專(zhuān)題08 圓的相關(guān)證明與計(jì)算（基本性質(zhì)、三角形相似、銳角三角函數(shù)）（解析版）

專(zhuān)題08圓的相關(guān)證明與計(jì)算（基本性質(zhì)、與三角形全等相似有關(guān)、與銳角函數(shù)有關(guān)）類(lèi)型一基本性質(zhì)有關(guān)的1．（2023·浙江金華·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)在第一象限內(nèi)，與軸相切于點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)．連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)．

(1)求證：四邊形為矩形．(2)已知的半徑為4，，求弦的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)切線的性質(zhì)及有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形判定即可．（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)、垂徑定理及圓的性質(zhì)計(jì)算即可．【詳解】（1）證明：∵與軸相切于點(diǎn)，∴軸．∵，∴，∴四邊形是矩形．（2）如圖，連接．

四邊形是矩形，．在中，，．點(diǎn)為圓心，，．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定，垂徑定理，圓的性質(zhì)，熟練掌握矩形的判定和垂徑定理是解題的關(guān)鍵．2．（2023·上海·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，弦的長(zhǎng)為8，點(diǎn)C在延長(zhǎng)線上，且．

(1)求的半徑；(2)求的正切值．【答案】(1)5(2)【分析】（1）延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，連接，先根據(jù)圓周角定理可得，再解直角三角形可得，由此即可得；（2）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，先解直角三角形可得，從而可得，再利用勾股定理可得，然后根據(jù)正切的定義即可得．【詳解】（1）解：如圖，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，連接，

由圓周角定理得：，弦的長(zhǎng)為8，且，，解得，的半徑為．（2）解：如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，

的半徑為5，，，，，，即，解得，，，則的正切值為．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理、解直角三角形、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握解直角三角形的方法是解題關(guān)鍵．3．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考中考真題）如圖，都是的半徑，．

(1)求證：；(2)若，求的半徑．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）由圓周角定理得出，，再根據(jù)，即可得出結(jié)論；（2）過(guò)點(diǎn)作半徑于點(diǎn)，根據(jù)垂徑定理得出，證明，得出，在中根據(jù)勾股定理得出，在中，根據(jù)勾股定理得出，求出即可．【詳解】（1）證明：∵，∴，∵，∴，，．（2）解：過(guò)點(diǎn)作半徑于點(diǎn)，則，，∴，，，，在中，，在中，，，，即的半徑是．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，垂徑定理，圓周角定理，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，熟練掌握?qǐng)A周角定理．4．（2023·湖南常德·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，是直徑，是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．

(1)求證：是的切線；(2)若，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)，【分析】（1）根據(jù)“連半徑，證垂直”即可，（2）先由“直徑所對(duì)的圓周角是直角”，證是直角三角形，用勾股定理求出長(zhǎng)，再通過(guò)三角形相似即可求解．【詳解】（1）連接

∵為的中點(diǎn)，∴，∴，又∵，∴，∴，∴，又∵，∴，為半徑，∴為的切線，（2）∵為直徑，∴，∵，∴，又∵，，∴，∴，即，∴，∵，∴，

在中，由勾股定理得：．【點(diǎn)睛】此題考查切線的判定，圓周角定理，勾股定理定理的應(yīng)用，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．5．（2023·山東東營(yíng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，以為直徑的交于點(diǎn)D，，垂足為E．(1)求證：是的切線；(2)若，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）如圖：，然后根據(jù)等邊對(duì)等角可得、即，再根據(jù)可得，進(jìn)而得到即可證明結(jié)論；（2）如圖：連接，有圓周角定理可得，再解直角三角形可得，進(jìn)而得到，然后說(shuō)明，最后根據(jù)弧長(zhǎng)公式即可解答．【詳解】（1）證明：如圖：連接

∵，∴,∵，∴,∴,∴,∴?！撸?，∴，∵是的半徑，∴是的切線．（2）解：如圖：連接∵是的直徑，∴,在中，，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的切線證明、圓周角定理、解直角三角形、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解答本題的關(guān)鍵．6.（2021·山東臨沂市·中考真題）如圖，已知在⊙O中，，OC與AD相交于點(diǎn)E．求證：（1）AD∥BC（2）四邊形BCDE為菱形．

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析【分析】（1）連接BD，根據(jù)圓周角定理可得∠ADB=∠CBD，根據(jù)平行線的判定可得結(jié)論；（2）證明△DEF≌△BCF，得到DE=BC，證明四邊形BCDE為平行四邊形，再根據(jù)得到BC=CD，從而證明菱形．【詳解】解：（1）連接BD，∵，∴∠ADB=∠CBD，∴AD∥BC；

