Chapter4-3-樣條函數(shù)插值1

樣條函數(shù)插值SPLINEINTERPOLATION武漢大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院WuHanUniversity內(nèi)容提要

引言樣條函數(shù)的物理背景一般K次樣條3次樣條插值高次自然樣條與B-樣條基礎(chǔ)WuHanUniversity§4.8樣條函數(shù)插值4.8.1引言樣條函數(shù)的物理背景

回顧前面幾節(jié)講過的各種代數(shù)插值,它們有一個共同的弱點(diǎn),那就是:它們都是相當(dāng)剛性(stiff)的.也就是說,局部數(shù)據(jù)誤差易向遠(yuǎn)處傳播、放大.

WuHanUniversity

以Lagrange插值為例,設(shè)數(shù)據(jù)真值被代之以含有誤差的,令

是以

為插值條件的插值多項(xiàng)式,于是最終的插值誤差是

由講義第168頁插值公式(6)知,上式右端第二項(xiàng)為

這表明結(jié)點(diǎn)處的數(shù)據(jù)誤差通過插值基函數(shù)放大和擴(kuò)散.WuHanUniversity

更何況,如果被插函數(shù)有奇點(diǎn),甚至只要解析延拓到復(fù)平面有隱秘奇點(diǎn)出現(xiàn),則當(dāng)為高次多項(xiàng)式時,誤差放大和擴(kuò)散還將助長很可怕的強(qiáng)振蕩!展示Runge現(xiàn)象的著名例子就清楚地描述了這種振蕩(右圖).WuHanUniversity相同數(shù)據(jù)3次樣條插值與Lagrangr插值效果比較CubicSplineInterpolationLagrangrInterpolationWuHanUniversity如果采用分段多項(xiàng)式插值,則由于插值基函數(shù)只是局部活躍(它們的支集是局部緊致的),結(jié)點(diǎn)上的誤差可以被控制在小的范圍內(nèi),

因而也帶來了內(nèi)在的高度穩(wěn)定性.這是分段插值的一大優(yōu)勢!許多實(shí)際問題希望插值函數(shù)具有較高階的整體光滑性.此時,高次Hermite插值或分段高次Hermite插值可以利用(注意:分段高次Lagrange插值和Newton插值等是做不到的,在插值結(jié)點(diǎn)上它們只能保證插值函數(shù)連續(xù)).

注:函數(shù)的支集

Supp

定義為

SuppWuHanUniversity

但高次Hermite插值在許多場合中看不中用!提高Hermite插值多項(xiàng)式的次數(shù)就要增加約束條件

——給出插值結(jié)點(diǎn)處被插函數(shù)及其直到足夠高階導(dǎo)數(shù)之值.作為約束條件的所有數(shù)據(jù)都是通過觀測得到的,而觀測總難免有誤差.

于是高次插值不僅增添了數(shù)據(jù)準(zhǔn)備和計算的困

難,也將導(dǎo)致更大的誤差.

WuHanUniversity還有許多應(yīng)用不僅要求插值函數(shù)具有足夠高階的整體光滑性,還要求在某些結(jié)點(diǎn)處轉(zhuǎn)折靈活.例如若干點(diǎn)處加載集中力的桿、梁或板彎曲.這就導(dǎo)致本節(jié)要討論的樣條函數(shù)(Spline)插值.數(shù)學(xué)里的樣條(Spline)一詞來源于它的直觀幾何背景：繪圖員或板金工人常用彈性木條或金屬條加壓鐵(構(gòu)成樣條!)來繪制或者放樣成光順曲線或者曲面.但它之所以成為數(shù)值分析的標(biāo)志性成果之一并且在數(shù)學(xué)物理的廣泛領(lǐng)域獲得非常成功的應(yīng)用,還在于它的明確的物理背景.請看下面的例子.WuHanUniversity例1.如圖4.8.1,一均勻彈性弦兩端固定于兩點(diǎn),在區(qū)間內(nèi)取點(diǎn)列

圖4.8.1

并在內(nèi)結(jié)點(diǎn)集上分別給集中載荷則載荷分布可表為其中是集中于結(jié)點(diǎn)的點(diǎn)脈沖函數(shù).

