權(quán)向量的求法

層次分析方法倪致祥主講層次分析法是一種多準(zhǔn)那么思維的方法，它將定性分析和定量分析相結(jié)合，把人們的思維過程層次化和數(shù)量化，在目標(biāo)結(jié)構(gòu)復(fù)雜且缺乏必要的數(shù)據(jù)情況下尤為實(shí)用。自70年代美國運(yùn)籌學(xué)家SaatyT.L.提出以來，此方法在實(shí)際應(yīng)用中開展很快。過去的物理是建立在純化的實(shí)驗(yàn)和理想化的模型的根底上，去分析和探索物質(zhì)世界最根本的規(guī)律?，F(xiàn)代物理那么開始呈現(xiàn)出一種研究復(fù)雜性現(xiàn)象的趨勢，除了把物理知識應(yīng)用到其它更復(fù)雜的科學(xué)領(lǐng)域，建立象量子化學(xué)、生物物理、量子生物學(xué)等交叉學(xué)科之外，在物理領(lǐng)域的本身也一反過去研究理想模型的慣例，開始向非理想、不規(guī)那么的復(fù)雜現(xiàn)象進(jìn)軍。非晶態(tài)、無序、混沌、多體等問題正在吸引許多物理學(xué)家的注意。對這些復(fù)雜問題，傳統(tǒng)的純定量分析方法越來越變得軟弱無力，需要借助于定性分析的方法來整體考慮。因此，層次分析方法也許會(huì)給我們提供幫助。問題1某工廠在擴(kuò)大企業(yè)自主權(quán)后，廠領(lǐng)導(dǎo)正在考慮如何合理地使用企業(yè)留成的利潤。在決策時(shí)需要考慮的因素主要有調(diào)動(dòng)職工勞動(dòng)生產(chǎn)積極性；提高職工文化水平；改善職工物質(zhì)文化生活狀況。請你對這些因素的重要性進(jìn)行排序，以供廠領(lǐng)導(dǎo)作參考。分析和試探求解這個(gè)問題涉及到多個(gè)因素的綜合比擬。由于不存在定量的指標(biāo)，單憑個(gè)人的主觀判斷雖然可以比擬兩個(gè)因素的相對優(yōu)劣，但往往很難給出一個(gè)比擬客觀的多因素優(yōu)劣次序。為了解決這個(gè)問題，我們能不能把復(fù)雜的多因素綜合比擬問題轉(zhuǎn)化為簡單的兩因素相比照擬問題呢？運(yùn)籌學(xué)家想出了一個(gè)好方法：首先找出所有兩兩比擬的結(jié)果，并且把它們定量化；然后再運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法從所有兩兩相比照擬的結(jié)果之中求出多因素綜合比擬的結(jié)果。具體操作過程如下：1)進(jìn)行兩兩相比照擬，并把比擬的結(jié)果定量化。首先我們把各個(gè)因素標(biāo)記為B1：調(diào)動(dòng)職工勞動(dòng)生產(chǎn)積極性；B2：提高職工文化水平；B3：改善職工物質(zhì)文化生活狀況。根據(jù)心理學(xué)的研究，在進(jìn)行定性的成比照擬時(shí)，人們頭腦中通常有5種明顯的等級：相同、稍強(qiáng)、強(qiáng)、明顯強(qiáng)、絕對強(qiáng)。因此我們可以按照下表用1～9尺度來定量化。定性結(jié)果定量結(jié)果Bi與Bj的影響相同Bi:Bj=1:1Bi比Bj的影響稍強(qiáng)Bi:Bj=3:1Bi比Bj的影響強(qiáng)Bi:Bj=5:1Bi比Bj的影響明顯強(qiáng)Bi:Bj=7:1Bi比Bj的影響絕對強(qiáng)Bi:Bj=9:1Bi與Bj的影響在上述兩個(gè)等級之間Bi:Bj=2,4,6,8:1Bi與Bj的影響和上述情況相反Bi:Bj=1:1,2,…,9假定各因素重要性之間的相對關(guān)系為：B2比B1的影響強(qiáng)，B3比B1的影響稍強(qiáng)，B2比B3的影響稍強(qiáng)，那么兩兩相比照擬的定量結(jié)果如下：為了便于數(shù)學(xué)處理，我們通常把上面的結(jié)果寫成如下矩陣形式，稱為成比照擬矩陣。