2017-2018學(xué)年山東省青島市李滄區(qū)九年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷（解析版）

2017-2018學(xué)年山東省青島市李滄區(qū)九年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（本題滿分24分，共有8道小題，每小題3分）下列每小題都給出標號為

A,B,C,D的四個結(jié)論，其中只有一個是正確的，每小題選對得分，不選、選錯或

選出的標號超過一個的不得分.

1.已知2x=3y,則下列比例式成立的是（）

A.區(qū)金B(yǎng).三2C.區(qū)且D.三=2

2y2332y3

2.用兩塊完全相同的長方體擺放成如圖所示的幾何體，這個幾何體的左視圖是（）

正面

3.一個袋中有黑球12個，白球若干，小明從袋中隨機一次摸出10個球，記下其黑球

的數(shù)目，再把它們放回，攪勻后重復(fù)上述過程20次，發(fā)現(xiàn)共有黑球48個，由此估

計袋中的白球數(shù)是（）個.

A.28個B.38個C.48個D.50個

4.若關(guān)于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有兩個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍是

（）

A.k>-1B.1<>-1且1<￡0C.k<lD.kVl且kWO

5.二次函數(shù)丫=2*2+6*+。（aWO）的圖象如圖所示，則下列說法不正確的是（）

A.b2-4ac>0B.a>0C.c>0D.-y-<0

6.隨著私家車的增加，城市的交通也越老越擁擠，通常情況下，某段高架橋上車輛的

行駛速度y（千米/時）與高架橋上每百米擁有車的數(shù)量x（輛）的關(guān)系如圖所示，當

x》10時，y與x成反比例函數(shù)關(guān)系，當車行駛速度低于20千米/時，交通就會擁堵,

為避免出現(xiàn)交通擁堵，高架橋上每百米擁有車的數(shù)量x應(yīng)該滿足的范圍是（）

C.x>40D.x<40

7.如圖，在寬為20米、長為32米的矩形地面上修筑同樣寬的道路（圖中陰影部分）,

余下部分種植草坪.要使草坪的面積為540平方米，則道路的寬為（）

C.2米D.2米或5米

8.在同一直角坐標系中，函數(shù)y=kx+l與)

二、填空題（本題滿分18分，共有6道小題，每小題3分）

9.計算cos60°+sin30°=.

10.已知菱形的周長為40cm,一條對角線長為16cm,則這個菱形的面積是.

11.平時我們在跳繩時，繩子甩到最高處的形狀可近似看作拋物線，如圖，建立直角坐

標系，拋物線的函數(shù)表達式為y=-gx2+,x+1?（單位：m）,繩子甩到最高處時剛好

通過站在x=2點處跳繩的學(xué)生小明的頭頂，則小明的身高為m.

12.如圖，在矩形紙片ABCD中，AB=12,BC=5,點E在AB上，將4DAE沿DE折疊,

使點A落在對角線BD上的點A，處，則AE的長為.

13.如圖1是小志同學(xué)書桌上的一個電子相框，將其側(cè)面抽象為如圖2所示的幾何圖形,

已知BC=BD=15cm,ZCBD=40",則點B到CD的距離為cm（參考數(shù)據(jù)sin20°

心0.342,cos20°^0.940,sin40°^0.643,cos40°^0.766,結(jié)果精確到0.1cm,可用科

學(xué)計算器）.

圖1圖2

14.如圖，都是由邊長為1的正方體疊成的圖形，例如第（1）個圖形的表面積為6個

平方單位，第（2）個圖形的表面積為18個平方單位，第（3）個圖形的表面積是36

個平方單位.依此規(guī)律，則第（6）個圖形的表面積個平方單位.

三、作圖題（本題滿分4分，用圓規(guī)、直尺作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡.）

15.如圖，小剛爸爸要利用一塊形狀為直角三角形（NC為直角）的鐵皮加工一個正方

形零件，使C為正方形的一個頂點，其余三個頂點分別在AB、BC、AC邊上，請協(xié)助

小剛爸爸用尺規(guī)畫出裁割線.

四、解答題（本題滿分74分，共有9道小題）

16.（8分）（1）用配方法解方程:x2-2x-3=0

（2）求二次函數(shù)y=-3X2+6X+2的圖象與x軸的交點坐標.

17.（6分）如圖，晚上，小亮在廣場上乘涼.圖中線段AB表示站在廣場上的小亮，線

段P。表示直立在廣場上的燈桿，點P表示照明燈.

（1）請你在圖中畫出小亮在照明燈（P）照射下的影子；

（2）如果燈桿高PO=12m,小亮的身高AB=1.6m,小亮與燈桿的距離BO=13m,請求出

小亮影子的長度.

18.（6分）商店只有雪碧、可樂、果汁、奶汁四種飲料，每種飲料數(shù)量充足，某同學(xué)去

該店購買飲料，每種飲料被選中的可能性相同.