（2）連接CD，∵AD∥BC，∴∠EDF=∠CBF，∵，∴BC=CD，∴BF=DF，又∠DFE=∠BFC，∴△DEF≌△BCF（ASA），∴DE=BC，∴四邊形BCDE是平行四邊形，又BC=CD，∴四邊形BCDE是菱形．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，圓周角定理，弧、弦、圓心角的關(guān)系，全等三角形的判定和性質(zhì)，菱形的判定，解題的關(guān)鍵是合理運(yùn)用垂徑定理得到BF=DF．7．（2023·福建·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知內(nèi)接于的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，交的切線于點(diǎn)，且．(1)求證：；(2)求證：平分．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】（1）由切線的性質(zhì)可得，由圓周角定理可得，即，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，則根據(jù)角的和差可得，最后根據(jù)平行線的判定定理即可解答；（2）由圓周角定理可得，再由等腰三角形的性質(zhì)可得，進(jìn)而得到，再結(jié)合得到即可證明結(jié)論．【詳解】（1）證明是的切線，，即．是的直徑，．∴．，，，即，．（2）解：與都是所對(duì)的圓周角，．，，．由（1）知，，平分．【點(diǎn)睛】本題主要考查角平分線、平行線的判定與性質(zhì)、圓周角定理、切線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用相關(guān)性質(zhì)定理是解答本題的關(guān)鍵．8.（2021·湖南中考真題）如圖，是的內(nèi)接三角形，是的直徑，點(diǎn)是的中點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．（1）求證：直線與相切；（2）若的直徑是10，，求的長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）．【分析】（1）連接OD，由點(diǎn)D是的中點(diǎn)得OD⊥BC，由DE//BC得OD⊥DE，由OD是半徑可得DE是切線；（2）證明△ODE是等腰直角三角形，可求出OE的長(zhǎng)，從而可求得結(jié)論．【詳解】解：（1）連接OD交BC于點(diǎn)F，如圖，∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴OD⊥BC，∵DE//BC∴OD⊥DE∵OD是的半徑∴直線與相切；（2）∵AC是的直徑，且AB=10,∴∠ABC=90°，∵OD⊥BC∴∠OFC=90°∴OD//AB∴∵∴∴由勾股定理得，∴．【點(diǎn)睛】此題主要考查了切線的判定與性質(zhì)的綜合運(yùn)用，熟練掌握切線的判定與性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．9．（2023·廣西·統(tǒng)考中考真題）如圖，平分，與相切于點(diǎn)A，延長(zhǎng)交于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)O作，垂足為B．

(1)求證：是的切線；(2)若的半徑為4，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）首先根據(jù)切線的性質(zhì)得到，然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理得到即可證明；（2）首先根據(jù)勾股定理得到，然后求得，最后利用，代入求解即可．【詳解】（1）∵與相切于點(diǎn)A，∴，∵平分，，∴，∴是的切線；（2）∵的半徑為4，∴，∵，，∴，，∵，∴，∴，即，∴．【點(diǎn)睛】此題考查了圓切線的性質(zhì)和判定，勾股定理，三角函數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)．10．（2023·湖北黃岡·統(tǒng)考中考真題）如圖，中，以為直徑的交于點(diǎn)，是的切線，且，垂足為，延長(zhǎng)交于點(diǎn)．

(1)求證：；(2)若，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）連接，根據(jù)已知可得，則，又，等量代換得出，即可證明；（2）連接，證明，在中，，求得，根據(jù)得出，進(jìn)而可得，根據(jù)，即可求解．【詳解】（1）證明：如圖所示，連接，

∵以為直徑的交于點(diǎn)，是的切線，∴，∵，∴，∴，又，∴，∴，∴；（2）解：連接，如圖，則，

∴，∴，∴，在中，，∴，∴，又∵是直徑，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，直徑所對(duì)的圓周角是直角，平行線分線段成比例，正切的定義，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．11.（2021·湖南張家界市·中考真題）如圖，在中，，，以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的平行線，交于點(diǎn)，連接．（1）求證：為的切線；（2）若，求弧的長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）【分析】（1）連接OB，先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到∠AOB=60°，再運(yùn)用平行線的性質(zhì)結(jié)合已知條件可得，再證明可得即可；（2）先求出∠COD，然后再運(yùn)用弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可．【詳解】（1）證明：連接∵，∴又∵∴∴∴又∵∴∴又∵點(diǎn)在上∴是的切線；（2）∵∴∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的切線的證明、弧長(zhǎng)公式等知識(shí)點(diǎn)，掌握?qǐng)A的切線的證明方法成為解答本題的關(guān)鍵．12.（2020?齊齊哈爾）如圖，AB為⊙O的直徑，C、D為⊙O上的兩個(gè)點(diǎn)，AC=CD=DB，連接AD，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC交（1）求證：DE是⊙O的切線．（2）若直徑AB＝6，求AD的長(zhǎng)．【分析】（1）連接OD，根據(jù)已知條件得到∠BOD=13×180°＝60°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠ADO＝∠DAB＝30°，得到∠EDA＝60°，求得OD（2）連接BD，根據(jù)圓周角定理得到∠ADB＝90°，解直角三角形即可得到結(jié)論．【解析】（1）證明：連接OD，∵AC=∴∠BOD=13×180∵CD=∴∠EAD＝∠DAB=12∠BOD∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠DAB＝30°，∵DE⊥AC，∴∠E＝90°，∴∠EAD+∠EDA＝90°，∴∠EDA＝60°，∴∠EDO＝∠EDA+∠ADO＝90°，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切線；（2）解：連接BD，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∵∠DAB＝30°，AB＝6，∴BD=12AB＝∴AD=62-13．（2023·湖南郴州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，是直徑，點(diǎn)是圓上一點(diǎn)．在的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)，連接，使．

