第五章-頻域分析 - 初定

第五章線性系統(tǒng)的頻域分析法

頻域分析法是經(jīng)典控制理論中對系統(tǒng)進行分析與綜合的又一重要方法。

與時域分析法和根軌跡法不同。頻域分析法不是根據(jù)系統(tǒng)的閉環(huán)極點和零點來分析系統(tǒng)的性能，而是根據(jù)系統(tǒng)對正弦信號的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，即系統(tǒng)的頻率特性來分析系統(tǒng)的性能。因此，從某種意義上講，頻率特性法與時域分析法和根軌跡法有著本質(zhì)的不同。利用頻域分析法也可以分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性、動態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能，也可進行系統(tǒng)綜合。

本章將介紹頻率特性的基本概念，典型環(huán)節(jié)和系統(tǒng)的頻率特性的極坐標圖和伯德圖，奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)和頻域性能指標與時域性能指標之間的關(guān)系，開環(huán)頻域性能分析等內(nèi)容。

5.1頻率特性

5.2典型環(huán)節(jié)的頻率特性

5.3控制系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性

5.4

奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)

5.5穩(wěn)定裕度

5.6閉環(huán)頻率特性

5.7頻率特性分析

5.8利用MATLAB繪制系統(tǒng)的頻率特性圖

5.9例題精解5.1

頻率特性5.1.1基本概念以圖示RC網(wǎng)絡(luò)為例，說明頻率特性的基本概念。RCr(t)c(t)網(wǎng)絡(luò)微分方程為式中，T=RC。其傳遞函數(shù)為設(shè)輸入為正弦電壓，則經(jīng)拉氏反變換，得電容兩端輸出電壓式中，第一項為輸出電壓的暫態(tài)分量，將隨時間增大而趨于零；第二項為輸出的穩(wěn)態(tài)分量，即可見，網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)態(tài)輸出仍然是正弦電壓，其頻率和輸入電壓頻率相同，幅值是輸入電壓的倍，相角比輸入延后arctanωT

。二者皆是ω的函數(shù)，前者稱為RC網(wǎng)絡(luò)的幅頻特性，后者稱為RC網(wǎng)絡(luò)的相頻特性。由可知，函數(shù)完整地描述了RC網(wǎng)絡(luò)在正弦電壓作用下，穩(wěn)態(tài)輸出是電壓幅值和相角隨ω變化的規(guī)律，就稱為網(wǎng)絡(luò)的頻率特性。

將頻率特性和傳遞函數(shù)表達式比較可知，只要將傳遞函數(shù)中的s以jω置換，即得頻率特性，即

這一結(jié)論非常重要，反應(yīng)了幅頻特性和相頻特性與系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的本質(zhì)關(guān)系，具有普遍性。對于一般的線性定常系統(tǒng)，系統(tǒng)的輸入和輸出分別為r(t)和c(t)，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為G(s)。式中，為極點。若：則：經(jīng)拉氏反變換為：若系統(tǒng)穩(wěn)定，則極點都在s左半平面。當(dāng)時：式中，分別為：穩(wěn)態(tài)分量為而上述分析表明，對于穩(wěn)定的線性定常系統(tǒng)，加入一個正弦信號，它的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)是一個與輸入同頻率的正弦信號，穩(wěn)態(tài)響應(yīng)與輸入不同之處僅在于幅值和相位。其幅值放大了倍，相位移動了。和都是頻率的函數(shù)。二者可以統(tǒng)一由G(j

ω)表示，而定義：穩(wěn)態(tài)響應(yīng)與正弦輸入信號的相位差為系統(tǒng)的相頻特性，它描述系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)對不同頻率輸入信號的相位移特性；定義：穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的幅值與輸入信號的幅值之比為系統(tǒng)的幅頻特性，它描述系統(tǒng)對不同頻率輸入信號在穩(wěn)態(tài)時的放大特性；