(1)2)綜合排序?yàn)榱诉M(jìn)行合理的綜合排序，我們把各因素的重要性與物體的重量進(jìn)行類比。設(shè)有n件物體：A1,A2,…,An，它們的重量分別為：w1,w2,…,wn。假設(shè)將它們兩兩相互比擬重量，其比值(相對重量)可構(gòu)成一個(gè)n×n成比照擬矩陣(2)經(jīng)過仔細(xì)觀察，我們發(fā)現(xiàn)成比照擬矩陣的各行之和恰好與重量向量W=(w1,w2,…,wn)T成正比，即(3)根據(jù)類比性，我們猜測因素的重要性向量與成比照擬矩陣(1)之間也有同樣的關(guān)系存在。由此，我們可以得到因素的重要性向量為(4)為了使用方便，我們可以適當(dāng)?shù)剡x擇比例因子，使得各因素重要性的數(shù)值之和為1(這個(gè)過程稱為歸一化，歸一化后因素重要性的數(shù)值稱為權(quán)重，重要性向量稱為權(quán)重向量)，這樣就得到一個(gè)權(quán)重向量(5)上式中元素的權(quán)重大小給出了各因素重要性的綜合排序。對(2)式的進(jìn)一步分析還可以發(fā)現(xiàn)(6)這說明W還是成比照擬矩陣A的特征向量，對應(yīng)的特征值為n，理論上已嚴(yán)格地證明了n是A的唯一最大特征值。按類比法，我們也可以用求解特征方程的方法來得到重要性向量。與(1)式對應(yīng)的特征方程為(7)由此可以解出其最大特征值為n’=3.038，對應(yīng)的特征向量為：W’=(0.105,0.537,0.258)T(8)矛盾和原因同一個(gè)問題，相似的方法，為什么(5)與(8)兩個(gè)結(jié)果不一致〔盡管不影響排序〕？現(xiàn)在我們來分析一下其中的原因。對于由重量比值構(gòu)成的成比照擬矩陣(2)，不難證明它具有性質(zhì)1)唯一性ai,i=1；2)互反性ai,j=1/aj,i；3)一致性ai,jaj,k=ai,k。然而，重要性是由人來判斷的，由于人對復(fù)雜事物采用兩兩比擬的方法獲得的重要性比值不可能做到完全一致，往往存在估計(jì)誤差，因此所得的成比照擬矩陣只具有性質(zhì)1)和2)，一般不具有性質(zhì)3)。比方說對于成比照擬矩陣(1)，就有一致性的缺少是造成兩種類比方法結(jié)果不同的原因。利用最小二乘法可以證明：用求解特征方程得到的權(quán)重向量平均誤差較小。因此我們最好采用這個(gè)方法來求解權(quán)重向量。一致性檢驗(yàn)既然存在誤差，我們就需要知道誤差的程度到底有多大？會(huì)不會(huì)影響綜合排序的結(jié)果？理論上已經(jīng)證明：對于具有一致性的成比照擬矩陣，最大特征值為n；反之如果一個(gè)成比照擬矩陣的最大特征值為n，那么一定具有一致性。估計(jì)誤差的存在破壞了一致性，必然導(dǎo)致特征向量及特征值也有偏差。我們用n’表示帶有偏差的最大特征值，那么n’與n之差的大小反映了不一致的程度?？紤]到因素個(gè)數(shù)的影響，Saaty將(9)定義為一致性指標(biāo)。當(dāng)CI=0時(shí)，成比照擬矩陣A矩陣完全一致，否那么就存在不一致；CI越大，不一致程度越大。為了確定不一致程度的允許范圍，Saaty又定義了一個(gè)一致性比率CR，當(dāng)(10)時(shí)，認(rèn)為其不一致性可以被接受，不會(huì)影響排序的定性結(jié)果。(10)式中RI值如下表所示n12345678910RI000.580.961.121.241.321.411.451.49應(yīng)用上面的結(jié)果，我們可以算出成比照擬矩陣(1)有CI=0.019，CR=0.033(11)因此其不一致性可以被接受。問題2某工廠在擴(kuò)大企業(yè)自主權(quán)后，廠領(lǐng)導(dǎo)正在考慮如何合理地使用企業(yè)留成的利潤?？