2021年中考數(shù)學(xué)專題訓(xùn)練-正方形綜合(含答案)

/2021中考數(shù)學(xué)專題訓(xùn)練正方形綜合一、選擇題1.下列條件不能判斷?ABCD是正方形的是 ()A.∠ABC=90°且AB=ADB.AB=BC且AC⊥BDC.AC⊥BD且AC=BDD.AC=BD且AB=BC2.下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是 ()A.平行四邊形的對(duì)邊相等B.對(duì)角線相等的四邊形是矩形C.對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形D.正方形既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形3.小紅用次數(shù)最少的對(duì)折方法驗(yàn)證了一條四邊形絲巾的形狀是正方形，她對(duì)折了 ()A.1次 B.2次 C.3次 D.4次4.如圖，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為5的正方形，E是DC上一點(diǎn)，DE=1，將△ADE繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到與△ABF重合，則EF= ()A. B. C.5 D.25.如圖，正方形ABCD的面積為1，則以相鄰兩邊中點(diǎn)連線EF為邊的正方形EFGH的周長(zhǎng)為()A.eq\r(2)B.2eq\r(2)C.eq\r(2)＋1D.2eq\r(2)＋16.（2020·威海）如圖，在?ABCD中，對(duì)角線BD⊥AD，AB＝10，AD＝6，O為BD的中點(diǎn)，E為邊AB上一點(diǎn)，直線EO交CD于點(diǎn)F，連結(jié)DE，BF．下列結(jié)論不成立的是（）A．四邊形DEBF為平行四邊形 B．若AE＝3.6，則四邊形DEBF為矩形 C．若AE＝5，則四邊形DEBF為菱形 D．若AE＝4.8，則四邊形DEBF為正方形7.（2020·溫州）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三邊為邊向外作正方形，過(guò)點(diǎn)C作CR⊥FG于點(diǎn)R，再過(guò)點(diǎn)C作PQ⊥CR分別交邊DE，BH于點(diǎn)P，Q．若QH＝2PE，PQ＝15，則CR的長(zhǎng)為A．14B．15C．D．8.已知在平面直角坐標(biāo)系中放置了5個(gè)如圖X3－1－10所示的正方形(用陰影表示)，點(diǎn)B1在y軸上，點(diǎn)C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3在x軸上．若正方形A1B1C1D1的邊長(zhǎng)為1，∠B1C1O＝60°，B1C1∥B2C2∥B3C3，則點(diǎn)A3到x軸的距離是()

A.eq\f(\r(3)＋3,18)B.eq\f(\r(3)＋1,18)C.eq\f(\r(3)＋3,6)D.eq\f(\r(3)＋1,6)

二、填空題9.將邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到正方形FECG的位置(如圖)，使得點(diǎn)D落在對(duì)角線CF上，EF與AD相交于點(diǎn)H，則HD=.(結(jié)果保留根號(hào))

10.如圖，四邊形ACDF是正方形，∠CEA和∠ABF都是直角且E，A，B三點(diǎn)共線，AB=4，則陰影部分的面積是.

11.如圖，E，F(xiàn)是正方形ABCD的對(duì)角線AC上的兩點(diǎn)，AC=8，AE=CF=2，則四邊形BEDF的周長(zhǎng)是.

12.如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，N，P，G分別在邊AB，BC，CD，DA上，點(diǎn)M，F(xiàn)，Q都在對(duì)角線BD上，且四邊形MNPQ和AEFG均為正方形，則eq\f(S正方形MNPQ,S正方形AEFG)的值等于________．13.如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2eq\r(2)，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，E是OC的中點(diǎn)，連接BE，過(guò)點(diǎn)A作AM⊥BE于點(diǎn)M，交BD于點(diǎn)F，則FM的長(zhǎng)為_(kāi)_______．

14.如圖，有一個(gè)邊長(zhǎng)不定的正方形ABCD，它的兩個(gè)相對(duì)的頂點(diǎn)A，C分別在邊長(zhǎng)為1的正六邊形一組平行的對(duì)邊上，另外兩個(gè)頂點(diǎn)B，D在正六邊形內(nèi)部(包括邊界)，則正方形邊長(zhǎng)a的取值范圍是________．三、解答題15.【問(wèn)題解決】一節(jié)數(shù)學(xué)課上，老師提出了這樣一個(gè)問(wèn)題:如圖①，點(diǎn)P是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，PA=1，PB=2，PC=3，你能求出∠APB的度數(shù)嗎?小明通過(guò)觀察、分析、思考，形成了如下思路:思路一:將△PBC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△BP'A，連接PP'，求出∠APB的度數(shù);思路二:將△APB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△CP'B，連接PP'，求出∠APB的度數(shù).請(qǐng)參考小明的思路，任選一種寫出完整的解答過(guò)程.【類比探究】如圖②，若點(diǎn)P是正方形ABCD外一點(diǎn)，PA=3，PB=1，PC=，求∠APB的度數(shù).