(1)求證：直線是的切線；(2)若，，求圖中陰影部分的面積（結(jié)果用含的式子表示）．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）連接，由是直徑，得，再證，從而有，于是即可證明結(jié)論成立；（2）由圓周角定理求得，在中，解直角三角形得，從而利用扇形及三角形的面積公式即可求解．【詳解】（1）證明：連接，

∵是直徑，∴，∵，，∴，∴，∴，∵是的半徑，∴直線是的切線；（2）解：∵，，∴，∴，∵在中，，，∴，解得，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理，切線的判定，扇形的面積公式以及解直角三角形，熟練掌握?qǐng)A周角定理，切線的判定以及扇形的面積公式是解題的關(guān)鍵．14．（2023·山東棗莊·統(tǒng)考中考真題）如圖，為的直徑，點(diǎn)C是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C做射線的垂線，垂足為E．

(1)求證：是切線；(2)若，求的長(zhǎng)；(3)在（2）的條件下，求陰影部分的面積（用含有的式子表示）．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)(3)【分析】（1）連接OC，證明，即可得到結(jié)論；（2）連接AC，證明，從而可得，再代入求值即可；（2）連接，證明，從而可得，，求出扇形的面積即可得到陰影部分的面積．【詳解】（1）證明：連接，

∵點(diǎn)C是的中點(diǎn)，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴半徑，∴是切線；（2）連接，

∵是的直徑，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴；（3）連接，

∵，∴，∵在中，，∴，∴，∴，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，∴，∴，∴，∴，【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)及判定、切線的判定以及扇形面積的求法，熟練掌握切線的判定定理以及扇形面積的求法是解答此題的關(guān)鍵．15.（2020?深圳）如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，AD與過(guò)點(diǎn)C的切線互相垂直，垂足為D．連接BC并延長(zhǎng)，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．（1）求證：AE＝AB；（2）若AB＝10，BC＝6，求CD的長(zhǎng)．【分析】（1）證明：連接AC、OC，如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)得到OC⊥CD，則可判斷OC∥AD，所以∠OCB＝∠E，然后證明∠B＝∠E，從而得到結(jié)論；（2）利用圓周角定理得到∠ACB＝90°，則利用勾股定理可計(jì)算出AC＝8，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到CE＝BC＝6，然后利用面積法求出CD的長(zhǎng)．【解析】（1）證明：連接AC、OC，如圖，∵CD為切線，∴OC⊥CD，∴CD⊥AD，∴OC∥AD，∴∠OCB＝∠E，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠B，∴∠B＝∠E，∴AE＝AB；（2）解：∵AB為直徑，∴∠ACB＝90°，∴AC=10∵AB＝AE＝10，AC⊥BE，∴CE＝BC＝6，∵12CD?AE=12AC∴CD=6×816．（2023·甘肅蘭州·統(tǒng)考中考真題）如圖，內(nèi)接于，是的直徑，，于點(diǎn)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，，連接．

(1)求證：是的切線；(2)判斷的形狀，并說(shuō)明理由；(3)當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)是等腰三角形，理由見(jiàn)解析(3)【分析】（1）連接，根據(jù)圓周角定理得出，根據(jù)已知得出，根據(jù)得出，進(jìn)而根據(jù)對(duì)等角相等，以及三角形內(nèi)角和定理可得，即可得證；（2）根據(jù)題意得出，則，證明，得出，等量代換得出，即可得出結(jié)論；（3）根據(jù)，，設(shè)，則，等邊對(duì)等角得出，則．【詳解】（1）證明：如圖所示，連接，

∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵∴，即，又是的直徑，∴是的切線；（2）∵，是的直徑，∴，，∴，∵，，∵，∴，又，∴，∴是等腰三角形，（3）∵，，設(shè)，則，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定，等腰三角形的性質(zhì)與判定，圓周角定理，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．類(lèi)型二與三角形全等、相似有關(guān)的17．（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的內(nèi)接三角形，是的直徑，，點(diǎn)在上，連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，連接，作，垂足為．(1)求證：；(2)若，求的長(zhǎng)．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）分別證明，，從而可得結(jié)論；（2）求解，，可得，證明，設(shè)，則，，證明，可得，可得，，，從而可得答案．【詳解】（1）證明：∵是的直徑，，∴，∵，∴．（2）∵，，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，設(shè)，則，，∵，，∴，∴，∴，則，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查的是圓周角定理的應(yīng)用，相似三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，熟記圓的基本性質(zhì)與重要定理是解本題的關(guān)鍵．18．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）如圖所示，四邊形是半徑為R的的內(nèi)接四邊形，是的直徑，，直線l與三條線段、、的延長(zhǎng)線分別交于點(diǎn)E、F、G．且滿足．

