大學高數(shù)公式

高等數(shù)學公式

考前必備

平方關系：

sinA2(a)+C0SA2(a)=1

tanA2(a)+1=secA2(a)

C0tA2(a)+1=CSCA2(a)

積的關系：

sina=tana*cosa

COSa=cota*sina

tana=sina*seca

cota=COSa*CSCa

seca=tana*csca

CSCa=seca*cota

倒數(shù)關系：

tana?cot?=1

sina?esca=1

COSa?seca=1

直角三角形ABC中，

角A的正弦值就等于角A的對邊比斜邊，

余弦等于向A的鄰邊比斜邊

正切等于對邊比鄰邊，

兩角和與差的三角函數(shù)：

cos(a+B)=cosa-cosP-sina?sinB

cos(a-B)=cosa?cosP+sina-sinP

sin(a±0)=sina?cosB±cosa?sinB

tan(a+p)=(tana+tanP)/(1-tana-tanB)

tan(a-B)=(tana-tanP)/(1+tana?tanP)

三角和的三角函數(shù)：

sin(a+p+y)=sina?cos3?cosy+cos??sinP?cosy+cosa?cosP?sin-^ina?sinB?siny

cos(a+p+y)=cosa?cosP?cosy-cosa-sinP?sinysina?cosP?sinysina-sinB?cosy

tan(Q+3+y)=(tanQ+tan&+tany-tana?tan3?tany)/(1-tana-tanP-tanB?tany-tany?tana

輔助角公式：

Asina+Bcosa=(AA2+BA2)A(1/2)sin(a+t),其中

sint=B/(AA2+BA2)A(1/2)

cost=A/(AA2+BA2)A(1/2)

tant=B/A

Asina+Bcosa=(AA2+BA2)A(1/2)cos(a-t),tant=A/B

倍角公式：

sin(2a)=2sina?cosa=2/(tana+cotQ)

cos(2a)=cosA2(a)-sinA2(a)=2cosA2(a)-1=1-2sinA2(a)

tan(2a)=2tana/[1-tanA2(a)]

三倍角公式

sin(3a)=3sina-4sinA3(a)

cos(3a)=4cosA3(a)-3COSa

半角公式：

Sin(a/2)=±J((1-COSa)/2)

COS(a/2)=±J((1+COSa)/2)

tan(a/2)=±V((1-COSa)/(1+cosa))=sina/(1+COSa)=(1-cosa)/sina

降幕公式

sinA2(a)=(1-cos(2a))/2=versin(2a)/2

cosA2(a)=(1+cos(2a))/2=covers(2a)/2

tanA2(a)=(1-cos(2a))/(1+cos(2a))

萬能公式：

sina=2tan(a/2)/[1+tanA2(a/2)]

AA

cosa=[1-tan2(a/2)]/[1+tan2(Q/2)]

tana=2tan(a/2)/[1-tanA2(a/2)]

積化和差公式：

sina?cos3=(1/2)[sin(a+3)+sin(a-p)]

cosa?sin&=(1/2)[sin(a+6)-sin(a-p)]

COSa?COSP=(1/2)[cos(a+P)+COS(a-g)]

sina?sinP=(1/2)[cos(a+8)-cos(a-P)]

和差化積公式:

sina+sinB=2sin[(a+B)/2]cos[(a-p)/2]

sina-sinP=2cos[(a+P)/2]sin[(a-p)/2]

cosa+cosB=2cos[(a+B)/2]cos[(a-B)/2]

cosa-cosP=-2sin[(a+p)/2]sin[(a-p)/2]

推導公式

tana+cota=2/sin2a

tana-cota=-2cot2a

1+COS2a=2COSA2a

1-cos2a=2sinA2a

1+sina=(sina/2+cosa/2)A2

三角函數(shù)的角度換算

公式一：

設a為任意角，終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等

sin(2kn+a)=sina

COS(2kn+a)=COSa

tan(2kn+a)=tana

cot(2kJI+a)=cota

公式二：

設a為任意角，JT+a的三角函數(shù)值與a的三角函數(shù)值之間的關系:

sin(n+a)=-sina

COS(兀+a)=—COSa

tan(n+a)=tana

cot(Ji+a)=cota

公式三：

任意角a與-a的三角函數(shù)值之間的關系：

sin(—a)=-sina

cos(—a)=COSa

tan(—a)=-tana

cot(-a)=-cota

公式四：

利用公式二和公式三可以得到n-a與a的三角函數(shù)值之間的關系:

sin(n—a)=sina

cos(JT——a)=-COSa

tan(n-a)=一tana

cot(JI-a)="cota

公式五:

利用公式一和公式三可以得到2na與a的三角函數(shù)值之間的關系:

sin(2n—a)=—sina

COS(2Ji—a)=COSa

tan(2n—a)=-tana

cot(2兀-Q)=-cota

公式六:

n/2土Q及3耳/2土a與a的三角函數(shù)值之間的關系:

sin(n/2+a)=COSa

cos(n/2+a)=—sina

tan(n/2+a)=—cota

cot(n/2+a)=-tana

sin(n/2—a)=COSa

cos(n/2—a)=sina

tan(n/2—a)=cota

cot(n/2—a)=tana

sin(3n/2+a)=—COSa

cos(3n/2+a)=sina

tan(3n/2+Q)=—COta

cot(3H/2+a)=—tana

sin(3n/2—a)=—COSa

cos(3n/2—a)=—sina

tan(3n/2—a)=cota

COt(3n/2—a)=tana

(以上keZ)

高等數(shù)學公式

)—

2

2「x

(etgx)escx

)1

/sacx)AACYtnx(arccosx

''°yix

(esex)esexetgx1

,x.x.(aretgx)-------

(a)aIna1xf

(logax)—L(arcctgx)「二

xlna1x

導數(shù)公式：

tgxdxln|cos)dCdx2

yHYtnvC

2

cosx'"

ctgxdxInsinNC」

1

?dx,八

2nLcOnL2YAHMYApL/tICMlYA\Cy

secxdxInsecxtgxCsinx

cscxdxIncscxetg*CsecxlgxdxsecxC

dx1xesexctgxdxesexC

?一?-arctg-C

axaaadxC

上llnMC施

xa2a|xa|shxdxchxC

dxI,ax門「，，-

f——r——In-------CchxdxshxC

ax2aax

dxarcsinxC———ln(xa")C

7a2x2aJx

■22nn1

Insinnxdxcosnxdx------In2

oon

2

/22,A(22a.,/22

vxadx一4xa—ln(xxa)C

22v

x_2

Vxadx_Jxa_Inxxac

221

............X.一_p2X

;22

.a"x"dx_vax一arcsin_C

2、？a

基本積分表:

三角函數(shù)的有理式積分:

2

2ux2du

sinx，cosX1uutg-dx

2，

1了1U21u"

一些初等函數(shù):兩個重要極限：

雙曲正弦：shxlim酗1

2X0X1X

雙曲余弦:chx-~—lim(1-)e2.718281828459045...

2xx

IXX

shxee

雙曲正切:thx———-------

chxee

arshxln(x\x21)

archxln(xVx21)

arthxl|nj__乙

21x

三角函數(shù)公式:

?誘導公式：

sincostgctg

角A\

-a-sinaCOSa-tga-Ctga

90°-aCOSasinaCtgatga

90°+aCOSa-sina-ctga-tga

180°-asina-COSa-tga-Ctga

180°+a-sina-COSatgaCtga

270°-a-COSa-sinaCtgatg?

2700+a-COSasina-ctga-tga

360°-a-sinaCOSa-tga-Ctga

360°+asinaCOSatgaCtga

?和差角公式:?和差化積公式:

sin()sinCOSCOSsinsinsin2sincos

22

cos()coscossinsin

-

tgtgsinsin2cossin

tg()22

1tgtg

coscos2coscos-

ctgctg122

ctg()

ctgctg

coscos2sinsin

22

弧微分公式：ds1y?dx,其中ytg

遇扃率笊、3sL

榮至!M點2切線斜2率的傾角變化量；S:陽弧長。

cos22coss1\12!sincossinSin33sin§4sin

ycos34cos3cos

底的曲率「K-llmd

?3

2ctg卜o

Sds/&2、)3t93-3t1g3tgtg"

曄K

1tg21-7'----------------

半徑為a的圓：K

--------------------a?半角公式：

1cos一1cos

sincos

2222

COS1cossincos1cossin

tg-、ctg—

2Vcossin1DOS2Vcossin1cos

r

?正弦定,

abc22

2R?余弦定理：cab2abcosC

sinAsinBsinC

?反三角函數(shù)性質：arcsinxarccosxarctgxarcctgx

高階導數(shù)公式——萊布尼茲(Ceibniz)公式：

n

,、(n)6k(nk)(k)

(uv)Cnuv

kO

(n)(n1)n(n1)U,n9Vn(nk1)k)v(k,(n

uvnuv(nUV

2!1)u)

n

k!

