七年級數(shù)學(xué)下冊同步講義（人教版）第22課 不等式及其性質(zhì)（教師版）

第22課不等式及其性質(zhì)目標(biāo)導(dǎo)航目標(biāo)導(dǎo)航課程標(biāo)準(zhǔn)1．了解不等式的意義，認(rèn)識不等式和等式都可以用來刻畫現(xiàn)實世界中的數(shù)量關(guān)系.2.知道不等式解集的概念并會在數(shù)軸上表示解集.3.理解不等式的三條基本性質(zhì)，并會簡單應(yīng)用.知識精講知識精講知識點01不等式的概念一般地，用“＜”、“＞”、“≤”或“≥”表示大小關(guān)系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等關(guān)系的式子也是不等式．注意：(1)不等號“＜”或“＞”表示不等關(guān)系，它們具有方向性，不等號的開口所對的數(shù)較大．(2)五種不等號的讀法及其意義：符號讀法意義“≠”讀作“不等于”它說明兩個量之間的關(guān)系是不相等的，但不能確定哪個大，哪個小“＜”讀作“小于”表示左邊的量比右邊的量小“＞”讀作“大于”表示左邊的量比右邊的量大“≤”讀作“小于或等于”即“不大于”，表示左邊的量不大于右邊的量“≥”讀作“大于或等于”即“不小于”，表示左邊的量不小于右邊的量(3)有些不等式中不含未知數(shù)，如3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知數(shù)，如2x＞5中，x表示未知數(shù)，對于含有未知數(shù)的不等式，當(dāng)未知數(shù)取某些值時，不等式的左、右兩邊符合不等號所表示的大小關(guān)系，我們說不等式成立，否則，不等式不成立．知識點02不等式的解及解集1.不等式的解：能使不等式成立的未知數(shù)的值，叫做不等式的解。2.不等式的解集：對于一個含有未知數(shù)的不等式，它的所有解組成這個不等式的解集．注意：不等式的解是具體的未知數(shù)的值，不是一個范圍不等式的解集是一個集合，是一個范圍．其含義：①解集中的每一個數(shù)值都能使不等式成立；②能夠使不等式成立的所有數(shù)值都在解集中3.不等式的解集的表示方法（1）用最簡的不等式表示:一般地，一個含有未知數(shù)的不等式有無數(shù)個解，其解集是一個范圍，這個范圍可用最簡單的不等式來表示．如：不等式x-2≤6的解集為x≤8．(2)用數(shù)軸表示:不等式的解集可以在數(shù)軸上直觀地表示出來，形象地表明不等式的無限個解．如圖所示：注意：借助數(shù)軸可以將不等式的解集直觀地表示出來，在應(yīng)用數(shù)軸表示不等式的解集時，要注意兩個“確定”：一是確定“邊界點”，若邊界點是不等式的解，則用實心圓點，若邊界點不是不等式的解，則用空心圓圈；二是確定方向，對邊界點a而言，x＞a或x≥a向右畫；對邊界點a而言，x＜a或x≤a向左畫．

注意：在表示a的點上畫空心圓圈，表示不包括這一點．知識點03不等式的基本性質(zhì)不等式的基本性質(zhì)1：不等式兩邊加(或減)同一個數(shù)(或式子)，不等號的方向不變．用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c．不等式的基本性質(zhì)2：不等式兩邊都乘(或除以)同一個正數(shù)，不等號的方向不變．用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)．不等式的基本性質(zhì)3：不等式兩邊乘(或除以)同一個負(fù)數(shù)，不等號的方向改變．用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)．