遵義航天2023學(xué)年高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。

2.答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。

3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。

4.作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。

5.保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的結(jié)果為11,則圖中的判斷條件可以為（）

A.S>—1?B.S<0?C.S<-1?D.S>0?

2.設(shè)集合A={x|x<3},5={%|%(?；?2},則4仆5=()

A.B.（2,3）C.,0)u(2,3)D.(-co,3)

3.若兩個(gè)非零向量人滿足,+力=0,且,+囚=2,一w，則a與b夾角的余弦值為（）

31

A.C.一

52

22

4.已知雙曲線二-4=1（aX）,Z?>0）的左、右焦點(diǎn)分別為E,F,以O(shè)F（。為坐標(biāo)原點(diǎn)）為直徑的圓C交

crb2

雙曲線于兩點(diǎn)，若直線AE與圓C相切，則該雙曲線的離心率為（）

A,0+3指2百+逐C3亞+2"D30+痣

22?2?2

5.已知盒中有3個(gè)紅球,3個(gè)黃球，3個(gè)白球，且每種顏色的三個(gè)球均按A，B,C編號(hào)，現(xiàn)從中摸出3個(gè)球（除顏

色與編號(hào)外球沒有區(qū)別）,則恰好不同時(shí)包含字母A,B,C的概率為（）

1719723

A.—c.一D.—

2128928

"九+2=2%+i

6.數(shù)列{風(fēng)}滿足4+nGN,、9日一+。2+。3=9,。4=8,則%=()

7.已知全集為R,集合A=xy=(x—1)-5,3={》|爐—2x<0},貝！j(\A)|B=()

A.(0,2)B.(1,2]C.[0,1]D.(0,1]

8.設(shè)拋物線C-.y~=2px(p>0)的焦點(diǎn)為居拋物線C與圓c'：/+(/_6尸=3交于昭N兩點(diǎn)，若|MN|=瓜，則

MNF的面積為()

372D.逑

A.正B.

88~8~4

9.下列函數(shù)中，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱的為()

A./(%)=B./(%)=,7+2x+J7-2x,xe[-l,2]

Vx2+1

C./(x)=sin8xD.小)=￡1^2

10.已知平面a和直線a,b,則下列命題正確的是()

i1

A.若a〃b,b"a,則a〃aB.若〃_|_力，b-La9則a〃a

C.若b.La9則〃_1。D.若alb，b〃a，則〃_￡。

11.已知i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)Z滿足二一=5-i,則2=()

1+21

A.1+iB.-1+iC.l-2iD.l+2i

12.若雙曲線0-/=1(?！?)的一條漸近線與圓龍2+(,—2)2=2至多有一個(gè)交點(diǎn)，則雙曲線的離心率的取值范圍

是()

A.[后,+qB.[2,+oo)C.(1,V2]D.(1,2]

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

x>0,

13.已知X,V滿足約束條件則2=%—y的最大值為.

2x+y<2,

14.已知四棱錐尸-ABCD的底面A5CZ>是邊長為2的正方形，且NQ4B=90°.若四棱錐P-A5CD的五個(gè)頂點(diǎn)在以4

為半徑的同一球面上，當(dāng)初最長時(shí)，則NPZM=;四棱錐尸-43。的體積為.

15.某種圓柱形的如罐的容積為1287r個(gè)立方單位，當(dāng)它的底面半徑和高的比值為.時(shí)，可使得所用材料最省.

16.某中學(xué)高一年級(jí)有學(xué)生1200人，高二年級(jí)有學(xué)生900人，高三年級(jí)有學(xué)生1500人，現(xiàn)按年級(jí)用分層抽樣的方法

從這三個(gè)年級(jí)的學(xué)生中抽取一個(gè)容量為720的樣本進(jìn)行某項(xiàng)研究，則應(yīng)從高三年級(jí)學(xué)生中抽取____人.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）如圖所示，在四面體ABC。中，ADrAB,平面平面ABC,AB=BC=-AC,且

2

AD+BC=4.

（1）證明：3C_L平面ABD；

（2）設(shè)E為棱AC的中點(diǎn)，當(dāng)四面體ABC。的體積取得最大值時(shí)，求二面角C-5￡>-石的余弦值.

18.（12分）在四棱錐尸—A5CD中，底面ABCD是邊長為2的菱形，NBAD=120°,PA=2,PB=PC=PD,E是PB

的中點(diǎn).

