19 微專題：利用向量識別三角形“四心”-講義-2021-2022學年高中數(shù)學滬教版（2020）必修第二冊

【學生版】微專題：利用向量識別三角形“四心”【三角形“四心”的定義與幾何性質(zhì)】(1)重心：中線的交點，重心將中線長度分成2：1；(2)垂心：高線的交點，高線與對應邊垂直；(3)內(nèi)心：角平分線的交點（內(nèi)切圓的圓心），角平分線上的任意點到角兩邊的距離相等；(4)外心：中垂線的交點（外接圓的圓心），外心到三角形各頂點的距離相等?！救切巍八男摹钡南蛄勘磉_式】三角形“四心”向量形式的充要條件設O為△ABC所在平面上一點，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，則(1)O為△ABC的重心?eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝；(2)O為△ABC的外心?|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝eq\f(a,2sinA)?sin2A·eq\o(OA,\s\up6(→))＋sin2B·eq\o(OB,\s\up6(→))＋sin2C·eq\o(OC,\s\up6(→))＝；(3)O為△ABC的內(nèi)心?aeq\o(OA,\s\up6(→))＋beq\o(OB,\s\up6(→))＋ceq\o(OC,\s\up6(→))＝0?sinA·eq\o(OA,\s\up6(→))＋sinB·eq\o(OB,\s\up6(→))＋sinC·eq\o(OC,\s\up6(→))＝；(4)O為△ABC的垂心?eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))·eq\o(OA,\s\up6(→))?tanA·eq\o(OA,\s\up6(→))＋tanB·eq\o(OB,\s\up6(→))＋tanC·eq\o(OC,\s\up6(→))＝；【典例】例1、已知A，B，C是平面上不共線的三點，O為坐標原點，動點P滿足eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)[(1－λ)eq\o(OA,\s\up6(→))＋(1－λ)eq\o(OB,\s\up6(→))＋(1＋2λ)·eq\o(OC,\s\up6(→))]，λ∈R，則點P的軌跡一定經(jīng)過()A．△ABC的內(nèi)心B．△ABC的垂心C．△ABC的重心D．AB邊的中點【提示】；【答案】；【解析】【說明】本題考查了向量加法的幾何表示與三點共線的向量表示與三角形中平面幾何性質(zhì)的綜合；例2、已知O是平面上的一個定點，A，B，C是平面上不共線的三個點，動點P滿足eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋λ(eq\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|cosB)＋eq\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|cosC))，λ∈(0，＋∞)，則動點P的軌跡一定通過△ABC的()A．重心B．垂心C．外心D．內(nèi)心【提示】；【答案】；【解析】【說明】本題主要考查了如何結(jié)合向量的數(shù)量積化簡題設的“分母”；以及在判別垂心中的應用；例3、已知O是平面上的一定點，A，B，C是平面上不共線的三個動點，若動點P滿足eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)＋\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)))，λ∈(0，＋∞)，則點P的軌跡一定通過△ABC的例4、在△ABC中，設eq\o(AC,\s\up6(→))2－eq\o(AB,\s\up6(→))2＝2eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))，那么動點M的軌跡必經(jīng)過△ABC的()A．垂心B．內(nèi)心C．外心D．重心【歸納】關(guān)于四心的概念及性質(zhì)：(1)重心：三角形的重心是三角形三條中線的交點；性質(zhì)：①重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2∶1；②重心和三角形3個頂點組成的3個三角形面積相等；③在平面直角坐標系中，重心的坐標是頂點坐標的算術(shù)平均數(shù)．即G為△ABC的重心，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，則Geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2＋x3,3)，\f(y1＋y2＋y3,3)))；④重心到三角形3個頂點距離的平方和最?。?2)垂心：三角形的垂心是三角形三邊上的高的交點；性質(zhì)：銳角三角形的垂心在三角形內(nèi)，直角三角形的垂心在直角頂點上，鈍角三角形的垂心在三角形外；(3)內(nèi)心：三角形的內(nèi)心是三角形三條內(nèi)角平分線的交點(或內(nèi)切圓的圓心)；性質(zhì)：①三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等，都等于內(nèi)切圓半徑r；②，特別地，在Rt△ABC中，∠C=90°，；(4)外心：三角形三邊的垂直平分線的交點(或三角形外接圓的圓心)；性質(zhì)：外心到三角形各頂點的距離相等；【即時練習】1、已知O是平面上的一定點，A，B，C是平面上不共線的三個動點，若動點P滿足eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋λ(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，λ∈(0，＋∞)，則點P的軌跡一定通過△ABC的()A．內(nèi)心B．外心C．重心D．垂心2、已知O是△ABC所在平面上的一定點，若動點P滿足eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up6(→)),|AB|sinB)＋\f(\o(AC,\s\up6(→)),|AC|sinC)))，λ∈(0，＋∞)，則點P的軌跡一定通過△ABC的()A．內(nèi)心B．外心C．重心D．垂心3、為所在平面內(nèi)一點，，，為的角，若，則點為的心；4、設的角、、的對邊長分別為，，，是所在平面上的一點，，則點是的心；5、下列敘述正確的是①為的重心．②為的垂心．③為的外心．④為的內(nèi)心．