（1）若他去買一瓶飲料，則他買到奶汁的概率是;

（2）若他兩次去買飲料，每次買一瓶，且兩次所買飲料品種不同，請用樹狀圖或列表

法求出他恰好買到雪碧和奶汁的概率.

19.（6分）南沙群島是我國固有領(lǐng)土，現(xiàn)在我南海漁民要在南沙某海島附近進行捕魚作

業(yè)，當漁船航行至B處時，測得該島位于正北方向20（1+代）海里的C處，為了防

止某國海巡警干擾，就請求我A處的漁監(jiān)船前往C處護航，已知C位于A處的北偏

東45。方向上，A位于B的北偏西30。的方向上，求A、C之間的距離.

20.(8分)某小學(xué)為每個班級配備了一種可以加熱的飲水機，該飲水機的工作程序是:

放滿水后，接通電源，則自動開始加熱，每分鐘水溫上升10C,待加熱到100C,

飲水機自動停止加熱，水溫開始下降，水溫y(℃)和通電時間X(min)成反比例關(guān)

系，直至水溫降至室溫，飲水機再次自動加熱，重復(fù)上述過程.設(shè)某天水溫和室溫為

20℃,接通電源后，水溫和時間的關(guān)系如下圖所示，回答下列問題：

(1)分別求出當0WxW8和8Vx〈a時，y和x之間的關(guān)系式；

(2)求出圖中a的值；

(3)李老師這天早上7：30將飲水機電源打開，若他想再8：10上課前能喝到不超過

40℃的開水，問他需要在什么時間段內(nèi)接水.

21.(8分)在RtAABC與RtAABD中，ZABC=ZBAD=90°,AC=BD,AC,BD相交于點G,

過點A作AE〃DB交CB的延長線于點E,過點B作BF〃CA交DA的延長線于點F,

AE,BF相交于點H.

(1)證明：4ABD四△BAC.

(2)四邊形AHBG是什么樣的四邊形，請猜想并證明.

(3)若使四邊形AHBG是正方形，還需在RtAABC添加一個什么條件？請?zhí)砑訔l件并

證明.

DC

22.（10分）某公司營銷A,B兩種產(chǎn)品，根據(jù)市場調(diào)研，確定兩條信息：

信息L銷售A種產(chǎn)品所獲利潤y（萬元）與所售產(chǎn)品x（噸）之間存在二次函數(shù)關(guān)系，

如圖所示：

信息2：銷售B種產(chǎn)品所獲利潤y（萬元）與銷售產(chǎn)品x（噸）之間存在正比例函數(shù)關(guān)系

y=0.3x.

根據(jù)以上信息，解答下列問題；

（1）求二次函數(shù)的表達式；

（2）該公司準備購進A、B兩種產(chǎn)品共10噸，請設(shè)計一個營銷方案，使銷售A、B兩種

產(chǎn)品獲得的利潤之和最大，最大利潤是多少萬元？

23.（10分）問題提出：某物業(yè)公司接收管理某小區(qū)后，準備進行綠化建設(shè)，現(xiàn)要將一

塊四邊形的空地（如圖5,四邊形ABCD）鋪上草皮，但由于年代久遠，小區(qū)規(guī)劃書

上該空地的面積數(shù)據(jù)看不清了，僅僅留下兩條對角線AC,BD的長度分別為20cm,

30cm及夾角NAOB為60。，你能利用這些數(shù)據(jù)，幫助物業(yè)人員求出這塊空地的面積

嗎？

問題分析：顯然，要求四邊形ABCD的面積，只要求出4ABD與4BCD（也可以是aABC

與4ACD）的面積，再相加就可以了.

建立模型：我們先來解決較簡單的三角形的情況：

如圖1,4ABC中，。為BC上任意一點（不與B,C兩點重合），連接OA,OA=a,BC=b,

NAOB=a（a為0A與BC所夾較小的角），試用a,b,a表示AABC的面積.

解：如圖2,作AMLBC于點M,

/.△AOM為直角三角形.

ZAOB=a,.，.5m0（=典即AM=OA*sina

0A

AABC的面積="|"?BC?AM=%BC?OA?sina=^-absina.

問題解決：請你利用上面的方法，解決物業(yè)公司的問題.

如圖3,四邊形ABCD中，0為對角線AC,BD的交點,已知AC=20m,BD=30m,ZAOB=60°,

求四邊形ABCD的面積.（寫出輔助線作法和必要的解答過程）

新建模型：若四邊形ABCD中，。為對角線AC,BD的交點，已知AC=a,BD=b,ZAOB=a

（a為0A與BC所夾較小的角），直接寫出四邊形ABCD的面積=.