中值定理與導數(shù)應用：

拉格朗日中值定理：f(b)f(a)f()(ba)

柯西中值定理：上包―LMf()

F(b)F(a)F()

當F(x)x時，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。

曲率:

定積分的近似計算;

hA

矩形法：f(x)------(y0v、ym)

an

b1

梯形法：f(x)§[-(y0yn)yiym]

an2

bba

拋物線法：f(x)[(y0yn)2(y2y4yn2)4(y,y3yni)]

a3n

定積分應用相關公式：

功：WFs

水壓力：FpA

引力：Fk瞥,k為引力系數(shù)

r

b

函數(shù)的平均值：y-------f(x)dx

baa

i~■D

均方根：I-------f2(t)dt

\baa

空間解析幾何和向量代數(shù)：

空間2點的距離：dM,M2\反一天7一(V2九廣一&z了

向量在軸上的投影：PrjUAB|A^COS,是府與u軸的夾角。

Prju(a(a?)Prja,Prja2

abalbcosaxbxaybyazbz,是一個數(shù)量，

abaybyazbz

兩向量之間的夾角：cosx

axay

ijk

cab3xSy3zcabsin.例：線速度：vwr.

bxbybz

Sx3y3z

向量的混合積：[abc](ab)cbxbybzabccos,為銳角時,

CxCyCz

代表平行六面體的體積。

平面的方程：

1、點法式：QxX。）B(yy0)c(zz0)0,其中n{A,B,C},M0(x0)y0,z0)

2、一般方程：AxByCzD0

Yz

3、截距世方程：1y1

abc

|Ax0By0CzoD|

平面外任意一點到該平面的距離：d

vA5~B2C7

XX。mt

XX。yyoZZ

空間直線的方程：ot,其中s{m,n,p};參數(shù)方程：yynt

mnp0

zZoPt

二次曲面：

22

Xv,1

1、橢球面：y

a薩

X2y2

2、拋物面：_z，（p,q同號）

2P2q

3、雙曲面：

X2y2二1

單葉雙曲面：—

a薩c2

X2y2

雙葉雙曲面：y11（馬鞍面）

a了c

多元函數(shù)微分法及應用

u」u」u」

全微分：dz—dx—dydu-一dx—dy—dz

xyxyz

全微分的近似計算：zdzfx(x,y)Xfy(x,y)y

多元復合函數(shù)的求導法：

dzzuZV

zf[u(t),v(t)]

dtutVt

zzUZV

zf[u(x,y),v(x,y)]

XuXVX

當uu(x,y),vv(x,y)時,

du-dx-dydv—dx—dy

xyXy

隱函數(shù)的求導公式：

Fd2yFFdy

dyX

隱函數(shù)F（x,y）0，--,~7~2—(言)+一(e)丁

dxFydxxFyyFydx

zFzFy

隱函數(shù)F(x,y,z)0.--x,

XFzyFz

FF

隱函數(shù)方程組：F(x，y，u，v)0J(F,G)UVFuFv

G(x,y,u,v)0(u,v)GGGuGv

UV

u1(F.G)v1(F.G)

XJ(x,v)XJ(u,x)

U1(F,G)V1(F.G)

yJ(y,v)yJ(u,y)

微分法在幾何上的應用:

x(t)

zZo

空間曲線y(t)在點M(>S,y°,Zo)處的切線方程：2L21yv。

(to)(to)(to)

z(t)

在點M處的法平面方程:

(t°)(xx0)(t0)(yy0)(t°)(zz0)0

若空間曲線方程為：F(x,y,z)0,則切向量T{FyFzlFzF"FxFy)

G(x,y,z)0GyGz|GzGxGxGy

曲面F(x,y,z)0上一點M(x°,y°,z°)，則：

1'過此點的法向量:n{Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,Zo),Fz(x0,y0,z0))

2、過此點的切平面方程:Fx(x0,y0,z0)(xx0)Fy(x0)y(),z0)(yy0)F2(x0,y0,z0)(zZo)0

3、過此點的法線方程：xx°VV。zz°

Fx(x0,y0,z0)Fy(xo,yo,zo)Fz(x0)y0,z0)

