四川省眉山市2024屆高三下學(xué)期第三次診斷考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題

秘密★啟用前眉山市高中2024屆第三次診斷性考試數(shù)學(xué)（理科）本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?座位號(hào)和準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.在復(fù)平面內(nèi)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限2.設(shè)全集，集合，則（）A.B.C.D.3.采購(gòu)經(jīng)理指數(shù)（PMI），是國(guó)際上通用的監(jiān)測(cè)宏觀經(jīng)濟(jì)走勢(shì)的先行性指數(shù)之一，具有較強(qiáng)的預(yù)測(cè)?預(yù)警作用.綜合PMI產(chǎn)出指數(shù)是PMI指標(biāo)體系中反映當(dāng)期全行業(yè)（制造業(yè)和非制造業(yè)）產(chǎn)出變化情況的綜合指數(shù)，指數(shù)高于時(shí)，反映企業(yè)生產(chǎn)經(jīng)營(yíng)活動(dòng)較上月擴(kuò)張；低于，則反映企業(yè)生產(chǎn)經(jīng)營(yíng)活動(dòng)較上月收縮.2023年我國(guó)綜合PMI產(chǎn)出指數(shù)折線圖如下圖所示：根據(jù)該折線圖判斷，下列結(jié)論正確的是（）A.2023年各月綜合PMI產(chǎn)出指數(shù)的中位數(shù)高于B.2023年各月，我國(guó)企業(yè)生產(chǎn)經(jīng)營(yíng)活動(dòng)景氣水平持續(xù)擴(kuò)張C.2023年第3月至12月，我國(guó)企業(yè)生產(chǎn)經(jīng)營(yíng)活動(dòng)景氣水平持續(xù)收縮D.2023年上半年各月綜合PMI產(chǎn)出指數(shù)的方差小于下半年各月綜合PMI產(chǎn)出指數(shù)的方差4.已知向量滿足，且，則（）A.B.C.D.5.的展開(kāi)式中的系數(shù)為（）A.20B.10C.-10D.-206.已知，則（）A.B.C.D.7.設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，若，則的值為（）A.B.C.2D.48.如圖，該組合體由一個(gè)正四棱柱和一個(gè)正四棱錐組合而成，已知，則（）A.平面B.平面C.平面D.平面9.四名同學(xué)參加社會(huì)實(shí)踐，他們中的每個(gè)人都可以從三個(gè)項(xiàng)目中隨機(jī)選擇一個(gè)參加，且每人的選擇相互獨(dú)立.這三個(gè)項(xiàng)目中恰有一個(gè)項(xiàng)目沒(méi)有被任何人選擇的概率為（）A.B.C.D.10.給出下述三個(gè)結(jié)論：①函數(shù)的最小正周期為；②函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增；③函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱.其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是（）A.①②③B.②③C.①③D.②11.已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為.點(diǎn)在上，點(diǎn)在軸上，，則的離心率為（）A.B.C.D.12.若關(guān)于的不等式恒成立，則的最大值為（）A.B.C.D.二?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.若滿足約束條件，則的最小值為_(kāi)_________.14.已知的三邊長(zhǎng)，則的面積為_(kāi)_________.15.若為奇函數(shù)，則__________.（填寫(xiě)符合要求的一個(gè)值）16.已知球的半徑為3，相互垂直的兩個(gè)平面分別截球面得兩個(gè)圓，其半徑分別為，若，兩圓的公共弦的中點(diǎn)為，則__________.三?解答題：共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22?23題為選考題，考生依據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.（12分）某公司為改進(jìn)生產(chǎn)，現(xiàn)對(duì)近5年來(lái)生產(chǎn)經(jīng)營(yíng)情況進(jìn)行分析.收集了近5年的利潤(rùn)（單位：億元）與年份代碼共5組數(shù)據(jù)（其中年份代碼分別指2019年，2020年，年），并得到如下值：（1）若用線性回歸模型擬合變量與的相關(guān)關(guān)系，計(jì)算該樣本相關(guān)系數(shù)，并判斷變量與的相關(guān)程度（精確到0.01）；（2）求變量關(guān)于的線性回歸方程，并求2024年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值.附：①；②若，相關(guān)程度很強(qiáng)；，相關(guān)程度一般；，相關(guān)程度較弱；③一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為；相關(guān)系數(shù)18.（12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若__________，求數(shù)列的前項(xiàng)和.從①②；③，這三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在上面的橫線上并解答問(wèn)題.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.19.（12分）如圖，在多面體中，四邊形為菱形，平面平面，平面平面是等腰直角三角形，且.（1）證明：平面平面；（2）若，求平面與平面所成銳二面角的余弦值的取值范圍.20.（12分）已知橢圓的離心率是，左?右頂點(diǎn)分別為，過(guò)線段上的點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，且與的面積比為.（1）求橢圓的方程；（2）若直線與交于點(diǎn).證明：點(diǎn)在定直線上.21.