新高考藝術(shù)生40天突破數(shù)學(xué)90分講義第13講基本不等式(原卷版+解析)

第13講基本不等式【知識點總結(jié)】1.幾個重要的不等式（1）（2）基本不等式：如果，則(當(dāng)且僅當(dāng)“”時取“”).特例：同號）.（3）其他變形：①(溝通兩和與兩平方和的不等關(guān)系式)②(溝通兩積與兩平方和的不等關(guān)系式)③(溝通兩積與兩和的不等關(guān)系式)④重要不等式串：即調(diào)和平均值幾何平均值算數(shù)平均值平方平均值(注意等號成立的條件).2.均值定理已知.（1）如果(定值)，則(當(dāng)且僅當(dāng)“”時取“=”).即“和為定值，積有最大值”.（2）如果(定值)，則(當(dāng)且僅當(dāng)“”時取“=”).即積為定值，和有最小值”.【典型例題】例1．（2022·江蘇·高三專題練習(xí)）《幾何原本》卷2的幾何代數(shù)法（以幾何方法研究代數(shù)問題）成了后世西方數(shù)學(xué)家處理問題的重要依據(jù)，通過這一原理，很多的代數(shù)的公理或定理都能夠通過圖形實現(xiàn)證明，也稱之為無字證明．現(xiàn)有如圖所示圖形，點在半圓上，點在直徑上，且，設(shè)，，則該圖形可以完成的無字證明為（）A． B．C． D．例2．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））若實數(shù)滿足，則的取值范圍是（）A． B． C． D．例3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知a，b，c均為正數(shù)，且abc＝4(a＋b)，則a＋b＋c的最小值為（）A．5 B．6 C．7 D．8例4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若，，，則的取值范圍是（）A．， B． C．， D．例5．（2021·山西大同·高三階段練習(xí)（理））已知點在直線上，則的最小值為（）A．2 B． C． D．4例6．（2021·四川·樂山市教育科學(xué)研究所一模（文））已知，，且，則的最小值為（）A． B． C． D．例7．（2021·貴州遵義·高三階段練習(xí)（文））已知a，b為正實數(shù)，且滿足，則的最小值為（）A．2 B． C．4 D．例8．（2021·重慶·西南大學(xué)附中高三階段練習(xí)）已知，則的最大值為（）A．1 B．2 C．3 D．4例9．（2021·江西·高三階段練習(xí)（理））已知、，若恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【技能提升訓(xùn)練】一、單選題1．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））已知函數(shù)在時取得最小值，則等于（）A．6 B．8 C．16 D．362．（2021·黑龍江·大慶實驗中學(xué)高三階段練習(xí)（文））三國時期趙爽所制的弦圖由四個全等的直角三角形構(gòu)成，該圖可用來解釋下列哪個不等式（）A．如果，那么；B．如果，那么；C．對任意實數(shù)和，有，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立；D．如果，，那么．3．（2020·廣東·普寧市第二中學(xué)高三階段練習(xí)）下列不等式一定成立的是（）A． B．C． D．4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的最大值為（）A．3 B．2 C．1 D．-15．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若，則有（）A．最大值 B．最小值 C．最大值2 D．最小值26．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）已知x＞0，y＞0，且x+2y＝1，若不等式m2+7m恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是（）A．﹣8≤m≤1 B．m≤﹣8或m≥1 C．﹣1≤m≤8 D．m≤﹣1或m≥87．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知非負(fù)數(shù)滿足，則的最小值是（）A．3 B．4 C．10 D．168．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)均為正實數(shù)，且，則的最小值為（）A．8 B．16 C．9 D．69．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若正數(shù)滿足，則的最小值為（）A． B． C． D．10．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若對滿足的任意正數(shù)及任意，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．11．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)，為正數(shù)，且，則的最小值為（）A． B． C． D．二、多選題12．（2022·江蘇·高三專題練習(xí)）已知，，且，則下列不等式中一定成立的是（）A． B． C． D．三、填空題13．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）若a>0，b>0，且a＋b＝4，則下列不等式恒成立的是________（填序號）.①；②；③≥2；④a2＋b2≥8.14．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若，則的最大值是_______15．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若正數(shù)滿足，則的最大值是________．16．（2022·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)（且）的圖象恒過定點A，若點A在直線上，其中，，則mn的最大值為___________.17．