模型應(yīng)用：如圖4,四邊形ABCD中，AB+CD=BC,ZABC=ZBCD=60",已知AC=a,則四

邊形ABCD的面積為多少？（“新建模型"中的結(jié)論可直接利用）

24.（12分）如圖，已知RtAABC中，ZC=90°,AC=8cm,AB=12cm,點P由B出發(fā)沿

BA方向向點A勻速運動，同時點Q由A出發(fā)沿AC方向向點C勻速運動，速度均為

lcm/s.以AQ、PQ為邊作DAQPD,連接DQ,交AB于點E.設(shè)運動的時間為t（單位:

s）（0WtW6）.解答下列問題：

（1）當t為何值時，口AQPD為矩形.

（2）當t為何值時，口AQPD為菱形.

（3）是否存在某一時刻3使四邊形AQPD的面積等于四邊形PQCB的面積，若存在，

請求出t值，若不存在，請說明理由.

2017-2018學(xué)年山東省青島市李滄區(qū)九年級（上）期末數(shù)學(xué)試

卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（本題滿分24分，共有8道小題，每小題3分）下列每小題都給出標號為

A,B,C,D的四個結(jié)論，其中只有一個是正確的，每小題選對得分，不選、選錯或

選出的標號超過一個的不得分.

1.已知2x=3y,則下列比例式成立的是（）

A.4=-B.4，c.4=-D.三4

2y2332y3

【分析】把各個選項依據(jù)比例的基本性質(zhì)，兩內(nèi)項之積等于兩外項之積，已知的比例式

可以轉(zhuǎn)化為等積式2x=3y,即可判斷.

【解答】解：A、變成等積式是：xy=6,故錯誤；

B、變成等積式是：3x=2y,故錯誤；

C、變成等積式是：2x=3y,故正確；

D、變成等積式是：3x=2y,故錯誤.

故選：C.

【點評】本題主要考查了判斷兩個比例式是否能夠互化的方法，即轉(zhuǎn)化為等積式，判斷

是否相同即可.

2.用兩塊完全相同的長方體擺放成如圖所示的幾何體，這個幾何體的左視圖是（）

正面

【分析】左視圖是從左邊看得到的視圖，結(jié)合選項即可得出答案.

【解答】解：所給圖形的左視圖為C選項說給的圖形.

故選：C.

【點評】本題考查了簡單組合體的三視圖，屬于基礎(chǔ)題，解答本題需要明白左視圖是從

左邊看得到的視圖.

3.一個袋中有黑球12個，白球若干，小明從袋中隨機一次摸出10個球，記下其黑球

的數(shù)目，再把它們放回，攪勻后重復(fù)上述過程20次，發(fā)現(xiàn)共有黑球48個，由此估

計袋中的白球數(shù)是()個.

A.28個B.38個C.48個D.50個

【分析】同樣條件下，大量反復(fù)試驗時，隨機事件發(fā)生的頻率逐漸穩(wěn)定在概率附近，根

據(jù)題中條件求出黑球的頻率，再近似估計白球數(shù)量.

【解答】解：設(shè)袋中的白球數(shù)是x個，根據(jù)題意得：

12=48

12+x-10X20,

解得:x=38,

答：袋中的白球數(shù)是38個；

故選:B.

【點評】此題考查了用樣本估計總體.大量反復(fù)試驗下頻率穩(wěn)定值即概率.關(guān)鍵是根據(jù)

黑球的頻率得到相應(yīng)的等量關(guān)系.

4.若關(guān)于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有兩個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍是

()

A.k>-1B.1<>-1且1<±0C.k<lD.kVl且k#0

【分析】根據(jù)根的判別式及一元二次方程的定義得出關(guān)于k的不等式組，求出k的取值

范圍即可.

【解答】解：?.?關(guān)于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有兩個不相等的實數(shù)根，

U穴，即陰、，

[△>0[A=4+4k>0

解得k>-1且kWO.

故選:B.

【點評】本題考查的是根的判別式，熟知一元二次方程的根與判別式的關(guān)系是解答此題

的關(guān)鍵.

5.二次函數(shù)y=ax2+bx+c(aWO)的圖象如圖所示，則下列說法不正確的是()

C.c>0D-玄<°

【分析】由拋物線的開口方向判斷a與0的關(guān)系，由拋物線與y軸的交點判斷c與。的

關(guān)系，然后根據(jù)對稱軸及拋物線與x軸交點情況進行推理,進而對所得結(jié)論進行判斷.

【解答】解：A、正確，?.?拋物線與x軸有兩個交點，.?.△=b2-4ac>0；

B、正確，?.?拋物線開口向上，，a>0；

C、正確，?.?拋物線與y軸的交點在y軸的正半軸，...OO；

D、錯誤，?.?拋物線的對稱軸在x的正半軸上，-?>0.

2a

故選：D.