16.如圖，AB是☉O的直徑，DO⊥AB于點(diǎn)O，連接DA交☉O于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)C作☉O的切線交DO于點(diǎn)E，連接BC交DO于點(diǎn)F.(1)求證:CE=EF.(2)連接AF并延長(zhǎng)，交☉O于點(diǎn)G.填空:①當(dāng)∠D的度數(shù)為時(shí)，四邊形ECFG為菱形;

②當(dāng)∠D的度數(shù)為時(shí)，四邊形ECOG為正方形.

17.（2020·河南）將正方形ABCD的邊AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至AB′，記旋轉(zhuǎn)角為.連接BB′，過(guò)點(diǎn)D作DE垂直于直線BB′，垂足為點(diǎn)E，連接DB′，CE.(1)如圖1，當(dāng)=60°時(shí)，△DEB′的形狀為，連接BD，可求出的值為；(2)當(dāng)0°＜＜360°且≠90°時(shí)，①(1)中的兩個(gè)結(jié)論是否仍然成立?如果成立，請(qǐng)僅就圖2的情形進(jìn)行證明；如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；②當(dāng)以點(diǎn)B′、E、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，請(qǐng)直接寫出的值.18.如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，點(diǎn)P在AB上，AP＝2．點(diǎn)E、F同時(shí)從點(diǎn)P出發(fā)，分別沿PA、PB以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)A、B勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)A后立刻以原速度沿AB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)停止，點(diǎn)E也隨之停止．在點(diǎn)E、F運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，以EF為邊作正方形EFGH，使它與△ABC在線段AB的同側(cè)．設(shè)E、F運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒(t＞0)，正方形EFGH與△ABC重疊部分的面積為S．（1）當(dāng)t＝1時(shí)，正方形EFGH的邊長(zhǎng)是________；當(dāng)t＝3時(shí)，正方形EFGH的邊長(zhǎng)是________；（2）當(dāng)1＜t≤2時(shí)，求S與t的函數(shù)關(guān)系式；（3）直接答出：在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)t為何值時(shí)，S最大？最大面積是多少？2021中考數(shù)學(xué)專題訓(xùn)練正方形綜合-答案一、選擇題1.【答案】B[解析]A.?ABCD中，若∠ABC=90°，則?ABCD是矩形，再由AB=AD可得是正方形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤;B.?ABCD中，若AB=BC，則?ABCD是菱形，再由AC⊥BD仍可得是菱形，不能判定為正方形，故此選項(xiàng)正確;C.?ABCD中，若AC⊥BD，則?ABCD是菱形，再由AC=BD可得是正方形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤;D.?ABCD中，若AC=BD，則?ABCD是矩形，再由AB=BC可得是正方形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選B.2.【答案】B3.【答案】B4.【答案】D[解析]由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，△ADE≌△ABF，∴BF=DE=1，∴FC=6，∵CE=4，∴EF===2.故選:D.5.【答案】B【解析】∵正方形ABCD的面積為1，∴BC＝CD＝1，∵E、F是邊的中點(diǎn)，∴CE＝CF＝eq\f(1,2)，∴EF＝eq\r(（\f(1,2)）2＋（\f(1,2)）2)＝eq\f(\r(2),2)，則正方形EFGH的周長(zhǎng)為4×eq\f(\r(2),2)＝2eq\r(2).6.【答案】：∵O為BD的中點(diǎn)，∴OB＝OD，∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴DC∥AB，∴∠CDO＝∠EBO，∠DFO＝∠OEB，∴△FDO≌△EBO（AAS），∴OE＝OF，∴四邊形DEBF為平行四邊形，故A選頂結(jié)論正確，若AE＝3.6，AD＝6，∴，又∵，∴，∵∠DAE＝∠BAD，∴△DAE∽△BAD，∴AED＝∠ADB＝90°．