動能定理基礎(chǔ)知識點

動能定理（1）動能是物體運動的狀態(tài)量，而動能的變化ΔEK是與物理過程有關(guān)的過程量。(2)動能定理的表述合外力做的功等于物體動能的變化。（這里的合外力指物體受到的所有外力的合力，包括重力）。表達式為W=ΔEK.動能定理也可以表述為：外力對物體做的總功等于物體動能的變化。功和動能都是標量，動能定理表達式是一個標量式，不能在某一個方向上應(yīng)用動能定理。例題分析：例1：質(zhì)量為m的小球，用長為L的輕繩懸掛于O點，小球在水平力F的作用下，從平衡位置P點緩慢地移動到Q點，如圖所示，則力F所做的功為()A． B． C． D．動能地定理推導(dǎo)過程第一步：說明物體的運動狀態(tài)，并導(dǎo)出加速度計算式。

如圖5—5所示：物體沿著不光滑的斜面勻加速向上運動，通過A處時的即時速度為v0，通過B處時的即時速度為vt，由A處到B處的位移為S。通過提問引導(dǎo)學生根據(jù)vt2－v02=2as寫出：

①

第二步：畫出物體的受力分析圖，進行正交分解，說明物體的受力情況。

圖5─6是物體的受力分析圖（這個圖既可以單獨畫出，也可補畫在上圖的A、B之間），物體受到了重力mg、斜面支持力N、動力F、阻力f。由于重力mg既不平行于斜面，也不垂直于斜面，所以要對它進行正交分解，分解為平行于斜面的下滑分力F1和垂直于斜面正壓力F2。然后說明：物體在垂直斜面方向的力N=F2；物體平行斜面方向的力F＞f+F1(否則物體不可能加速上行)，其合力為：

②

第三步：運用牛頓第二定律和①、②兩式導(dǎo)出“動能定理”。

若已知物體的質(zhì)量為m、所受之合外力為、產(chǎn)生之加速度為a。

則根據(jù)牛頓第二定律可以寫出：

③

將①、②兩式代入③式：

導(dǎo)出：

④

若以W表示外力對物體所做的總功

⑤

若以Eko表示物體通過A處時的動能，以Ekt表示物體通過B處時的動能

則：

⑥

⑦

將⑤、⑥、⑦三式代入④式，就導(dǎo)出了課本中的“動能定理”的數(shù)學表達形式：

W=Ekt－Eko

若以△Ek表示動能的變化Ekt－Eko

則可寫出“動能定理”的一種簡單表達形式：

W=△Ek

它的文字表述是：外力對物體所做的總功等于物體動能的變化。這個結(jié)論叫做“動能定理”。

第四步：在“動能定理”的基礎(chǔ)上推導(dǎo)出“功能原理”。

在推導(dǎo)“動能定理”的過程中，我們曾經(jīng)寫出過④式，現(xiàn)抄列如下：

④

為了導(dǎo)出“功能原理”我們需要對其中的下滑分力做功項F1S進行分析推導(dǎo)。

我們知道，當斜面的底角為θ時，下滑分力F1和重力mg的關(guān)系如下：

（前面已有⑤、⑥、⑦式）⑧

上式中sinθ如何表達呢？請看圖5—7：物體在A處時的高度為h0，在B處時的高度為ht，則根據(jù)中學數(shù)學中所學過的三角函數(shù)知識可以寫出下式：