【點評】主要考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)之間的關(guān)系，以及二次函數(shù)與方程之間的轉(zhuǎn)換，

根的判別式的熟練運用.

6.隨著私家車的增加，城市的交通也越老越擁擠，通常情況下，某段高架橋上車輛的

行駛速度y（千米/時）與高架橋上每百米擁有車的數(shù)量x（輛）的關(guān)系如圖所示，當

x210時，y與x成反比例函數(shù)關(guān)系，當車行駛速度低于20千米/時，交通就會擁堵,

為避免出現(xiàn)交通擁堵，高架橋上每百米擁有車的數(shù)量x應(yīng)該滿足的范圍是（）

C.x>40D.x<40

【分析】利用已知反比例函數(shù)圖象過（10,80）,得出其函數(shù)解析式，再利用y=20時,

求出x的最值，進而求出x的取值范圍.

【解答】解：設(shè)反比例函數(shù)的解析式為：y=-,

X

則將（10,80）,代入得：y=M,

X

故當車速度為20千米/時，則20=%,

X

解得：x=40,

故高架橋上每百米擁有車的數(shù)量x應(yīng)該滿足的范圍是：x〈40.

故選：A.

【點評】此題主要考查了反比例函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)題意得出函數(shù)解析式是解題關(guān)鍵.

7.如圖，在寬為20米、長為32米的矩形地面上修筑同樣寬的道路（圖中陰影部分）,

余下部分種植草坪.要使草坪的面積為540平方米，則道路的寬為（）

A.5米B.3米C.2米D.2米或5米

【分析】設(shè)道路的寬為X,利用"道路的面積”作為相等關(guān)系可列方程20X+32X-X2=20X

32-540,解方程即可求解.解題過程中要根據(jù)實際意義進行x的值的取舍.

【解答】解：設(shè)道路的寬為x,根據(jù)題意得20X+32X-X2=20X32-540

整理得（x-26）2=576

開方得x-26=24或x-26=-24

解得x=50（舍去）或x=2

所以道路寬為2米.

故選：C.

【點評】本題考查的是一元二次方程的實際運用.找到關(guān)鍵描述語，找到等量關(guān)系準確

的列出方程是解決問題的關(guān)鍵.

8.在同一直角坐標系中，函數(shù)y=kx+l與y=K（kWO）的圖象大致是（）

X

【分析】根據(jù)一次函數(shù)和反比例函數(shù)的特點,kWO,所以分k>0和kVO兩種情況討論.當

兩函數(shù)系數(shù)k取相同符號值，兩函數(shù)圖象共存于同一坐標系內(nèi)的即為正確答案.

【解答】解：分兩種情況討論：

①當k>0時，y=kx+l與y軸的交點在正半軸，過一、二、三象限，反比例函數(shù)的圖象

在第一三象限；

②當k<0時，y=kx+l與y軸的交點在正半軸，過一、二、四象限，反比例函數(shù)的圖象

在第二四象限.

故選:A.

【點評】本題主要考查了反比例函數(shù)的圖象性質(zhì)和一次函數(shù)的圖象性質(zhì)，關(guān)鍵是由k的

取值確定函數(shù)所在的象限.

二、填空題（本題滿分18分，共有6道小題，每小題3分）

9.計算cos60°+sin30°=1.

【分析】根據(jù)特殊角三角函數(shù)值，可得答案.

【解答】解：原式=5+*1,

故答案為：1.

【點評】本題考查了特殊角三角函數(shù)值，熟記特殊角三角函數(shù)值是解題關(guān)鍵.

10.已知菱形的周長為40cm,一條對角線長為16cm,則這個菱形的面積是96cm?.

【分析】因為周長是40,所以邊長是10.根據(jù)對角線互相垂直平分得直角三角形，運

用勾股定理求另一條對角線的長，最后根據(jù)菱形的面積等于對角線乘積的一半計算求

解.

【解答】解：因為周長是40cm,所以邊長是10cm.

如圖所示：AB=10cm,AC=16cm.

D

B

根據(jù)菱形的性質(zhì)，AC±BD,A0=8cm,

/.B0=6cm,BD=12cm.

，面積S=3x16X12=96（cm2）.

故答案是：96cm2.

【點評】此題考查了菱形的性質(zhì)及其面積計算.主要利用菱形的對角線互相垂直平分及

勾股定理來解決.

菱形的面積有兩種求法：

（1）利用底乘以相應(yīng)底上的高；

（2）利用菱形的特殊性，菱形面積=5X兩條對角線的乘積.

具體用哪種方法要看已知條件來選擇.

11.平時我們在跳繩時，繩子甩到最高處的形狀可近似看作拋物線，如圖，建立直角坐

標系，拋物線的函數(shù)表達式為丫=-*+點+5（單位：m）,繩子甩到最高處時剛好

通過站在x=2點處跳繩的學(xué)生小明的頭頂，則小明的身高為L5m.

