專題20 二次函數(shù)中對稱變換問題（解析版）

二次函數(shù)中對稱變換問題1．（2023·四川甘孜·中考真題）已知拋物線與x軸相交于，B兩點，與y軸相交于點．

(1)求b，c的值；(2)P為第一象限拋物線上一點，的面積與的面積相等，求直線的解析式；(3)在（2）的條件下，設E是直線上一點，點P關于的對稱點為點，試探究，是否存在滿足條件的點E，使得點恰好落在直線上，如果存在，求出點的坐標；如果不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，點的坐標為或【分析】（1）由待定系數(shù)法即可求解；（2）得到，即可求解；（3）由題意的：，即可求解．【詳解】（1）由題意，得（2）由（1）得拋物線的解析式為．令，則，得．∴B點的坐標為．，∴．∵，∴直線的解析式為．∵，∴可設直線的解析式為．∵在直線上，∴．∴．∴直線的解析式為．

（3）設P點坐標為．∵點P在直線和拋物線上，∴．∴．解得（舍去）．∴點P的坐標為．

由翻折，得．∵，∴'．∴．．設點E的坐標為，則．．當時，點E的坐標為．設,由，得：，解得：，則點的坐標為．當時，同理可得，點的坐標為．綜上所述，點的坐標為或．2．（2023·山東淄博·中考真題）如圖，一條拋物線經(jīng)過的三個頂點，其中為坐標原點，點，點在第一象限內(nèi)，對稱軸是直線，且的面積為18

(1)求該拋物線對應的函數(shù)表達式；(2)求點的坐標；(3)設為線段的中點，為直線上的一個動點，連接，，將沿翻折，點的對應點為．問是否存在點，使得以，，，為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出所有符合條件的點的坐標；若不存在，請說明理由．【分析】（1）根據(jù)對稱軸為直線，將點代入，進而待定系數(shù)法求解析式即可求解；（2）設，過點作軸交于點，過點作交于點，繼而表示出的面積，根據(jù)的面積為，解方程，即可求解．（3）先得出直線的解析式為，設，當為平行四邊形的對角線時，可得，當為平行四邊形的對角線時，，進而建立方程，得出點的坐標，即可求解．【詳解】（1）解：∵對稱軸為直線，∴①，將點代入得，∴②，聯(lián)立①②得，，∴解析式為；（2）設，如圖所示，過點作軸交于點，過點作交于點，

∴，，則，∴解得：或（舍去），（3）存在點，使得以，，，為頂點的四邊形是平行四邊形，理由如下：∵，∴，設直線的解析式為，∴，解得：，∴直線的解析式為，設，如圖所示，當BP為平行四邊形的對角線時，，

，∵，∴，由對稱性可知，，∴，∴解得：∴點的坐標為或如圖3，當為平行四邊形的對角線時，，，

由對稱性可知，，∴，∴，解得：或，∴點的坐標為或綜上所述，點的坐標為或或或．3．（2023·遼寧阜新·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)的圖象與軸交于點和點，與y軸交于點C．

(1)求這個二次函數(shù)的表達式．(2)如圖1，二次函數(shù)圖象的對稱軸與直線交于點D，若點M是直線上方拋物線上的一個動點，求面積的最大值．(3)如圖2，點是直線上的一個動點，過點的直線與平行，則在直線上是否存在點，使點與點關于直線對稱？若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．【詳解】（1）解：由題意得，；（2）解：如圖1，作于，作于，交于，，，，，拋物線的對稱軸是直線：，，，，，故只需的邊上的高最大時，的面積最大，設過點與平行的直線的解析式為：，當直線與拋物線相切時，的面積最大，由得，，由△得，得，，，，，，，，；（3）解：如圖2，當點在線段上時，連接，交于，點和點關于對稱，，設，由得，，，（舍去），，∵，，，四邊形是平行四邊形，，，∴；如圖3，當點在的延長線上時，由上可知：，同理可得：，綜上所述：或．4．（2023·山東日照·中考真題）在平面直角坐標系內(nèi)，拋物線交y軸于點C，過點C作x軸的平行線交該拋物線于點D．