幅頻特性和相頻特性可在復(fù)平面上構(gòu)成一個完整的向量 ，它也是的函數(shù)。稱為頻率特性。這里和分別稱為系統(tǒng)的實頻特性和虛頻特性。

還可將寫成復(fù)數(shù)形式，即5.1.2頻率特性[結(jié)論]：當(dāng)傳遞函數(shù)中的復(fù)變量s用代替時，傳遞函數(shù)就轉(zhuǎn)變?yōu)轭l率特性，反之亦然。故頻率特性也是系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。到目前為止，我們已學(xué)習(xí)過的線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型有以下幾種：微分方程、傳遞函數(shù)、脈沖響應(yīng)函數(shù)和頻率特性。它們之間的關(guān)系如下：微分方程頻率特性傳遞函數(shù)頻率特性的推導(dǎo)是在線性定常系統(tǒng)是穩(wěn)定的假設(shè)條件下得出的。如果不穩(wěn)定，則動態(tài)過程c(t)最終不可能趨于穩(wěn)態(tài)響應(yīng)cs(t)，當(dāng)然也就無法由實際系統(tǒng)直接觀察到這種穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。但從理論上動態(tài)過程的穩(wěn)態(tài)分量總是可以分離出來的，而且其規(guī)律性并不依賴于系統(tǒng)的穩(wěn)定性。因此可以擴展頻率特性的概念，將頻率特性定義為：在正弦輸入下，線性定常系統(tǒng)輸出的穩(wěn)態(tài)分量與輸入的復(fù)數(shù)比。所以對于不穩(wěn)定的系統(tǒng)，盡管無法用實驗方法量測到其頻率特性，但根據(jù)式由傳遞函數(shù)還是可以得到其頻率特性。1.在已知系統(tǒng)的微分方程或傳遞函數(shù)的情況下，當(dāng)輸入為正弦函數(shù)時，求其穩(wěn)態(tài)解，再求G(jw)2.將傳遞函數(shù)中的s換為jw來求取3.實驗法：是對實際系統(tǒng)求取頻率特性的一種常用而又重要的方法。如果在不知道系統(tǒng)的傳遞函數(shù)或數(shù)學(xué)模型時，只有采用實驗法。

5.1.3頻率特性的求法對于一個確定的頻率，必有一個幅頻特性的幅值和一個相頻特性的相角與之對應(yīng)，幅值與相角在復(fù)平面上代表一個向量。當(dāng)頻率ω從零變化到無窮時，相應(yīng)向量的矢端就描繪出一條曲線。這條曲線就是幅相頻率特性曲線，簡稱幅相曲線(即極坐標圖)。它是由兩張圖組成，對數(shù)幅頻曲線和對數(shù)相頻曲線，以為橫坐標，對數(shù)分度，分別以和作縱坐標。對數(shù)幅頻曲線的縱坐標的單位是分貝，記作dB；對數(shù)相頻曲線的單位是度。

5.1.4頻率特性的幾何表示法工程上常用圖形來表示頻率特性，常用的有：1．極坐標圖，也稱奈奎斯特(Nyquist)圖。3．對數(shù)幅相頻率特性圖，也稱尼柯爾斯(Nichols)圖。2．對數(shù)幅頻特性曲線，也稱伯德(Bode)圖。典型環(huán)節(jié)

慣性環(huán)節(jié)：1/(Ts+1)，式中T>0

一階微分環(huán)節(jié)：(Ts+1)，式中T>0

振蕩環(huán)節(jié)：1/[(s/ωn)2+2ξs/ωn+1];式中ωn>0，0<ξ<1

比例環(huán)節(jié)：K

積分環(huán)節(jié)：1/s

微分環(huán)節(jié)：s

二階微分環(huán)節(jié)：(s/ωn)2+2ξs/ωn+1;式中ωn>0，0<ξ<1

延遲環(huán)節(jié)：e-τs5.2

典型環(huán)節(jié)的頻率特性比例環(huán)節(jié)k

j0比例環(huán)節(jié)K的幅相曲線·

傳遞函數(shù)頻率特性幅頻特性相頻特性積分環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)頻率特性幅頻特性相頻特性0