【分析】實際上告訴了拋物線上某一點的橫坐標x=2,求縱坐標.代入解析式即可解答.

【解答］解:在丫=-9+幼4中，

boZ

當x=2時，得y=1-=1.5.

即小明的身高為L5米.

故答案為：1.5

【點評】本題考查點的坐標的求法及二次函數(shù)的實際應(yīng)用.此題為數(shù)學(xué)建模題，借助二

次函數(shù)解決實際問題.

12.如圖，在矩形紙片ABCD中，AB=12,BC=5,點E在AB上，將aDAE沿DE折疊,

使點A落在對角線BD上的點A，處，則AE的長為當

0

Dr

【分析】首先利用勾股定理計算出BD的長，再根據(jù)折疊可得AD=A，D=5,進而得到AB

的長，再設(shè)AE=x,則AE=x,BE=12-x,再在RtaAEB中利用勾股定理可得方程：（12

-x）2=X2+82,解出x的值，可得答案.

【解答】解：???AB=12,BC=5,

，AD=5,BD=^j-22+5d13,

根據(jù)折疊可得：AD=A,D=5,

，A'B=13-5=8,

設(shè)AE=x,則A'E=x,BE=12-x,

在Rt^A'EB中：（12-x）2=X2+82,

解得：

故答案為：學(xué).

【點評】此題主要考查了圖形的翻折變換，關(guān)鍵是掌握折疊的性質(zhì)：折疊是一種對稱變

換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相

等.

13.如圖1是小志同學(xué)書桌上的一個電子相框，將其側(cè)面抽象為如圖2所示的幾何圖形,

已知BC=BD=15cm,ZCBD=40°,則點B至UCD的距離為14.1cm（參考數(shù)據(jù)Cn2O。

心0.342,cos20。七0.940,sin40°=0.643,cos40°^0.766,結(jié)果精確至U0.1cm,可用科

學(xué)計算器）.

圖1圖2

【分析】作BELCD于E,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和NCBD=40。，求出NCBE的度數(shù)，根

據(jù)余弦的定義求出BE的長.

【解答】解：如圖2,作BE_LCD于E,

VBC=BD,ZCBD=40°,

.,.ZCBE=20",

在RtaCBE中，cosNCBE=整，

BC

.\BE=BC*cosZCBE

=15X0.940

=14.lcm.

故答案為：14.1.

【點評】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用，掌握銳角三角函數(shù)的概念是解題的關(guān)鍵，

作出合適的輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的重要環(huán)節(jié).

14.如圖，都是由邊長為1的正方體疊成的圖形，例如第（1）個圖形的表面積為6個

平方單位，第（2）個圖形的表面積為18個平方單位，第（3）個圖形的表面積是36

個平方單位.依此規(guī)律，則第（6）個圖形的表面積126個平方單位.

⑴（2）

【分析】結(jié)合圖形，發(fā)現(xiàn)第（1）個圖形的表面積是1X6=6,第（2）個圖形的表面積是

（1+2）X6=18,第（3）圖形的表面積是（1+2+3）X6=36；以此類推即可求解.

【解答】解：結(jié)合圖形，發(fā)現(xiàn)：

第（1）個圖形的表面積是1X6=6,

第（2）個圖形的表面積是（1+2）X6=18,

第（3）圖形的表面積是（1+2+3）X6=36,

第（4）圖形的表面積是（1+2+3+4）X6=60,

故第n個圖形的表面積是（l+2+3+...+n）X6=3n（n+1）,

.?.第（6）個圖形的表面積是3X6X（6+1）=126,

故答案為：126.

【點評】本題是一道找規(guī)律的題目，要求學(xué)生通過觀察，分析、歸納發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，

并應(yīng)用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決問題.

三、作圖題（本題滿分4分，用圓規(guī)、直尺作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡.）

15.如圖，小剛爸爸要利用一塊形狀為直角三角形（NC為直角）的鐵皮加工一個正方

形零件，使C為正方形的一個頂點，其余三個頂點分別在AB、BC、AC邊上，請協(xié)助

小剛爸爸用尺規(guī)畫出裁割線.

【分析】直接利用正方形的性質(zhì)得出NC的角平分線交AB于點M,進而過M作MD±

AC,ME_LBC得出答案即可.

【解答】解：如圖所示：點M即為所求.

【點評】此題主要考查了應(yīng)用設(shè)計與作圖，正確掌握正方形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

四、解答題（本題滿分74分，共有9道小題）

16.（8分）（1）用配方法解方程:x2-2x-3=0

（2）求二次函數(shù)y=-3x?+6x+2的圖象與x軸的交點坐標.

【分析】（1）根據(jù)配方法的步驟計算可得;

（2）求出y=0時x的值可得.