⑨

將⑨式代入⑧式后進行推導(dǎo)：

⑩

將⑩式代入④式后進行推導(dǎo)：

若以代入⑾式，就導(dǎo)出了一種“功能原理”的數(shù)學表達形式：

Fs－fs=△EK+△EP它的物理意義是：動力對物體做功Fs與物體克服阻力做功fs之差(不包括重力做的功)，等于物體動能的變化量與勢能的變化量之和。

若在⑾式基礎(chǔ)上進行移項變化可導(dǎo)出下式：

⑿

若以代入⑿式，就可以寫為：

Fs－fs=Et－E0

再以代入上式就可以導(dǎo)出“功能原理”的另一種數(shù)學表達形式：

WF=△E

它的物理意義是：外力對物體對所做的總功WF（不包括重力做的功），等于物體機械能的變化量△E。（當WF＞0時，△E＞0，機械能增加；當WF＜0時，△E＜0，機械能減少。例題：如圖5—12所示：一輛車通過一根跨過滑輪的繩PQ提升井中質(zhì)量為m的物體。繩的P端拴在車后的掛鉤、Q端拴在的物體上。設(shè)繩的總長不變，繩的質(zhì)量、定滑輪的質(zhì)量和尺寸、滑輪上的摩擦都忽略不計。開始時，車在A點，左右兩側(cè)繩都已繃緊并且是豎直的，左側(cè)繩長為H。提升時，車加速向左運動，沿水平方向從A經(jīng)過B駛向C，設(shè)A到B的距離也是H，車過B點時的速度為vB。求：在車由A移到B的過程中，繩Q端的拉力對物體做的功。解答：設(shè)：汽車開到B處時，物體上升的即時速度為v、上升的高度為h，可以寫下列二式：則：根據(jù)：“功能原理”

(動能定理再做一遍)

應(yīng)用動能定理簡解多過程題型。物體在某個運動過程中包含有幾個運動性質(zhì)不同的小過程（如加速、減速的過程），此時可以分段考慮，也可以對全過程考慮，但如能對整個過程利用動能定理列式則使題型簡化。例2、如圖所示，物體置于傾角為37度的斜面的底端，在恒定的沿斜面向上的拉力的作用下，由靜止開始沿斜面向上運動。F大小為2倍物重，斜面與物體的動摩擦因數(shù)為0.5，求物體運動5m時速度的大小。（g=10m/s2）