ω

積分環(huán)節(jié)的幅相曲線

j

實頻特性虛頻特性微分環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)頻率特性幅頻特性相頻特性jω

ω=0

0微分環(huán)節(jié)幅相曲線實頻特性虛頻特性慣性環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)頻率特性幅頻特性相頻特性慣性環(huán)節(jié)幅相曲線ω=0j0ω=∞-45oω=1/T1實頻特性虛頻特性可證明：一階微分環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)頻率特性幅頻特性相頻特性實頻特性虛頻特性ω=0

j

0ω

1一階微分環(huán)節(jié)幅相曲線振蕩環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)頻率特性幅頻特性相頻特性振蕩環(huán)節(jié)的幅相曲線ω=0ω=∞

諧振頻率ωr與諧振峰值Mr：

當(dāng)阻尼比ξ比較小時，在ω=ωn附近將出現(xiàn)諧振峰值。傳遞函數(shù)頻率特性幅頻特性相頻特性二階微分環(huán)節(jié)j二階微分環(huán)節(jié)幅相曲線01ω=0傳遞函數(shù)頻率特性幅頻特性相頻特性實頻特性虛頻特性延遲環(huán)節(jié)

延遲環(huán)節(jié)幅相曲線j015.3

控制系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性5.3.1開環(huán)極坐標圖開環(huán)極坐標圖的繪制方法：(1)用幅頻特性和相頻特性計算作圖，如例5-1；(2)按實頻特性和虛頻特性計算作圖；(3)由開環(huán)極點零點分布圖繪制，如例5-2。開環(huán)極坐標圖的近似繪制：(1)起點和終點；(2)與實軸的交點；(3)變化范圍。例5-1

如圖所示RC電路，其傳遞函數(shù)為試繪制系統(tǒng)極坐標圖。解：系統(tǒng)開環(huán)頻率特性為：0系統(tǒng)幅頻特性為：系統(tǒng)相頻特性為：1.極坐標圖的起點即ω

→0時，Gk(j0+)在復(fù)平面上的位置。0型系統(tǒng)：

Gk(j

0)=K∠0°I型及I型以上系統(tǒng)：幅值相角0v=0v=1v=22.極坐標圖的終點即ω

→+∞時，Gk(+j∞)在復(fù)平面上的位置。相角幅值0n-m=2n-m=3n-m=13.與實軸的交點令，解得ωx；將其代入即得與實軸的交點。4.變化范圍根據(jù)相角范圍決定象限。例5-3

設(shè)某0型反饋控制系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為試繪制系統(tǒng)概略極坐標圖。解：系統(tǒng)開環(huán)頻率特性為：起點：0型系統(tǒng)，A(0+)→k,φ(0)=0°終點：n-m=2，A(∞)→0,φ(∞)=-180°0系統(tǒng)幅頻特性為：系統(tǒng)相頻特性為：例5-4

設(shè)單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試繪制系統(tǒng)概略極坐標圖。解：系統(tǒng)開環(huán)頻率特性為：起點：Ⅰ型系統(tǒng)，A(0)→∞,φ(0)=-90°終點：n-m=2，A(∞)→0,φ(∞)=-180°0系統(tǒng)幅頻特性為：系統(tǒng)相頻特性為：例5-5

設(shè)單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試繪制系統(tǒng)概略極坐標圖。解：系統(tǒng)開環(huán)頻率特性為：起點：Ⅱ型系統(tǒng)，A(0)→∞,φ(0)=-180°終點：n-m=3，A(∞)→0,φ(∞)=-270°0例5-1

設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為試繪制系統(tǒng)概略極坐標圖。解：系統(tǒng)開環(huán)頻率特性起點：I型系統(tǒng)，A(0+)→∞,φ(0)=-90°終點：n-m=3，A(∞)→0,φ(∞)=-270°與實軸交點：由解得代入得交點為0對數(shù)頻率特性曲線又稱伯德圖包括兩條曲線，即對數(shù)幅頻特性曲線和對數(shù)相頻特性曲線。伯德圖的橫坐標是頻率ω，按lgω分度,即對數(shù)分度,單位為弧度/秒(rad/s)。

對數(shù)相頻特性曲線的縱坐標表示相頻特性

(ω)的函數(shù)值，也按線性分度,單位是度(°)。對數(shù)幅頻特性曲線的縱坐標表示對數(shù)幅頻特性的函數(shù)值，按線性分度,單位是分貝(dB)。