晒┻x擇的方案有：I、發(fā)獎(jiǎng)金；II、擴(kuò)建食堂、托兒所；III、開辦職工技校；IV、建圖書館；V、引進(jìn)新技術(shù)。在決策時(shí)需要考慮到調(diào)動(dòng)職工勞動(dòng)生產(chǎn)積極性，提高職工文化水平和改善職工物質(zhì)文化生活狀況等三個(gè)方面。請你對這些方案的優(yōu)劣性進(jìn)排序，以便廠領(lǐng)導(dǎo)作決策。解答劃分層次顯然這是一個(gè)多目標(biāo)的決策，問題涉及到許多因素，各種因素的作用相互交叉，情況比擬復(fù)雜。要處理這類復(fù)雜的決策問題，首先需要對問題所涉及的因素進(jìn)行分析：哪些是要相互比擬的；哪些是相互影響的。把那些要相互比擬的因素歸成同一類，構(gòu)造出一個(gè)各因素類之間相互聯(lián)結(jié)的層次結(jié)構(gòu)模型。各因素類的層次級別由其與目標(biāo)的關(guān)系而定。在上述問題中，因素可以分為三類：第一是目標(biāo)類，即合理地使用今年企業(yè)留利××萬元；第二是準(zhǔn)那么類，這是衡量目標(biāo)能否實(shí)現(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)，如調(diào)動(dòng)職工勞動(dòng)積極性、提高企業(yè)的生產(chǎn)技術(shù)水平等等；第三是措施類，指實(shí)現(xiàn)目標(biāo)的方案、方法、手段等等。按目標(biāo)到措施自上而下地將各類因素之間的直接影響關(guān)系分不同層次排列出來，可以構(gòu)成一個(gè)直觀的層次結(jié)構(gòu)圖。如下列圖所示：每一層中的各因素對上一層因素的相對重要性可以用問題1中的方法確定，由層次關(guān)系可以計(jì)算出措施層各方案最高層的相對權(quán)重，從而給出各方案的優(yōu)劣次序。層次單排序不同準(zhǔn)那么對目標(biāo)的影響已經(jīng)在問題1中得到了解決，現(xiàn)假定不同措施對各準(zhǔn)那么的影響如下：1．不同措施對調(diào)動(dòng)職工勞動(dòng)生產(chǎn)積極性影響的成比照擬矩陣(12)其權(quán)重向量為：2．不同措施對提高職工文化水平影響的成比照擬矩陣(13)其中措施I〔發(fā)獎(jiǎng)金〕對提高職工文化水平?jīng)]有什么影響，在成比照擬矩陣中不出現(xiàn)，重要性按零計(jì)算。其權(quán)重向量為：3．不同措施對改善職工物質(zhì)文化生活狀況影響的成比照擬矩陣(14)其權(quán)重向量為：總排序上述過程中求出的是同一層次中相應(yīng)元素對于上一層次中的某個(gè)因素相對重要性的排序權(quán)值，這稱為層次單排序。假設(shè)模型由多層次構(gòu)成，計(jì)算同一層次所有因素對于總目標(biāo)相對重要性的排序稱為總排序。這一過程是由最高層到最低層逐層進(jìn)行的。設(shè)上一層次A包含m個(gè)因素A1,A2,…,Am，其總排序的權(quán)重值分別為a1,a2,…,am；下一層次B包含k個(gè)因素B1,B2,…,Bk，，它們對于Aj的層次單排序的權(quán)重值分別為b1,j,b2,j,…,bk,j(當(dāng)Bi與Aj無聯(lián)系時(shí)，bi,j=0)；此時(shí)B層i元素在總排序中的權(quán)重值可以由上一層次總排序的權(quán)重值與本層次的層次單排序的權(quán)重值復(fù)合而成，結(jié)果為：(15)由此，各個(gè)方案相對于目標(biāo)層的總排序可以用下表計(jì)算C層對B層的相對權(quán)值B10.105B20.637B30.258C層總排序C10.49100.4060.157C20.2320.0550.4060.164C30.0920.5640.0940.393C40.1380.1180.0940.1