(1)求點C，D的坐標；(2)當時，如圖1，該拋物線與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側），點P為直線上方拋物線上一點，將直線沿直線翻折，交x軸于點，求點P的坐標；【分析】（1）先求出，再求出拋物線對稱軸，根據(jù)題意可知C、D關于拋物線對稱軸對稱，據(jù)此求出點D的坐標即可；（2）先求出，如圖，設上與點M關于直線對稱的點為，由軸對稱的性質可得，利用勾股定理建立方程組，解得或（舍去），則，求出直線的解析式為，然后聯(lián)立，解得或，則；【詳解】（1）解：在中，當時，，∴，∵拋物線解析式為，∴拋物線對稱軸為直線，∵過點C作x軸的平行線交該拋物線于點D，∴C、D關于拋物線對稱軸對稱，∴；（2）解：當時，拋物線解析式為，當，即，解得或，∴；如圖，設上與點M關于直線對稱的點為，由軸對稱的性質可得，∴，解得：，即∴，∴，解得或（舍去），∴，∴，設直線的解析式為，∴，∴，∴直線的解析式為，聯(lián)立，解得或∴；

5．（2023·山東·中考真題）已知拋物線與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點，其對稱軸為．

(1)求拋物線的表達式；(2)如圖1，點D是線段上的一動點，連接，將沿直線翻折，得到，當點恰好落在拋物線的對稱軸上時，求點D的坐標；【分析】（1）由題易得c的值，再根據(jù)對稱軸求出b的值，即可解答；（2）過作x軸的垂線，垂足為H求出A和B的坐標，得到，，由，推出，解直角三角形得到的長，即可解答；【詳解】（1）解：拋物線與y軸交于點，∴，∵對稱軸為，∴，，∴拋物線的解析式為；（2）如圖，過作x軸的垂線，垂足為H，

令，解得：，∴，，∴，由翻折可得，∵對稱軸為，∴，∵，∴，∴，在中，，∴；6．（2023·四川眉山·中考真題）在平面直角坐標系中，已知拋物線與x軸交于點兩點，與y軸交于點，點P是拋物線上的一個動點．

(1)求拋物線的表達式；(3)過點P作x軸的垂線交直線于點M，連接，將沿直線翻折，當點M的對應點恰好落在y軸上時，請直接寫出此時點M的坐標．【分析】（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式即可；（3）證明，得出，設，，得出，，根據(jù)，得出，求出或或，根據(jù)當時，點P、M、C、四點重合，不存在舍去，求出點M的坐標為，．【詳解】（1）解：把，代入得：，解得：，∴拋物線的解析式為．（3）解：根據(jù)折疊可知，，，，∵軸，∴，∴，∴，

∴，設，，，，∵，∴，∴，整理得：，∴或，解得：或或，∵當時，點P、M、C、四點重合，不存在，∴，∴點M的坐標為，．

【點睛】本題主要考查了求拋物線的解析式，二次函數(shù)的綜合應用，平行線分線段成比例定理，等腰三角形的判定，平行線的性質，兩點間距離公式，解題的關鍵是數(shù)形結合，作出輔助線或畫出圖形．7．（2022·甘肅武威·中考真題）如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于，兩點，點在軸上，且，，分別是線段，上的動點（點，不與點，，重合）．(1)求此拋物線的表達式；(2)連接并延長交拋物線于點，當軸，且時，求的長；(3)連接．①如圖2，將沿軸翻折得到，當點在拋物線上時，求點的坐標；②如圖3，連接，當時，求的最小值．【答案】(1)(2)(3)①；②【分析】（1）把點B代入拋物線關系式，求出a的值，即可得出拋物線的關系式；（2）根據(jù)拋物線可求出點A的坐標，點C的坐標，根據(jù)，利用三角函數(shù)，求出DE的長，再求出點E的坐標，根據(jù)點P與點E的橫坐標相同，得出點P的橫坐標，代入拋物線的關系式，求出點P的縱坐標，即可得出EP的值，最后求出DP的值即可；（3）①連接交于點，設，則，求出，得出點，將其代入拋物線關系式，列出關于a的方程，解方程，求出a的值，即可得出G的坐標；②在下方作且，連接，，證明，得出，說明當，，三點共線時，最小，最小為，過作，垂足為，先證明∠CAH=45°，算出AC長度，即可求出CH、AH，得出HQ，最后根據(jù)勾股定理求出CQ的長度即可得出結果．【詳解】（1）解：∵在拋物線上，∴，解得，∴，即；（2）在中，令，得，，∴，，∵，∴，∵，∴，，∴，∵軸，∴，∴，∴，∴．（3）①連接交于點，如圖1所示：∵與關于軸對稱，∴，，設，則，，∴，∵點在拋物線上，∴，解得（舍去），，∴；②在下方作且，連接，，如圖2所示：∵，∴，∴，∴當，，三點共線時，最小，最小為，過作，垂足為，∵，，∴，，∵，，，，∴，即的最小值為．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合應用，待定系數(shù)法求拋物線的關系式，全等三角形的判定和性質，解直角三角形，三角函數(shù)的定義，作出輔助線，證明，得出當，，三點共線時，最小，是解題的關鍵．8．（2023·遼寧盤錦·二模）如圖，拋物線交x軸于A、B兩點（點A在點B的左側）坐標分別為，，交y軸于點C．

