湖南省益陽市長樂中學高一數(shù)學理期末試題含解析

湖南省益陽市長樂中學高一數(shù)學理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.數(shù)列{an}中，a1=2，a2=5，an+1=an+2+an，則a6等于（）A．﹣3 B．﹣4 C．﹣5 D．2參考答案：A【考點】數(shù)列遞推式．【分析】利用數(shù)列的遞推關系式，逐步求解即可．【解答】解：數(shù)列{an}中，a1=2，a2=5，an+1=an+2+an，可得a3=a2﹣a1=5﹣2=3，a4=a3﹣a2=3﹣5=﹣2，a5=a4﹣a3=﹣2﹣3=﹣5，a6=a5﹣a4=﹣5+2=﹣3，故選：A．2.函數(shù)

的零點所在的大致區(qū)間是A．

B．

C．

D．參考答案：D3.已知

則a,b,c的大小關系是（

）參考答案：D4.設函數(shù)的圖像關于直線對稱,它的周期是,則（

）A.的圖象過點

B.在上是減函數(shù)

C.的一個對稱中心是D.將的圖象向右平移個單位得到函數(shù)的圖象.參考答案：C略5.已知sinA=,那么cos()=A.-

B.

C.-

D.參考答案：A試題分析：考點：誘導公式6.已知等差數(shù)列{an}中，，，則使成立的最大n的值為（

）A.97

B.98

C.99

D.100參考答案：B設等差數(shù)列的公差為，則，∴，∴，∴，∴．由，解得，又，∴，∴最大的值為98.故選B．

7.直線：與：平行，則a的值等于（

）A.-1或3 B.1 C.3 D.-1參考答案：C【分析】根據(jù)直線平行的判定定理得到，之后將參數(shù)代入排除重合的情況.【詳解】直線：與：平行，則根據(jù)向量平行的判定得到：.當a=3時，代入直線得到兩個直線為兩個直線平行且不重合.故得到參數(shù)值為：3.故答案為：C.【點睛】這個題目考查了已知兩直線平行求參的問題，屬于基礎題；根據(jù)判定定理求出參數(shù)后，要排除兩直線重合的情況.8.某小組有3名男生和2名女生，從中任選2名同學參加演講比賽，那么互斥不對立的兩個事件是(

).A．至少有1名男生與全是女生

B．至少有1名男生與全是男生

C．至少有1名男生與至少有1名女生

D．恰有1名男生與恰有2名女生參考答案：D9.向量，，若的夾角為300，則的最大值為（

）A.2

B.2

C.4

D.參考答案：C10.已知函數(shù)f（x）=x5+ax3+bx﹣8，且f（﹣2017）=10，則f（2017）等于（）A．﹣26 B．﹣18 C．﹣10 D．10參考答案：A【考點】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)．【分析】根據(jù)條件建立方程關系進行求解即可．【解答】解：∵f（x）=x5+ax3+bx﹣8，且f（﹣2017）=10，∴f（﹣2017）=﹣20175﹣a20173﹣2017b﹣8=10，則f（2017）=20175+a20173+2017b﹣8，兩式相加得f（2017）+10=﹣8﹣8=﹣16，則f（2017）=﹣26，故選：A【點評】本題主要考查函數(shù)值的計算，根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)建立方程關系是解決本題的關鍵．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.函數(shù)y=（x﹣1）3+1的圖象的中心對稱點的坐標是．參考答案：（1，1）【考點】函數(shù)的圖象．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應用．【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式特點，求得它的圖象的對稱中心．【解答】解：函數(shù)y=（x﹣1）3+1，即y﹣1=（x﹣1）3，由此可得它的圖象的中心對稱點的坐標是（1，1），故答案為：（1，1）．【點評】本題主要考查函數(shù)的圖象的對稱性，屬于基礎題．12.定義區(qū)間的長度均為，多個互無交集的區(qū)間的并集長度為各區(qū)間長度之和，例如的長度。用表示不超過x的最大整數(shù)，例如。記。設，，若用、和分別表示不等式、方程和不等式解集區(qū)間的長度，則當時，____________.參考答案：201613.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為___________.參考答案：試題分析：因為，所以轉(zhuǎn)化為求的增區(qū)間，由，解得（），故原函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，注意復合函數(shù)單調(diào)性的規(guī)律：“同增異減”.考點：三角函數(shù)的性質(zhì)：單調(diào)性.14.奇函數(shù)f(x)對任意實數(shù)x滿足，且當，，則

.參考答案：

15.實數(shù)a，b，5a，7，3b，…，c組成等差數(shù)列，且a＋b＋5a＋7＋3b＋…＋c＝2500，則c的值為

.參考答案：9916.已知△ABC是邊長為2的等邊三角形，D為BC邊上（含端點）的動點，則的取值范圍是_______.參考答案：[－2,2]【分析】取的中點為坐標原點，、所在直線分別為軸、軸建立平面直角坐標系，設點的坐標為，其中，利用數(shù)量積的坐標運算將轉(zhuǎn)化為有關的一次函數(shù)的值域問題，可得出的取值范圍.【詳解】如下圖所示：取的中點為坐標原點，、所在直線分別為軸、軸建立平面直角坐標系，則點、、，設點，其中，，，，因此，的取值范圍是，故答案為：.【點睛】本題考查平面向量數(shù)量積的取值范圍，可以利用基底向量法以及坐標法求解，在建系時應充分利用對稱性來建系，另外就是注意將動點所在的直線變?yōu)樽鴺溯S，可簡化運算，考查運算求解能力，屬于中等題.17.已知銳角滿足，則