（1）證明：平面A3C。；

（2）設(shè)廠是直線上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)E到平面P4廠距離最大時(shí)，求面戶與面E4c所成二面角的正弦值.

x=-l+2cos<z?

19.（12分）在直角坐標(biāo)系犬0y中，曲線C的參數(shù)方程為《c.（。為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，X軸正

y=2sin0

半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系.已知點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為（-2,0）,過P的直線/與曲線。相交于"，N兩點(diǎn).

（1）若/的斜率為2,求/的極坐標(biāo)方程和曲線C的普通方程；

UULOUUU^

（2）求PATPN的值.

20.(12分)已知函數(shù)/(x)=x2+lnx.

(1)若函數(shù)g(x)=/(x)+(a-l)lnx的圖象與x軸有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)”的取值范圍；

(2)若/(x)—(2m—1卜<(1一相對(duì)任意成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

21.(12分)已知C(x)=2|x+l|,g(x)=|x-3|.

(1)解〃x)/g(x)；

⑵若|2a—》區(qū)1,證明：/(a)+g(Z?)>4.

22.(10分)如圖1,在邊長為4的正方形ABCD中，E是AD的中點(diǎn)，R是CD的中點(diǎn)，現(xiàn)將三角形DEF沿歷翻

折成如圖2所示的五棱錐P-ABCFE.

(1)求證：AC平面PEF；

(2)若平面PE尸J_平面ABCEE,求直線P3與平面Q4E所成角的正弦值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.B

【解析】

根據(jù)程序框圖知當(dāng)，?=11時(shí)，循環(huán)終止，此時(shí)S=l-lgll<0,即可得答案.

【詳解】

i=l,S=1.運(yùn)行第一次，S=l+lg|=l-lg3>0,/=3,不成立，運(yùn)行第二次，

13

5=l+lg-+lg-=l-lg5>0,z=5,不成立，運(yùn)行第三次，

135

S=l+lg-+lg-+lg-=l-lg7>0,z=7,不成立，運(yùn)行第四次，

357

1357

S=l+lg-+lg-+lg-+lg-=l-lg9>0,z=9,不成立，運(yùn)行第五次，

3579

13579

5=l+lg-+lg-+lg-+lg-+lg-=l-lgll<0,z=ll,成立，

輸出i的值為U,結(jié)束.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查補(bǔ)充程序框圖判斷框的條件，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，

求解時(shí)注意模擬程序一步一步執(zhí)行的求解策略.

2.C

【解析】

直接求交集得到答案.

【詳解】

集合A={X|X<3},5={X|M。或?2},則Ac6=（fo,0）u（2,3）.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了交集運(yùn)算，屬于簡單題.

3.A

【解析】

設(shè)平面向量a與8的夾角為。，由已知條件得出口=|“，在等式卜+。|=2卜-,兩邊平方，利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)

算律可求得cos。的值，即為所求.

【詳解】

2222IiTI

設(shè)平面向量a與人的夾角為e,—》）=/—W]=0,可得a=可，

在等式,+。|=卜一兩邊平方得，+片一。必+片，化簡得。=|.

24J+2a.z=4/84cos

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用平面向量的模求夾角的余弦值，考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中等題.

4.D

【解析】

連接C4,”，可得但。|=,，在ACE中，由余弦定理得AE,結(jié)合雙曲線的定義，即得解.

連接C4,AF,

則|0。|=|04|=|。司=］，|。目=。，

所以|EC|=B，IFC|=|

在中，|AE|=&C,COSZACE=1,

故cosZACF=-cosZACE=--

3

在一ACE中，由余弦定理

AF2=C42+CF2-2CACF-cosZACF

可得AF=YSC.

3

根據(jù)雙曲線的定義，得拒c-&c=2a,

3

￡>--c----2------6----3-7-2-+--7-6

所以雙曲線的離心率-J叵一旦一3@-瓜—2

3

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題考查了雙曲線的性質(zhì)及雙曲線的離心率，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.

5.B

【解析】

首先求出基本事件總數(shù)，則事件“恰好不同時(shí)包含字母A,B,C”的對(duì)立事件為“取出的3個(gè)球的編號(hào)恰好為字母A,

B,C”，記事件“恰好不同時(shí)包含字母A,B,C”為E,利用對(duì)立事件的概率公式計(jì)算可得；

【詳解】

解：從9個(gè)球中摸出3個(gè)球，則基本事件總數(shù)為84(個(gè))，

則事件“恰好不同時(shí)包含字母A,B,C”的對(duì)立事件為“取出的3個(gè)球的編號(hào)恰好為字母A,B,C”

3319

記事件“恰好不同時(shí)包含字母A,B,C”為E,則P(E)=1—=.

