河南省南陽市壽寧中學(xué)高一數(shù)學(xué)理上學(xué)期摸底試題含解析

河南省南陽市壽寧中學(xué)高一數(shù)學(xué)理上學(xué)期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，可以斷定方程的一個根所在的區(qū)間是（

）.－101230.371[2.727.3920.0912345A．（－1，0）

B．（0，1）

C．（1，2）

D．（2，3）參考答案：C2.數(shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，這條直線被后人稱之為三角形的歐拉線．已知△ABC的頂點(diǎn)A（2，0），B（0，4），且AC=BC，則△ABC的歐拉線的方程為（）A．x+2y+3=0 B．2x+y+3=0 C．x﹣2y+3=0 D．2x﹣y+3=0參考答案：C【考點(diǎn)】待定系數(shù)法求直線方程．【專題】直線與圓．【分析】由于AC=BC，可得：△ABC的外心、重心、垂心都位于線段AB的垂直平分線上，求出線段AB的垂直平分線，即可得出△ABC的歐拉線的方程．【解答】解：線段AB的中點(diǎn)為M（1，2），kAB=﹣2，∴線段AB的垂直平分線為：y﹣2=（x﹣1），即x﹣2y+3=0．∵AC=BC，∴△ABC的外心、重心、垂心都位于線段AB的垂直平分線上，因此△ABC的歐拉線的方程為：x﹣2y+3=0．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了歐拉線的方程、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的外心重心垂心性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．3.下列函數(shù)中，最小正周期是且在區(qū)間()上是增函數(shù)的是

A．

B．

C．

D．參考答案：D略4.直線（）與圓的位置關(guān)系為（

）A．相交

B．相切

C.相離

D．與的值有在參考答案：A5.已知關(guān)于x的方程x2+kx﹣2=0的一個根是1，則它的另一個根是(

)A．﹣3 B．3 C．﹣2 D．2參考答案：C【考點(diǎn)】函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】設(shè)方程x2+kx﹣2=0的另一個根是a，由韋達(dá)定理可得答案．【解答】解：設(shè)方程x2+kx﹣2=0的另一個根是a，由韋達(dá)定理可得：1×a=﹣2，即a=﹣2，故選：C【點(diǎn)評】本題考查的知識點(diǎn)是一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理），熟練掌握韋達(dá)定理是解答的關(guān)鍵．6.已知a=log23+log2，b=，c=log32則a，b，c的大小關(guān)系是(

)A．a(chǎn)=b＜c B．a(chǎn)=b＞c C．a(chǎn)＜b＜c D．a(chǎn)＞b＞c參考答案：B【考點(diǎn)】不等式比較大?。緦ｎ}】計算題．【分析】利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可求得a=log23，b=log23＞1，而0＜c=log32＜1，從而可得答案．【解答】解：∵a=log23+log2=log23，b===＞1，∴a=b＞1，又0＜c=log32＜1，∴a=b＞c．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查不等式比較大小，掌握對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)既對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)是解決問題之關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．7.已知某正項等差數(shù)列，若存在常數(shù)，使得對一切成立，則的集合是

A.

B.

C.

D.參考答案：8.如圖所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面積()與時間(月)的關(guān)系：，有以下敘述：

①這個指數(shù)函數(shù)的底數(shù)是2；②第5個月時,浮萍的面積就會超過；③浮萍從蔓延到需要經(jīng)過2個月；④浮萍每個月增加的面積都相等．其中正確的是A．①②③④

B．①②③

C．②③④

D．①②參考答案：B9.設(shè)a=3e，b=πe，c=π3，其中e=2.71828…為自然對數(shù)的底數(shù)，則a，b，c的大小關(guān)系是（）A．a(chǎn)＞c＞b B．a(chǎn)＞b＞c C．c＞a＞b D．c＞b＞a參考答案：D【考點(diǎn)】不等式比較大?。痉治觥坷弥笖?shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出．【解答】解：∵a=3e＜b=πe＜c=π3，∴c＞b＞a，故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．10.若的內(nèi)角滿足，則

(

)A.

B.

C.

D.參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)不等式組表示的區(qū)域為，不等式表示的平面區(qū)域為。記為與公共部分的面積，則函數(shù)的取值范圍是_____________。參考答案：12.已知等比數(shù)列{an=a1qn–1，q∈N，n∈N}中，對某個n>6有a1+an=1094，a2an–1=，則a3+an–2

=

。參考答案：12613.在一個數(shù)列中，如果對任意的，都有（為常數(shù)）,那么這個數(shù)列叫做等積數(shù)列，k叫做這個數(shù)列的公積.已知數(shù)列{an}是等積數(shù)列，且，公積為8，則

.參考答案：28由題意得，數(shù)列是等積為8的等積數(shù)列，且，∴，即，∴．同理可得，……∴數(shù)列是周期為3的數(shù)列，∴．

14.已知向量=（sinx+cosx，1），=（1，sinxcosx），當(dāng)x∈[0，]時，?的取值范圍為．參考答案：[1，]【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算；三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用．【專題】函數(shù)思想；換元法；三角函數(shù)的求值；平面向量及應(yīng)用．【分析】?=sinx+cosx+sinxcosx，令sinx+cosx=sin（x+）=t，則sinxcosx=，根據(jù)x的范圍求出t的范圍，于是?=t+=（t+1）2﹣1，利用二次函數(shù)的單調(diào)性求出最值．【解答】解：?=sinx+cosx+sinxcosx，令sinx+cosx=sin（x+）=t，則sinxcosx=，∵x∈[0，]，∴x∈[，]，∴t∈[1，]，∴?=sinx+cosx+sinxcosx=t+=（t+1）2﹣1，∴當(dāng)t=1時，?取得最小值1，當(dāng)t=時，?取得最大值．故答案為[1，]．【點(diǎn)評】本題考查了三角函數(shù)的恒等變換，換元法，二次函數(shù)的最值，是中檔題．15.如圖所示，在△ABO中，=,=,AD與BC相交于點(diǎn)M，