（2022·全國·高三專題練習(xí)）當(dāng)時，的最小值為______．18．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知，，且滿足，則的最小值為_________19．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知，，且，則的最小值為______．20．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知，且，則的最小值為___________.21．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）若，則的最小值為____________．22．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知，則的最小值是________．23．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)，，為正實數(shù)，滿足，則的最小值是__________．24．（2022·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域是_______．25．（2021·四川·成都七中一模（文））已知實數(shù)滿足，則的最大值為___________.26．（2020·遼寧·開原市第二高級中學(xué)三模）如圖，將一矩形花壇擴(kuò)建成一個更大的矩形花壇，要求點在上，點在上，且對角線過點，已知，，那么當(dāng)_______時，矩形花壇的面積最小，最小面積為______.第13講基本不等式【知識點總結(jié)】1.幾個重要的不等式（1）（2）基本不等式：如果，則(當(dāng)且僅當(dāng)“”時取“”).特例：同號）.（3）其他變形：①(溝通兩和與兩平方和的不等關(guān)系式)②(溝通兩積與兩平方和的不等關(guān)系式)③(溝通兩積與兩和的不等關(guān)系式)④重要不等式串：即調(diào)和平均值幾何平均值算數(shù)平均值平方平均值(注意等號成立的條件).2.均值定理已知.（1）如果(定值)，則(當(dāng)且僅當(dāng)“”時取“=”).即“和為定值，積有最大值”.（2）如果(定值)，則(當(dāng)且僅當(dāng)“”時取“=”).即積為定值，和有最小值”.【典型例題】例1．（2022·江蘇·高三專題練習(xí)）《幾何原本》卷2的幾何代數(shù)法（以幾何方法研究代數(shù)問題）成了后世西方數(shù)學(xué)家處理問題的重要依據(jù)，通過這一原理，很多的代數(shù)的公理或定理都能夠通過圖形實現(xiàn)證明，也稱之為無字證明．現(xiàn)有如圖所示圖形，點在半圓上，點在直徑上，且，設(shè)，，則該圖形可以完成的無字證明為（）A． B．C． D．【答案】D【詳解】設(shè)，可得圓的半徑為，又由，在直角中，可得，因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號．故選：D.例2．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））若實數(shù)滿足，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：，又，，令，則，，即，當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號，的取值范圍是，．故選：A．例3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知a，b，c均為正數(shù)，且abc＝4(a＋b)，則a＋b＋c的最小值為（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】D【詳解】由a，b，c均為正數(shù)，abc＝4(a＋b)，得c＝，代入得a＋b＋c＝a＋b＋＝＋≥2＋2＝8，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝2時，等號成立，所以a＋b＋c的最小值為8.故選：D例4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若，，，則的取值范圍是（）A．， B． C．， D．【答案】A【詳解】因為，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取“”，所以的取值范圍是，.故選：A.例5．（2021·山西大同·高三階段練習(xí)（理））已知點在直線上，則的最小值為（）A．2 B． C． D．4【答案】C【詳解】∵點在直線上，∴，所以當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立故選：C.例6．（2021·四川·樂山市教育科學(xué)研究所一模（文））已知，，且，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由題可知，乘“”得，當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號，則的最小值為.故選：A例7．（2021·貴州遵義·高三階段練習(xí)（文））已知a，b為正實數(shù)，且滿足，則的最小值為（）A．2 B． C．4 D．【答案】C【詳解】由，可得，，當(dāng)且僅當(dāng)且，即時等號成立．故選：C．例8．（2021·重慶·西南大學(xué)附中高三階段練習(xí)）已知，則的最大值為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【詳解】解：因為，所以，即，則，所以，又，所以，所以最大為3.故選：C.例9．（2021·江西·高三階段練習(xí)（理））已知、，若恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因為、，由已知可得，因為，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故實數(shù)的取值范圍為，故選：D．