0928

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題考查了古典概型及其概率計(jì)算公式，考查了排列組合的知識(shí)，解答的關(guān)鍵在于正確理解題意，屬于基礎(chǔ)題.

6.A

【解析】

先由題意可得數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列，再根據(jù)4+4+%=9,為=8,可求出公差，即可求出名.

【詳解】

數(shù)列｛??｝滿足an+an+2=2an+1(neN*),則數(shù)列｛an｝為等差數(shù)列，

%+電+%=9,%=8,

+3d=9,q+3d=8,

」5

..d—,

2

Jo521

..cir—CLAd—o~\—,

22

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)和通項(xiàng)公式的求法，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.

7.D

【解析】

1

對(duì)于集合A,求得函數(shù)y=(X-1戶的定義域,再求得補(bǔ)集；對(duì)于集合3,解得一元二次不等式，

再由交集的定義求解即可.

【詳解】

3={x|x2—2x<0}={x|x(x—2)<0}={x[0<x<2},，&A)3=(0/].

故選:D

【點(diǎn)睛】

本題考查集合的補(bǔ)集、交集運(yùn)算，考查具體函數(shù)的定義域，考查解一元二次不等式.

8.B

【解析】

由圓C過原點(diǎn)，知中有一點(diǎn)〃與原點(diǎn)重合，作出圖形，由|C'M|=|C'N|=G，=nCMLCN,

IT

從而直線MN傾斜角為一，寫出N點(diǎn)坐標(biāo)，代入拋物線方程求出參數(shù)P,可得E點(diǎn)坐標(biāo)，從而得三角形面積.

4

【詳解】

由題意圓C過原點(diǎn)，所以原點(diǎn)是圓與拋物線的一個(gè)交點(diǎn)，不妨設(shè)為"，如圖，

由于|CM=|CW|=石，|四|=幾，：.C'MLC'N,：.ZC'MN=^,ZNOx=^,

...點(diǎn)N坐標(biāo)為（百,6）,代入拋物線方程得（省產(chǎn)=2/g,°=#，

*',/（Y，°），S"MN^~\MF\XyN=9

4Z24o

故選:B.

【點(diǎn)睛】

本題考查拋物線與圓相交問題，解題關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)原點(diǎn)。是其中一個(gè)交點(diǎn)，從而AWC是等腰直角三角形，于是可得N

點(diǎn)坐標(biāo)，問題可解，如果僅從方程組角度研究兩曲線交點(diǎn)，恐怕難度會(huì)大大增加，甚至沒法求解.

9.D

【解析】

圖象關(guān)于y軸對(duì)稱的函數(shù)為偶函數(shù)，用偶函數(shù)的定義及性質(zhì)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行判斷可解.

【詳解】

圖象關(guān)于y軸對(duì)稱的函數(shù)為偶函數(shù)；

-xX

A中，xeR=故f(x)-為奇函數(shù);

+1\]x2+1

5中，/(x)=，7+2x+J7-2x的定義域?yàn)閇-1,2],

不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故為非奇非偶函數(shù);

C中，由正弦函數(shù)性質(zhì)可知，/(x)=sin8x為奇函數(shù);

。中，xeR且xwO,/(—x)==0=/(x),故/(x)=':為偶函數(shù).

(一%)工

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查判斷函數(shù)奇偶性.判斷函數(shù)奇偶性的兩種方法：

(1)定義法：對(duì)于函數(shù)〃元)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x都有/(%)=—/(一%),則函數(shù)是奇函數(shù)；都有/(x)=A(-幻,

則函數(shù)/（尤）是偶函數(shù)

（2）圖象法：函數(shù)是奇（偶）函數(shù)o函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)（y軸）對(duì)稱.

10.C

【解析】

根據(jù)線面的位置關(guān)系，結(jié)合線面平行的判定定理、平行線的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可.

【詳解】

A：當(dāng)aua時(shí)，也可以滿足a〃力，b//a,故本命題不正確；

B：當(dāng)aua時(shí)，也可以滿足“_L6,b±a,故本命題不正確；

C：根據(jù)平行線的性質(zhì)可知：當(dāng)?！╞,b±a,時(shí)，能得到aJLa,故本命題是正確的；

D：當(dāng)aua時(shí)，也可以滿足a_L6，b//a,故本命題不正確.

