【一階常系數(shù)線性齊次方程組解法中的應(yīng)用綜述1900字】

一階常系數(shù)線性齊次方程組解法中的應(yīng)用綜述對于常系數(shù)線性齊次方程組dYdx=AY(其中A是n×n實常數(shù)矩陣，借助于線性代數(shù)中若爾當(dāng)（Jordan）標(biāo)準(zhǔn)型理論或矩陣指數(shù)，對任一n階方陣A，恒存在可逆的n階方陣T，使得T?1AT為若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型.于是對常系數(shù)齊次線性方程組（3.1）就可以作非奇異線Y=TZ（3.2）其中T=（tij）（i,j=1,2,?,n），detT≠0,將方程組（3.1）化為dZdx=T?1ATZ我們知道，若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型T?1det(A-λE)=a11?λa的特征根的重數(shù)有關(guān).3.1矩陣A的特征根均是單根的情形設(shè)特征根為λ1,λ2,?方程組(3.1)變?yōu)閐z1dxdz2dx易見方程組(3.4)有個解Z把這n個解代回變換(Y其中Ti是矩陣T的第i個列向量，它恰好是矩陣A關(guān)于特征根λi的特征向量.從而可由Y1(x)，Y2(x)，定理3.1[4]若方程組(3.1)的系數(shù)矩陣A的n個特征根λ1,λ2,?λn彼Y是方程組(3.1)例3REF_Ref71640297\r\h[4]求解方程組dxdt=3x?y+zdy解方程的系數(shù)矩陣是A=特征方程是det(A?λE)=即λ所以矩陣A的特征根為λ1=2，Ta,b,c滿足方程組(A?即a?b+c=0可得a=?c,b=0.令c=?1,就有a同理，可求出另兩個特征根所對應(yīng)的特征向量，就可以得到這三個特征根所對應(yīng)的特征向量分別是T故方程組的通解是x3.2矩陣A的特征根有重根的情形由定理3.1，當(dāng)方程組(3.1)的系數(shù)矩陣A的特征根是單根時，其基本解組的求解問題，歸結(jié)為求這些特征根所對應(yīng)的特征向量.然而，當(dāng)矩陣A的特征方程有重根時，定理3.1不一定完全適用，這是因為，若λi是A的kiA?所決定的線性無關(guān)特征向量的個數(shù)ri,ri一般不會超過特征根λi的重數(shù)ki,若ri=ki，那么矩陣A對應(yīng)的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型將呈現(xiàn)對角陣，其求解方法與單根情形相同.若ri<ki，由線性代數(shù)的知識，此時也可以求出kT其中未標(biāo)出的元均為零元，而Ji=λ是ki階若爾當(dāng)塊，k1,+k2+?+km=n,λ1于是，在變換(3.2)下方程組(3.1)可化簡為如下形式:dYdx=也就是可以把它分解成m個可以求解的小方程組.定理3.2[4]設(shè)λ1,λ2,?,λm是矩陣A的m個不同的特征根，它們的重數(shù)分別為k1,k2Y1x=P的線性無關(guān)解，這里向量Pj(x)(j=1,2,?,kj)的每一個分ki?1的多項式.取遍所有的λi(i定理3.2告訴我們當(dāng)A的特征方程有重根時，線性方程組(3.1)的基本解組形式，同時我們也知道了相關(guān)求解方法，但這種求解方法比較繁瑣,在實際求解時我們常用下面的定理3.3REF_Ref71640297\r\h[4]如果λj是(3.1)的kj重特征根，則方程組(3.1)有kj形如Yx=(R0的線性無關(guān)解，其中向量A?所確定.取遍所有的λj(j=1,2,?,m)，則得到(例2REF_Ref71640297\r\h[4]試求方程組dy1dx解它的系數(shù)矩陣是A=特征方程是(特征根為λ1Y下面求λ2=λY(x)=(并且R0，R(由于(那么由(A+E?1將上述兩個向量分別代入(A+Eλ1=λY最后得到通解Y(x)=通過上述描述，我們可知在一階