最大值與最小值(2)課件高二上學(xué)期數(shù)學(xué)選擇性

第5章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用5.3導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用5.3.3最大值與最小值(2)內(nèi)容索引學(xué)習(xí)目標(biāo)活動(dòng)方案檢測反饋學(xué)習(xí)目標(biāo)1.通過生活中優(yōu)化問題的學(xué)習(xí)，體會(huì)導(dǎo)數(shù)在解決實(shí)際問題中的作用．2.利用導(dǎo)數(shù)證明不等式、解決不等式恒成立或有解問題．3.利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的零點(diǎn)問題和極值點(diǎn)偏移問題．活動(dòng)方案例1將邊長為60cm的正方形鐵皮的四個(gè)角切去邊長相等的小正方形，再把它的邊沿虛線折起，做成一個(gè)無蓋的方底鐵皮箱．當(dāng)箱底邊長為多少時(shí)，箱子的容積最大？最大容積是多少？活動(dòng)一掌握導(dǎo)數(shù)在幾何問題中的應(yīng)用解得x1＝0(舍去)，x2＝40.當(dāng)x∈(0,40)時(shí)，V′(x)>0；當(dāng)x∈(40,60)時(shí)，V′(x)<0，所以函數(shù)V(x)在x＝40處取得極大值，且是最大值，最大值為V(40)＝16000，故當(dāng)箱底邊長為40cm時(shí)，箱子容積最大，最大為16000cm3.思考???利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題的一般步驟是什么？【解析】①分析實(shí)際問題中各量之間的關(guān)系，建立數(shù)學(xué)模型，寫出函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)＝f(x)，注意定義域；②求函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)，解方程f′(x)＝0；③比較函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)和f′(x)＝0的點(diǎn)的函數(shù)值大?。虎芑貧w實(shí)際問題作答．例2某種圓柱形飲料罐的容積一定，如何確定它的底面半徑和高，才能使它的用料最??？【解析】設(shè)圓柱的高為h，底面半徑為R，則表面積S(R)＝2πRh＋2πR2.故當(dāng)h＝2R時(shí)，S(R)取得極小值，且是最小值，故當(dāng)罐高與底面直徑相等時(shí)，用料最?。?1)g(x)≥1；活動(dòng)二利用導(dǎo)數(shù)解決不等式問題即g(x)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(1，＋∞)上單調(diào)遞增，所以g(x)≥g(1)＝1.即f(x)在區(qū)間(0,2)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(2，＋∞)上單調(diào)遞增，又由(1)知x－lnx≥1(當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)取等號(hào))，②證明不等式的基本方法：(1)利用單調(diào)性：若f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞增，則①對任意x∈[a，b]，有f(a)≤f(x)≤f(b)，②對任意x1，x2∈[a，b]，且x1<x2，有f(x1)<f(x2)．對于單調(diào)遞減的函數(shù)有類似結(jié)論．(2)利用最值：若f(x)在某個(gè)范圍D內(nèi)有最大值M(或最小值m)，則對任意x∈D，有f(x)≤M(或f(x)≥m)．

設(shè)函數(shù)f(x)＝lnx－x＋1.(1)討論f(x)的單調(diào)性；令f′(x)＝0，解得x＝1.當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f′(x)＞0，f(x)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增；當(dāng)x＞1時(shí)，f′(x)＜0，f(x)在區(qū)間(1，＋∞)上單調(diào)遞減．(2)由(1)知，f(x)在x＝1處取得最大值，最大值為f(1)＝0，例4函數(shù)f(x)＝ax＋xlnx在x＝1處取得極值．(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若y＝f(x)－m－1在定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．活動(dòng)三利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)【解析】(1)函數(shù)f(x)＝ax＋xlnx的定義域?yàn)?0，＋∞)，f′(x)＝a＋lnx＋1.因?yàn)閒′(1)＝a＋1＝0，解得a＝－1.當(dāng)a＝－1時(shí)，f(x)＝－x＋xlnx，則f′(x)＝lnx.令f′(x)>0，解得x>1；令f′(x)<0，解得0<x<1，所以f(x)在x＝1處取得極小值，f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(1，＋∞)，單調(diào)減區(qū)間為(0,1)．(2)y＝f(x)－m－1在區(qū)間(0，＋∞)上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，可轉(zhuǎn)化為y＝f(x)與y＝m＋1的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)．由(1)知，f(x)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(1，＋∞)上單調(diào)遞增，f(x)min＝f(1)＝－1.由題意，得m＋1>－1，即m>－2.①當(dāng)0<x<e時(shí)，f(x)＝x(－1＋lnx)<0；當(dāng)x>e時(shí)，f(x)>0.當(dāng)x>0且x→0時(shí)，f(x)→0；當(dāng)x→＋∞時(shí)，顯然f(x)→＋∞.由圖象可知，m＋1<0，即m<－1.②由①②可得－2<m<－1，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是(－2，－1)．與函數(shù)零點(diǎn)有關(guān)的參數(shù)范圍問題，往往利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn)，并結(jié)合特殊點(diǎn)，從而判斷函數(shù)的大致圖象，討論其圖象與x軸的位置關(guān)系，進(jìn)而確定參數(shù)的取值范圍；或通過對方程等價(jià)變形轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題．檢測反饋245131.(2023長沙麓山國際實(shí)驗(yàn)學(xué)校月考)若函數(shù)f(x)＝lnx＋x2－bx在區(qū)間[1，＋∞)上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)b的最大值是(

)【答案】A245132.(2023遂寧射洪中學(xué)月考)已知一長方體紙箱(有蓋)，底面為邊長為a的正方形，高為b，表面積為12.當(dāng)該紙箱的體積最大時(shí)，其底面邊長為(

)C.2 D.324513【答案】B2453A.f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(e，＋∞)1C.f(x)有兩個(gè)不同零點(diǎn)

D.f(2)<f(π)<f(3)2453【答案】BD12453124535.(2023宜春豐城中學(xué)期中)已知函數(shù)f(x)＝ex－1－asinx.(1)若曲線y＝f(x)在點(diǎn)(0，f(0))處的切線方程為y＝－x，求實(shí)數(shù)a的值；(2)當(dāng)a＝2時(shí)，f(x)≥2c－1(c∈Z)在x∈[0，π]上恒成立，求實(shí)數(shù)c的最大值．1【解析】(1)由f(x)＝ex－1－asinx，得f′(x)＝ex－acosx.因?yàn)榍€y＝f(x)在點(diǎn)(0，f(0))處的切線方程為y＝－x，所以f′(0)＝1－a＝－1，解得a＝2.24531當(dāng)a＝2時(shí)，f(x)＝ex－1－2sinx，則f′(x)＝ex－2cosx.記g(x)＝ex－2cosx，x∈[0，π]，則g′(x)＝ex＋2sinx>0，所以g(x)在