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題考查了線面的位置關(guān)系，考查了平行線的性質(zhì)，考查了推理論證能力.

11.A

【解析】

分析：題設(shè)中復(fù)數(shù)滿足的等式可以化為彳=二+"利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算可以求出z.

l+2z

詳解：由題設(shè)有彳=￡—+，=1一2/+，=1—，，故z=l+3故選A.

l+2z

點(diǎn)睛：本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算和復(fù)數(shù)概念中的共飄復(fù)數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.

12.C

【解析】

求得雙曲線的漸近線方程，可得圓心（0,2）到漸近線的距離[?行，由點(diǎn)到直線的距離公式可得”的范圍，再由離心

率公式計(jì)算即可得到所求范圍.

【詳解】

f1

雙曲線一一/=1,〉0）的一條漸近線為丁=,X，即%—?；=0,

由題意知，直線％-紗=0與圓/+3—2）2=2相切或相離，則宣=京，2區(qū)

解得aNl,因此，雙曲線的離心率e=f=Jl+[L]e（l,V2].

故選：c.

【點(diǎn)睛】

本題考查雙曲線的離心率的范圍，注意運(yùn)用圓心到漸近線的距離不小于半徑，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.1

【解析】

先畫出約束條件的可行域，根據(jù)平移法判斷出最優(yōu)點(diǎn)，代入目標(biāo)函數(shù)的解析式，易可得到目標(biāo)函數(shù)z=%-y的最大值.

【詳解】

解：由約束條件得如圖所示的三角形區(qū)域，

由于z=x—y,則y=

要求z=x—y的最大值，則求y=x—z的截距一z的最小值，

顯然當(dāng)平行直線過點(diǎn)A(LO)時(shí)，

z取得最大值為：z=1—0=1.

本題考查線性規(guī)劃求最值問題，我們常用幾何法求最值.

14.90°

3

【解析】

易得AB，平面PAD,P點(diǎn)在與BA垂直的圓面。內(nèi)運(yùn)動(dòng)，顯然，PA是圓0｝的直徑時(shí)，PA最長；將四棱錐尸-ABCD

補(bǔ)形為長方體A4GP-ABC。，易得必為球的直徑即可得到P。，從而求得四棱錐的體積.

【詳解】

如圖，由NPA5=90°及ABLAD，得平面四

即P點(diǎn)在與BA垂直的圓面。］內(nèi)運(yùn)動(dòng),

易知，當(dāng)P、。八A三點(diǎn)共線時(shí)，達(dá)到最長,

此時(shí)，PA是圓。］的直徑，則ZPDA=90;

又所以平面ABC。，

此時(shí)可將四棱錐尸-A5CD補(bǔ)形為長方體A4GP-，

其體對(duì)角線為尸3=2R=8,底面邊長為2的正方形，

易求出，高。。=2后，

故四棱錐體積V='x4x2E=當(dāng)叵.

故答案為：(1)90°；(2)8叵.

3

【點(diǎn)睛】

本題四棱錐外接球有關(guān)的問題，考查學(xué)生空間想象與邏輯推理能力，是一道有難度的壓軸填空題.

1

15.-

2

【解析】

設(shè)圓柱的高為人，底面半徑為人根據(jù)容積為1287個(gè)立方單位可得128萬再列出該圓柱的表面積，利用導(dǎo)

數(shù)求出最值，從而進(jìn)一步得到圓柱的底面半徑和高的比值.

【詳解】

設(shè)圓柱的高為〃，底面半徑為乙

?.?該圓柱形的如罐的容積為128%個(gè)立方單位

172

128TT=71rlh，即"二——?

1。Q:

???該圓柱形的表面積為S=2"2+17irh=271rl+2乃八—=271rl+上空

rr

./\.22567r_,./\.2567r

令g(r)=2〃rT------,貝!|g(r)=4〃■------.

rr

令g'⑺>0,得r>4；

令g'(r)<0,得0<r<4.

.?.g(r)在(0,4)上單調(diào)遞減，在(4,討)上單調(diào)遞增.

r1

當(dāng)廠=4時(shí)，g⑺取得最小值，即材料最省，此時(shí)：=不

h2

故答案為：—.

2

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是寫出表面積的表示式，再利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，屬中檔題.

16.1.

【解析】

先求得高三學(xué)生占的比例，再利用分層抽樣的定義和方法，即可求解.