Bode圖的優(yōu)點：1.將幅頻特性和相頻特性分別作圖，使它們與頻率之間的關(guān)系更加清晰。（與極坐標圖比較）2.幅頻特性的乘積運算可簡化為加減運算。3.橫軸用對數(shù)分度，擴展了低頻段，兼顧了高頻段，有利于系統(tǒng)的分析與綜合。4.用漸近線表示幅頻特性，是作圖更為簡單和方便。5.便于用實驗方法確定頻率特性對應(yīng)的傳遞函數(shù)。典型環(huán)節(jié)的Bode圖對數(shù)幅頻特性：對數(shù)相頻特性：比例環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)頻率特性幅頻特性相頻特性對數(shù)幅頻特性：對數(shù)相頻特性：L(ω)/dBω0110-20dB/decφ(ω)/(o)ω0-90積分環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)頻率特性幅頻特性相頻特性對數(shù)幅頻特性：對數(shù)相頻特性：L(ω)/dBω011020dB/decφ(ω)/(o)ω0-9090微分環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)頻率特性幅頻特性相頻特性對數(shù)幅頻特性：當(dāng)ω

<<1/T時，當(dāng)ω

>>1/T時，對數(shù)相頻特性：L(ω)/dBω01101/T-20dB/decφ(ω)/(o)ω0-9090慣性環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)頻率特性幅頻特性相頻特性慣性環(huán)節(jié)的漸近線誤差轉(zhuǎn)角頻率處：低于漸近線3dB低于或高于轉(zhuǎn)角頻率一倍頻程處：低于漸近線1dBL(ω)/dBω0110φ(ω)/(o)ω0-9090對數(shù)幅頻特性：當(dāng)ω

<<1/T時，當(dāng)ω

>>1/T時，對數(shù)相頻特性：1/T20dB/dec一階微分環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)頻率特性幅頻特性相頻特性對數(shù)幅頻特性：當(dāng)ω

<<ωn時，當(dāng)ω

>>ωn時，對數(shù)相頻特性：L(ω)/dBω0110ω=ωn-40dB/decφ(ω)/(o)ω0-9090-180振蕩環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)振蕩環(huán)節(jié)幅頻特性相頻特性漸近線誤差L(ω)/dBω0110ω=ωn40dB/decφ(ω)/(o)ω0-9090180傳遞函數(shù)幅頻特性相頻特性二階微分環(huán)節(jié)對數(shù)幅頻特性：對數(shù)相頻特性當(dāng)ω

>>ωn時，當(dāng)ω

<<ωn時，對數(shù)幅頻特性：L(ω)=0對數(shù)相頻特性：φ(ω)=-57.3ωτ

(o)L(ω)/dBω0110φ(ω)/(o)ω0-9090傳遞函數(shù)頻率特性幅頻特性相頻特性延遲環(huán)節(jié)

5.3.1開環(huán)伯德圖

基本步驟：系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)作典型環(huán)節(jié)分解后，先畫出各典型環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻核對數(shù)相頻曲線，然后進行同頻疊加，即得到該系統(tǒng)的伯德圖。例5-6

已知單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為要求繪制開環(huán)系統(tǒng)的伯德圖。最左端直線的斜率取決于積分環(huán)節(jié)的數(shù)目v，斜率為

-20vdB/dec。2.最左端直線或其延長線在ω＝1時，分貝值等于20lgK。3.如果各環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性用漸近線表示，則對數(shù)幅頻特性為一系列折線，折線的轉(zhuǎn)折點為各環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率。4.對數(shù)幅頻特性的漸近線每經(jīng)過一個轉(zhuǎn)折點，其斜率相應(yīng)發(fā)生變化，斜率變化多少取決于當(dāng)前轉(zhuǎn)折頻率對應(yīng)的典型環(huán)節(jié)。慣性環(huán)節(jié),斜率下降20dB/dec;振蕩環(huán)節(jié),下降40dB/dec;

一階微分環(huán)節(jié),上升20dB/dec；二階微分環(huán)節(jié)，上升40dB/dec。

Bode圖的特點：1.開環(huán)傳遞函數(shù)典型環(huán)節(jié)分解。確定一階環(huán)節(jié)、二階環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率，將各轉(zhuǎn)折頻率標注在ω軸上，ωmin為其中最小的轉(zhuǎn)折頻率。