例3：如圖所示，AB為四分之一圓弧軌道，半徑為0.8m，BC是水平軌道，長3m，BC處的動摩擦因數(shù)為?，F(xiàn)有質(zhì)量m=1kg的物體，自A點從靜止起下滑到C點剛好停止。求：物體在軌道AB段所受的阻力對物體做的功。V0S0αP圖11例4、如圖11所示，斜面足夠長，其傾角為αV0S0αP圖11利用動能定理巧求動摩擦因數(shù)ABChS1S2α圖12例5、如圖12所示，小滑塊從斜面頂點ABChS1S2α圖12利用動能定理巧求機車脫鉤題型S2S1LV0V0圖13例S2S1LV0V0圖13練習鞏固：ABCDDORE圖15h1、如圖15所示，AB與CD為兩個對稱斜面，其上部都足夠長，下部分分別與一個光滑的圓弧面的兩端相切，圓弧圓心角為1200，半徑R=2.0m,一個物體在離弧底E高度為h=3.0m處，以初速度VABCDDORE圖15h2、如圖所示，一半徑為R的不光滑圓形細管，固定于豎直平面內(nèi)，放置于管內(nèi)最低處的小球以初速度v。沿管內(nèi)運動，已知小球通過最高點處的速率為v0/2，求：（1）小球在最低點處對軌道的壓力大?。唬?）小球從A運動到B的過程克服阻力所做的功。動能定理揭示了物體外力的總功與其動能變化間的關(guān)系?？杀硎緸閃總=Ek2—Ek1=△Ek.在所研究的問題中，如果物體受外力作用而運動狀態(tài)變化時，巧妙運用動能定理，往往能使解決問題的途徑簡捷明快，事半功倍。動能定理的應(yīng)用可擴展到全過程當物體運動是由幾個物理過程組成，又不需要研究過程的中間狀態(tài)時，可以把幾個物理過程看作一個整體來研究，從而避免每個運動過程的具體細節(jié)，大大簡化運算。例1、如圖1所示，一物體質(zhì)量m=2kg,在傾角θ=37o的斜面上的A點以初速度V0=3m/s下滑。A點距彈簧上的檔板位置B的距離AB=4m,當物體到達B后，將彈簧壓縮到C點，最大壓縮量BC=0.2m，然后物體又被彈簧彈上去，彈到最高位置D點，D點距A點為AD=3m。求物體跟斜面間的動摩擦因素。（g=10m/s2，彈簧及檔板質(zhì)量不計）解析：在該題中，物體的運動過程分成了幾個階段，若用牛頓運動定律解決，要分幾個過程來處理?？紤]到全過程始末狀態(tài)動能都是零，用動能定理解決就方便多了。對A→B→C→D全過程，由動能定律得：W總＝mgAD·sinθ-f(AB+2BC+BD)=0-mvo2F=umgcosθ兩式聯(lián)立得：u＝＝0.52動能定理的應(yīng)用可擴展到物體系統(tǒng)動能定理常用于研究單個物體，公式中W總是指外力的總功。但動能定理也可擴展應(yīng)用到物體系統(tǒng)中，只是在物體系統(tǒng)中必須注意內(nèi)力的功也要改變物體的動能，所以此時動能定理可拓展為：所有外力和內(nèi)力做功的代數(shù)和等于物體系總動能的變化。即W外+W內(nèi)=△Ek。例2、質(zhì)量為m的小物體A放在質(zhì)量為m0的木版B的左端，B在水平拉力的作用下，沿水平地面勻速向右滑動，且A、B相對靜止。某時刻撤去水平拉力，經(jīng)過一段時間。B在地面上滑行的距離為x，A在B上向右滑行的距離為L，最后A和B都停下來。設(shè)A和B間的動摩擦因素為μ1，B與地面間的動摩擦因素為μ2，且μ1<μ2，求x的表達式。（如圖2）解析：若把A、B兩個物體看成一系統(tǒng)，則此系統(tǒng)中內(nèi)力即為它們間的一對滑動摩擦力W內(nèi)=fAB×S相=u1mgL；外力為地面對B的滑動摩擦力，則外力對系統(tǒng)所做功W外=fB地×X=u1(m+mo)gx。設(shè)A、B共同初速度v，根據(jù)動能定理對系統(tǒng)有u2(m+m0)gx+u1mgL=(m+m0)v2同理對A有u1mg（x＋L）＝mv2解得：x＝用動能定理可求變力的功例3、一質(zhì)量為m的小球，用長為L的輕繩懸于O點，小球在水平拉力F的作用下，從平衡位置P點很緩慢地移動到Q點，如圖3所示，則力F所做的功為多少（）。A、mgLcosθB、mgL(1-cosθ)C、FLsinθD、FLθ解析：F使球緩慢移動，各點均可看作平衡狀態(tài)，繩拉力和F均為變力，繩拉力不做功，F(xiàn)做正功，重力做負功，根據(jù)動能定理可知WF－WG＝0①WG＝mgh＝mgL（1－cosθ）②∴WF=mgL（1－cosθ）選B。。例4.