【詳解】

15005

由題意，高三學(xué)生占的比例為

1200+900+150012

所以應(yīng)從高三年級(jí)學(xué)生中抽取的人數(shù)為720x4=300.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了分層抽樣的定義和方法，其中解答中熟記分層抽樣的定義和抽取的方法是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)

算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(1)見證明；(2)叵

6

【解析】

(1)根據(jù)面面垂直的性質(zhì)得到平面ABC,從而得到ADLBC,利用勾股定理得到AB利用線面垂

直的判定定理證得BC±平面ABD；

(2)設(shè)4￡>=尤(0(尤<4),利用椎體的體積公式求得V=/(x)=gxxg(4-X)2=-|(^3-8X2+16X)

4

(0<x<4),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，從而求得AD=x=§時(shí)，四面體ABC。的體積取得最大值，之后利用空

間向量求得二面角的余弦值.

【詳解】

(1)證明：因?yàn)槠矫鍭BD,平面ABC,

平面ABDc平面ABC=AB,ADu平面AB￡),

所以平面ABC,

因?yàn)锽Cu平面ABC,所以AOLBC.

因?yàn)锳3=3C=受AC，所以+=人。2,

2

所以ABLBC,

因?yàn)锳DcA3=A,所以BC,平面AB￡).

(2)解：設(shè)AD=x(0<x<4),則AB=5C=4—x,

四面體4BC￡>的體積V=/(x)=』x><L(4-x)2=-(X3-8X2+16X)(0<X<4).

326'7

=：(3%之一16%+16)=：(九一4)(3九一4),

當(dāng)0<x<g時(shí)，/'(x)>0,V=/(力單調(diào)遞增；

當(dāng)，<x<4時(shí)，f'(x)<0,V=/(x)單調(diào)遞減.

4

故當(dāng)AD=x=§時(shí)，四面體ABC。的體積取得最大值.

以3為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系5-個(gè)z,

則5(0,0,0),A[O，|，O)，cf|,o,o\小，|，3

設(shè)平面BCD的法向量為n=(x,y,z),

匕=。

n-BC=03

則即《

n-BD=084

—y+—z=0

⑶3

令z=—2,得“=(0,1,—2),

同理可得平面3￡)￡的一個(gè)法向量為〃z=(l,-1,2),

則=

忘而-6

由圖可知，二面角C—5￡>—E為銳角，故二面角C—5￡>—E的余弦值為叵.

6

【點(diǎn)睛】

該題考查的是有關(guān)立體幾何的問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有面面垂直的性質(zhì)，線面垂直的判定，椎體的體積，二面角的求

法，在解題的過程中，注意巧用導(dǎo)數(shù)求解體積的最大值.

18.(1)證明見解析(2)2互

7

【解析】

(1)取中點(diǎn)"，連接根據(jù)菱形的性質(zhì)，結(jié)合線面垂直的判定定理和性質(zhì)進(jìn)行證明即可；

(2)根據(jù)面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，可以確定點(diǎn)3到直線AE的距離即為點(diǎn)3到平面尸的距離，結(jié)合垂線

段的性質(zhì)可以確定點(diǎn)E到平面P4F的距離最大，最大值為1.

以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線AF,AB,AP分別為X,%z軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz.利用空間向量夾角公式，結(jié)合同角

的三角函數(shù)關(guān)系式進(jìn)行求解即可.

【詳解】

(1)證明：取中點(diǎn)"，連接

因?yàn)樗倪呅蜛BC。為菱形且/BAD=120°.

所以

因?yàn)镻5=PC,所以

又AMPM=M,

所以3C_L平面2AM,因?yàn)?？Au平面

所以5c.

同理可證上4,OC,

因?yàn)镈CIBC=C,

所以24,平面ABC。.

(2)解：由(1)得平面ABC。，

所以平面B4F_L平面ABC。，平面MFC平面ABCD=A7L

所以點(diǎn)3到直線AF的距離即為點(diǎn)3到平面PAF的距離.

過3作AE的垂線段，在所有的垂線段中長度最大的為=2,此時(shí)AE必過。C的中點(diǎn)，

因?yàn)镋為PB中點(diǎn),所以此時(shí)，點(diǎn)E到平面P4F的距離最大，最大值為1.

以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線A”AB,AP分別為羽Xz軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-孫z.

