（全國2卷）2015年理科數(shù)學(xué)真題（含答案解析）

絕密★啟用前

2015年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試

理科數(shù)學(xué)

注意事項：

1.本試卷分第?卷(選擇題)和第II卷(非選擇題)兩部分。答卷前，考生務(wù)必先將自己的

姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫在答題卡上。

2-回答第I卷時，選出每小題的答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需

改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。寫在本試卷上無效。

3.回答第II卷時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。

4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合

題目要求的。

已知集合人={-2,-1,0,1,2)B={x|(Xl)(x+2)<0}，則AnB=()

(A){-l,0)(B){0,l)(C){-l,0,l}(D){,0,,1,2)

【答案】A

【解析】由已知得6=卜2x1,0，故選A

(2)若a為實數(shù)且(2+ai)(a-2i)=-41,則a=()

(A)-1(B)0(C)1(D)2

【答案】B

?【解析】-1

I

■,

由已知得4a+(d一4)3=7：,所以4久=0：不一4=7,解得a=0,故選：

’仃廠根據(jù)-下面給出的2004年至加13-年我杳二盤化硫排放量P單位T力噸丁柱形圖「喊下結(jié)

論不正確的是()

2007年我國治理二氧化硫排放顯現(xiàn)

2006年以來我國二氧化硫年排放量呈減少趨勢

2006年以來我國二氧化硫年排放量與年份正相關(guān)

【答案】D

【解析】由柱形圖得，從2006年以來，我國二氧化硫排放量呈下降趨勢，故年排放量與年份

負(fù)相關(guān).

(4)等比數(shù)列｛an｝滿足al=3,4+4+龍=21,則a+a+a=,

357(I

(A)21(B)42(C)63(D)84

【答案】B

■-------------------------------------------------------------------------■

【解析】?,

設(shè)等比數(shù)列公比為g，則q+々￥==21,又因為4=3,所以/+爐一6=0,解得.

￡['=2,所以生+生+a-=(q+生+生)/=32,故選3..

1+log(2-x),x

?x)1f(一2)+/(log12)=

(5)設(shè)函數(shù)=2

2、,x1,

-1

/

(A)3(B)6(C)9(D)12

【答案】C

【解析】由己知得f(-2)=1+log24=3,又Ic^lZ1,所以

f—_==，故

(log12)22

log121log6

22

2

拶區(qū)r?

《秋〈二個正方體被一個平面截去一部分后，剩余部分的三視圖如右圖，則截去部分體積與剩

務(wù)自4積的比值為

1111

(A)8(B)7_(。6-(D)5-

【答案】D

【解析】由三視圖得，在正方體/6C0-/8G，中，截去四面A-ABD如圖所示，，

體-111，、八，，

11.131353，所

=a3=a-_a=a

司66

設(shè)正方體棱長為a則326，故剩余幾何體體積為

AABD

111

1

以截去部分體積與剩余部分體積的比值為5

MN\

(7)過三點A(1,3)B(4,2)C(1,-7)的圓交于y軸于M、N兩點，則=

(A)2G(B)8(C)4G(D)10

【答案】C

L■析:''

由已知得如=之二=一1，上“=2匕=一3,所以3fA^=-1,所以K3_C8,即A4EC為直

1—43?4—1

%三角形，其外接扇圓心為Q—2),半徑為5,所以外接扇方程為(＞一1)?+&,+2)二=25,令x=0,得?

」=±2#-2,所以明用=4#,故選C...

(8)右邊程序抗土的算法思路源于我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中的"更相減損術(shù)”。執(zhí)行

該程序框圖，若輸入a,b分別為14,18,則輸出的2=

【答案】B

【解析】程序在執(zhí)行過程中，a,匕的值依次為a=14,6=18；匕=4；a=10；a=6；

a=2；b=2,此時a=/?=2程序結(jié)束，輸出a的值為2,故選B.

是球O的球面上兩點，/AOB=90,C為該球面上的動點，若三棱錐O-ABC體積的

最大值為36,則球。的表面積為

A.36nB.64nC.144nD.2567T

【答案】c

【解析】如圖所示,當(dāng)點c位于垂直于面￡06的直徑端點時，三棱錐O-46C的體積最大,

11136

I/-=I/-=——R2R=,故/?=6,則球O

m=的

設(shè)球。的半徑為/?,此時

OABCCAOB

326

表面積為

AB

【答案】B

'【解而r'R

由已知得，當(dāng)點尸在3c邊上運動時，即時，PA+PB=7tan'x+4+tanx,當(dāng)點尸在CD邊

i運動時，PJ+F5=J(---])：+1+/(□_+])：+1，當(dāng)時，’

44-2Vtanr\tan.v2

PA+PB=2瓶;當(dāng)點F在，必)邊上運動時，即三MxM"時，PA+PB=7tan:x+4-tanx,從點產(chǎn)

■4■■

,且軌跡非線型，故選B.