(1)求出拋物線解析式；(2)如圖1，過y軸上點D作的垂線，交直線于點E，交拋物線于點F，當時，請求出點F的坐標；(3)如圖2，點H的坐標是，點Q為x軸上一動點，點在拋物線上，把沿翻折，使點P剛好落在x軸上，請直接寫出點Q的坐標．【答案】(1)(2)或(3)或【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可求解；（2）過點作軸的垂線交于，交軸于，得出，根據(jù)三角函數(shù)求出，設，，求得，，，，其中和兩點所對應的點不在線段上，所以舍去；（3）分兩種情況討論：如圖所示，當點位于軸負半軸時，過點作軸交軸于點，作軸交軸于點，如圖所示，當點位于軸正半軸時，過點作軸交軸于點，作軸交軸于點，根據(jù)全等三角形的性質以及勾股定理即可求解；【詳解】（1）解：將，代入表達式得：，解得：，∴拋物線解析式為；（2）過點作軸的垂線交于，交軸于，

∵，，∴，在中，，由勾股定理得：，∴，即，∴，∵，，∴直線：，設，，∴或，∴或，解得：，，，，∴或或或其中和兩點所對應的點不在線段上，所以舍去，∴點的坐標為或；（3）分兩種情況討論：①如圖所示，當點位于軸負半軸時，過點作軸交軸于點，作軸交軸于點，則四邊形為矩形，

∵，∴，，∵，∴，∴，由折疊可知：，，∴，設，∴，，∵，∴，∴，∴點的坐標為；②如圖所示，當點位于軸正半軸時，過點作軸交軸于點，作軸交軸于點，

由得：，，∴，設，則，，∵，∴，∴，∴點的坐標為，綜上所述，點的坐標為或．【點睛】本題為二次函數(shù)綜合題，綜合考查了二次函數(shù)的圖象和性質，銳角三角函數(shù)、折疊的性質、勾股定理等知識，解題的關鍵是熟練掌握以上知識點及分類討論思想的應用．9．（2023·廣西貴港·三模）拋物線與x軸交于A、B兩點，且點A在點B的左側，與y軸交于點C，點為拋物線上一點，且直線軸，點M是拋物線上的一動點．

(1)求拋物線的解析式與A、B兩點的坐標．(2)若點E的縱坐標為0，且以為頂點的四邊形是平行四邊形，求此時點M的坐標．(3)過點M作直線的垂線，垂足為N，若將沿翻折，點N的對應點為，則是否存在點M，使點則恰好落在x軸上？若存在，求出此時點M的坐標；若不存在，說明段理由．【答案】(1)；(2)或或(3)存在，或【分析】（1）可先求得點的坐標，將其代入拋物線的解析式求得的值，令，求得的值，進而求得點的坐標；（2）分為為邊和為對角線兩種情形，當為邊時，分為，前者觀察點和點重合，后者點的縱坐標和點坐標互為相反數(shù)，進而求得結果，點為對角線時，點和點重合；（3）證明是正方形，求得的解析式為：和，進一步求得結果．【詳解】（1）解：∵軸，，把代入得由解得（2）如圖1，