(1)求證：直線直線；(2)若；①求證：；②若，求四邊形的周長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)①見(jiàn)解析，②【分析】（1）在中，根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等可得，結(jié)合已知在中根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可求得；（2）①根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和鄰補(bǔ)角可得，由直徑所對(duì)的圓周角是直角和（1）可得，結(jié)合已知即可證得；②在中由，可得，結(jié)合題意易證，在中由勾股定理可求得，由①可知易得，最后代入計(jì)算即可求得周長(zhǎng)．【詳解】（1）證明：在中，，，即，在中，，，即直線直線；（2）①四邊形是半徑為R的的內(nèi)接四邊形，，，，是的直徑，，由（1）可知，，在與中，，，②在中，，，是的直徑，，，，，在中，，即，解得：，由①可知，，，四邊形的周長(zhǎng)為：．【點(diǎn)睛】本題考查了同弧所對(duì)的圓周角相等、三角形內(nèi)角和定理、垂直的定義、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、鄰補(bǔ)角互補(bǔ)、直徑所對(duì)的圓周角是直角、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理解直角三角形以及周長(zhǎng)的計(jì)算；解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用以上知識(shí)，綜合求解．19．（2023·湖北·統(tǒng)考中考真題）如圖，等腰內(nèi)接于，，是邊上的中線，過(guò)點(diǎn)作的平行線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接．

(1)求證：為的切線；(2)若的半徑為，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）證明，得出，則四邊形是平行四邊形，，作于．得出為的垂直平分線．則．又點(diǎn)在上，即可得證；過(guò)點(diǎn)作于，連接．垂徑定理得出，勾股定理得，進(jìn)而可得，勾股定理求得，證明，可得，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出，，然后求得，勾股定理求得，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）證明，∵，∴．又，∴．∴．∴四邊形是平行四邊形．∴．作于．

又∵，∴為的垂直平分線．∴點(diǎn)在上．∴．即．又點(diǎn)在上，∴為的切線；（2）解：過(guò)點(diǎn)作于，連接．

∵為的垂直平分線，∴．∴．∴．∴．∴．∵，∴∴，又，∴．∴，．∴．∴．∵，∴．∴．∴．∴．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定，垂徑定理，相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．20．（2023·黑龍江綏化·統(tǒng)考中考真題）如圖，為⊙O的直徑，且，與為圓內(nèi)的一組平行弦，弦交于點(diǎn)H．點(diǎn)A在上，點(diǎn)B在上，．

(1)求證：．(2)求證：．(3)在⊙O中，沿弦所在的直線作劣弧的軸對(duì)稱圖形，使其交直徑于點(diǎn)G．若，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)【分析】（1）證明即可；（2）連接，交于點(diǎn)，根據(jù)平行線的性質(zhì)和已知條件證明垂直平分即可；（3）利用對(duì)稱的性質(zhì)作輔助線，根據(jù)已知條件，轉(zhuǎn)化為解直角三角形問(wèn)題即可．【詳解】（1）和是所對(duì)的圓周角，，，∴，∴，∴．（2）連接，交于點(diǎn)，

與為一組平行弦，即：，，，，，，，，是的垂直平分線，．（3）連接、，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，設(shè)點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，連接、，

，，∴，，，是等腰三角形，，，，，為直徑，，，，，，，在中，，，，，在中，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的綜合問(wèn)題，同弧所對(duì)圓周角相等、構(gòu)建合適的輔助線是解題的關(guān)鍵；熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)、熟悉銳角三角函數(shù)解決直角三角形．21．（2023·山東·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知是的直徑，，切于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，若．

(1)如圖1，連接，求證：；(2)如圖2，是上一點(diǎn)，在上取一點(diǎn)，使，連接．請(qǐng)問(wèn)：三條線段有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)，證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)，是半徑，可得是的切線，根據(jù)是的切線，由切線長(zhǎng)定理可得，進(jìn)而根據(jù)，得出，，根據(jù)得出，根據(jù)垂徑定理的推論得出，進(jìn)而得出，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)，得出，即可證明；（2）延長(zhǎng)至使得，連接，，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)得出，證明，結(jié)合已知條件證明，進(jìn)而證明，得出，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵，是半徑，∴是的切線，∵是的切線，∴，∵∴，∴∴，，∵∴，∴，∵是直徑，∴，∵，∴，∴，∴；（2），理由如下，延長(zhǎng)至使得，連接，，如圖所示