'=對稱，且

的運動過程可以看出，軌跡關(guān)于直線2「()「()

42

(11)己知A,B為雙曲線E的左，右頂點，點M在E上，AABM為等腰三角形，且頂角為

120°,則E的離心率為

(A)V5(B)2(C)V3(D)V2

設(shè)雙曲線方程為±一E=13>0/>0),如圖所示，以用==120°,過點M作MN_x\

a

■q

軸，垂足為N，在&AS虹V中，|EN|=a,|衽\[=我，故點網(wǎng)的坐標(biāo)為廿Qq4a),代入雙曲線1

方程得即c：=2a：,所以e=故選D.J

(12設(shè)豳產(chǎn)僅)是奇函數(shù)尸(刀)(刀/?)的導(dǎo)函數(shù)，f(-lM當(dāng)X0時，

xf\x)-f{x)0

則使得(7斷D?禽:%x的取值范圍是(T0)U(L+8)

(A)(B)

(c)(-8,-l)U(T0)(D)ADU(l,+oo)

【答案】A

【解析】

f[x)(、xf⑻-f(x)

g(x)=_Ug[x)=一」——1

xf\x)-f[x)0

記函數(shù)x,貝。'

X，因為當(dāng)X0時，

2,故當(dāng)

g(x)0所妙(x)在(o,+)單調(diào)遞減；又因為函數(shù)f(x)(x勺是奇函數(shù)，故

X時，

0

函數(shù)g(M是偶函數(shù)，所以g(x)在(-,0)單調(diào)遞減，且9(-1)=[1)=0.當(dāng)0x1時,

g(x}④則x)0當(dāng)x-1時，g(x)0則尸(x)0,綜上所述，使得f(x)0成

0

立的x的取值范圍是

(一,_1)______

，故選A.

二、填空題一

(13)設(shè)向量a,6不平行，向量a+Z?與a+2匕平行，則實數(shù)=.

2

【答案】

=k,1

=2

【解析】因為向量a+6與a+26平行，所以a+b=k^a+2b),貝I12,

■【麗】■k'

畫出可行域，如圖所示，將目標(biāo)的數(shù)變形為J=-x+二，當(dāng)二取到最大時，直線J=f+z|?峨距最大,

故將直線盡可能地向上平移到塔=的最大值為|.

■_■I

(14)若x,y滿足約束條件

x2y0,

+-

，則/=x+y的最大值為

x2y20,

3

2

(a+x)(1+A)4

(15)

的展開式中x的奇數(shù)次累項的系數(shù)之和為32,則a=

【答案】3

(1+M=1+4x+6x+4x+(a+x)(1+x)4

x，故的展開式中x的奇數(shù)

4234

【解析】由已知得

次事項分別為4ax,4ax,x,A6,其系數(shù)之和為4a+4a+1+6+1=32,解得a=

6x,3.

33

(16)設(shè)S/7是數(shù)列

a的前n項和，且句二-1,，則Sn—

3+—SS—

+n

n1/7/71

__1

【答案】n

11

=-1

【解析】由已知得diS1SSy,兩邊同時除以S/71-

nnn,故

SnSn但S+1

+=+-=++'礴"

-----1

1=-1-(/7-1)=

數(shù)列n-n,所以

sL

是以-1為首項，T為公差的等差數(shù)

歹！J,則

77

三.解答題

(17)AABC中，D是BC上的點，AD平分工BAC,AABD是AADC面積的2倍。

sinB

(I)求C；

sin

2

(II)若DC=2求6。和/C的長.

三.解答般

（17）解：

?1＞、…-AHAD'SXXMHAD?

ADs\n/CAD.

/HAD"忤/，-例WAH-2AC.

I

2?

,?.Hl）:DC',所以8?！?

在和（'中?例余弦定理知

.48；=AD'+BD'-2ADBDcos/.IDB.

AC%,Air+DC22ADAMCOSZJ/X.

故4爐+2AC23AD2+BD：+2/乂=b

由（I）RiAB-2AC,所以dC=1.