注意：不等式的基本性質(zhì)的掌握應(yīng)注意以下幾點：(1)不等式的基本性質(zhì)是對不等式變形的重要依據(jù)，是學(xué)習(xí)不等式的基礎(chǔ)，它與等式的兩條性質(zhì)既有聯(lián)系，又有區(qū)別，注意總結(jié)、比較、體會．(2)運用不等式的性質(zhì)對不等式進(jìn)行變形時，要特別注意性質(zhì)2和性質(zhì)3的區(qū)別，在乘(或除以)同一個數(shù)時，必須先弄清這個數(shù)是正數(shù)還是負(fù)數(shù)，如果是負(fù)數(shù)，不等號的方向要改變．能力拓展能力拓展考法01不等式的概念【典例1】有數(shù)顆等重的糖果和數(shù)個大、小砝碼，其中大砝碼皆為5克、小砝碼皆為1克，且下圖是將糖果與砝碼放在等臂天平上的兩種情形．判斷下列正確的情形是()【分析】根據(jù)圖示可知1個糖果的質(zhì)量＞5克，3個糖果的質(zhì)量＜16克，依此求出1個糖果的質(zhì)量取值范圍，再在4個選項中找出情形正確的．【答案】D【解析】解：由圖(1)知，每一個糖果的重量大于5克，由圖(2)知：3個糖果的重量小于16克，即每一個糖果的重量小于克．故A選項錯；兩個糖果的重量小于克故B選項錯；三個糖果的重量大于15克小于16克故C選項錯，四個糖果的重量小于克故D選項對．【點睛】觀察圖示，確定大?。绢}涉及的知識點是不等式，涉及的數(shù)學(xué)思想是數(shù)形結(jié)合思想，解決問題的基本思路是根據(jù)圖示信息列出不等式．考法02不等式的解及解集【典例2】若關(guān)于的不等式x≤a只有三個正整數(shù)解，求的取值范圍.【分析】首先根據(jù)題意確定三個正整數(shù)解，然后再確定a的范圍．【答案】3≤a＜4【解析】解：∵不等式x≤a只有三個正整數(shù)解，

∴三個正整數(shù)解為：1，2，3，

∴3≤a＜4，【點睛】此題主要考查了一元一次不等式的整數(shù)解，做此題的關(guān)鍵是確定好三個正整數(shù)解．【典例3】如圖所示，圖中陰影部分表示x的取值范圍，則下列表示中正確的是()A．-3≤x＜2B．-3＜x≤2C．-3≤x≤2D．-3＜x＜2【分析】x表示-3右邊的數(shù)，即大于-3，并且是2以及2左邊的數(shù)，即小于或等于2的數(shù)．【答案】B【解析】解：A、因為-3≤x＜2，在數(shù)軸上-3的點應(yīng)該是實心的圓點；

C、因為-3≤x≤2，在數(shù)軸上-3和2的點應(yīng)該都是實心的圓點；

D、因為-3＜x＜2，在數(shù)軸上-3和2的點應(yīng)該都是空心的圓點；

故選B．【點睛】在數(shù)軸上表示解集時“≥”，“≤”要用實心圓點表示；“＜”，“＞”要用空心圓點表示，“＞”，“≥”向右畫；“＜”，“≤”向左畫．【即學(xué)即練】根據(jù)如圖所示的程序計算，若輸入x的值為1，則輸出y的值為________．【答案】4提示：由程序圖可知，計算求值時所使用的數(shù)學(xué)表達(dá)式為．把x＝1輸入求值，若求得的結(jié)果大于0，則直接得到輸出值y；若求得的結(jié)果小于0，則需要把得到的結(jié)果作為輸入值再代入計算，循環(huán)往復(fù)，直到使最終的結(jié)果大于0為止．考法03不等式的基本性質(zhì)【典例4】若關(guān)于x、y的二元一次方程組的解滿足x+y＜2，則a的取值范圍是________．【分析】觀察方程組不難發(fā)現(xiàn)只要把兩個方程相加即能求出x+y的值．因為x+y＜2，故可以構(gòu)建關(guān)于a的不等式．然后利用不等式的性質(zhì)就能求出a的取值范圍．【答案】a＜4【解析】解：將兩方程相加得：4x+4y＝4+a．將方程的兩邊同除以4得．