∵∴，∵，∴，∴，由（1）可得，又是直徑，則，∴，∴，∵，∴，∴,∴，∵，∴，∴，

∴．即．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定，切線長(zhǎng)定理，垂徑定理的推論，全等三角形的性質(zhì)與判定，根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求角度，圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．22.（2022·北部灣）如圖，在△ABC中，AB=AC，以AC為直徑作⊙O交BC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB，垂足為E，延長(zhǎng)BA交⊙O于點(diǎn)F.（1）求證：DE是⊙O的切線（2）若AEDE=23，AF=10【答案】（1）證明：連接OD；∵OD=OC，∴∠C=∠ODC，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠B=∠ODC，∴OD∥AB，∴∠ODE=∠DEB；∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∴∠ODE=90°，即DE⊥OD，∴DE是⊙O的切線（2）解：連接CF，由（1）知OD⊥DE，∵DE⊥AB，∴OD∥AB，∵OA=OC，∴BD=CD，即OD是△ABC的中位線，∵AC是⊙O的直徑，∴∠CFA=90°，∵DE⊥AB，∴∠BED=90°，∴∠CFA=∠BED=90°，∴DE∥CF，∴BE=EF，即DE是△FBC的中位線，∴CF=2DE，∵AEDE=∴設(shè)AE=2x，DE=3k，CF=6k，∵AF=10，∴BE=EF=AE+AF=2k+10，∴AC=BA=EF+AE=4k+10，在Rt△ACF中，由勾股定理，得AC2=AF2+CF2，即(4k+10)2=102+(6k)2，解得：k=4，∴AC=4k+10=4×4+10=26，∴OA=13，即⊙O的半徑為13.【知識(shí)點(diǎn)】平行線的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；圓周角定理；切線的判定；三角形的中位線定理【解析】【分析】（1）連接OD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠C=∠ODC，∠B=∠C，則∠B=∠ODC，推出OD∥AB，由平行線的性質(zhì)可得∠ODE=∠DEB=90°，即DE⊥OD，據(jù)此證明；（2）連接CF，由（1）知OD⊥DE，則OD∥AB，易得OD是△ABC的中位線，根據(jù)圓周角定理可得∠CFA=90°，根據(jù)垂直的概念可得∠BED=90°，則DE∥CF，推出DE是△FBC的中位線，得CF=2DE，設(shè)AE=2x，DE=3k，CF=6k，則BE=EF=2k+10，AC=BA=4k+10，根據(jù)勾股定理可得k的值，然后求出AC、OA，據(jù)此可得半徑.23.（2021·江蘇無(wú)錫市·中考真題）如圖，四邊形內(nèi)接于，是的直徑，與交于點(diǎn)E，切于點(diǎn)B．（1）求證：；（2）若，，求證：．【答案】（1）見(jiàn)詳解；（2）見(jiàn)詳解【分析】（1）由圓周角定理的推論，可知∠ABC=90°，由切線的性質(zhì)可知∠OBP=90°，進(jìn)而即可得到結(jié)論；（2）先推出，從而得∠AOB=40°，繼而得∠OAB=70°，再推出∠CDE=70°，進(jìn)而即可得到結(jié)論．【詳解】證明：（1）∵是的直徑，∴∠ABC=90°，∵切于點(diǎn)B，∴∠OBP=90°，∴，∴；（2）∵，，∴，∵OB=OC，∴，∴∠AOB=20°+20°=40°，∵OB=OA，∴∠OAB=∠OBA=(180°-40°)÷2=70°，∴∠ADB=∠AOB=20°，∵是的直徑，∴∠ADC=90°，∴∠CDE=90°-20°=70°，∴∠CDE=∠OAB，∵，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的性質(zhì)以及相似三角形的判定定理，掌握?qǐng)A周角定理的推論，相似三角形的判定定理，切線的性質(zhì)定理，是解題的關(guān)鍵．24.（2019?陜西）如圖，⊙O的半徑OA＝6，過(guò)點(diǎn)A作⊙O的切線AP，且AP＝8，連接PO并延長(zhǎng)，與⊙O交于點(diǎn)B、D，過(guò)點(diǎn)B作BC∥OA，并與⊙O交于點(diǎn)C，連接AC、CD．（1）求證：DC∥AP；（2）求AC的長(zhǎng)．【分析】（1）根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠OAP＝90°，根據(jù)圓周角定理得到∠BCD＝90°，根據(jù)平行線的性質(zhì)和判定定理即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)勾股定理和相似三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論．【解析】（1）證明：∵AP是⊙O的切線，∴∠OAP＝90°，∵BD是⊙O的直徑，∴∠BCD＝90°，∵OA∥CB，∴∠AOP＝∠DBC，∴∠BDC＝∠APO，∴DC∥AP；（2）解：∵AO∥BC，OD＝OB，∴延長(zhǎng)AO交DC于點(diǎn)E，則AE⊥DC，OE=12BC，CE=在Rt△AOP中，OP=62+82=由（1）知，△AOP∽△CBD，∴DBOP即1210∴BC=365，DC∴OE=185，CE在Rt△AEC中，AC=A25.（2021·云南中考真題）如圖，是的直徑，點(diǎn)C是上異于A、B的點(diǎn)，連接、，點(diǎn)D在的延長(zhǎng)線上，且，點(diǎn)E在的延長(zhǎng)線上，且．（1）求證：是的切線：（2）若，求的長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）【分析】（1）連接OC，根據(jù)圓周角定理得到∠ACB=90°，根據(jù)等量代換得到∠DCO=90°，即可證明DC是圓O的切線；（2）根據(jù)已知得到OA=2DA，證明△DCO∽△DEB，得到，可得DA=EB，即可求出DA的長(zhǎng)．【詳解】解：（1）如圖，連接OC，由題意可知：∠ACB是直徑AB所對(duì)的圓周角，∴∠ACB=90°，∵OC，OB是圓O的半徑，∴OC=OB，∴∠OCB=∠ABC，又∵∠DCA=∠ABC，∴∠DCA=∠OCB，∴∠DCO=∠DCA+∠ACO=∠OCB+∠ACO=∠ACB=90°，∴OC⊥DC，又∵OC是圓O的半徑，∴DC是圓O的切線；（2）∵，∴，化簡(jiǎn)得OA=2DA，由（1）知，∠DCO=90°，∵BE⊥DC，即∠DEB=90°，∴∠DCO=∠DEB，∴OC∥BE，∴△DCO∽△DEB，∴，即，∴DA=EB，∵BE=3，∴DA=EB=，經(jīng)檢驗(yàn)：DA=是分式方程的解，∴DA=．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，切線的判定，正確的作出輔助線，證明切線，得到相似三角形是解題的關(guān)鍵．26.（2021·云南中考真題）如圖，是的直徑，點(diǎn)C是上異于A、B的點(diǎn)，連接、，點(diǎn)D在的延長(zhǎng)線上，且，點(diǎn)E在的延長(zhǎng)線上，且．（1）求證：是的切線：（2）若，求的長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）【分析】（1）連接OC，根據(jù)圓周角定理得到∠ACB=90°，根據(jù)等量代換得到∠DCO=90°，即可證明DC是圓O的切線；（2）根據(jù)已知得到OA=2DA，證明△DCO∽△DEB，得到，可得DA=EB，即可求出DA的長(zhǎng)．【詳解】解：（1）如圖，連接OC，由題意可知：∠ACB是直徑AB所對(duì)的圓周角，∴∠ACB=90°，∵OC，OB是圓O的半徑，∴OC=OB，∴∠OCB=∠ABC，又∵∠DCA=∠ABC，∴∠DCA=∠OCB，∴∠DCO=∠DCA+∠ACO=∠OCB+∠ACO=∠ACB=90°，∴OC⊥DC，又∵OC是圓O的半徑，∴DC是圓O的切線；（2）∵，∴，化簡(jiǎn)得OA=2DA，由（1）知，∠DCO=90°，∵BE⊥DC，即∠DEB=90°，∴∠DCO=∠DEB，∴OC∥BE，∴△DCO∽△DEB，∴，即，∴DA=EB，∵BE=3，∴DA=EB=，經(jīng)檢驗(yàn)：DA=是分式方程的解，∴DA=．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，切線的判定，正確的作出輔助線，證明切線，得到相似三角形是解題的關(guān)鍵．類(lèi)型三與銳角三角函數(shù)有關(guān)27．（2023·湖南張家界·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的外接圓，是的直徑，是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接，且．(1)求證：是的切線；(2)若直徑，求的長(zhǎng)．【答案】(1)詳見(jiàn)解析(2)【分析】(1)根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角，余角的性質(zhì)即可求得結(jié)論；(2)根據(jù)已知條件可知，再根據(jù)正切的定義和相似三角形的性質(zhì)得到線段的關(guān)系即可求得線段的長(zhǎng)度．【詳解】（1）證明：連接，∵是的直徑，∴，∴，又∵，∴，又∵，∴，即，∴是的切線；（2）解：∵，∴，∵在中，∴∴，∴，∵，∴，∴，設(shè)，則，又∵，即，解得（取正值），∴，【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角的性質(zhì)，切線的判定定理，正切的定義，相似三角形的性質(zhì)和判定，找出正切的定義與相似三角形相似比的關(guān)聯(lián)是解題的關(guān)鍵．28．（2023·遼寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的直徑，點(diǎn)在上，，點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，且．