（12分）已知函數(shù).（1）若過(guò)點(diǎn)可作曲線兩條切線，求的取值范圍；（2）若有兩個(gè)不同極值點(diǎn).①求的取值范圍；②當(dāng)時(shí)，證明：.（二）選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22?23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.22.[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）在直角坐標(biāo)系中，的圓心為，半徑為2，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.（1）求的極坐標(biāo)方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，求的最大值.23.[選修4-5：不等式選講]（10分）已知函數(shù).（1）若對(duì)任意，使得恒成立，求的取值范圍；（2）令的最小值為.若正數(shù)滿足，求證：.理科數(shù)學(xué)參考解答及評(píng)分參考一?選擇題1.【答案】B【解析】由，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，選擇B.【命題意圖】本小題設(shè)置數(shù)學(xué)課程學(xué)習(xí)情境，設(shè)計(jì)復(fù)數(shù)運(yùn)算問(wèn)題，主要考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，復(fù)數(shù)的幾何意義等基礎(chǔ)知識(shí)；考查運(yùn)算求解能力，數(shù)形結(jié)合思想；考查數(shù)學(xué)運(yùn)算?直觀想象等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).2.【答案】D【解析】由，選項(xiàng)錯(cuò)誤；，選項(xiàng)錯(cuò)誤；，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；因?yàn)椋?，所以選項(xiàng)D正確.【命題意圖】本小題設(shè)置數(shù)學(xué)課程學(xué)習(xí)情境，設(shè)計(jì)集合運(yùn)算問(wèn)題，主要考查集合的交集與并集，補(bǔ)集運(yùn)算等基礎(chǔ)知識(shí)；考查運(yùn)算求解能力，數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).3.【答案】B【解析】根據(jù)圖表可知，各月PMI的中位數(shù)小于，A錯(cuò)誤；2023年各月，2023年我國(guó)綜合PMI產(chǎn)出指數(shù)均大于，表明我國(guó)企業(yè)生產(chǎn)經(jīng)營(yíng)活動(dòng)持續(xù)擴(kuò)張，C錯(cuò)誤，B正確；2023年上半年各月PMI比下半年各月PMI的波動(dòng)大，則方差也大，故D錯(cuò)誤.【考查意圖】本小題設(shè)置數(shù)學(xué)應(yīng)用情境，主要考查統(tǒng)計(jì)圖表的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識(shí)，考查概率統(tǒng)計(jì)等思想方法，考查數(shù)據(jù)分析等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).4.【答案】A【解析】由題意得，則有，解得，又由，則有，解得，同理可得，所以，所以.注：本小題也可以利用向量線性運(yùn)算的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合思想求解.【命題意圖】本小題設(shè)置課程學(xué)習(xí)情境，設(shè)計(jì)平面向量運(yùn)算問(wèn)題，主要考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，數(shù)量積，夾角公式等基礎(chǔ)知識(shí)；考查運(yùn)算求解能力，數(shù)形結(jié)合思想，數(shù)學(xué)建模（可構(gòu)造三角形或取特值解答）思想；考查數(shù)學(xué)運(yùn)算?直觀想象?數(shù)學(xué)建模等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).5.【答案】C【解析】因?yàn)椋嗉拥膬身?xiàng)二項(xiàng)式展開(kāi)后的通項(xiàng)分別為與，所以的系數(shù)為.【命題意圖】本小題設(shè)置課程學(xué)習(xí)情境，設(shè)計(jì)二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)問(wèn)題，主要考查二項(xiàng)式展開(kāi)式特定項(xiàng)的系數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)；考查運(yùn)算求解能力，分類討論思想，數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).6.【答案】A【解析】因?yàn)?，所以，有，所?【命題意圖】本小題設(shè)置課程學(xué)習(xí)情境，設(shè)計(jì)三角恒等變換求值問(wèn)題，主要考查同角三角函數(shù)關(guān)系，兩角和的正弦公式，三角函數(shù)符號(hào)確定等基礎(chǔ)知識(shí)；考查運(yùn)算求解能力，化歸與轉(zhuǎn)化思想，數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).7.【答案】C【解析】設(shè)，直線的方程為：，聯(lián)立方程得，，故，從而-4，即，故選C.【命題意圖】本小題設(shè)置數(shù)學(xué)課程學(xué)習(xí)情境，設(shè)計(jì)直線與拋物線交點(diǎn)問(wèn)題，主要考查直線與拋物線的位置關(guān)系，向量的坐標(biāo)運(yùn)算，拋物線性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)；考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力，化歸與轉(zhuǎn)化思想；考查數(shù)學(xué)運(yùn)算，邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).8.