方向導數(shù)與梯度：

函數(shù)zf(x,y)在一點p(x,y)沿任一方向I的方向導數(shù)為：_L_Lcos—sin

Ixy

其中為x軸到方向I的轉角。

函數(shù)zf(x,y)在一點p(x,y)的梯度：gradf(x,y)_li_Lj

xy

f

它與方向導數(shù)的關系是：丁gradf(x,y)e,其中ecosisinj,為［方向上的

單位向量。

上是gradf(x,y)在I上的投影。I

多元函數(shù)的極值及其求法：

設fx(xo,yo)f(xo,yo)0，令：fxx(xo,yo)

yA,fxy(xo,yo)B,fyy(Xo,yo)C

0,(x0,yo)為極大值

ACB20時，

AO,(x0,yo)為極小值

則：ACB20時，無極值

ACB200寸，不確定

重積分及其應用:

f(x,y)dxdyf(rcos,rsin)rdrd

DD

2-2

Z

曲面zf(x,y)的面積AJi二dxdy

\X

Dy

X(x,y)dy(x,y)d

MxMy

平面薄片的重心：DD

xy

M(x,y)d(x,y)d

DD

22

平面薄片的轉動慣量:對于x軸lxy(x,y)d,對于y軸lyx(x,y)d

DD

平面薄片(位于xoy平面)對z軸上質點M(0,0,a),(a0)的引力:F{Fx,Fy,Fz}，其中:

(X,y)xd(x,y)yd(X,y)xd

fa

Fxf--------------------T

D/222(2D/222D2225

(xya)2(Xyap(xya)

柱面坐標和球面坐標：

xrcos

柱面坐標：yrsin,f(x,y,z)dxdydzF(r,,z)rdrddz,

zz

其中：F(r,,z)f(rcos,rsin,z)

xrsincos

2.

球面坐標：yrsinsin，dvrdrsinddrrsindrdd

zrcos

2

2.2.

f(x,y,z)dxdydzF(r,,)rsindrddddF(r,,)rsindr

000

1

重心：xxdv,Sv,—dv，

M

其中Mxdv

yS\zzM

轉動慣量:(y22、L(x22、.(x2y2)dv

z)dv，yz)dv，z

曲線積分:

第一類曲線積分(對弧長的曲線積分)：

x(t)

設f(x,y)在L上連續(xù),L的參數(shù)方程為：t),則:

/-------------￥■(t),

V

22Xt

f(X,y)dsf[(t),(t)](t)⑴dt)特殊情況:

Ly(t)

第二類曲線積分(對坐標的曲線積分)：

X(t)

設L的參數(shù)方程為，貝I：

y(t)

P(x,y)dxQ(x,y)dy{P[(t),(t)](t)Q[(t),(t)]?)}dt

L

兩類曲線積分之間的關系：PdxQdy(PcosQcos)ds,其中和分別為

L|_

L上積分起止點處切向量的方向角。

格林公式：(W_E)dxdy°PdxQdy格林公式：(丑p

一)dxdy°PdxQdy

DxyLDXyL

當Py.Qx,即：f22時，得到D的面積：

Adxdy-oxdyydx

xyD2L

平面上曲線積分與路徑無關的條件：

1、G是一個單連通區(qū)域；

nP

2、P(x,y),Q(x,y)在G內具有一階連續(xù)偏導數(shù)，且-上=」。注意奇點，如(0,0)，應

xy

減去對此奇點的積分，注意方向相反！

二元函數(shù)的全微分求積：

五QP

在一—時，PdxQdy才是二元函數(shù)u(x,y)的全微分，其中：

xy

(X.y)

u(x,y)P(x,y)dxQ(x,y)dy,通常設x()y00。

(xo,yo)

曲面積分：

對面積的曲面積分：f(x,y,z)dsf[x,y,z(x,y)]v,'lzj(x,y)zj(x,y)dxdy

D,

對坐標的曲面積分：P(x,y,z)dydzQ(x,y,z)dzdxR(x,y,z)dxdy,其中：

R(x,y,z)dxdyR[x,y,z(x,y)]dxdy.取曲面的上側時取正號；

%

P(x,y,z)dydzP[x(y,z),y,z]dydz,取曲面的前側時取正號；

%

Q(x,y,z)dzdxQ[x,y(z,x),z]dzdx,取曲面的右側時取正號。

Dzx

兩類曲面積分之間的關系：PdydzQdzdxRdxdy(PcosQcosReos)ds

高斯公式:

(一——一)dvoPdydzQdzdxRdxdyo(PcosQcosReos)ds

xyz

高斯公式的物理意義——通量與散度：

散度：div———,§P：單位體積內所產生的流體質量，若/0,則為消失…

xyz

通量：AndsAnds(PcosQcosReos)ds.