(1)求證：EF與相切；(2)若，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）利用圓周角定理得到，結(jié)合已知推出，再證明，推出，即可證明結(jié)論成立；（2）設(shè)半徑為x，則，在中，利用正弦函數(shù)求得半徑的長(zhǎng)，再在中，解直角三角形即可求解．【詳解】（1）證明：連接，

∵，∴，∵，∴，∵是的直徑，∴，∵，∴，∴，∵為半徑，∴EF與相切；（2）解：設(shè)半徑為x，則，∵，，∴，在中，，，∴，即，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，是所列方程的解，∴半徑為4，則，在中，，，，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的切線的判定、圓周角定理、解直角三角形以及相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握?qǐng)A的相關(guān)知識(shí)和相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．29．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的直徑，是上一點(diǎn)過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，點(diǎn)是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接，，．

(1)求證：是切線；(2)若，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)垂徑定理和圓周角定理可推出，利用已知條件進(jìn)行等量轉(zhuǎn)換即可求出，最后利用可證明，從而證明是切線．（2）根據(jù)互余的兩個(gè)角相等，利用可求出，設(shè)參數(shù)表示出和，再根據(jù)勾股定理用參數(shù)表示出和，最后利用即可求出參數(shù)的值，從而求出長(zhǎng)度，即可求的長(zhǎng)．【詳解】（1）解：連接，，如圖所示，