【技能提升訓(xùn)練】一、單選題1．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））已知函數(shù)在時取得最小值，則等于（）A．6 B．8 C．16 D．36【答案】D【分析】利用基本不等式“一正，二定，三相等”求解即可【詳解】因為，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，故故選：D【點睛】均值不等式：一正：，二定：為定值，三相等：當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立2．（2021·黑龍江·大慶實驗中學(xué)高三階段練習(xí)（文））三國時期趙爽所制的弦圖由四個全等的直角三角形構(gòu)成，該圖可用來解釋下列哪個不等式（）A．如果，那么；B．如果，那么；C．對任意實數(shù)和，有，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立；D．如果，，那么．【答案】C【分析】設(shè)圖中直角三角形的直角邊長分別為，則斜邊長為，進(jìn)而可表示出陰影面積以及外圍正方形的面積，由圖可得結(jié)果.【詳解】設(shè)圖中全等的直角三角形的直角邊長分別為，則斜邊長為.圖中四個直角三角形的面積和為，外圍正方形的面積為.由圖可知，四個直角三角形的面積之和不超過外圍正方形的面積，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.故選：C.3．（2020·廣東·普寧市第二中學(xué)高三階段練習(xí)）下列不等式一定成立的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】應(yīng)用特殊值法，即可判斷A、B、D的正誤，作差法有，即可確定C的正誤.【詳解】A：當(dāng)時，有，故不等式不一定成立；B：當(dāng)，即時，有，故不等式不一定成立；C：恒成立；D：當(dāng)時，有，故不等式不一定成立；故選：C4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的最大值為（）A．3 B．2 C．1 D．-1【答案】D【分析】將函數(shù)的解析式進(jìn)行變形，再利用基本不等式，即可得答案；【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng),即等號成立.故選：D.【點睛】本題考查基本不等式求最值，考查運算求解能力，求解時注意等號成立的條件.5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若，則有（）A．最大值 B．最小值 C．最大值2 D．最小值2【答案】D【分析】構(gòu)造基本不等式即可得結(jié)果.【詳解】∵，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，即有最小值2.故選：D.【點睛】本題主要考查通過構(gòu)造基本不等式求最值，屬于基礎(chǔ)題.6．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）已知x＞0，y＞0，且x+2y＝1，若不等式m2+7m恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是（）A．﹣8≤m≤1 B．m≤﹣8或m≥1 C．﹣1≤m≤8 D．m≤﹣1或m≥8【答案】A【分析】由題意可得（x+2y）（）4≥4+28，不等式m2+7m成立?m2+7m＜（）min，即可求得實數(shù)m的取值范圍．【詳解】解：∵x＞0，y＞0，x+2y＝1，∴（x+2y）（）4≥4+28．（當(dāng)，即x＝2y時取等號），∵不等式m2+7m成立，∴m2+7m≤8，求得﹣8≤m≤1．故選：A．7．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知非負(fù)數(shù)滿足，則的最小值是（）A．3 B．4 C．10 D．16【答案】B【分析】根據(jù)基本不等式，結(jié)合“1”的妙用即可得解.【詳解】由，可得，當(dāng)且僅當(dāng)取等號，故選：B8．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)均為正實數(shù)，且，則的最小值為（）A．8 B．16 C．9 D．6【答案】A【分析】根據(jù)題中條件，將所求式子化為，展開后，再利用基本不等式，即可得出結(jié)果.【詳解】因為均為正實數(shù)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號.因此的最小值為.故選：A.【點睛】易錯點睛：利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方.9．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若正數(shù)滿足，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】將已知條件化簡得到，然后將變換成，然后化簡整理結(jié)合均值不等式求解即可.【詳解】由，有，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立.故選：D.10．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若對滿足的任意正數(shù)及任意，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用基本不等式“1”的妙用求得的最小值，即可轉(zhuǎn)化為二次不等式恒成立問題，利用判別式求得實數(shù)的取值范圍即可.【詳解】∵正數(shù)滿足，∴，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時，等號成立，∴，即對任意實數(shù)恒成立，∴，解得．故選：A．【點睛】在應(yīng)用基本不等式求最值時，要把握不等式成立的三個條件，就是“一正——各項均為正；二定——積或和為定值；三相等——等號能否取得”，若忽略了某個條件，就會出現(xiàn)錯誤．