3.作最左端的直線，即ω<ωmin頻段內(nèi)直線：最左端直線的斜率為-20vdB/dec，且該直線或其延長線在ω＝1時分貝值等于20lgK。作ω>ωmin頻段漸近線：在ω>ωmin頻段，在每個轉(zhuǎn)折頻率處，斜率發(fā)生變化，變化規(guī)律取決于該轉(zhuǎn)折頻率對應(yīng)的典型環(huán)節(jié)的種類。繪制開環(huán)系統(tǒng)伯德圖的步驟：對數(shù)相頻特性作圖步驟：確定低頻段的相位角；確定高頻段的相位角；在中間選出一些插值點，計算出相應(yīng)的相角，將上述特征點連線，即得對數(shù)相頻特性的草圖。例5-2

已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試繪制系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)幅頻特性曲線。解：先將Gk(s)化成典型環(huán)節(jié)串聯(lián)的標準形式1)交接頻率：2，1，20L(ω)/dBω020401102202)低頻段：斜率：-20dB/dec;位置：ω=1時，為20lgk=20dB3)低頻向高頻延續(xù)，每經(jīng)過一個轉(zhuǎn)折頻率，斜率作適當(dāng)修改-20dB/dec-20dB/dec-40dB/dec-40dB/dec開環(huán)零點與開環(huán)極點全部位于s左半平面的系統(tǒng)，稱為最小相位系統(tǒng)。否則，稱為非最小相位系統(tǒng)。除了延遲環(huán)節(jié)以外，其他七種典型環(huán)節(jié)組成的系統(tǒng)必為最小相位系統(tǒng)。5.3.3最小相位系統(tǒng)與非最小相位系統(tǒng)1、定義例如，有一最小相位系統(tǒng)和一非最小相位系統(tǒng)，

其頻率特性分別如下:

很明顯，這兩個系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性是完全相同的,

相頻特性不同：前一系統(tǒng)的相角角度變化范圍0°

負角度值

0°；后一系統(tǒng)的相角角度變化范圍0°

-180°。

它們的Bode圖如圖。

最小相位系統(tǒng)和非最小相位系統(tǒng)的伯德圖

b.當(dāng)ω=∞時，其相角等于-90o(n-m)，對數(shù)幅頻特性曲線的斜率為-20（n-m）dB/dec。有時用這一特性來判斷系統(tǒng)是否為最小相位系統(tǒng)。

c.對數(shù)幅頻特性和對數(shù)相頻特性之間存在確定的對應(yīng)關(guān)系。對于一個最小相位系統(tǒng)，若知道了其幅頻特性，它的相頻特性也就唯一地確定了。也就是說，只要知道其幅頻特性，就能由此寫出相應(yīng)的傳遞函數(shù)，而無須再畫出相頻特性。非最小相位系統(tǒng)高頻時相角遲后大，啟動性能差，響應(yīng)緩慢。對要求響應(yīng)快的系統(tǒng)，不宜采用非最小相位系統(tǒng)。2、最小相位系統(tǒng)的特征a.在n≥m且幅頻特性相同的情況下，最小相位系統(tǒng)的相角變化范圍最小。一般步驟：1.根據(jù)低頻段直線的斜率，確定系統(tǒng)包含的積分（或微分）環(huán)節(jié)的個數(shù)。2.根據(jù)低頻段直線或其延長線在ω＝1的分貝值，確定系統(tǒng)增益K。注意到系統(tǒng)低頻段漸近線可近似為：若系統(tǒng)含有積分環(huán)節(jié)，則該漸近線或其延長線與0dB線(頻率軸)的交點為：若系統(tǒng)不含積分環(huán)節(jié)，低頻漸近線為20lgKdB的水平線，K值可由該水平漸近線獲得。4.根據(jù)漸近線轉(zhuǎn)折頻率處斜率的變化，確定對應(yīng)的環(huán)節(jié)。5.獲得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。根據(jù)伯德圖求取系統(tǒng)的傳遞函數(shù)已知最小相位系統(tǒng)的近似對數(shù)幅頻特性曲線如圖所示。求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。