，為的直徑，，，，，，，，，，，是切線．（2）解：連接，如圖所示，

由（1）得，，，，．，．設(shè)則，在中，，．在中，．，，．．，．．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，圓周角定理，切線的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)和勾股定理，解題的關(guān)鍵在于利用參數(shù)表達(dá)線段長(zhǎng)度．30.（2021·山東菏澤市·中考真題）如圖，在中，是直徑，弦，垂足為，為上一點(diǎn)，為弦延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交直徑的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，若．（1）求證：是的切線；（2）若的半徑為8，，求的長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）【分析】（1）連接OE，證明OE⊥EF即可；（2）由證得，運(yùn)用正弦的概念可得結(jié)論．【詳解】解：（1）證明：連接OE，如圖，∵OA=OE∴∠OAE=∠OEA．∵EF=PF，∴∠EPF=∠PEF∵∠APH=∠EPF，∴∠APH=∠EPF，∴∠AEF=∠APH．∵CD⊥AB，∴∠AHC=90°．∴∠OAE+∠APH=90°．∴∠OEA+∠AEF=90°∴∠OEF=90°∴OE⊥EF．∵OE是的半徑∴EF是圓的切線，（2）∵CD⊥AB∴是直角三角形∵∴設(shè)，則由勾股定理得，由（1）得，是直角三角形∴∴，即∵∴解得，【點(diǎn)睛】此題主要考查了圓的切線的判定，勾股定理和解直角三角形等知識(shí)，熟練掌握切線的判定是解答此題的關(guān)鍵．31．（2023·湖北隨州·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的直徑，點(diǎn)E，C在上，點(diǎn)C是的中點(diǎn)，垂直于過(guò)C點(diǎn)的直線，垂足為D，的延長(zhǎng)線交直線于點(diǎn)F．

(1)求證：是的切線；(2)若，，①求的半徑；②求線段的長(zhǎng)．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)①3；②2【分析】（1）根據(jù)等弧所對(duì)的圓周角相等和等邊對(duì)等角的性質(zhì)，得到，推出，進(jìn)而得到，再利用圓的切線的判定定理即可證明結(jié)論；（2）①連接，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角和平行線的判定，得到，進(jìn)而得到，再利用銳角三角函數(shù)，求得，即可求出的半徑；②利用銳角三角函數(shù)，分別求出和的長(zhǎng)，即可得到線段的長(zhǎng)．【詳解】（1）證明：如圖，連接，

點(diǎn)C是的中點(diǎn)，，，，，，，，，是的半徑，是的切線；（2）解：①如圖，連接，

是直徑，，，，，，，，，，的半徑為；②由（1）可知，，，，，，，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題是圓和三角形綜合題，考查了圓的切線的判定定理，圓的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)等知識(shí)，熟練掌握?qǐng)A的相關(guān)性質(zhì)，靈活運(yùn)用正弦值求邊長(zhǎng)是解題關(guān)鍵．32.（2022·鄂州）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，P是⊙O的直徑AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，∠PCB=∠OAC，過(guò)點(diǎn)O作BC的平行線交PC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D.（1）試判斷PC與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）若PC＝4，tanA＝12，求△OCD的面積【答案】（1）解：PC與⊙O相切，理由如下：∵AB是圓O的直徑，∴∠ACB=90°，∴∠OCB+∠OCA=90°，∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC，∵∠PCB=∠OAC，∴∠PCB=∠OCA，∴∠PCB+∠OCB=∠OCA+∠OCB=90°，即∠PCO=90°，∴PC與⊙O相切（2）解：∵∠ACB=90°，tanA=1∴BCAC∵∠PCB=∠OAC，∠P=∠P，∴△PBC∽△PCA，∴PCPA∴PA=8，∴AB=6，∴OC=OB=3，∴OP=5，∵BC∥OD，∴△PBC∽△POD，∴PBOP=PC∴PD=10，∴CD=6，∴S【知識(shí)點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)；圓周角定理；切線的判定；相似三角形的判定與性質(zhì)；銳角三角函數(shù)的定義【解析】【分析】（1）由圓周角定理得∠ACB=90°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠OCA=∠OAC，結(jié)合∠PCB=∠OAC得PCB=∠OCA，結(jié)合∠OCB+∠OCA=90°可得∠PCO=90°，據(jù)此證明；

（2）根據(jù)三角函數(shù)的概念可得BCAC=12，易證△PBC∽△PCA，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得PA、PB，然后求出AB、OP，證明△PBC∽△POD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得PD，由PD-PC=CD33．（2023·山東煙臺(tái)·統(tǒng)考中考真題）如圖，在菱形中，對(duì)角線相交于點(diǎn)經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，交對(duì)角線于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，且．

(1)求證：是的切線；(2)已知的半徑與菱形的邊長(zhǎng)之比為，求的值．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）利用垂徑定理得，利用菱形的性質(zhì)得，利用半徑相等得，即可證明，據(jù)此即可證明結(jié)論成立；（2）設(shè)，由題意得，求得，由勾股定理得到，求得，利用菱形的性質(zhì)求得，據(jù)此求解即可．【詳解】（1）證明：連接，