(18)某公司為了解用戶對其產(chǎn)品的滿意度，從AB兩地區(qū)分別隨機(jī)調(diào)查了20個用戶，得到用

戶對產(chǎn)品的滿意度評分如下：

A地區(qū)：62738192958574645376

78869566977888827689

B地區(qū)：73836251914653736482

93486581745654766579

(I)根據(jù)兩組數(shù)據(jù)完成兩地區(qū)用戶滿意度評分的莖葉圖，并通過莖葉圖比較兩地區(qū)滿意度

評分的平均值及分散程度(不要求計算出具體值，得出結(jié)論即可)；

(II)根據(jù)用戶滿意度評分，將用戶的滿意度從低到高分為三個不等級:

滿意度評分低于70分70分到89分不低于90分

滿意度等級不滿意滿意非常滿意

記時間C：A地區(qū)用戶的滿意度等級高于B地區(qū)用戶的滿意度等級〃。假設(shè)兩地區(qū)用戶的評價

結(jié)果相互獨立。根據(jù)所給數(shù)據(jù)，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率，求C的概率

（18）解:

（1）兩地區(qū)用戶滿意度評分的莖葉圖如卜

B地區(qū)

A地區(qū)

468

64

53

455

646

3469

6886

928658

3

75529

（H）記C“猥示事件：“A地區(qū)用戶的滿意度等級為滿意或非常滿意”:

C,,去示事件：“A地區(qū)用戶的滿意度等級為非常滿意”：

?衰示事件：“B地區(qū)用戶的福意度等級為不滿意'：

C6表示事件：“B地區(qū)用戶的滿意度等級為滿意二

則c”與c,,獨立.獨立，C*與c,i互斥，c?c?c41UcfJc41.

P（C）■尸（JC.UCcC”）

=PC"3Q

=P(Cn，八gi)▼心八)，vCi)?

由所給數(shù)據(jù)得C,/C4J.C?.Cg發(fā)生的頻率分別為最，▲.巳親故

0埸S嗑g吟,E吟.

101684

F(C)=X4"—X—=0.4S.

20202020

19.（本小題滿分12分）

如圖，長方體ABCD—A1B1C1D1中，AB=16BC=10AA1

=8點EF分別在A1B1D1C1上，A1E=D1F=4過直

F的平面a與此長方體的面相交，交線圍成一個正方形。

（1）在圖中畫出這個正方形（不必說明畫法和理由）；

（2）求直線AF與平面a所成的角的正弦值。

AB

(19)解：

(1)交線圖成的正方形￡HGF如圖:

(口)作￡A/08,垂足為M?則，”=4E=4,EM?M=8

因為￡HGF為正方形，所以￡"=EF"以7=1Q.

于是MW*屈『一EM'.6,所以彳H?io.

,/"的方向為x軸正方向，建立如用所示的空間直角坐標(biāo)系

J(IO.O.O).//(10.I0.0),￡(10,4,8),F(0.4,8),EE=(10,0,0).證=(0.-6.8).

設(shè)”=(x,y.z)是平面EWGF的法向景.則

\nFE^O,即00xn0,

nW￡=0,6y+81-0.

以可取nn《0.4,3).

所以MF與平面￡〃GF所成角的正比值為‘至.

20.(本小題滿分12分)

已知橢圓C.9x2+產(chǎn)=勿2(勿0)直縛過原點。且不平行于坐標(biāo)軸，I與C有兩個交點A,

B,線段AB的中點為M。

(1)證明：直線OM的斜率與I的斜率的乘積為定值；

(屋⑺，延長線段OM與C交于點P,四邊形OAPB能否為平行四邊形？若能,

(2)若I過點

求此時I的斜率；若不能，說明理由。

（I）設(shè)工（■線l:yakx^b（4:工0,，*0）,、（%,乂）?）?"，（x”,〉”）?

將〉,二h+b代入9/+/-才得（*2+9）x2-m2?0.故

于她0線?！钡男甭?皿=%?=_(?即%*.”--9.

所以ft線OM的斜率'?」/的斜率的束根為定位.

|[)西山形QfPB他為平行四邊形。

,m、1KLi/不過小典,*VC有兩個交點的正要條'”型

m為f[線/過點￡?⑴?所以/小以配E*H

、

i>0.**3.

9

由(I)得OM的方程為>

設(shè)點P的橫中M；為“?

f9k'm

HIr<得x；

19x2+V="r>\k(k*3/7

匕夕，因此、=而育

的坐標(biāo)代入/的方程得h

將點

。線段()產(chǎn)互相平分,即〃

行四邊形當(dāng)且僅當(dāng)域段”

四邊形尸8為平

&=』+、'

世二四，絹得人JV5.

±*_v2x

于是斌+9)而或4+用時，四邊形°"3為

3a+9

1,2.用以啕制：解**4

因為*,*3.?=

平行四邊形.