【解答】解：（1）Vx2-2x-3=0,

/.x2-2x=3,

則x2-2x+l=3+l,即（x-1）2=4,

Ax-1=2或x-1=-2,

解得：x=3或x=-l.

（2）令y=0得-3X2+6X+2=0,

解得：x=）

...該二次函數(shù)圖象與X軸的交點為（三巫0）、（紀運0）.

33

【點評】本題主要考查配方法解一元二次方程和拋物線與x軸的交點，解題的關(guān)鍵是掌

握配方法解方程的步驟及令y=0,即ax2+bx+c=0,解關(guān)于x的一元二次方程即可求得

交點橫坐標.

17.（6分）如圖，晚上，小亮在廣場上乘涼.圖中線段AB表示站在廣場上的小亮，線

段P。表示直立在廣場上的燈桿，點P表示照明燈.

（1）請你在圖中畫出小亮在照明燈（P）照射下的影子；

（2）如果燈桿高PO=12m,小亮的身高AB=1.6m,小亮與燈桿的距離BO=13m,請求出

小亮影子的長度.

【分析】（1）直接連接點光源和物體頂端形成的直線與地面的交點即是影子的頂端；

（2）根據(jù)中心投影的特點可知△CABs^CPO,利用相似比即可求解.

【解答】解：（1）連接PA并延長交地面于點C,線段BC就是小亮在照明燈（P）照射

下的影子.（2分）

(2)^EACAB^RACPO中,

VZC=ZC,ZABC=ZPOC=90°

.,.△CAB^ACPO

AAB^CB（5分）

POCO

.1.6二CB

12"13+BC

/.BC=2m,

...小亮影子的長度為2m（7分）

【點評】本題綜合考查了中心投影的特點和規(guī)律以及相似三角形性質(zhì)的運用.解題的關(guān)

鍵是利用中心投影的特點可知在這兩組三角形相似，利用其相似比作為相等關(guān)系求出

所需要的線段.

18.（6分）商店只有雪碧、可樂、果汁、奶汁四種飲料，每種飲料數(shù)量充足，某同學(xué)去

該店購買飲料，每種飲料被選中的可能性相同.

（1）若他去買一瓶飲料，則他買到奶汁的概率是:；

（2）若他兩次去買飲料，每次買一瓶，且兩次所買飲料品種不同，請用樹狀圖或列表

法求出他恰好買到雪碧和奶汁的概率.

【分析】（1）由商店只有雪碧、可樂、果汁、奶汁四種飲料，每種飲料數(shù)量充足，某同

學(xué)去該店購買飲料，每種飲料被選中的可能性相同，直接利用概率公式求解即可求得

答案；

（2）首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果與他恰好買到雪

碧和奶汁的情況，再利用概率公式即可求得答案.

【解答】解：（1）???商店只有雪碧、可樂、果汁、奶汁四種飲料，每種飲料數(shù)量充足，

某同學(xué)去該店購買飲料，每種飲料被選中的可能性相同，

???他去買一瓶飲料，則他買到奶汁的概率是：率；

4

故答案沏|

（2）畫樹狀圖得：

開始

/T\/NZN

可果奶雪果奶雪可奶雪可果

樂汁汁碧汁汁碧樂汁碧樂汁

?.?共有12種等可能的結(jié)果，他恰好買到雪碧和奶汁的有2種情況，

他恰好買到雪碧和奶汁的概率為：/

【點評】本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率.列表法或畫樹狀圖法可以不重復(fù)

不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，列表法適合于兩步完成的事件，樹狀圖法適合兩步或

兩步以上完成的事件.用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

19.（6分）南沙群島是我國固有領(lǐng)土，現(xiàn)在我南海漁民要在南沙某海島附近進行捕魚作

業(yè)，當漁船航行至B處時，測得該島位于正北方向20（1+炳）海里的C處，為了防

止某國海巡警干擾，就請求我A處的漁監(jiān)船前往C處護航，已知C位于A處的北偏

東45。方向上，A位于B的北偏西30。的方向上，求A、C之間的距離.

【分析】作ADLBC,垂足為D,設(shè)CD=x,利用解直角三角形的知識，可得出AD,繼而

可得出BD,結(jié)合題意BC=CD+BD可得出方程，解出x的值后即可得出答案.

【解答】解：如圖，作ADLBC,垂足為D,

由題意得，ZACD=45°,ZABD=30°.

設(shè)CD=x,在RtAACD中，可得AD=x,

在Rt^ABD中，可得BD=g,

XVBC=20（1+我），CD+BD=BC,

即x+J^<=20（1+5/3）>

解得:x=20,

:.AC=N?=2GM(海里).

答：A、C之間的距離為20&海里.

【點評】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)題意構(gòu)造直角三角形,

將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型進行求解，難度一般.