則A(0,0,0),C(V3,l,0),E(0,l,l),B(0,2,0)

所以AC=(百,1,0),AE=(0,1,1),A3=(0,2,0)

平面A4F的一個(gè)法向量為AB=(0,2,0),

設(shè)平面AEC的法向量為n=(x,y,z),

n.AC-n=0[V3x+y=0,

則〈即〈

AEn=0,[y+z=0,

取y=1,則〃=(-^-,1,-1),

n-ABV2T

cos<n,AB>=--------=----,

|利?|AB|7

所以sin<〃,AB>=Jl-cos2<n,AB>=2s,

7

所以面PAF與面EAC所成二面角的正弦值為空.

7

【點(diǎn)睛】

本題考查了線面垂直的判定定理和性質(zhì)的應(yīng)用，考查了二面角的向量求法，考查了推理論證能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.

19.(1)/：2夕cos。一夕sin，+4=0,C：(x+1)2+/=4；(2)-3

【解析】

(1)根據(jù)點(diǎn)斜式寫出直線/的直角坐標(biāo)方程，并轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程，利用sin2°+cos2e=l,將曲線C的參數(shù)方程

轉(zhuǎn)化為普通方程.

(2)將直線/的參數(shù)方程代入曲線C的普通方程，結(jié)合直線參數(shù)的幾何意義以及根與系數(shù)關(guān)系，求得的值.

【詳解】

(1)/的直角坐標(biāo)方程為y=2(x+2),即2x—y+4=。，

則I的極坐標(biāo)方程為22cos，一osin夕+4=0.

曲線C的普通方程為(九++/=4.

(2)直線/的參數(shù)方程為一一.口為參數(shù)，。為/的傾斜角)，

y=tsma

代入曲線C的普通方程，得『―2/cosa—3=0.

設(shè)N對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為乙,弓，所以：4=一3,M,N在P(—2,0)的兩側(cè).則

PMPN=\PM\-|PN|-COS7i=-k閔=-3.

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)，考查參數(shù)方程化為普通方程，考查直線參數(shù)方程，考查直線參數(shù)的幾何意義，

屬于中檔題.

20.(1){a[a>0或a=—2e}(2)[-1,0]

【解析】

(1)求出g(x)及其導(dǎo)函數(shù)g'(x),利用g'(x)研究g(x)的單調(diào)性和最值，根據(jù)零點(diǎn)存在定理和零點(diǎn)定義可得a的范

圍.

⑵令/1(%)=/(%)-(2機(jī)+1)%—(1)三=儂；2m+])》+也》，題意說明xe(I,”)時(shí)，/z(x)<0恒成立.

同樣求出導(dǎo)函數(shù)6(X),由"(x)研究方(X)的單調(diào)性，通過分類討論可得丸(x)的單調(diào)性得出結(jié)論.

【詳解】

解(1)函數(shù)g(x)=/(x)+(a-l)lnx=x2+inx+(a-i)inx=ainx+x2

所以g'(x)=-+2x=---------

xx

討論：

①當(dāng)a=0時(shí)，g(x)=X2(x>0)無零點(diǎn)；

②當(dāng)a>0時(shí)，g'(%)>0,所以g(x)在(0,+s)上單調(diào)遞增.

ciV(±\

取光=)!，貝Ugea=—1+ea-l+(/?)2<0

7\7

rJ_A

又g(l)=l,所以gea?g(l)<o,此時(shí)函數(shù)g(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn)

\7

③當(dāng)。<0時(shí)，令g'(x)=。，解得x=_仔(舍)或x=j__|

/

當(dāng)0<x<{—￡時(shí)，g'(x)<0,所以gQ)在上單a調(diào)遞減;

2

當(dāng)f時(shí)，8'(為>。所以且(為在上單調(diào)遞增.

據(jù)題意，得gaIn二-二=0,所以a=0(舍)或a=-2e

22

綜上，所求實(shí)數(shù)a的取值范圍為{。|。>0或a=-2e}.

(2)令/z(x)=/Cx)—(2相+1卜一(1一㈤%2=相/一(2加+］卜+1nX,根據(jù)題意知，當(dāng)尤￡(l,+oo)時(shí)，/z(x)<0恒

成立.

1

又人,(%)=2/nx—(2m+l)+—=

xX

討論:

①若0<7〃<L，則當(dāng)XC二,+口］時(shí)，/i'(x)>0恒成立，所以/i(x)在J-,+s］上是增函數(shù).

22m)2m)

2m+1

又函數(shù)G(x)=a%2一(2相+1)%在----------,+oo上單調(diào)遞增，//(#=111》在(0,+8)上單調(diào)遞增，所以存在