因此，高斯公式又可寫成：divAdvoAnds

斯托克斯公式一一曲線積分與曲面積分的關系:

(—―)dydz(——)dzdx(―-)dxdy。PdxQdyRdz

yzzxxy

dydzdzdxdxdyCOScoscos

上式左端又可寫成：------------------

xyzxyz

PQRPQR

QPRQP

空間曲線積分與路徑無關的條件：.---,---------------------f---------------------

yzZXX}

ijk

旋度:rotA———

xyz

PQR

向量場A沿有向閉曲線的環(huán)流量：。PdxQdyRdz。Atds

常數(shù)頂級數(shù)：

等比數(shù)列：1qq2

等差數(shù)列：12312

調和級數(shù)：1111是發(fā)散的

23n

級數(shù)審斂法:

1、正項級數(shù)的審斂法——根植審斂法（柯西判別法）：

1時，級數(shù)收斂

設：lim則1時，級數(shù)發(fā)散

1時，不確定

2、比值審斂法：

1時，級數(shù)收斂

設：lim，L則1時，級數(shù)發(fā)散

nU

"1時，不確定

a定義法：

s?5u2Un.imSn存在，則收斂；否則發(fā)散。

交錯級數(shù)U,u2U3U4（或U,U2U3,Un0）的審斂法-----萊布尼茲定理：

UnUn1

如果交錯級數(shù)滿足Hmun0,那么級數(shù)收斂且其和S5,其余項片的絕對值Hun1o

n

絕對收斂與條件收斂：

⑴UiU2Un,其中Un為任意實數(shù)；

（2）UU2|U3：Un：

如果（2）收斂，則（1）肯定收斂，且稱為絕對收斂級數(shù);

如果（2）發(fā)散，而⑴收斂，則稱⑴為條件收斂級數(shù)。

1（1）"

調和級數(shù)：,發(fā)散，而——收斂；

nn

級數(shù)：!收斂；

n

她將1/p1時發(fā)散

p級數(shù)：—T（

np\p1時收斂

基級數(shù):

x|1時，收斂于

,23

1XXX1X

x|1時，發(fā)散

對于級數(shù)⑶ea,xa/aa"，如果它不是僅在原點收斂，也不是在全

/|x(R時收斂

數(shù)軸上都收斂，則必存在R,使(忖R時發(fā)散，其中R稱為收斂半徑。

R時不定

I[

0時，R—

/

求收斂半徑的方法：設lim,其中a。，a-是⑶的系數(shù)，則j0時，R

"力、時，R。

\

函數(shù)展開成事級數(shù)：

f(n)(X*)

函數(shù)展開成泰勒級數(shù)：f(x)f(xo)(xXo)Xo)2-----—(XXo)n

2!n!

余項：Rf""()(xx。)",，f(x)可以展開成泰勒級數(shù)的充要條件是：limR0

(n1)!

f(n)(0)

f(0)2n

x00時即為麥克勞林公式：f(x)f(0)f(O)X-----x-------X

2!n!

一些函數(shù)展開成幕級數(shù)：

<m(m1)m(m1)(mn1),.

(1x)1mx-------x2-----------------xn(1x1)

2!n!

X'X52n1

sinxx__(1廣」——(x)

3!5!(2n1)!

歐拉公式：

cosx

eixcosxisinx或

sinx

三角級數(shù):

a0

f(t)AoAnsin(ntn)一cosnxbnsinnx)

n12n1

其中，aaAo，aAsinb

0nnnAnCOSn，tX。

正交性：1,sinx,cosx,sin2x,cos2xsinnx,cosnx任意兩個不同項的乘積在[]

上的積分=0。

傅立葉級數(shù):

f(x)一(ancosnxbnsinnx)，周期2

2n1

an—f(x)cosnxdx(n0,1,2)

其中

bn—f(x)sinnxdx(n1,2,3)

1/5T\/1￥￥72