5.4

奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)基本思想：根據(jù)開環(huán)頻率特性曲線判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性。(1)應(yīng)用開環(huán)頻率特性判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。(2)便于研究系統(tǒng)參數(shù)和結(jié)構(gòu)改變對穩(wěn)定性的影響。(3)很容易研究包含延遲環(huán)節(jié)在內(nèi)的系統(tǒng)的穩(wěn)定性。(4)奈氏判據(jù)稍加推廣還可用于某些非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性的分析。具有以下特點：5.4.1輔助函數(shù)F(s)則其開環(huán)、閉環(huán)傳遞函數(shù)分別為研究圖示系統(tǒng)，若G(s)H(s)+-記F(s)為系統(tǒng)閉環(huán)和開環(huán)特征多項式之比，即F(s)具有如下特點：(1)其零點和極點分別是閉環(huán)和開環(huán)特征根；(2)零點和極點個數(shù)相同；(3)F(s)和G(s)H(s)只相差常數(shù)1。

因此F(s)又可寫成

式中，zi和pj分別是F(s)的零點和極點。5.4.2控制系統(tǒng)的頻域穩(wěn)定性判據(jù)1.一階系統(tǒng)D(s)=s+p

D(jω)=jω+p若p為正數(shù)，當(dāng)ω從0→∞時，φ從0→90°，即D(jω)逆時針旋轉(zhuǎn)π/2，記為△Arg[D(jω)]=π/2-pjω+pφjω-pp若p為負數(shù)，當(dāng)ω從0→∞時，D(jω)順時針旋轉(zhuǎn)π/2，記為△Arg[D(jω)]=-π/2由此可知，對于一階系統(tǒng)，如果系統(tǒng)是穩(wěn)定的，則當(dāng)ω從0→∞時，D(jω)逆時針旋轉(zhuǎn)π/2。2.n階系統(tǒng)

n階系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件為，當(dāng)ω從0→∞時，特征矢量D(jω)的相角變化量為△Arg[D(jω)]=nπ/25.4.3奈奎斯特判據(jù)1.0型系統(tǒng)1)開環(huán)是穩(wěn)定的系統(tǒng)開環(huán)特征式D(s)的n個根應(yīng)該在s左半平面，當(dāng)ω從0→∞時，有若系統(tǒng)閉環(huán)也是穩(wěn)定的，則閉環(huán)特征式DB(s)的n個根也應(yīng)該在s左半平面，當(dāng)ω從0→∞時，有則輔助函數(shù)F(s)滿足上式說明，如果開環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，F(xiàn)(jω)的相角變化為0，即F(jω)的軌跡不包圍原點，則閉環(huán)系統(tǒng)的特征根全部位于s左半平面，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。否則，系統(tǒng)不穩(wěn)定。這樣，系統(tǒng)的穩(wěn)定問題轉(zhuǎn)化為ω

變化時，F(xiàn)(jω)的相角變化問題。又F(jω)與G(jω)H(jω)只相差1，因此可以直接討論G(jω)H(jω)的相角變化。在極坐標圖中，包圍F(jω)平面的原點等于包圍G(jω)H(jω)平面的(-1,j0)點。因此可以用極坐標圖來判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。此時穩(wěn)定判據(jù)為：

如果開環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，那么閉環(huán)系統(tǒng)也穩(wěn)定的充要條件是：當(dāng)ω由0→∞時，開環(huán)極坐標圖不包圍(-1,j0)點。2)開環(huán)是不穩(wěn)定的系統(tǒng)開環(huán)特征式D(s)的n個根不全在s左半平面，假設(shè)其中p個根在s右半平面，則當(dāng)ω從0→∞時，有若系統(tǒng)閉環(huán)特征式DB(s)的n個根有z個在s右半平面，則當(dāng)ω從0→∞時，有此時式中，R=(p-z)/2為F(jω)包圍原點的圈數(shù)，逆時針為正，順時針為負。此時穩(wěn)定判據(jù)為：若開環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，開環(huán)特征方程式有p個根在s右半平面，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是，當(dāng)ω從0→∞時，開環(huán)極坐標圖應(yīng)逆時針包圍(-1,j0)點R=p/2圈。否則，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)（奈氏判據(jù)）