如圖1所示，AB為1/4圓弧軌道，半徑為R=0.8m，BC是水平軌道，長S=3m，BC處的摩擦系數(shù)為μ=1/15，今有質(zhì)量m=1kg的物體，自A點從靜止起下滑到C點剛好停止。求物體在軌道AB段所受的阻力對物體做的功。解答：物體在從A滑到C的過程中，有重力、AB段的阻力、BC段的摩擦力共三個力做功，WG=mgR，fBC=umg，由于物體在AB段受的阻力是變力，做的功不能直接求。根據(jù)動能定理可知：W外=0，所以mgR-umgS-WAB=0即WAB=mgR-umgS=1×10×0.8-1×10×3/15=6J點評：如果我們所研究的問題中有多個力做功，其中只有一個力是變力，其余的都是恒力，而且這些恒力所做的功比較容易計算，研究對象本身的動能增量也比較容易計算時，用動能定理就可以求出這個變力所做的功。1、動能定理應(yīng)用的基本步驟應(yīng)用動能定理涉及一個過程，兩個狀態(tài)．所謂一個過程是指做功過程，應(yīng)明確該過程各外力所做的總功；兩個狀態(tài)是指初末兩個狀態(tài)的動能．動能定理應(yīng)用的基本步驟是：①選取研究對象，明確并分析運動過程．②分析受力及各力做功的情況，受哪些力？每個力是否做功？在哪段位移過程中做功？正功？負功？做多少功？求出代數(shù)和．③明確過程始末狀態(tài)的動能Ek1及EK2④列方程W=EK2一Ek1，必要時注意分析題目的潛在條件，補充方程進行求解．2、應(yīng)用動能定理的優(yōu)越性(1)由于動能定理反映的是物體兩個狀態(tài)的動能變化與其合力所做功的量值關(guān)系，所以對由初始狀態(tài)到終止狀態(tài)這一過程中物體運動性質(zhì)、運動軌跡、做功的力是恒力還是變力等諸多問題不必加以追究，就是說應(yīng)用動能定理不受這些問題的限制．(2)一般來說，用牛頓第二定律和運動學知識求解的問題，用動能定理也可以求解，而且往往用動能定理求解簡捷．可是，有些用動能定理能夠求解的問題，應(yīng)用牛頓第二定律和運動學知識卻無法求解．可以說，熟練地應(yīng)用動能定理求解問題，是一種高層次的思維和方法，應(yīng)該增強用動能定理解題的主動意識．(3)用動能定理可求變力所做的功．在某些問題中，由于力F的大小、方向的變化，不能直接用W=Fscosα求出變力做功的值，但可由動能定理求解．一、整過程運用動能定理（一）水平面問題1、一物體質(zhì)量為2kg，以4m/s的速度在光滑水平面上向左滑行。從某時刻起作用一向右的水平力，經(jīng)過一段時間后，滑塊的速度方向變?yōu)樗较蛴?，大小?m/s，在這段時間內(nèi)，水平力做功為（）A.0B.8JC.16JD.32J2、一個物體靜止在不光滑的水平面上，已知m=1kg，u=0.1，現(xiàn)用水平外力F=2N，拉其運動5m后立即撤去水平外力F，求其還能滑m（g取）S2S1LS2S1LV0V0豎直面問題（重力、摩擦力和阻力）1、人從地面上，以一定的初速度將一個質(zhì)量為m的物體豎直向上拋出，上升的最大高度為h，空中受的空氣阻力大小恒力為f，則人在此過程中對球所做的功為（）A.B.C.D.2、一小球從高出地面H米處，由靜止自由下落，不計空氣阻力，球落至地面后又深入沙坑h米后停止，求沙坑對球的平均阻力是其重力的多少倍。（三）斜面問題1、如圖所示，斜面足夠長，其傾角為α，質(zhì)量為m的滑塊，距擋板P為S0，以初速度V0沿斜面上滑，滑塊與斜面間的動摩擦因數(shù)為μ，滑塊所受摩擦力小于滑塊沿斜面方向的重力分力，若滑塊每次與擋板相碰均無機械能損失，求滑塊在斜面上經(jīng)過的總路程為多少？2、一塊木塊以初速度沿平行斜面方向沖上一段長L=5m，傾角為的斜面，見圖所示木塊與斜面間的動摩擦因數(shù)，求木塊沖出斜面后落地時的速率（空氣阻力不計，）。3、如圖所示，小滑塊從斜面頂點A由靜止滑至水平部分C點而停止。已知斜面高為h，滑塊運動的整個水平距離為s，設(shè)轉(zhuǎn)角B處無動能損失，斜面和水平部分與小滑塊的動摩擦因數(shù)相同，求此動摩擦因數(shù)。ABABChS1S2α（五）圓周運動1、如圖所示，質(zhì)量為m的物塊與轉(zhuǎn)臺之間的動摩擦因數(shù)為，物體與轉(zhuǎn)軸相距R，物塊隨轉(zhuǎn)臺由靜止開始運動，當轉(zhuǎn)速增加到某值時，物塊即將在轉(zhuǎn)臺上滑動，此時，轉(zhuǎn)臺已開始做勻速運動，在這一過程中，摩擦力對物體做的功為（）A. B.C. D.2、一個質(zhì)量為m的小球拴在繩一端，另一端受大小為F1拉力作用，在水平面上作半徑為R1的勻速圓周運動，如圖所示，今將力的大小變?yōu)镕2，使小球在半徑為R2的軌道上運動，求此過程中拉力對小球所做的功。