20.(8分)某小學(xué)為每個班級配備了一種可以加熱的飲水機，該飲水機的工作程序是：

放滿水后，接通電源，則自動開始加熱，每分鐘水溫上升10℃,待加熱到100℃,

飲水機自動停止加熱，水溫開始下降，水溫y(℃)和通電時間x(min)成反比例關(guān)

系，直至水溫降至室溫，飲水機再次自動加熱，重復(fù)上述過程.設(shè)某天水溫和室溫為

20C,接通電源后，水溫和時間的關(guān)系如下圖所示，回答下列問題：

(1)分別求出當0WxW8和8VxWa時，y和x之間的關(guān)系式；

(2)求出圖中a的值；

(3)李老師這天早上7：30將飲水機電源打開，若他想再8：10上課前能喝到不超過

40c的開水，問他需要在什么時間段內(nèi)接水.

【分析】(1)由函數(shù)圖象可設(shè)函數(shù)解析式，再將圖中坐標代入解析式，利用待定系數(shù)法

即可求得y與x的關(guān)系式；

(2)將y=20代入y=跑，即可得到a的值；

(3)要想喝到不超過40℃的開水，7：30加20分鐘即可接水，一直到8：10；

【解答】解：(1)當0WxW8時，設(shè)丫=1<冰+13,

將(0,20),(8,100)代入y=kix+b,

得ki=10,b=20,

所以當0WxW8時,y=10x+20；

當8Vx〈a時，設(shè)y=±2,

X

將(8,100)代入，得k2=800,

所以當8VxWa時，y=幽；

X

故當0WxW8時，y=10x+20；當8VxWa時，丫=8姐；

X

(2)將y=20代入丫=里工

x

解得a=40；

(3)8：10-8分鐘=8：02,

10X+20W40,

，0VxW2,

V—^40,

x

，20Wx<40.

所以李老師這天早上7：30將飲水機電源打開，若他想在8：10上課前能喝到不超過40℃

的熱水，

則需要在7：50?8：10時間段內(nèi)接水.

【點評】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用待定系數(shù)法求出

兩個函數(shù)的解析式.

21.(8分)在RtAABC與RtAABD中，ZABC=ZBAD=90°,AC=BD,AC,BD相交于點G,

過點A作AE〃DB交CB的延長線于點E,過點B作BF〃CA交DA的延長線于點F,

AE,BF相交于點H.

(1)證明：4ABD之△BAC.

(2)四邊形AHBG是什么樣的四邊形，請猜想并證明.

（3）若使四邊形AHBG是正方形，還需在RtAABC添加一個什么條件？請?zhí)砑訔l件并

證明.

【分析】（1）可根據(jù)已知條件NABC=NBAD=90°,AB=BA,AC=BD即可得到aABC之4BAD.

（2）由已知可得四邊形AHBG是平行四邊形，由（1）可知NABD=NBAC,得至IJaGAB

為等腰三角形，口AHBG的兩鄰邊相等，從而得到平行四邊形AHBG是菱形.

（3）根據(jù)有一個角是直角的菱形是正方形，進行判斷即可.

【解答】解:（1）VZABC=ZBAD=90",AB=BA,AC=BD,

RtAABC^RtABAD（HL）.

（2）四邊形AHBG是菱形.

證明：VAH^GB,BH〃GA,

四邊形AHBG是平行四邊形.

VAABC^ABAD,

...ZABD=ZBAC,

，GA=GB,

二平行四邊形AHBG是菱形.

（3）需要添加的條件是AB=BC.

證明：VAB=BC,ZABC=90°,

/.△ABC是等腰直角三角形，

/.ZBAG=45O,

XVAABC^ABAD,

ZABG=ZBAG=45°,

ZAGB=90°,

二菱形AHBG是正方形.

DC

【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)等幾何知識的

綜合運用，解題時注意：先判定四邊形是菱形，再判定這個菱形有一個角為直角即可

得到正方形.

22.（10分）某公司營銷A,B兩種產(chǎn)品，根據(jù)市場調(diào)研，確定兩條信息：

信息1：銷售A種產(chǎn)品所獲利潤y（萬元）與所售產(chǎn)品x（噸）之間存在二次函數(shù)關(guān)系，

如圖所示：

信息2：銷售B種產(chǎn)品所獲利潤y（萬元）與銷售產(chǎn)品x（噸）之間存在正比例函數(shù)關(guān)系

y=0.3x.