依題意：．將不等式的兩邊同乘以4得4+a＜8．將不等式的兩邊同時減去4得a＜4．故a的取值范圍是a＜4．【點睛】解關(guān)于x的一元一次不等式，就是要將不等式逐步化為x＞a或x＜a的形式，化簡的依據(jù)是不等式的性質(zhì)．【即學(xué)即練】若關(guān)于x的不等式（1﹣a）x＞3可化為，則a的取值范圍是．【答案】a＞1．解：關(guān)于x的不等式（1﹣a）x＞3可化為，1﹣a＜0，a＞1.【即學(xué)即練】a、b是有理數(shù)，下列各式中成立的是()．A．若a＞b，則a2＞b2； B．若a2＞b2，則a＞bC．若a≠b，則｜a｜≠|(zhì)b| D．若｜a｜≠|(zhì)b|，則a≠b【答案】D分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過關(guān)練1．式子：①2＞0；②4x＋y≤1；③x＋3＝0；④y－7；⑤m－2.5＞3.其中不等式有()A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【解析】【分析】找到用不等號連接的式子的個數(shù)即可．【詳解】①是用“＞”連接的式子，是不等式；②是用“≤”連接的式子，是不等式；③是等式，不是不等式；④沒有不等號，不是不等式；⑤是用“＞”連接的式子，是不等式；∴不等式有①②⑤共3個，故選C．【點睛】此題考查不等式的定義，用到的知識點為：用“＜，＞，≤，≥，≠”連接的式子叫做不等式．2．若m＞n，則下列不等式正確的是（）A．m﹣2＜n﹣2 B． C．6m＜6n D．﹣8m＞﹣8n【答案】B【解析】【分析】將原不等式兩邊分別都減2、都除以4、都乘以6、都乘以﹣8，根據(jù)不等式得基本性質(zhì)逐一判斷即可得．【詳解】A、將m＞n兩邊都減2得：m﹣2＞n﹣2，此選項錯誤；B、將m＞n兩邊都除以4得：，此選項正確；C、將m＞n兩邊都乘以6得：6m＞6n，此選項錯誤；D、將m＞n兩邊都乘以﹣8，得：﹣8m＜﹣8n，此選項錯誤，故選B．【點睛】本題考查了不等式的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握握不等式的基本性質(zhì)，尤其是性質(zhì)不等式的兩邊同時乘以（或除以）同一個負(fù)數(shù)，不等號的方向改變．3．下面列出的不等式中，正確的是（）A．“m不是正數(shù)”表示為m＜0B．“m不大于3”表示為m＜3C．“n與4的差是負(fù)數(shù)”表示為n﹣4＜0D．“n不等于6”表示為n＞6【答案】C【解析】【分析】根據(jù)各個選項的表示列出不等式，與選項中所表示的不等式對比即可.【詳解】A.“m不是正數(shù)”表示為故錯誤.B.“m不大于3”表示為故錯誤.C.“n與4的差是負(fù)數(shù)”表示為n﹣4＜0,正確.D.“n不等于6”表示為,故錯誤.故選:C.【點睛】考查列不等式，解決本題的關(guān)鍵是理解負(fù)數(shù)是小于0的數(shù)，非負(fù)數(shù)是大于或等于0的數(shù)，不大于用數(shù)學(xué)符號表示是“≤”．4．若是關(guān)于x的一元一次不等式，則m的值為()A．±1 B．1 C．－1 D．0【答案】B【解析】【詳解】根據(jù)一元一次不等式的概念，可知m+1≠0，解得m≠-1，然后根據(jù)次數(shù)可知m2=1，解得m=±1，因此可知m的值為1.故選B.5．下列不等式變形正確的是（）A．由，得 B．由，得C．由，得 D．由，得【答案】B【解析】【分析】根據(jù)不等式的基本性質(zhì)結(jié)合特殊值法逐項判斷即可．