并大膽把課堂交給學(xué)生，讓學(xué)生去發(fā)現(xiàn)、去總結(jié)。教師只是適當(dāng)引導(dǎo)。在成果展示環(huán)節(jié)上分成三個(gè)方面判斷圓、求圓、每一方面都配有變式利于學(xué)生對知識(shí)的鞏固，采取學(xué)生黑板展示，講解，發(fā)現(xiàn)問題解決問題。充分調(diào)動(dòng)每一位學(xué)生積極性。拓展環(huán)節(jié)上選取兩個(gè)有一定難度的題目提升學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，挖掘?qū)W生學(xué)習(xí)的潛力。充分體會(huì)學(xué)無止境、學(xué)習(xí)技巧方法靈活使用。.學(xué)生主動(dòng)思考，主動(dòng)探究，討論交流，使學(xué)生在積極的學(xué)習(xí)中解決問題。教學(xué)貫穿“疑問”—“思考”—“探究與發(fā)現(xiàn)”—“問題解決”四個(gè)環(huán)節(jié)。例題選取符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律難易得當(dāng)。努力做