WuHanUniversity

事實(shí)上,在小變形和均勻分布外力假設(shè)下,上述弦的平衡問題的微分方程模型乃是兩點(diǎn)邊值問題

現(xiàn)在是作用離散的集中力,此時弦達(dá)到平衡狀態(tài)時位移函數(shù)應(yīng)滿足

WuHanUniversity因此有這意味著:在每一加載點(diǎn)處脈沖間斷;

是階梯函數(shù);

是分段線性的連續(xù)函數(shù),在每一內(nèi)結(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)折靈活.后面我們將指出,如此的便是一次樣條函數(shù)．

WuHanUniversity例2.考察梁彎曲方程

與例1類似地加載集中力,只是兩端點(diǎn)除給零位移約束外還要加一階或二階導(dǎo)數(shù)約束.于是集中力作用下的梁彎曲方程成為此時我們得到:圖4.8.2

WuHanUniversity①②

在內(nèi)結(jié)點(diǎn)上脈沖間斷;③

為階梯函數(shù);④

在每個子區(qū)間上是三次多項(xiàng)式;

⑤

和都是上的連續(xù)函數(shù).這便是后面我們要著重討論的三次樣條.

此例展示了三次樣條的如下特征:

○

它分段三次光滑;

○

整體二次光滑(足夠光滑);

○

在內(nèi)結(jié)點(diǎn)處三階導(dǎo)數(shù)間斷(轉(zhuǎn)折靈活).WuHanUniversity

上面兩個例子分別涉及彈性弦和梁的小變形平衡.

這就自然會想到彈性力學(xué)中聯(lián)系平衡態(tài)與變形能的兩個重要的極值原理：最小勢能原理和虛功原理.既然一次和三次樣條分別與弦和梁的小變形平衡問題聯(lián)系著,那么直覺告訴我們它們也應(yīng)有相應(yīng)的極值性質(zhì).后面我們將證明的確如此!作為伏筆,我們指出:上兩例中彈性弦和梁的變形能分別表為和

WuHanUniversity4.8.2一般k次樣條定義4.8.1(次樣條函數(shù))設(shè)是區(qū)間上的一個分劃或分割，即稱為定義在區(qū)間上關(guān)于分劃的一個次樣條函數(shù),如果:在每一區(qū)間上是次數(shù)不超過的多項(xiàng)式.(2)在區(qū)間上是次連續(xù)可微的.

WuHanUniversity節(jié)點(diǎn)處的階導(dǎo)數(shù)間斷,因而轉(zhuǎn)折靈活次樣條函數(shù)類記為

為方便后面的討論，我們將樣條函數(shù)寫成如下形式

WuHanUniversity例.根據(jù)上述定義,0次樣條函數(shù)為分段常數(shù),即階梯函數(shù),它可表為1次樣條函數(shù)為分段線性函數(shù),它可表為一般二次多項(xiàng)式不是嚴(yán)格意義下的二次樣條!WuHanUniversity4.8.33次樣條插值問題的提法：給定數(shù)據(jù)表構(gòu)造3次樣條函數(shù)滿足插值條件

WuHanUniversity構(gòu)造方法：應(yīng)具有如下形式并且滿足條件(4.2)和WuHanUniversity因是分段3次多項(xiàng)式,故在每個區(qū)間上都是3次多項(xiàng)式,從而共須個獨(dú)立條件確定.①和在個內(nèi)結(jié)點(diǎn)連續(xù),即滿足條件(4.4),因而

(4.4)給出了個條件；②(4.2)提供了個獨(dú)立條件;③還差2個條件,有多種給法.最常見的給法是:(i)（簡支邊界，導(dǎo)致三彎矩關(guān)系式,關(guān)系式）,

特別地,(自然邊界,三次自然樣條);(ii)

(固支邊界,導(dǎo)致三轉(zhuǎn)角關(guān)系式,關(guān)系式).WuHanUniversity注意：上述①給出的個條件是問題本身隱含的，②和③共個獨(dú)立條件須提供，故結(jié)點(diǎn)三次樣插值問題只有個自由度.(請與分段三次Hermite插值比較!)三次自然樣條插值關(guān)系式的構(gòu)造方法

記注意到于是連續(xù)的和分段線性的,從而在每個上是線性的,故可表為

對此式積分兩次并應(yīng)用條件(4.2)可得到WuHanUniversity

微分(4.6)可得到和由(4.4)第二式,(4.7)與(4.8)應(yīng)相等,于是得到WuHanUniversity利用條件得到關(guān)于的線性方程組其中解出代入(4.6)即得到

.WuHanUniversityCubicSplineInterpolationLagrangrInterpolationWuHanUniversity類似地可構(gòu)造關(guān)系式(留作練習(xí)).

下面的兩個定理有重要意義.