當為邊時，，此時和點重合，，時，點的縱坐標和點的縱坐標互為相反數(shù)，即，當為對角線時，此時點和點重合，綜上所述：或或（3）如圖2，

由折疊知，，∵，∴四邊形是矩形，∵時，∴矩形是正方形，∴平分，當平分時，直線的解析式為：，由得，(舍去)，當時，，∴，當平分時，直線的解析式為：，由得，(舍去)，當時，，綜上所述：或．【點睛】本題以二次函數(shù)為背景，考查了求二次函數(shù)的解析式，求一次函數(shù)的解析式，解一元二次方程，平行四邊形的分類，正方形的判定和性質等知識點，解決問題的關鍵是正確分類，畫出圖形．10．（2023·四川成都·三模）如圖，拋物線交軸于、兩點（點在點的左側）坐標分別為，，交軸于點．(1)求出拋物線解析式；(2)如圖，過軸上點作的垂線，交線段于點，交拋物線于點，當時，請求出點的坐標；(3)如圖，點的坐標是，點為軸上一動點，點在拋物線上，把沿翻折，使點剛好落在軸上，請直接寫出點的坐標．【答案】(1)；(2)或；(3)點的坐標為或．【分析】（）利用待定系數(shù)法即可求解；（）過點作軸的垂線交于，交軸于，得出，根據(jù)三角函數(shù)求出，設，，求得，，，，其中和兩點所對應的點不在線段上，所以舍去；（）分兩種情況討論：如圖所示，當點位于軸負半軸時，過點作軸交軸于點，作軸交軸于點，如圖所示，當點位于軸正半軸時，過點作軸交軸于點，作軸交軸于點，根據(jù)全等三角形的性質以及勾股定理即可求解；本題為二次函數(shù)綜合題，綜合考查了二次函數(shù)的性質，銳角三角函數(shù)、圖形的折疊變換、全等三角形的性質、勾股定理等知識，解題的關鍵是熟練掌握以上知識點的應用及分類討論思想．【詳解】（1）將，代入表達式得：，解得：，∴拋物線解析式為；（2）過點作軸的垂線交于，交軸于，∵，，∴，在中，，由勾股定理得：，∴，即，∴，∵，，∴直線：，設，，∴或，∴或，解得：，，，，或或或其中和兩點所對應的點不在線段上，所以舍去，∴點的坐標為或；（3）分兩種情況討論：如圖所示，當點位于軸負半軸時，過點作軸交軸于點，作軸交軸于點，則四邊形為矩形，∵，∴，，∵，∴，∴，由折疊可知：，，∴，設，∴，，∵，∴，∴，∴點的坐標為；如圖所示，當點位于軸正半軸時，過點作軸交軸于點，作軸交軸于點，由得：，，∴，設，則，，∵，∴，∴，∴點的坐標為，綜上所述，點的坐標為或．11．（2023·新疆烏魯木齊·模擬預測）如圖，拋物線與x軸交于點，交軸于點．(1)求拋物線的解析式；(2)若為拋物線對稱軸上的一點，連接，，將沿直線翻折得到，若點恰好落在拋物線的對稱軸上，求點的坐標；(3)在拋物線上是否存在一點，使是以為底邊的等腰三角形，若不存在，請說明理由；若存在，請求出點P的坐標．【答案】(1)(2)或；(3)或【分析】本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了一次函數(shù)的性質、圖象的翻折、等腰三角形的性質等，其中（2），要注意分類求解，避免遺漏．（1）由待定系數(shù)法即可求解；（2）由，，即可求解；（3）是以為底邊的等腰三角形，則點P在的中垂線上，進而求解．【詳解】（1）解：∵拋物線與x軸交于點，拋物線的表達式為：；（2）∵點，，∴，拋物線的對稱軸為直線，如圖，由題意得，設翻折后點和點B對應，則，，，∴，∴，∴，當點M在x軸下方時，根據(jù)對稱性，則點；故點M的坐標為：或；（3）存在，理由：是以為底邊的等腰三角形，則點P在的中垂線