設(shè)=，=.試用和表示向量=

參考答案：略16.給出下列命題：①函數(shù)是奇函數(shù)；②存在實(shí)數(shù)x，使sinx+cosx=2；③若α，β是第一象限角且α＜β，則tanα＜tanβ；④是函數(shù)的一條對稱軸；⑤函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱．其中正確命題的序號為．參考答案：①④【考點(diǎn)】余弦函數(shù)的圖象；正弦函數(shù)的圖象．【分析】利用誘導(dǎo)公式、正弦函數(shù)和余弦函數(shù)性質(zhì)以及圖象特征，逐一判斷各個選項是否正確，從而得出結(jié)論．【解答】解：①函數(shù)=﹣sinx，而y=﹣sinx是奇函數(shù)，故函數(shù)是奇函數(shù)，故①正確；②因為sinx，cosx不能同時取最大值1，所以不存在實(shí)數(shù)x使sinx+cosx=2成立，故②錯誤．③令α=，β=，則tanα=，tanβ=tan=tan=，tanα＞tanβ，故③不成立．④把x=代入函數(shù)y=sin（2x+），得y=﹣1，為函數(shù)的最小值，故是函數(shù)的一條對稱軸，故④正確；⑤因為y=sin（2x+）圖象的對稱中心在圖象上，而點(diǎn)不在圖象上，所以⑤不成立．故答案為：①④．17.計算=

參考答案：12三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（12分）已知函數(shù)（1）試證明在上為增函數(shù)；（2）當(dāng)時，求函數(shù)的最值參考答案：（1）（2）在處取得最小值，在處取得最大值。1）證明：在上任意取兩個實(shí)數(shù)，且∴∵

∴

∴

即

∴在上為增函數(shù)（2）∵在上為增函數(shù)在處取得最小值在處取得最大值19.某商品進(jìn)貨單價為元，若銷售價為元，可賣出個，如果銷售單價每漲元，銷售量就減少個，為了獲得最大利潤，則此商品的最佳售價應(yīng)為多少？參考答案：解析：設(shè)最佳售價為元，最大利潤為元，

當(dāng)時，取得最大值，所以應(yīng)定價為元。20.解關(guān)于x的不等式.參考答案：原不等式等價于(1)當(dāng)時，解集為(2)當(dāng)時，原不等式可化為，因為，所以解集為(3)當(dāng)時，，解集為(4)當(dāng)時，原不等式等價于，即，解集為(5)當(dāng)時，，解集為綜上所述，當(dāng)時，解集為；當(dāng)時，解集為；當(dāng)時，解集為；當(dāng)時，解集為

說明：每種情況2分，最后綜上2分21.已知函數(shù)．（1）判斷f（x）的奇偶性；（2）當(dāng)x∈[﹣1，1]時，f（x）≥m恒成立，求m的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】函數(shù)恒成立問題；函數(shù)奇偶性的判斷．【專題】綜合題；函數(shù)思想；綜合法；簡易邏輯．【分析】（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義判斷即可；（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義判斷其單調(diào)性，從而求出函數(shù)的最小值，求出m的范圍．【解答】解：（1）在函數(shù)f（x）的定義域R上任取一自變量x因為=﹣f（x），所以函數(shù)f（x）為奇函數(shù)；┅（3分）（2）當(dāng)a＞1時，在[﹣1，1]上任取x1，x2，令x1＜x2，=，∵0≤x1＜x2≤1，∴f（x1）﹣f（x2）＜0所以函數(shù)f（x）在x∈[﹣1，1]時為增函數(shù)，┅（4分）當(dāng)0＜a＜1時，同理可證函數(shù)f（x）在x∈[﹣1，1]時為增函數(shù)，，所以m≤1┅（3分）【點(diǎn)評】本題考查了函數(shù)恒成立問題，考查函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性問題，是一道基礎(chǔ)題．22.（Ⅰ）若集合A={﹣1，2，4，6}，B={x|x=m2﹣1，m∈A}，請用列舉法表示集合B；（Ⅱ）已知集合，B={a2，a，0}，且A=B，計算a，b的值；（Ⅲ）已知全集U=R，集合A={x|log2x≤2}，B={x|﹣2≤x≤3}求：A∩?UB．參考答案：【考點(diǎn)】交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算．【專題】計算題；集合思想；綜合法；集合．【分析】（Ⅰ）根據(jù)集合元素的特征，列舉出即可．（Ⅱ）根據(jù)集合相等的性質(zhì)，進(jìn)行分類討論即可．（Ⅲ）先根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出A，再求CUB，交集的運(yùn)算求出A與CUB的交集．【解答】解：（Ⅰ）若集合A={﹣1，2，4，6}，B={x|x=m2﹣1，m∈A}，則B={0，3，15，35}，（Ⅱ）已知集合，B={a2，a，0}，且A=B則①當(dāng)時，b=0，此時A={1，a，0}，B={