故B選項(xiàng)結(jié)論正確，∵AB＝10，AE＝5，∴BE＝5，又∵∠ADB＝90°，∴DEAB＝5，∴DE＝BE，∴四邊形DEBF為菱形．故C選項(xiàng)結(jié)論正確，∵AE＝3.6時(shí)，四邊形DEBF為矩形，AE＝5時(shí)，四邊形DEBF為菱形，∴AE＝4.8時(shí)，四邊形DEBF不可能是正方形．故D不正確．故選：D．7.【答案】A【解析】本題主要考查了相似三角形和正方形的性質(zhì)，由題意知△CDP∽△CBQ，所以，即，解得：BC＝2CD，所以CQ＝2CP，則CP＝5，CQ＝10，由于PQ∥AB，所以∠CBA＝∠BCQ＝∠DCP，則tan∠BCQ＝tan∠DCP＝tan∠CBA＝，不妨設(shè)DP＝x，則DC＝2x，在Rt△DCP中，，解得x＝.∴DC＝2，BC＝4，所以AB＝10，△ABC的斜邊上的高＝,所以CR＝14，所以因此本題選A．8.【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)，0))D解析：過(guò)小正方形的一個(gè)頂點(diǎn)D3作FQ⊥x軸于點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)A3作A3F⊥FQ于點(diǎn)F.∵正方形A1B1C1D1的邊長(zhǎng)為1，∠B1C1O＝60°，B1C1∥B2C2∥B3C3，∴∠B3C3E4＝60°，∠D1C1E1＝30°，∠E2B2C2＝30°，∴D1E1＝eq\f(1,2)D1C1＝eq\f(1,2)，∴D1E1＝B2E2＝eq\f(1,2)，∴cos30°＝eq\f(B2E2,B2C2)＝eq\f(\f(1,2),B2C2)，解得：B2C2＝eq\f(\r(3),3).∴B3E4＝eq\f(\r(3),6)，cos30°＝eq\f(B3E4,B3C3).解得：B3C3＝eq\f(1,3).則D3C3＝eq\f(1,3).根據(jù)題意得出：∠D3C3Q＝30°，∠C3D3Q＝60°，∠A3D3F＝30°，∴D3Q＝eq\f(1,2)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,6)，F(xiàn)D3＝D3A3·cos30°＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),6).則點(diǎn)A3到x軸的距離FQ＝D3Q＋FD3＝eq\f(1,6)＋eq\f(\r(3),6)＝eq\f(\r(3)＋1,6).二、填空題9.【答案】-1[解析]∵四邊形ABCD為正方形，∴CD=1，∠CDA=90°，∵邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到正方形FECG的位置，使得點(diǎn)D落在對(duì)角線CF上，∴CF=，∠CFE=45°，∴△DFH為等腰直角三角形，∴DH=DF=CF-CD=-1.故答案為-1.10.【答案】8[解析]∵四邊形ACDF是正方形，∴AC=AF，∠CAF=90°，∴∠CAE+∠BAF=90°，又∠CAE+∠ECA=90°，∴∠ECA=∠BAF，則在△ACE和△FAB中，∵∴△ACE≌△FAB(AAS)，∴AB=CE=4，∴陰影部分的面積=AB·CE=×4×4=8.11.【答案】8[解析]如圖，連接BD交AC于點(diǎn)O，∵四邊形ABCD為正方形，∴BD⊥AC，OD=OB=OA=OC，∵AE=CF=2，∴OA-AE=OC-CF，即OE=OF，∴四邊形BEDF為平行四邊形，且BD⊥EF，∴四邊形BEDF為菱形，∴DE=DF=BE=BF，∵AC=BD=8，OE=OF==2，∴由勾股定理得:DE===2，∴四邊形BEDF的周長(zhǎng)=4DE=4×2=8，故答案為:8.12.【答案】eq\f(8,9)【解析】設(shè)BD＝3a，∠CDB＝∠CBD＝45°，且四邊形PQMN為正方形，∴DQ＝PQ＝QM＝NM＝MB，∴正方形MNPQ的邊長(zhǎng)為a，正方形AEFG的對(duì)角線AF＝eq\f(1,2)BD＝eq\f(3,2)a，∵正方形對(duì)角線互相垂直，∴S正方形AEFG＝eq\f(1,2)×eq\f(3,2)a×eq\f(3,2)a＝eq\f(9,8)a2，∴eq\f(S正方形MNPQ,S正方形AEFG)＝eq\f(a2,\f(9,8)a2)＝eq\f(8,9).13.