【詳解】解：A、由a＞b，不等式兩邊同時減去2可得a-2＞b-2，故此選項錯誤；B、由a＞b，不等式兩邊同時乘以-2可得-2a＜-2b，故此選項正確；C、當(dāng)a＞b＞0時，才有|a|＞|b|；當(dāng)0＞a＞b時，有|a|＜|b|，故此選項錯誤；D、由a＞b，得a2＞b2錯誤，例如：1＞-2，有12＜（-2）2，故此選項錯誤．故選：B．【點睛】主要考查了不等式的基本性質(zhì)．“0”是很特殊的一個數(shù)，因此，解答不等式的問題時，應(yīng)密切關(guān)注“0”存在與否，以防掉進(jìn)“0”的陷阱．不等式的基本性質(zhì)：（1）不等式兩邊加（或減）同一個數(shù)（或式子），不等號的方向不變．（2）不等式兩邊乘（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變．（3）不等式兩邊乘（或除以）同一個負(fù)數(shù)，不等號的方向改變．6．下列數(shù)值中不是不等式5x≥2x＋9的解的是()A．5 B．4 C．3 D．2【答案】D【解析】【詳解】解：移項得，5x﹣2x≥9，合并同類項得，3x≥9，系數(shù)化為1得，x≥3，所以，不是不等式的解集的是x=2．故選D．【點睛】本題考查一元一次不等式的解集．7．不等式x＜－2的解集在數(shù)軸上表示為()A．B．C．D．【答案】D【解析】【詳解】A選項中，數(shù)軸上表達(dá)的解集是：，所以不能選A；B選項中，數(shù)軸上表達(dá)的解集是：，所以不能選B；C選項中，數(shù)軸上表達(dá)的解集是：，所以不能選C；D選項中，數(shù)軸上表達(dá)的解集是：，所以可以選D.故選D.8．若不等式的解集是，則必滿足（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】由不等式的解集是，不等式的方向發(fā)生了改變，從而可得：＜于是可得答案．【詳解】解：不等式的解集是，＜＜故選：【點睛】本題考查的是不等式的基本性質(zhì)，不等式的解集，掌握“不等式的兩邊都除以同一個負(fù)數(shù)，不等號的方向要改變．”是解題的關(guān)鍵9．用不等式表示圖中的解集，其中正確的是（）A．x≥﹣2 B．x≤﹣2 C．x＜﹣2 D．x＞﹣2【答案】D【解析】【分析】根據(jù)不等式的解集表示方法即可求解．【詳解】解：∵表示不等式的解集的折線向右延伸，且表示﹣2的點是空心圓點∴x＞﹣2故選：D．【點睛】此題主要考查不等式解集的表示，解題的關(guān)鍵是熟知不等式解集的表示方法．10．如果(m+3)x＞2m+6的解集為x＜2，則m的取值范圍是()A． B． C． D．m是任意實數(shù)【答案】B【解析】【詳解】由含有m的不等式（m+3）x＞2m+6的解集為：x＜2，根據(jù)不等式的基本性質(zhì)3，可知m+3＜0，解得m＜-3.故選B.題組B能力提升練11．“x的3倍與2的差不大于-1”所對應(yīng)的不等式是___________.【答案】3x-2≤-1【解析】【分析】不大于就是小于等于的意思，根據(jù)x的3倍與2的差不大于-1，可列出不等式．【詳解】根據(jù)題意得：3x-2≤-1．故答案為3x-2≤-1．【點睛】本題考查由實際問題抽象出一元一次不等式，關(guān)鍵是抓住關(guān)鍵詞語，弄清運算的先后順序和不等關(guān)系，才能把文字語言的不等關(guān)系轉(zhuǎn)化為用數(shù)學(xué)符號表示的不等式．12．“5與m的2倍的和是負(fù)數(shù)”可以用不等式表示為_____．【答案】5+2m＜0【解析】【分析】根據(jù)題意列不等式可得答案.【詳解】解:由題意得：5與m的2倍的和是負(fù)數(shù),可列不等式：5+2m＜0故答案為5+2m＜0.【點睛】本題主要考查列不等式，較簡單.13．