分過程運用動能定理1、一個物體以初速度v豎直向上拋出，它落回原處時的速度為，設(shè)運動過程中阻力大小保持不變，則重力與阻力之比為（）A.B.C.D.2、質(zhì)量為m的物體以速度v豎直向上拋出，物體落回地面時，速度大小為3/4v，設(shè)物體在運動中所受空氣阻力大小不變，求：（1）物體運動中所受阻力大?。唬?）若碰撞中無機械能損失，求物體運動的總路程。三、動能定理求變力做功問題1.、如圖所示，質(zhì)量為m的小球用長L的細線懸掛而靜止在豎直位置。在下列三種情況下，分別用水平拉力F將小球拉到細線與豎直方向成θ角的位置。在此過程中，拉力F做的功各是多少？⑴用F緩慢地拉；（）⑵F為恒力；（）⑶若F為恒力，而且拉到該位置時小球的速度剛好為零。（）可供選擇的答案有A. B．C． D．假如在足球比賽中，某球員在對方禁區(qū)附近主罰定位球，并將球從球門右上角擦著橫梁踢進球門．球門的高度為h，足球飛入球門的速度為v，足球的質(zhì)量為m，不計空氣阻力和足球的大小，則該球員將足球踢出時對足球做的功W為。ABCR3.ABCR4、如圖4-12所示,質(zhì)量為m的物體靜放在水平光滑的平臺上,系在物體上的繩子跨過光滑的定滑輪由地面以速度v0向右勻速走動的人拉著,設(shè)人從地面上且從平臺的邊緣開始向右行至繩和水平方向成30°角處,在此過程中人所做的功為: B.C. D.動能定理求連接體問題1、如圖所示,mA=4kg,mB=1kg,A與桌面間的動摩擦因數(shù)μ=0.2,B與地面間的距離s=0.8m,A、B間繩子足夠長，A、B原來靜止，求：（g取10m/s2）（1）B落到地面時的速度為多大；（2）B落地后,A在桌面上能繼續(xù)滑行多遠才能靜止下來。2、如圖，質(zhì)量為m1的物體A經(jīng)一輕質(zhì)彈簧與下方地面上的質(zhì)量為m2的物體B相連，彈簧的勁度系數(shù)為k，A、B都處于靜止狀態(tài)。一條不可伸長的輕繩繞過輕滑輪，一端連物體A，另一端連一輕掛鉤。開始時各段繩都處于伸直狀態(tài)，A上方的一段繩沿豎直方向?，F(xiàn)在掛鉤上升一質(zhì)量為m3的物體C并從靜止狀態(tài)釋放，已知它恰好能使B離開地面但不繼續(xù)上升。若將C換成另一個質(zhì)量為（m1＋m2）的物體D，仍從上述初始位置由靜止狀態(tài)釋放，則這次B剛離地時D的速度的大小是多少？已知重力加速度為g。機械能守恒定律及其應(yīng)用一：知識要點：1：公式推導(dǎo)：2：機械能守恒定律表達式：（1）EK2+EP2=EK1+EP1即：mv22+mgh2=mv12+mgh1（2）ΔEK=ΔEP表示系統(tǒng)減少（或增加）的重力勢能等于系統(tǒng)增加（或減少）的動能。（3）ΔEA增=ΔEB減表示若系統(tǒng)由A、B兩部分組成，則A部分物體機械能增加量與B部分物體機械能的減少量相等。3：機械能守恒定律：在只有重力做功的情形下，物體的動能和勢能發(fā)生相互轉(zhuǎn)化，但機械能的總量保持不變。4：機械能守恒的條件：只有重力做功.（1）物體只受重力,不受其他力.（2）除重力外還受其他的力,但其他力不做功(或其所做總功為零).例題分析：例1、（09年5題）．小球由地面豎直上拋，上升的最大高度為H，設(shè)所受阻力大小恒定，地面為零勢能面。在上升至離地高度h處，小球的動能是勢能的2倍，在下落至離高度h處，小球的勢能是動能的2倍，則h等于（）H/9 （B）2H/9 （C）3H/9 （D）4H/9例2、如圖所示，質(zhì)量分別為2m和3m的兩個小球固定在一根直角尺的兩端A、B，直角尺的頂點O處有光滑的固定轉(zhuǎn)動軸。AO、BO的長度分別為2L和L。開始時直角尺的AO部分處于水平位置，而B在O的正下方，讓該系統(tǒng)由靜止開始自由轉(zhuǎn)動，求當A球達到最低點時，A球的速度大小，B球能上升到最大高度。練習：1、在平直的公路上，汽車由靜止開始做勻加速運動，當速度達到Vm，立即關(guān)閉發(fā)動機而滑行直到停止，v-t圖線如圖，汽車的牽引力大小為F1,摩擦力大小為F2，全過程中，牽引力做功為W1，