定理(4.1）設(shè)則定理(4.2）設(shè)則WuHanUniversity

我們只證明第二個定理.證明之前,先解釋它的重要意義.(ⅰ)前面曾提到,梁彎曲達(dá)到平衡態(tài)時變形能(內(nèi)能)可表為于是(4.11)意味著:在滿足端點(diǎn)約束和以及插值條件（*）的一切連續(xù)二次可微的函數(shù)中，三次自然樣條插值函數(shù)使得變形能達(dá)到最小的.WuHanUniversity(ⅱ)當(dāng)時,注意曲線的曲率.而積分達(dá)到最小意味著三次自然樣條插值函數(shù)是各種可能的插值函數(shù)中使得均方曲率為最小的插值函數(shù),即在一定意義下最為光順的插值函數(shù).這是三次自然樣條插值函數(shù)的一個非常特別和有用的性質(zhì).

下面證明定理(4.2)證明

令,則并且下證WuHanUniversity利用分部積分并注意到以及得到

WuHanUniversity4.8.4高次自然樣條與B-樣條高次自然樣條確切地說,高次自然樣條只對奇數(shù)階定義.下面定義次自然樣條.定義4.8.2(自然次樣條函數(shù))給定區(qū)間上的分劃如定義4.8.1.函數(shù)稱為自然樣條,如果它:(i)在每個子區(qū)間上都是次數(shù)不超過的多項(xiàng)式;在區(qū)間和上是次數(shù)不超過的多項(xiàng)式.分劃下的次自然樣條函數(shù)構(gòu)成的集合記為.(依此定義,三次自然樣條在區(qū)間和上退化為一次多項(xiàng)式.)

WuHanUniversity為方便后面導(dǎo)出B-樣條,我們考慮利用構(gòu)造Lagrange插值或Newton插值的結(jié)點(diǎn)基函數(shù)那樣的方法,使一般次自然樣條能用適當(dāng)?shù)幕瘮?shù)作“元件”來“組合裝配”出來.對次冪函數(shù)作一種“截肢”手術(shù):截去的部分并以0接上,得到所謂半截冪函數(shù)(truncatedpowerfunction)這種手術(shù)導(dǎo)致處階導(dǎo)數(shù)間斷(有躍度),但直到階導(dǎo)數(shù)仍連續(xù).

WuHanUniversity我們來觀察躍度:①階梯函數(shù)的基函數(shù)此函數(shù)本身在處有間斷,躍度為1.②一次單項(xiàng)式的半截冪及其1階導(dǎo)數(shù)③次單項(xiàng)式的半截冪及其階導(dǎo)數(shù)

WuHanUniversity

至此我們已經(jīng)可以觀察到:①單項(xiàng)式半截冪可被視為一個結(jié)點(diǎn)的次樣條;②平移后得到的也是一個結(jié)點(diǎn)的次樣條;③平移、壓縮、組合后得到的是兩個結(jié)點(diǎn)的次樣條.

尤為重要的是:利用半截冪這樣簡單的樣條可構(gòu)造出一系列新的樣條.

WuHanUniversity定理(4.3)前述分劃上存在唯一自然樣條

且可表為其中證明(留作討論題).思考題:

半截冪函數(shù)的支集

Supp

為何?定性地分類函數(shù)數(shù)據(jù)誤差的擴(kuò)散情況.WuHanUniversityB-樣條基礎(chǔ)

前已指出:我們可以利用半截冪這樣簡單的樣條作為基裝配成一系列新的樣條.下面討論通過提供基函數(shù)(BasesFunction)來構(gòu)造樣條函數(shù)空間的一般方法.

首先將有限的結(jié)點(diǎn)集擴(kuò)展為無窮集分劃其次定義半截冪的一階差分如此得到的樣條稱為0次B-樣條(B-spline).WuHanUniversity有如下性質(zhì):①對所有的和所有的;②對所有的于是0次樣條函數(shù)可表為階梯函數(shù)

遞歸地定義次B-樣條如下:WuHanUniversity記則(4.12)可寫成例1.1次B-樣條(圖4.8.3)

圖4.8.3

于是1次樣條函數(shù)可表為分段線性函數(shù)

WuHanUniversity例2.2次B-樣條(圖4.8.4)圖4.8.4例3.3次B-樣條(圖4.8.5)圖4.8.5WuHanUniversity次B-樣條有如下性質(zhì)(證明作為課外討論題):①B-樣條組是上的線性無關(guān)組.

②在相同的分劃之下,越大,的集Supp

越大,振幅越小,因而誤差隨遠(yuǎn)離結(jié)點(diǎn)而衰減.③記則有

④若