6、點是平面上一定點，、、是平面上的三個頂點，以下正確命題的序號是①動點滿足，則的重心一定在滿足條件的點集合中；②動點滿足，則的內(nèi)心一定在滿足條件的點集合中；③動點滿足，則的重心一定在滿足條件的點集合中；④動點滿足，則的垂心一定在滿足條件的點集合中；⑤動點滿足，則的外心一定在滿足條件的點集合中．【教師版】微專題：利用向量識別三角形“四心”【三角形“四心”的定義與幾何性質(zhì)】(1)重心：中線的交點，重心將中線長度分成2：1；(2)垂心：高線的交點，高線與對應邊垂直；(3)內(nèi)心：角平分線的交點（內(nèi)切圓的圓心），角平分線上的任意點到角兩邊的距離相等；(4)外心：中垂線的交點（外接圓的圓心），外心到三角形各頂點的距離相等?！救切巍八男摹钡南蛄勘磉_式】三角形“四心”向量形式的充要條件設O為△ABC所在平面上一點，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，則(1)O為△ABC的重心?eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝；(2)O為△ABC的外心?|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝eq\f(a,2sinA)?sin2A·eq\o(OA,\s\up6(→))＋sin2B·eq\o(OB,\s\up6(→))＋sin2C·eq\o(OC,\s\up6(→))＝；(3)O為△ABC的內(nèi)心?aeq\o(OA,\s\up6(→))＋beq\o(OB,\s\up6(→))＋ceq\o(OC,\s\up6(→))＝0?sinA·eq\o(OA,\s\up6(→))＋sinB·eq\o(OB,\s\up6(→))＋sinC·eq\o(OC,\s\up6(→))＝；(4)O為△ABC的垂心?eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))·eq\o(OA,\s\up6(→))?tanA·eq\o(OA,\s\up6(→))＋tanB·eq\o(OB,\s\up6(→))＋tanC·eq\o(OC,\s\up6(→))＝；【典例】例1、已知A，B，C是平面上不共線的三點，O為坐標原點，動點P滿足eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)[(1－λ)eq\o(OA,\s\up6(→))＋(1－λ)eq\o(OB,\s\up6(→))＋(1＋2λ)·eq\o(OC,\s\up6(→))]，λ∈R，則點P的軌跡一定經(jīng)過()A．△ABC的內(nèi)心B．△ABC的垂心C．△ABC的重心D．AB邊的中點【提示】注意：數(shù)形結(jié)合理解“(1－λ)eq\o(OA,\s\up6(→))＋(1－λ)eq\o(OB,\s\up6(→))”；【答案】C；【解析】取AB的中點D，則2eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))，因為，eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)[(1－λ)eq\o(OA,\s\up6(→))＋(1－λ)eq\o(OB,\s\up6(→))＋(1＋2λ)eq\o(OC,\s\up6(→))]，所以，eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)[2(1－λ)eq\o(OD,\s\up6(→))＋(1＋2λ)eq\o(OC,\s\up6(→))]＝eq\f(2(1－λ),3)eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\f(1＋2λ,3)eq\o(OC,\s\up6(→))，而eq\f(2(1－λ),3)＋eq\f(1＋2λ,3)＝1，則，P，C，D三點共線，所以，點P的軌跡一定經(jīng)過△ABC的重心；【說明】本題考查了向量加法的幾何表示與三點共線的向量表示與三角形中平面幾何性質(zhì)的綜合；例2、已知O是平面上的一個定點，A，B，C是平面上不共線的三個點，動點P滿足eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋λ(eq\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|cosB)＋eq\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|cosC))，λ∈(0，＋∞)，則動點P的軌跡一定通過△ABC的()A．重心B．垂心C．外心D．內(nèi)心【提示】注意：理解“eq\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|cosB)＋eq\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|cosC)”的化簡；【答案】B；【解析】因為eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋λ(eq\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|cosB)＋eq\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|cosC))，所以eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝λ(eq\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|cosB)＋eq\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|cosC))，所以eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))·λ(eq\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|cosB)＋eq\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|cosC))＝λ(－|eq\o(BC,\s\up6(→))|＋|eq\o(BC,\s\up6(→))|)＝0，所以eq\o(BC,\s\up6(→))⊥eq\o(AP,\s\up6(→))，所以點P在BC的高線上，即動點P的軌跡一定通過△ABC的垂心；【說明】本題主要考查了如何結(jié)合向量的數(shù)量積化簡題設的“分母”；以及在判別垂心中的應用；例3、已知O是平面上的一定點，A，B，C是平面上不共線的三個動點，若動點P滿足eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)＋\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)))，λ∈(0，＋∞)，則點P的軌跡一定通過△ABC的【提示】注意：題設中“eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)＋\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)))”與單位向量的聯(lián)系及其“幾何意義：與菱形的關(guān)聯(lián)”；【答案】內(nèi)心；【解析】由條件，得eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)＋\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)))，即eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)＋\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)))，而eq\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)和eq\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)分別表示平行于eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))的單位向量，故eq\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)＋eq\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)平分∠BAC，即eq\o(AP,\s\up6(→))平分∠BAC，所以點P的軌跡必過△ABC的內(nèi)心；【說明】本題主要考查的單位向量與菱形幾何性質(zhì)的整合，揭示與三角形“內(nèi)心”的關(guān)聯(lián)；例4、在△ABC中，設eq\o(AC,\s\up6(→))2－eq\o(AB,\s\up6(→))2＝2eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))，那么動點M的軌跡必經(jīng)過△ABC的()A．垂心B．內(nèi)心C．外心D．重心【提示】注意：題設中“eq\o(AC,\s\up6(→))2－eq\o(AB,\s\up6(→))2”的化簡；【答案】C?！窘馕觥吭OBC邊中點為D，因為，eq\o(AC,\s\up6(→))2－eq\o(AB,\s\up6(→))2＝2eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))，所以，(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))·(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝2eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))，即eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))，所以，eq\o(MD,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0，則eq\o(MD,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→))，即MD⊥BC，則，MD為BC的垂直平分線，所以，動點M的軌跡必經(jīng)過△ABC的外心，故選C；【說明】本題考查向量數(shù)量積的運算律與在判別垂直的綜合；【歸納】關(guān)于四心的概念及性質(zhì)：(1)重心：三角形的重心是三角形三條中線的交點；性質(zhì)：①重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2∶1；②重心和三角形3個頂點組成的3個三角形面積相等；③在平面直角坐標系中，重心的坐標是頂點坐標的算術(shù)平均數(shù)．即G為△ABC的重心，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，則Geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2＋x3,3)，\f(y1＋y2＋y3,3)))；④重心到三角形3個頂點距離的平方和最小；(2)垂心：三角形的垂心是三角形三邊上的高的交點；性質(zhì)：銳角三角形的垂心在三角形內(nèi)，直角三角形的垂心在直角頂點上，鈍角三角形的垂心在三角形外；(3)內(nèi)心：三角形的內(nèi)心是三角形三條內(nèi)角平分線的交點(或內(nèi)切圓的圓心)；性質(zhì)：①三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等，都等于內(nèi)切圓半徑r；②，特別地，在Rt△ABC中，∠C=90°，；(4)外心：三角形三邊的垂直平分線的交點(或三角形外接圓的圓心)；性質(zhì)：外心到三角形各頂點的距離相等；【即時練習】1、已知O是平面上的一定點，A，B，C是平面上不共線的三個動點，若動點P滿足eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋λ(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，λ∈(0，＋∞)，則點P的軌跡一定通過△ABC的()A．內(nèi)心B．外心C．重心D．垂心【答案】C；【解析】2、已知O是△ABC所在平面上的一定點，若動點P滿足eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up6(→)),|AB|sinB)＋\f(\o(AC,\s\up6(→)),|AC|sinC)))，λ∈(0，＋∞)，則點P的軌跡一定通過△ABC的()A．內(nèi)心B．外心C．重心D．垂心【答案】C；【解析】∵|AB|sinB＝|AC|sinC，設它們等于t，∴eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋λ·eq\f(1,t)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，設BC的中點為D，則eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