（

）A、

B、

C、

D、參考答案：B三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題12分）已知函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0，|φ|<π)的一段圖象(如圖)所示.（1）求函數(shù)的解析式；（2）求這個函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間。參考答案：（1）由圖可知A=3，……………1分T==π，又，故ω=2…………1分所以y=3sin(2x+φ)，把代入得：故，∴，k∈Z……2分∵|φ|<π，故k=1，，……1分∴………………1分（2）由題知，…………2分解得：…………2分故這個函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，k∈Z。………………2分19.已知函數(shù)．（1）判斷并證明f（x）的奇偶性；（2）若兩個函數(shù)F（x）與G（x）在閉區(qū)間[p，q]上恒滿足|F（x）﹣G（x）|＞2，則稱函數(shù)F（x）與G（x）在閉區(qū)間[p，q]上是分離的．是否存在實數(shù)a使得y=f（x）的反函數(shù)y=f﹣1（x）與g（x）=ax在閉區(qū)間[1，2]上分離？若存在，求出實數(shù)a的取值范圍；若不存在，請說明理由．參考答案：【考點】函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明；函數(shù)奇偶性的判斷．【專題】證明題；函數(shù)思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應用．【分析】（1）容易判斷f（x）的定義域為R，且可得出f（﹣x）=﹣f（x），從而得出f（x）在R上為奇函數(shù)；（2）可以求出，從而得到，可假設存在實數(shù)a使得y=f（x）的反函數(shù)y=f﹣1（x）與g（x）=ax在閉區(qū)間[1，2]上分離，即有在閉區(qū)間[1，2]上恒成立．可令，設ax=t，t∈[a，a2]，討論a：a＞1時，t=ax為增函數(shù)，并且為增函數(shù)，從而得出h（x）在[1，2]上為增函數(shù)，從而得到h（x）的最小值h（1）=，解該不等式即可得出a的一個范圍；而同理可得出0＜a＜1時的a的一個范圍，這兩個范圍求并集即為實數(shù)a的取值范圍．【解答】解：（1）∵；∴f（x）的定義域為R；∵=；即f（﹣x）=﹣f（x）；∴f（x）為R上的奇函數(shù)；（2）∵x∈R，∴y∈R；由得；∴兩邊平方整理后得：；∴；∴；假設存在實數(shù)a使得y=f（x）的反函數(shù)y=f﹣1（x）與g（x）=ax在閉區(qū)間[1，2]上分離；所以|f﹣1（x）﹣g（x）|＞2，即在閉區(qū)間[1，2]上恒成立；令，t=ax，x∈[1，2]當a＞1時，t=ax在[1，2]上為增函數(shù)，t∈[a，a2]，在[a，a2]上為增函數(shù)；∴h（x）在[1，2]上為增函數(shù)；∴；由解得或，∴；當0＜a＜1時同理可得在[1，2]上為增函數(shù)；∴；由解得或；∴；綜上所述：存在a使得y=f（x）的反函數(shù)y=f﹣1（x）與g（x）=ax在閉區(qū)間[1，2]上分離，且a的取值范圍為．【點評】考查奇函數(shù)，偶函數(shù)的定義及判斷方法和過程，對數(shù)的運算性質(zhì)，反函數(shù)的概念，以及求一個函數(shù)的反函數(shù)的方法和過程，指數(shù)式和對數(shù)式的互化，復合函數(shù)單調(diào)的判斷，指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，清楚的單調(diào)性，一元二次不等式的解法．20.(本小題滿分12分)在等差數(shù)列中，，．（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）設數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，求的前項和．

參考答案：解：（Ⅰ）設等差數(shù)列的公差是．

．

………………10分21.假設關于某設備的使用年限x(年)和所支出的維修費y(萬元)有如下統(tǒng)計資料：x23456y2.23.85.56.57.0若由資料知，y對x呈線性相關關系.試求：(1)線性回歸方程；(2)估計使用年限為10年時，維修費用約是多少？參考答案：解：(1)i12345xi23456yi2.23.85.56.57.0xiyi4.411.422.032.542.0b==1.23,a=-b=5-1.23×4=0.08.所以，回歸直線方程為=1.23x+0.08.(2)當x=10時，=1.23×10+0.08=12.38(萬元),即估計使用10年時維修費約為12.38萬元.

略22.已知函數(shù)f（x）=2x2﹣3x+1，，（A≠0）（1）當0≤x≤時，求y=f（sinx）的最大值；（2）若對任意的x1∈[0，3]，總存在x2∈[0，3]，使f（x1）=g（x2）成立，求實數(shù)A的取值范圍；（3）問a取何值時，方程f（sinx）=a﹣sinx在[0，2π）上有兩解？參考答案：【考點】三角函數(shù)的最值；二次函數(shù)的性質(zhì)；正弦函數(shù)的圖象．【分析】（1）由已知可得，y=f（sinx）=2sin2x﹣3sinx+1設t=sinx，由x可得0≤t≤1，從而可得關于t的函數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求（2）依據(jù)題意有f（x1）的值域是g（x2）值域的子集，要求A的取值范圍，可先求f（x1）值域，然后分①當A＞0時，g（x2）值域②當A＜0時，g（x2）值域，建立關于A的不等式可求A的范圍．（3）2sin2x﹣3sinx+1=a﹣sinx化為2sin2x﹣2sinx+1=a在[0，2π]上有兩解令t=sinx則2t2﹣2t+1=a在[﹣1，1]上解的情況可結(jié)合兩函數(shù)圖象的交點情況討論．【解答】解：（1）y=f（sinx）=2sin2x﹣3sinx+1設t=sinx，x，則0≤t≤1∴∴當t=0時，ymax=1（2）當x1∈[0，3]∴f（x1）值域為當x2∈[0，3]時，則