【答案】eq\f(\r(5),5)【解析】∵四邊形ABCD為正方形，∴AO＝BO，∠AOF＝∠BOE＝90°，∵AM⊥BE，∠AFO＝∠BFM，∴∠FAO＝∠EBO，在△AFO和△BEO中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠AOF＝∠BOE,AO＝BO,∠FAO＝∠EBO))，∴△AFO≌△BEO(ASA)，∴FO＝EO，∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2eq\r(2)，E是OC的中點(diǎn)，∴FO＝EO＝1＝BF，BO＝2，∴在Rt△BOE中，BE＝eq\r(12＋22)＝eq\r(5)，由∠FBM＝∠EBO，∠FMB＝∠EOB，可得△BFM∽△BEO，∴eq\f(FM,EO)＝eq\f(BF,BE)，即eq\f(FM,1)＝eq\f(1,\r(5))，∴FM＝eq\f(\r(5),5).14.【答案】eq\f(\r(6),2)≤a≤3－eq\r(3)【解析】∵ABCD是正方形，∴AB＝a＝eq\f(\r(2),2)AC，∴a的取值范圍與AC的長(zhǎng)度直接相關(guān)．如解圖①，當(dāng)A，C兩點(diǎn)恰好是正六邊形一組對(duì)邊中點(diǎn)時(shí)，a的值最小，∵正六邊形的邊長(zhǎng)為1，∴AC＝eq\r(3)，∴AB＝a＝eq\f(\r(2),2)AC＝eq\f(\r(6),2)；如解圖②，連接MN，延長(zhǎng)AE，BF交于點(diǎn)G，∵正六邊形和正方形ABCD，∴△MNG、△ABG、△EFG為正三角形，設(shè)AE＝BF＝x，則AM＝BN＝1－x，AG＝BG＝AB＝1＋x＝a，∵GM＝MN＝2，∠BNM＝60°，∴sin∠BNM＝sin60°＝eq\f(\f(BC,2),BN)＝eq\f(\f(a,2),1－x)，∴eq\r(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－x))＝a，∴eq\r(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－a))＝a，解得，a＝eq\f(2\r(3),\r(3)＋1)＝3－eq\r(3).∴正方形邊長(zhǎng)a的取值范圍是eq\f(\r(6),2)≤a≤3－eq\r(3).三、解答題15.【答案】[解析]將△PBC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△P'BA，連接PP'，得到等腰直角三角形BP'P，從而得到PP'=2，∠BPP'=45°，又AP'=CP=3，AP=1，∴AP2+P'P2=1+8=9=P'A2，∴根據(jù)勾股定理的逆定理得∠APP'=90°，從而求出∠APB=45°+90°=135°.將△PBC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△P'BA，連接PP'，方法和上述類似，求出∠APB=45°.解:【問(wèn)題解決】如圖①，將△PBC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△P'BA，連接PP'.①∵P'B=PB=2，∠P'BP=90°，∴PP'=2，∠BPP'=45°.又AP'=CP=3，AP=1，∴AP2+P'P2=1+8=9=P'A2，∴∠APP'=90°，∴∠APB=45°+90°=135°.【類比探究】如圖②，將△PBC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△P'BA，連接PP'.②∵P'B=PB=1，∠P'BP=90°，∴PP'=，∠BPP'=45°.又AP'=CP=，AP=3，∴AP2+P'P2=9+2=11=P'A2，∴∠APP'=90°，∴∠APB=90°-45°=45°.16.【答案】解:(1)證明:連接OC.∵CE是☉O的切線，∴OC⊥CE.∴∠FCO+∠ECF=90°.∵DO⊥AB，∴∠B+∠BFO=90°.∵∠CFE=∠BFO，∴∠B+∠CFE=90°.∵OC=OB，∴∠FCO=∠B.∴∠ECF=∠CFE.∴CE=EF.(2)∵AB是☉O的直徑，∴∠ACB=90°.∴∠DCF=90°.∴∠DCE+∠ECF=90°，∠D+∠EFC=90°.由(1)得∠ECF=∠CFE，∴∠D=∠DCE.∴ED=EC.∴ED=EC=EF.即點(diǎn)E為線段DF的中點(diǎn).①四邊形ECFG為菱形時(shí)，CF=CE.∵CE=EF，∴CE=CF=EF.∴△CEF為等邊三角形.∴∠CFE=60°.∴∠D=30°.故填30°.②四邊形ECOG為正方形時(shí)，△ECO為等腰直角三角形.∴∠CEF=45°.∵∠CEF=∠D+∠DCE，∴∠D=∠DCE=22.5°.故填22.5°.17.【答案】解：(1)等腰直角三角形，.(2)①兩個(gè)結(jié)論仍成立.證明:連接BD.∵AB=AB′，∠BAB′=，∴∠AB′B=90°-，∵∠B′AD=a-90°，AD=AB′，∴∠AB′D=135-，∴∠EB′D=∠AB′D-∠AB′B=45°.∵DE⊥BB′，∴∠EDB′=∠EB′D=45°，∴△DEB′是等腰直角三角形，∴=.∵四邊形ABCD為正方形，∴=，∠BDC=45°.∴=，∵∠EDB′=∠BDC，∴∠EDB′+∠EDB=∠BDC+∠EDB，即∠BDB′=∠CDE.∴△B′DB∽△EDC，