已知開環(huán)系統(tǒng)特征方程式在s右半平面的根的個數(shù)為p，當(dāng)ω從0→∞時，開環(huán)頻率特性的軌跡在G(jω)H(jω)平面包圍(-1,j0)點的圈數(shù)為R，則閉環(huán)特征方程式在s右半平面的根的個數(shù)為z=p-2R。若z=0,說明系統(tǒng)是穩(wěn)定的。否則，系統(tǒng)不穩(wěn)定。例5-3

設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為試判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解:(1)由系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)知，開環(huán)特征方程式有1個特征根在s右半平面，即p=1。(2)作開環(huán)極坐標圖，系統(tǒng)頻率特性為當(dāng)ω=0時，當(dāng)ω→∞時，ImRe0-kω=0ω→∞ImRe0-kω=0ω→∞(3)當(dāng)-k<-1時，開環(huán)極坐標圖逆時針包圍(-1,j0)點1/2圈，即R=1/2，此時z=p-2R=0，閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

當(dāng)-k>-1時，開環(huán)極坐標圖不包圍(-1,j0)點，R=0，此時z=p-2R=1，閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。2.開環(huán)有串聯(lián)積分環(huán)節(jié)的系統(tǒng)例5-4已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為試判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：由開環(huán)傳遞函數(shù)知，p=0。其開環(huán)極坐標圖為(例5-1)0

由于原點處開環(huán)極點的存在，開環(huán)系統(tǒng)臨界穩(wěn)定，此時不能直接應(yīng)用奈氏判據(jù)。應(yīng)先作如圖所示增補線，然后再應(yīng)用奈氏判據(jù)判斷穩(wěn)定性。增補線

當(dāng)開環(huán)系統(tǒng)在原點處有開環(huán)極點時，要應(yīng)用奈氏判據(jù)，應(yīng)先在開環(huán)極坐標圖ω=0處補作一個半徑無窮大，逆時針旋轉(zhuǎn)v·90°的圓弧增補線作為奈氏曲線的一部分，然后再利用奈氏判據(jù)判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。0增補線由圖知，當(dāng)時，即時，開環(huán)頻率特性曲線順時針包圍(-1,j0)點1圈，R=1，此時z=p-2R=2,閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。當(dāng)時，即時，開環(huán)頻率特性曲線不包圍(-1,j0)點1圈，R=0，此時z=p-2R=0,閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。5.4.4伯德圖上的奈氏判據(jù)極坐標圖單位圓單位圓以內(nèi)區(qū)域單位圓以外區(qū)域負實軸伯德圖0dB線（幅頻特性圖）0dB線以下區(qū)域0dB線以上區(qū)域-180o線（相頻特性圖）因此，幅相曲線自上而下（或自下而上）地穿越（-1，j0）點左邊的負實軸，相當(dāng)于在伯德圖中，當(dāng)L(ω)>0dB時，相頻特性曲線自上而下（或自下而上）地穿越-180o線。參照極坐標中奈氏判據(jù)的定義，對數(shù)坐標系下的奈氏判據(jù)可表述如下：閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：當(dāng)ω由0→∞變化時，在開環(huán)對數(shù)幅頻特性L(ω)>0的頻段內(nèi)，相頻特性φ（ω）穿越-180o的次數(shù)（正穿越N+與負穿越次數(shù)N-之差）為R=P/2。P為開環(huán)傳遞函數(shù)在s右半平面的極點數(shù)。對數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)：當(dāng)G(s)H(s)包含積分環(huán)節(jié)時，要在對數(shù)相頻特性曲線的ω為0+的地方，補畫一條虛線，從相角∠G(j0+)H(j0+)到∠G(j0+)H(j0+)+v90o，其中，v是積分環(huán)節(jié)數(shù)。將補畫的虛線看成對數(shù)相頻特性曲線的一部分，再計算正負穿越次數(shù)。例5-4已知一反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試用對數(shù)穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。當(dāng)幅相曲線穿過(-1,j0)點時，閉環(huán)系統(tǒng)是臨界穩(wěn)定的。這時，。5.5