【答案】C【解析】如圖，因?yàn)椋谄矫嬷杏?，所以平面不平行于平面；同理不平行于平面；易得，，所以，又，所以平?【命題意圖】本小題設(shè)置課程學(xué)習(xí)情境，設(shè)計(jì)正四棱柱與正四棱錐的組合體問(wèn)題，主要考查空間線面平行，線面垂直的判斷等基礎(chǔ)知識(shí)；考查推理論證能力，空間想象能力；考查邏輯推理，直觀想象等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).9.【答案】C【解析】.【命題意圖】本小題設(shè)置實(shí)踐應(yīng)用情境，主要考查計(jì)數(shù)原理?分組排列?組合?古典概型等基礎(chǔ)知識(shí)，考查分類與整合等數(shù)學(xué)思想，考查邏輯推理，數(shù)學(xué)建模等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).10.【答案】B【解析】對(duì)于①由，最小正周期為，結(jié)論①不正確；對(duì)于②，由，有，此時(shí)在區(qū)間單調(diào)遞增，結(jié)論②正確；對(duì)于③，，對(duì)稱軸由確定，當(dāng)時(shí)，，結(jié)論③正確.【命題意圖】本小題設(shè)置課程學(xué)習(xí)情境，設(shè)計(jì)三角函數(shù)圖象性質(zhì)問(wèn)題，主要考查含絕對(duì)值的余弦函數(shù)圖象，降冪公式，余弦函數(shù)的最小正周期，單調(diào)區(qū)間，圖象的軸對(duì)稱等基礎(chǔ)知識(shí)；考查邏輯推理能力，數(shù)形結(jié)合思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想，推理論證等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).11.【答案】A【解析】設(shè)，則，由于關(guān)于軸對(duì)稱，故，又因?yàn)?，所以，所以，所以，故選A.【命題意圖】本小題設(shè)置數(shù)學(xué)課程學(xué)習(xí)情境，設(shè)計(jì)雙曲線焦點(diǎn)弦問(wèn)題，主要考查雙曲線的方程與性質(zhì)，雙曲線焦點(diǎn)弦，離心率等基礎(chǔ)知識(shí)；考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力，化歸與轉(zhuǎn)化思想，數(shù)形結(jié)合思想；考查數(shù)學(xué)運(yùn)算，邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).12.【答案】C【解析】依題意，，不等式化為.設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以，在處取得極大值，也即最大值.又時(shí)，.由題知不等式恒成立，所以的圖象恒在的圖象的上方，顯然不符題意；當(dāng)時(shí)，為直線的橫截距，其最大值為的橫截距，再令，可得，且當(dāng)直線與在點(diǎn)處相切時(shí)，橫截距取得最大值.此時(shí)，切線方程為，所以取得最大值為.【命題意圖】本小題設(shè)置課程學(xué)習(xí)情境，主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識(shí)，考查化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想，考查數(shù)學(xué)抽象?邏輯推理?數(shù)學(xué)運(yùn)算?直觀想象等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).二?填空題13.【答案】-6【解析】作出約束條件表示的可行域?yàn)橐匀c(diǎn)為頂點(diǎn)的及其內(nèi)部，作出直線并平移，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，在軸上的截距最小，此時(shí)目標(biāo)函數(shù)取得最小值.【命題意圖】本小題設(shè)置課程學(xué)習(xí)情境，設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題，主要考查不等式組的解法，約束條件表示的可行域，直線平移及幾何意義等基礎(chǔ)知識(shí)；考查運(yùn)算求解能力，數(shù)形結(jié)合思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想；考查數(shù)學(xué)運(yùn)算?邏輯推理?直觀想象等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).14.【答案【解析】由余弦定理有，所以，所以的面積.【命題意圖】本小題設(shè)置課程學(xué)習(xí)情境，設(shè)計(jì)解三角形問(wèn)題，主要考查余弦定理，同角間的三角函數(shù)關(guān)系，三角形面積等基礎(chǔ)知識(shí)；考查運(yùn)算求解能力，邏輯推理能力，數(shù)形結(jié)合思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想，應(yīng)用意識(shí)；考查數(shù)學(xué)運(yùn)算?邏輯推理?直觀想象等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).15.【答案】，填寫(xiě)符合的一個(gè)值即可.【解析】依題意，，當(dāng)為奇函數(shù)，此時(shí)，則，故填等等.【命題意圖】本小題設(shè)置課程學(xué)習(xí)情境，主要考查函數(shù)奇偶性等基本性質(zhì)?簡(jiǎn)單的三角變換等基礎(chǔ)知識(shí)，考查化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想；考查數(shù)學(xué)抽象?邏輯推理?數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).16.【答案】1【解析】如圖，設(shè)，則在中，，在中，，在中，，聯(lián)立得，所以在中，，所以.