21.(本小題滿分12分)

設(shè)函數(shù)他="+x-

mxo

2

(1)證明：，(x)在(-，0)單調(diào)遞減，在(0,+)單調(diào)遞增；

(2)若對于任意R,A2[-1,1],都有|,(入)-，(x)|e-1,求m的取值范圍。

12

解：(I)因為/(x)-e*0*x2-mx,所以/*(x)-me"11+2x-m~

f*(x)-m'e"*+220在及上恒成立，所以f(x)-me，a+2x-m在R上單調(diào)遞增》)

而_f(0)-0,所以x>0時，/(x)>0j所以x<0時，/(x)<0^

所以/(X)在(Y,0)單調(diào)遞發(fā)，在(0尸8)單調(diào)遞｝8。“

(n)由(I)知/(力加=/(0)=1，〃

當(dāng)m=0時，/(x)-1*?,此時/(x)在卜L1］上的最大值是2~

所以此時|/(AJ)-/(X,)?e-1成立"

當(dāng)m工0時，y(—1)?e''+1-a,/"(—1)=e"-1+刑"

令g(m)■/"(I)~y(~l)00--2nt所以g'0?)e"?<*'-220“

所以g(m)■/"(I)—y(—1)—2m在R上單調(diào)遞12。

而g(0)?0,所以切>0時,g(m)>0,即

所以m<0時，g(m)<0,即/(I)</(-I)?,

當(dāng)》i>0時，|/(xj)-/(七)|4/(I)-1■c*-m<?-1=>0<m<1“

當(dāng)<0時，

|/(jtj)-/(2)|4/(-I)-1"*m■-(-m)<?-1=>-m<1-1<m<0**

所以，綜上所述m的取值范困是(-1,1).卜

請考生在第22、23、24題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分。作答時請寫

清題號

22.(本小題滿分10分)

選修4-1：幾何證明選講

如圖，0為等腰三角形ABC內(nèi)一點，。。與AABC的底邊

BC交于MN兩點，與底邊上的高AD交于點G且陸，

AC分別相切于E,F兩點。

(1)證明：EF||BC；j

(2若AG等于OO的半徑，且ZE=/kW=23求速

8MC

形EBCF的面積。DN

(22)解；

<I)由TZS/bC是等腰三角形,AD1BC.所以是NC48的平分線.

%因為g。分別FAB.AC相切？個"“￡八所以"E=AF.故X”J.￡尸

從而EF〃&C.

(II)由(I)知?AE=AF.ADLEF.故AD長

E尸的垂ft平分級.乂防為OO的弦，所以O(shè)在X。上.

連結(jié)OE.0M.WJO￡14￡.

由4G等下?。的半役得“O=2OE,所以

ZOX￡=30*.因此△/8C和都是等邊三角形.

因為/￡=275,所以4。=4，OE=2.

因tCdkCEdOM=：AfV=Vi,所以00=1.

■?10V3

THAD=5.AB=-^~-

所以四邊形￡BC尸的面枳為興學(xué)八日-；*(2揚、印-苧.

23.(本小題滿分10分)

選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

x=/cos

在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線Cl：y/sin

(t為參數(shù)，twO)?0<a<n,在以。為極

點，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C2：=2sin,C3：=23cos。

(1)求C2與C3交點的直角坐標(biāo)；

(2)若C1與C2相交于點A,C1與C3相交于點B,求|力例的最大值。

(I)曲線C］的宜角坐標(biāo)方程為xJ+/-2>>=0,曲線G的直角坐標(biāo)方程為

X、y*—2Gx=0.

聯(lián)立陽工x一彳’

解得

3

y=一?

2

所以C］與G交點的直角坐標(biāo)為(0.0)和(今,

(II)曲線C1的極坐標(biāo)方程為0=a(p€R.p*O),其中OWaVX.

舊此,4的極坐標(biāo)為Qsina,a).B的極坐標(biāo)為(268sa,a).

所以MB|=|2sina_26cosa|=41sin(e-?I.

當(dāng)@=把時，r8|取得最大值，最大值為最

6

24.(本小題滿分10分)

選修4-5：不等式選講

設(shè)a,b,c,d均為正數(shù)，且a+b=c+d,證明：

(1)若ab>cd；則+Jefd；

(2)d是|a-0|c-d|的充要條件。

(24)解：

⑴因為m+加……

由題設(shè)a+i+d,帥>〃得(G刷>/+&)：?

因此品

?)「)若1。川<|1|,則(”》《一),即

("療-4a-d尸枇

因為”b=c+d,所以6>,九

由(I)得、G+*>**0'—廠、r.與)：即

i+2點一八2”

-所以笠：<%…9不

因此la-bkQdLM<|c-d|的充要條件.