根據(jù)以上信息，解答下列問題；

（1）求二次函數(shù)的表達式；

（2）該公司準備購進A、B兩種產(chǎn)品共10噸，請設(shè)計一個營銷方案，使銷售A、B兩種

產(chǎn)品獲得的利潤之和最大，最大利潤是多少萬元？

【分析】（1）由拋物線過原點可設(shè)y與x間的函數(shù)關(guān)系式為y=ax?+bx,再利用待定系數(shù)

法求解可得；

（2）設(shè)購進A產(chǎn)品m噸，購進B產(chǎn)品（10-m）噸，銷售A、B兩種產(chǎn)品獲得的利潤

之和為W元,根據(jù):A產(chǎn)品利潤+B產(chǎn)品利潤=總利潤可得W=-0.1m2+1.5m+0.3（10

-m）,配方后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可知最值情況.

【解答】解：（1）根據(jù)題意，設(shè)銷售A種產(chǎn)品所獲利潤y與銷售產(chǎn)品x之間的函數(shù)關(guān)系

式為y=ax，bx,

將（1,1.4）、（3,3.6）代入解析式，

得：卜+b<4,

l9a+3b=3.6

解得：產(chǎn)-0J,

lb=l.5

???銷售A種產(chǎn)品所獲利潤y與銷售產(chǎn)品x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=-0.1X2+1.5X；

（2）設(shè)購進A產(chǎn)品m噸，購進B產(chǎn)品（10-m）噸，銷售A、B兩種產(chǎn)品獲得的利潤

之和為W元，

則W=-0.1m2+1.5m+0.3（10-m）,

=-0.1m2+1.2m+3,

=-0.1（m-6）2+6.6,

；-0,1<0,

.,.當m=6時，W取得最大值，最大值為6.6萬元，

答：購進A產(chǎn)品6噸，購進B產(chǎn)品4噸，銷售A、B兩種產(chǎn)品獲得的利潤之和最大，最

大利潤是6.6萬元.

【點評】本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，主要利用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，

二次函數(shù)的最值問題，（2）中整理得到所獲利潤與購進A產(chǎn)品的噸數(shù)的關(guān)系式是解

題的關(guān)鍵.

23.（10分）問題提出：某物業(yè)公司接收管理某小區(qū)后，準備進行綠化建設(shè)，現(xiàn)要將一

塊四邊形的空地（如圖5,四邊形ABCD）鋪上草皮，但由于年代久遠，小區(qū)規(guī)劃書

上該空地的面積數(shù)據(jù)看不清了，僅僅留下兩條對角線AC,BD的長度分別為20cm,

30cm及夾角NAOB為60。，你能利用這些數(shù)據(jù)，幫助物業(yè)人員求出這塊空地的面積

嗎？

問題分析：顯然，要求四邊形ABCD的面積，只要求出aABD與aBCD（也可以是4ABC

與AACD）的面積，再相加就可以了.

建立模型：我們先來解決較簡單的三角形的情況：

如圖1,aABC中，。為BC上任意一點（不與B,C兩點重合），連接OA,OA=a,BC=b,

NAOB=a（a為0A與BC所夾較小的角），試用a,b,a表示AABC的面積.

解：如圖2,作AMLBC于點M,

...△AOM為直角三角形.

AM

又,.,/AOB=a,.,.5吊（1=瞿即AM=OA*sina

OA

AABC&\Jjfi|^R=-1-*BC?AM=-^-?BC?OA*sina=-1-absina.

問題解決：請你利用上面的方法，解決物業(yè)公司的問題.

如圖3,四邊形ABCD中，0為對角線AC,BD的交點，已知AC=20m,BD=30m,ZAOB=60°,

求四邊形ABCD的面積.（寫出輔助線作法和必要的解答過程）

新建模型：若四邊形ABCD中，。為對角線AC,BD的交點，已知AC=a,BD=b,ZAOB=a

（a為OA與BC所夾較小的角），直接寫出四邊形ABCD的面積=^absina.

模型應(yīng)用：如圖4,四邊形ABCD中，AB+CD=BC,ZABC=ZBCD=60°,已知AC=a,則四

邊形ABCD的面積為多少？（“新建模型”中的結(jié)論可直接利用）

【分析】問題解決，如圖5中，作AELBD于E,CF_LBD于F.根據(jù)S四邊形ABCD=SMBD+S4

BCD計算即可;

新建模型，如圖5中，作AE±BD于E,CF1BD于F.S四邊形ABCD二S/XABD+SA

BCD=-^eBD*AE+-^-*BD*CF=-^*BD*(AE+CF)=-^-*BD*(0A*sina+0C*sina)=7；*BD*AC*sina；

乙乙乙乙乙

模型應(yīng)用，如圖4中，在CB上取CE=CD,連接DE,AE,BD.只要證明BD=AC,ZAPB=60"

即可;

【解答】解：問題解決，如圖5中，作AELBD于E,CF1.BD于F.

B圖5

*'S四邊脛ABCD=S△ABD+S△BCD=,BD?AE+*BD*CF=*BD*(AE+CF)=*BD?

(OA*sin60°+OC?sin60")=苧?BD?AC=150對.

新建模型，如圖5中，