穩(wěn)定裕度

幅相曲線與（-1，j0）點的靠近程度，表征著閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定程度。一般來說，離開（-1，j0）點越遠，則穩(wěn)定程度越高；反之，穩(wěn)定程度越低。系統(tǒng)的穩(wěn)定程度可以定量地描述。相角裕度開環(huán)截止頻率ωc：指開環(huán)頻率特性G(j

ω)H(jω)的幅值等于1時，或?qū)?shù)幅頻特性L(ω)=0時的頻率，即相角裕度：指：使系統(tǒng)達到臨界穩(wěn)定所需附加的度數(shù)。相角穿越頻率ωg：相角為-180o時的頻率。幅值裕度h：或幅值穿越頻率ωc：幅值為1，對數(shù)幅值為0dB時的頻率。（截止頻率）相角裕度γ：

[幅值裕度的物理意義]：對于穩(wěn)定系統(tǒng)，如果開環(huán)增益增大到原來的h

倍，則系統(tǒng)變?yōu)榕R界狀態(tài)；如果再增大，則系統(tǒng)變?yōu)椴环€(wěn)定。在伯德圖中，如果對數(shù)幅頻特性曲線向上移動20lgh分貝，則系統(tǒng)變?yōu)榕R界狀態(tài)；如果再向上移動，則系統(tǒng)變?yōu)椴环€(wěn)定。

[相角裕度的物理意義]：對于穩(wěn)定系統(tǒng)，如果在截止頻率處將相角減小γ

度，則系統(tǒng)變?yōu)榕R界穩(wěn)定；如果再減小，則系統(tǒng)變?yōu)椴环€(wěn)定。

顯然，對于最小相位系統(tǒng)，

20lgh>0，即h>1和γ

>0，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；20lgh、h和γ

越大，系統(tǒng)穩(wěn)定程度越好；

20lgh<0，即h<1和γ

<0

，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。對于最小相位系統(tǒng)，h>1和γ

>0是同時發(fā)生或同時不發(fā)生的，所以經(jīng)常只用一種穩(wěn)定裕度來表示系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度。常用相角裕度γ

。例5-16已知單位負反饋的最小相位系統(tǒng)，其開環(huán)對數(shù)幅頻特性曲線如圖，試求開環(huán)傳遞函數(shù)，計算系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度。-2-1-33.16110ω結(jié)論：對于最小相位系統(tǒng)，一般而言L(ωc)處的斜率為-20dB/det時，γ

>0，系統(tǒng)穩(wěn)定。L(ωc)處的斜率為-40dB/det時，一般γ

>0，系統(tǒng)穩(wěn)定，也可能不穩(wěn)定。L(ωc)處的斜率為-60dB/det時，γ

<0，系統(tǒng)不穩(wěn)定。為了使系統(tǒng)具有一定的穩(wěn)定裕量30o~70o，L(ω)在ωc處的斜率為-20dB/det。例5-5典型二階系統(tǒng)如圖所示，試確定系統(tǒng)的相角裕度。R(s)C(s)解：典型環(huán)節(jié)開環(huán)頻率特性為設(shè)ωc為截止頻率，則有可求得相角裕度為對于單位反饋系統(tǒng)，閉環(huán)傳遞函數(shù)為5.6閉環(huán)頻率特性閉環(huán)頻率特性為閉環(huán)幅頻特性為M(ω)閉環(huán)相頻特性為Φ(ω)閉環(huán)幅頻特性典型的閉環(huán)幅頻特性如圖：特點：低頻段變化緩慢，較為平滑；隨著頻率的不斷增大，幅頻特性出現(xiàn)極大值；然后以較大的陡度衰減至零。1.零頻幅值M0：ω=0時的閉環(huán)幅頻特性值。2.諧振峰值Mr：幅頻特性極大值與零頻幅值之比，即

Mr=Mm/M0。3.諧振頻率ωr：出現(xiàn)諧振峰值時的頻率。4.帶寬頻率ωb：閉環(huán)幅頻特性的幅值減小到0.707M0時的頻率。5.系統(tǒng)帶寬：頻率范圍0≤ω≤ωb。帶寬大，表明系統(tǒng)能通過較高頻率的輸入信號；帶寬小，表明系統(tǒng)只能通過較低頻率的輸入信號。因此，帶寬大的系統(tǒng)