【命題意圖】本小題設(shè)置數(shù)學(xué)課程學(xué)習(xí)情境，設(shè)計(jì)球與截面問(wèn)題，主要考查平面與球相截，空間線面位置關(guān)系，球內(nèi)三角形，矩形的性質(zhì)，勾股定理等基礎(chǔ)知識(shí)；考查運(yùn)算求解能力，空間想象能力，方程思想等基礎(chǔ)知識(shí)；考查數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)，直觀想象，邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).三?解答題17.【解析】（1）依題意，，，則，則，故變量與的相關(guān)程度很強(qiáng).（2）令變量與的線性回歸方程為.，所以，所以，變量關(guān)于的回歸方程為.2024年，即時(shí)，（億元）.所以，該公司2024年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值為78（億元）.【命題意圖】本小題設(shè)置生活實(shí)踐情境，主要考查回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用，考查統(tǒng)計(jì)基本思想以及抽象概括?數(shù)據(jù)處理等能力和應(yīng)用意識(shí)；考查數(shù)學(xué)運(yùn)算?數(shù)學(xué)建模等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).18.【解析】（1）由，當(dāng)時(shí)，，得，當(dāng)時(shí)，，整理得，，又，所以，所以數(shù)列是首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列，所以.（2）若選①，由（1）可得，，所以，，兩式相減得，所以.若選②，由（1）可得，.若選③，由（1）可得，.【命題意圖】本小題設(shè)置課程學(xué)習(xí)情境，設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)性不良的數(shù)列問(wèn)題，主要考查數(shù)列的前項(xiàng)和與通項(xiàng)公式，等比數(shù)列的性質(zhì)，錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和等基礎(chǔ)知識(shí)；考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力，化歸與轉(zhuǎn)化思想；考查數(shù)學(xué)運(yùn)算，邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，應(yīng)用意識(shí).19.【解析】（1）如圖，取的中點(diǎn)，連接.因?yàn)椋矫嫫矫?，平面平面，所以平?同理，平面.所以.又和是等腰直角三角形，所以，四邊形為平行四邊形，所以，又因?yàn)椋云矫嫫矫?（2）如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線為軸，過(guò)平行于的直線為軸，在平面內(nèi)垂直于的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，則.所以.設(shè)平面的法向量為，則令，得，所以.設(shè)平面的法向量為，則令，得，所以.所以.設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞減，所以所以，所以平面與平面所成銳二面角的取值范圍是.【命題意圖】本小題設(shè)置數(shù)學(xué)課程學(xué)習(xí)情境，設(shè)計(jì)立體幾何問(wèn)題，主要考查空間線線?線面位置關(guān)系，空間二面角等基礎(chǔ)知識(shí)；考查推理論證能力，空間想象能力，運(yùn)算求解能力；考查直觀想象，邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，應(yīng)用意識(shí).20.【解析】（1）由，故，則.由，得，故橢圓的方程為：.（2）由（1）可得，設(shè).顯然直線的斜率不為0，所以設(shè)直線的方程為.將與聯(lián)立，可得，其中，則.因?yàn)橹本€的方程為，直線的方程為，聯(lián)立直線與直線的方程可得：.由可得，即，故點(diǎn)在定直線上.【命題意圖】本小題設(shè)置數(shù)學(xué)課程學(xué)習(xí)情境，設(shè)計(jì)直線與橢圓問(wèn)題，主要考查橢圓的方程，橢圓中的三角形，直線過(guò)定點(diǎn)等基礎(chǔ)知識(shí)；考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力，化歸與轉(zhuǎn)化思想，數(shù)形結(jié)合思想；考查數(shù)學(xué)運(yùn)算，邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，應(yīng)用意識(shí).21.【解析】（1）依題意，，設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與曲線相切時(shí)的切點(diǎn)為，斜率，則，點(diǎn)的坐標(biāo)代入可得，則，即有解法1：若過(guò)點(diǎn)可作曲線兩條切線，只需方程方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根即可.令，只需函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)即可.則，①若，則時(shí)，時(shí)，時(shí)，，此時(shí)時(shí)，取極大值；時(shí)，取極小值，又，時(shí)，，函數(shù)只有1個(gè)零點(diǎn)，不合題意.②若，同理可知，此時(shí)時(shí)，取極大值；時(shí)，取極小值，又時(shí)，，函數(shù)只有1個(gè)零點(diǎn)，不合題意.③若，則時(shí)，時(shí)，，所以時(shí)，取極大值，又時(shí)，時(shí)，，函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)，則必有，得，故過(guò)點(diǎn)可作曲線兩條切線時(shí)，的取值范圍是.解法顯然，.若過(guò)點(diǎn)可作曲線兩條切線，只需方程方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根即可.令，則，令，則，可知時(shí)，單調(diào)遞增；時(shí)，單調(diào)遞減，所以，故當(dāng)時(shí)，單調(diào)