用不等式表示下列各語句所描述的不等關(guān)系：（1）是正數(shù)：_____________________；（2）是負(fù)數(shù)：_____________________；（3）不小于4：_____________________；（4）是非負(fù)數(shù)：_____________________；（5）的2倍比9大：_____________________；（6）的一半與8的和是負(fù)數(shù)：_____________________；（7）的3倍與5的和大于的：_____________________；（8）相反數(shù)是非正數(shù)：_____________________；【答案】>0；<0；≥4；≥0；2>9；+8<0；+5>；-()≤0.【解析】【分析】讀懂題意，抓住關(guān)鍵詞語，弄清運算的先后順序和不等關(guān)系，才能把文字語言的不等關(guān)系轉(zhuǎn)化為用數(shù)學(xué)符號表示的不等式．【詳解】（1）>0；（2）<0；（3）≥4；（4）≥0；（5）2>9；（6）+8<0；（7）+>；（8）-()≤0.故答案為（1）>0；（2）<0；（3）≥4；（4）≥0；（5）2>9；（6）+8<0；（7）+5>；（8）-()≤0.【點睛】此題考查利用字母來表示題目中的不等關(guān)系，抓住大于、小于、不大于、不小于等關(guān)鍵字．14．一種藥品的說明書上寫著：“每日用量60~120mg，分4次服用”，一次服用這種藥量x(mg)范圍為_________．【答案】15mg＜x＜30【解析】【詳解】根據(jù)題意，由“每日用量60～120mg，分4次服用”，用60÷4=15（mg/次），120÷4=30（mg/次）得到每天服用這種藥的劑量為：15mg≤x≤30mg．故答案為15≤x≤30.點睛：本題考查的是不等式的定義，本題需注意應(yīng)找到每天服用60mg時4次每次的劑量；每天服用120mg時4次每次的劑量，然后找到最大值與最小值．15．如圖所示的不等式的解集是________．【答案】x≤2【解析】【詳解】分析：本題考察不等式的解集在數(shù)軸上表示，左邊表示小于，實心圓點表示等于.解析：由圖得，x≤2.故答案為x≤2.16．若5x3m-2-2＞7是一元一次不等式，則m=_____．【答案】1【解析】【詳解】根據(jù)題意得：3m-2=1，解得：m=1．故答案是：1．17．如果不等式(a－3)x＜b的解集是x>，那么a的取值范圍是________.【答案】a<3【解析】【詳解】因為不等號沒有改變方向，所以a-3<0，則a<3，故答案為a<3.18．對于一個數(shù)，我們用表示小于的最大整數(shù)，例如：，，如果，則的取值范圍為__________．【答案】﹣3＜x≤﹣2或3＜x≤4【解析】【分析】根據(jù)的定義和絕對值的意義分兩種情況列出關(guān)于x的不等式，解不等式即可．【詳解】解：當(dāng)x＜0時，∵，∴x＞﹣3∴﹣3＜x≤﹣2；當(dāng)x＞0時，∵，∴x＞3，∴3＜x≤4，綜上所述，x的取值范圍是﹣3＜x≤﹣2或3＜x≤4【點睛】本題考查解不等式，理解的定義和分兩種情況是解題的關(guān)鍵．題組C培優(yōu)拔尖練19．在數(shù)軸上表示下列不等式的解集：(1)x＞3(2)x≥－2(3)x≤4(4)x＜－【答案】略【解析】【詳解】整體分析：在數(shù)軸上表示不等式的解集時，大于向右，小于向左，包含等于號用實心點，不包含等于號用空心點.解：(1)x＞3(2)x≥－2(3)x≤4(4)x＜－20．用適當(dāng)?shù)牟坏仁奖硎鞠铝胁坏汝P(guān)系：（1）x減去6大于12；（2）x的2倍與5的差是負(fù)數(shù)；（3）x的3倍與4的和是非負(fù)數(shù)；（4）y的5倍與9的差不大于；【答案】（1）x-6＞1