∵，由垂徑定理知，∴，∵四邊形是菱形，∴，∴，∵，∴，∴，又∵為的半徑，∴是的切線；（2）解：∵四邊形是菱形，，∴設(shè)，∵的半徑與菱形的邊長(zhǎng)之比為，∴在中，，∴，，∴，∵四邊形是菱形，∴，即，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，垂徑定理，切線的判定，求角的正切值，勾股定理，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問(wèn)題需要的條件．34.（2022·畢節(jié)）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB邊上一點(diǎn)，以BD為直徑的⊙O與AC相切于點(diǎn)E，連接DE并延長(zhǎng)交BC（1）求證：BF=BD；（2）若CF=1，tan∠EDB=2，求⊙O【答案】（1）證明：連接OE，如下圖所示：∵AC為圓O的切線，∴∠AEO=90°，∵AC⊥BC，∴∠ACB=90°，∴OE∥BC，∴∠F=∠DEO，又∵OD=OE，∴∠ODE=∠DEO，∴∠F=∠ODE，∴BD=BF.（2）解：連接BE，如下圖所示：由(1)中證明過(guò)程可知：∠EDB=∠F，∴tan∠EDB=tan∠F=ECCF，代入數(shù)據(jù)：∴EC=2，又BD是圓O的直徑，∴∠BED=∠BEF=90°，∴∠CEF+∠F=90°=∠CEF+∠CEB，∴∠F=∠CEB，∴tan∠F=tan∠CEB=BCCE，代入數(shù)據(jù)：∴BC=4，由(1)可知：BD=BF=BC+CF=4+1=5，∴圓O的直徑為5.【知識(shí)點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)；圓周角定理；切線的性質(zhì)；解直角三角形【解析】【分析】（1）連接OE，利用切線的性質(zhì)和垂直的定義可證得∠AEO=∠ACB=90°，可推出OE∥BC；再利用平行線的性質(zhì)可得到∠F=∠DEO，利用等邊對(duì)等角可證得∠ODE=∠DEO，由此可推出∠F=∠ODE，利用等角對(duì)等邊，可證得結(jié)論.

（2）連接BE，由∠EDB=∠F；再利用解直角三角形可求出EC的長(zhǎng)，利用直徑所對(duì)的圓周角是直角得到BE⊥DF，利用余角的性質(zhì)可得到∠F=∠CEB，利用解直角三角形求出BC的長(zhǎng)；然后根據(jù)BD=BF=BC+CF，代入計(jì)算求出BD的長(zhǎng)35．（2023·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，點(diǎn)D是上一點(diǎn)，且，點(diǎn)O在上，以點(diǎn)O為圓心的圓經(jīng)過(guò)C、D兩點(diǎn)．

(1)試判斷直線與的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)若的半徑為3，求的長(zhǎng)．【答案】(1)直線與相切，理由見(jiàn)解析(2)6【分析】（1）連接，根據(jù)圓周角定理，得到，進(jìn)而得到，即可得出與相切；（2）解直角三角形，求出的長(zhǎng)，進(jìn)而求出的長(zhǎng)，再解直角三角形，求出的長(zhǎng)即可．【詳解】（1）解：直線與相切，理由如下：連接，則：，

∵，即：，∴，∵，∴，∴，∴，∵為的半徑，∴直線與相切；（2）解：∵，的半徑為3，∴，∴，∴，∵，∴，設(shè)：，則：，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查切線的判定，解直角三角形．熟練掌握切線的判定方法，正弦的定義，是解題的關(guān)鍵．36.（2021·四川廣元市·中考真題）如圖，在Rt中，，是的平分線，以為直徑的交邊于點(diǎn)E，連接，過(guò)點(diǎn)D作，交于點(diǎn)F．（1）求證：是的切線；（2）若，，求線段的長(zhǎng)．【答案】（1）證明見(jiàn)詳解；（2）．【分析】（1）先根據(jù)圓周角定理、角平分線定義、平行線性質(zhì)證明∠EAD=∠FDE，再根據(jù)AD為直徑，得到∠ADE+∠DAE=90°，進(jìn)而得到AD⊥FD，問(wèn)題得證；（2）先求出DE=3，證明△AED≌△ACD，得到DE=DC=3，BC=BD+CD=8，解Rt中求出AC=6，進(jìn)而得到AE=6，求出,證明△ADE∽△AFD，得到，即可求出．【詳解】解：（1）證明：連接DE，∵∴∠CAD=∠CED，∵是的平分線，∴∠CAD=∠EAD，∴∠CED=∠EAD，∵，∴∠CED=∠FDE，∴∠EAD=∠FDE，∵AD為直徑，∴∠AED=∠ACD=90°，∴∠ADE+∠DAE=90°，∴∠ADE+∠FDE=90°，即AD⊥FD，又∵為直徑，∴是的切線；（2）∵∠AED=90°，∴∠BED=90°，∴,∵∠AED=∠ACD，∠DAE=∠DAC，AD=AD，∴△AED≌△ACD，∴DE=DC=3，∴BC=BD+CD=8，在Rt中，∵，∴設(shè)AC=3x，AB=5x，∴，∵x＞0，∴x=2，∴AB=5x=10，AC=3x=6，∵△AED≌△ACD，∴AE=AC=6，∴在Rt△ADE中，,∵∠EAD=∠DAF，∠AED=∠ADF=90°，∴△ADE∽△AFD，∴，即,∴．【點(diǎn)睛】本題為圓的綜合題，考查了切線的判定，圓的性質(zhì)，三角函數(shù)，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)題意添加輔助線，熟知圓的性質(zhì)，利用三角函數(shù)解直角三角形是解題關(guān)鍵．37．（2023·四川樂(lè)山·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知是的外接圓，，D是圓上一點(diǎn)，E是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連結(jié)，且．

(1)求證：直線是是的切線；(2)若，的半徑為3，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）由，可知是的直徑，由，可得，由，，可得，，則，由，可得，即，進(jìn)而結(jié)論得證；（2）作，垂足為E，如圖所示，由題意知，是等腰三角形，則，由題意知，，，可求