綜上，Ja+Jb>"+、

2015年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試

理科數(shù)學(xué)認(rèn)題答案及評分參考

選擇題

(1)A(2)B(3)D(4)B(5)C(6)D

(7)C(8)B(9)C(10)B(11)D(12)A

填空題

(13)-(14)-(15)3(16)--

22n

三.解答題

(17)解：

(1)S&ABI,=^ABADsinABAD.

因為S，"=2Sw，N8.4O=??W"所以/8=2仁

由1E弦定理可得

sin/8_.4('_1

sin2

(II)因為右的：5外*=8。：￡＞。，所以BD=E.

在△18。和由余弦定理知

AB2=AD2+BD2-2AD-BDcos&DB.

AC'=//，'+DC，-2JDD(cosZJZX.,.

故AB2+ZAC'=3AD2+BD2+2DC2=6.

由(1)知Z8=24C,所以AC=\.

-70-

（18）解:

（I）

A地區(qū)

468

64

353

455

64262

q3469

688643

92865183

3

755291

的黑莖曜鬻黑器黑鬻鬻衰富寓意度評分

(II)記C/表示事件：“A地區(qū)用戶的滿意度等級為滿意或非常滿意：

表示事件：“A地區(qū)用戶的滿意度等級為非常滿意”：

表示事件：“B地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意、

Cm表示事件：“B地區(qū)用戶的滿意度等級為滿意”，

則C/與獨立，以與C“獨立，互斥?C=y11cl.

P(C)=P(C-”C,,)

=P(23/A

=P(GI"X。H尸(GJFC，?

由所給數(shù)據(jù)得c.,c,2,cBl.Cm發(fā)生的頻率分別為段.A,J2,A,故

20202020

S吟,尸(5條E)碟,尸(C“)吟，

P(C)?^X^+—XA=O.4?.

20202020

(19)解：

(1)交線圍成的正方形EHGF如圖：

(口)作W/B,垂足為時，則府=4八4,EM=M=8

因為EHG尸為正方形，所以EH=EN=3C=10.

于是MH=~EM，=6,所以，//=10.

-71-

以D為坐標(biāo)原點，"的方向為x軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系

p-爐，則

.4(10,0,0)，”(10,10,0),E(10,4,8),尸(0,4,8),而=(10,0,0),HE=(0,-6.8).

設(shè)〃=(x,y,z)是平面的法向量，則

nFE=0,10x=0,

即

HE=0,6y+8z=0,

所以可取〃=(0,4,3).

故|cos(”.")|=@BL名.

又不=(-10,4,8),

\n\\AF\15

4石

所以八尸叮平面E，GF所成角的正弦值為黃.

(20)解：

(J)設(shè)直線/:y=br+b(i*0,b*0)./(演,乂)，

將,=6+6代入9/+丁=/得(/+9)/+2出+62_/=0.故

于是一在線OM的斜率即w=紋=一、，即％,"=4.

XM'

所以直線的斜率與/的斜率的乘積為定值?

rif)四邊形OAPB能為平行四邊形.

,m、所同/不過再聲理啊C有兩個交點的它要條“是

因為直線/過點(W，M，所以‘小小"一

t>0,女工3.

9

由(I)得OM的方程為>'=-r丫.

設(shè)點尸的橫坐標(biāo)為

±bn

9k2m2

y=-vx-得X；=爐工

田

19/+y'="..k(k-3,，i

八，皿殂巴目出，因此人，=訴不.

超占網(wǎng)的坐標(biāo)代入/的方程得b3-1

四邊二為平行四邊形當(dāng)且僅“二:I魯即"="

±km.堆二22巴，解得尢=4-S.&、

于是許娘魯4一或4+"時,四邊形。門為

因為……"3的”"

平行四邊形.-72-

<21)解：

(I)/z(x)=m(e-*-l)+2x.

.當(dāng)x￡(0,+8)時，

若則當(dāng)x€(-8,0)時，/'(x)<。

e-'-1^0,/z(x)>0.

r-i>o,r(x)<o：當(dāng)xw(o,+M時，

若m<0,則當(dāng)x€(-oo,0)時.e'

Ax)>0.

所以，/(x)在(_oo,0)單調(diào)遞減，在(0.+8)單調(diào)遞增?

(口)由(I)知，對任意的m,/(x)在［-1,0］單調(diào)遞減，在［0J單調(diào)遞增’故

在x=0處取得最小值.所以對于任意x“Xz€［-l/］，|/(x,)-/(%)|We-l的充要條件

是

/