11．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)，為正數(shù)，且，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由得，再利用基本等式“1”的代換進(jìn)行求解.【詳解】由得，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，故選：D.【點睛】在應(yīng)用基本不等式求最值時，要把握不等式成立的三個條件，就是“一正——各項均為正；二定——積或和為定值；三相等——等號能否取得”，若忽略了某個條件，就會出現(xiàn)錯誤．二、多選題12．（2022·江蘇·高三專題練習(xí)）已知，，且，則下列不等式中一定成立的是（）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】利用基本不等式逐一判斷四個選項的正誤即可得正確答案.【詳解】對于選項A：，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故選項A正確；對于選項B：，因為，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故選項B不正確；對于選項C：，故選項C正確；對于選項D：因為，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故選項D正確；故選：ACD三、填空題13．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）若a>0，b>0，且a＋b＝4，則下列不等式恒成立的是________（填序號）.①；②；③≥2；④a2＋b2≥8.【答案】④【分析】結(jié)合基本不等式進(jìn)行逐個判定，①③直接利用基本不等式可判定正誤，②④通過變形可得正誤.【詳解】因為（當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時，等號成立），即≤2，ab≤4，，故①③不成立；，故②不成立；故④成立.故答案為：④.14．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若，則的最大值是_______【答案】【分析】即可求得最值.【詳解】，故，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時取“=”，故答案為：.15．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若正數(shù)滿足，則的最大值是________．【答案】2【分析】利用基本不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可得解.【詳解】由，得，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，∴，即，∴的最大值為．故答案為：216．（2022·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)（且）的圖象恒過定點A，若點A在直線上，其中，，則mn的最大值為___________.【答案】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖像性質(zhì)求出A點坐標(biāo)，代入直線方程，利用均值不等式即可求解.【詳解】解：函數(shù)（且）的圖象恒過定點A，，點A在直線上，，又，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以mn的最大值為，故答案為：.17．（2022·全國·高三專題練習(xí)）當(dāng)時，的最小值為______．【答案】【分析】將所求代數(shù)式變形為，利用基本不等式即可求解.【詳解】因為，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立，所以的最小值為，故答案為：.18．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知，，且滿足，則的最小值為_________【答案】【分析】將展開利用基本不等式即可求解.【詳解】因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立，所以的最小值為.故答案為：.19．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知，，且，則的最小值為______．【答案】18【分析】等式變形為，則根據(jù)基本不等式即可得到答案．【詳解】解：已知，，且．，即：．則，當(dāng)且僅當(dāng)，時取等號，所以的最小值為18．故答案為：18．20．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知，且，則的最小值為___________.【答案】【分析】首先根據(jù)題意得到，再利用基本不等式求解即可.【詳解】由得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時取等號.故答案為：21．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）若，則的最小值為____________．【答案】【分析】兩次利用基本不等式即可求出.【詳解】，，當(dāng)且僅當(dāng)且，即時等號成立，所以的最小值為.故答案為：.22．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知，則的最小值是________．【答案】【分析】將函數(shù)的解析式變形為，然后利用基本不等式可求得該函數(shù)的最小值.【詳解】當(dāng)時，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即當(dāng)時，等號成立，因此，函數(shù)的最小值為.故答案為：.【點睛】本題考查利用基本不等式求解函數(shù)