空間直角坐標(biāo)系課件安徽省淮南第四中學(xué)高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選擇性必修第一冊(cè)

空間向量基本定理

特別地，如果空間的一個(gè)基底中的三個(gè)基向量兩兩垂直，且長度都為1，那么這個(gè)基底叫做單位正交基底，常用{i，j，k}表示．把一個(gè)空間向量分解為三個(gè)兩兩垂直的向量，叫做把空間向量進(jìn)行正交分解．|i|＝|j|＝|k|＝1.且i·j＝j(luò)·k＝i·k＝0，這是其他一般基底所沒有的．

如果三個(gè)向量

a，b，c不共面，那么對(duì)任意一個(gè)空間向量

p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，

p＝xa＋yb＋zc．1.空間直角坐標(biāo)系

(1)定義

在空間選定一點(diǎn)O和一個(gè)單位正交基底{i,j,k},以點(diǎn)O為原點(diǎn),分別以i,j,k的方向?yàn)檎较?、以它們的長為單位長度建立三條數(shù)軸:x軸、y軸、z軸,它們都叫做坐標(biāo)軸.這時(shí)我們就建立了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系Oxyz.xyzOjik

點(diǎn)O叫做原點(diǎn)，向量都叫做坐標(biāo)向量.通過每兩個(gè)坐標(biāo)軸的平面叫做坐標(biāo)平面，分別稱為Oxy平面，Oyz平面，Oxz平面。它們把空間分成八個(gè)部分xyzO(2)畫法①畫軸畫空間直角坐標(biāo)系Oxyz時(shí)，一般使∠xOy=135°(或45°),∠yOz=90°.②建系建立右手直角坐標(biāo)系.

在空間直角坐標(biāo)系中,讓右手拇指指向x軸的正方向,食指指向y軸的正方向,如果中指指向z軸的正方向,則稱這個(gè)坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系.Oxyz2.點(diǎn)的坐標(biāo)在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中,i,j,k為坐標(biāo)向量,對(duì)空間任意一點(diǎn)A,對(duì)應(yīng)一個(gè)向量OA，且點(diǎn)A的位置由向量OA唯一確定,由空間向量基本定理,存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z),使OA=xi+yj+zk.在單位正交基底{i,j,k}下與向量OA對(duì)應(yīng)的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z),叫做點(diǎn)A在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo),記作A(x,y,z),其中x叫做點(diǎn)A的橫坐標(biāo),y叫做點(diǎn)A的縱坐標(biāo),z叫做點(diǎn)A的豎坐標(biāo).xyzOA(x,y,z)ijk3.向量的坐標(biāo)

在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中,給定向量a,由空間向量基本定理,存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z),使a=xi+yj+zk.有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)叫做a在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中的坐標(biāo),可簡記作a=(x,y,z).這樣在空間直角坐標(biāo)系中，空間中的點(diǎn)和向量都可以用三個(gè)有序?qū)崝?shù)表示.xyzOijkA(x,y,z)1、在空間坐標(biāo)系Oxyz中，(分別是與x軸、y軸、z軸的正方向相同的單位向量)則AB的坐標(biāo)為

，點(diǎn)B的坐標(biāo)為

。2、點(diǎn)M（2,-3,-4）在坐標(biāo)平面xoy、xoz、yoz內(nèi)的正投影的坐標(biāo)分別為

，關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為

，關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為

，關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為

，關(guān)于z軸的對(duì)稱點(diǎn)為

，(1,-2,-3)不確定（2,-3,0）（2,0,-4）（0,-3,-4）（-2,3,4）（2,3,4）（-2,-3,4）（-2,3,-4）在坐標(biāo)平面的正投影，缺哪個(gè)軸，則該值為0.關(guān)于哪個(gè)軸對(duì)稱，則該值不變，其余互為相反數(shù).題型一求空間點(diǎn)的坐標(biāo)例1在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AD＝3，AB＝5，AA1＝4，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系寫出此長方體各頂點(diǎn)的坐標(biāo)．C(D)A1B1C1D1AB如圖，以DA所在直線為x軸，以DC所在直線為y軸，DD1所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz．所以D(0,0,0)．Oxyz同理：C(0,5,0)，D1(0,0,4)．點(diǎn)B在x軸，y軸，z軸射影分別為A，C，O，它們?cè)谧鴺?biāo)軸上的坐標(biāo)分別為3,5,0，所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,5,0)．同理得A1(3,0,4)，C1(0,5,4)．由B1在Oxy平面內(nèi)的射影為B(3,5,0)，所以B1的橫坐標(biāo)為3，縱坐標(biāo)為5，因?yàn)锽1在z軸上的射影為D1(0,0,4)，所以B1的豎坐標(biāo)為4，所以點(diǎn)B1的坐標(biāo)為(3,5,4)．C(D)A1B1C1D1ABOxyz如圖所示，四棱錐D-OABC中，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz，若OD＝2，OA＝4，OC＝6，M是BD的中點(diǎn)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．ABCODMzxy法一：點(diǎn)M在x軸，y軸，z軸上的射影分別為M1，M2，M3，它們?cè)谧鴺?biāo)軸上的坐標(biāo)分別為2，3，1，所以點(diǎn)M的坐標(biāo)是(2，3，1)．如圖所示的空間直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCD是正方形，AB＝2，PA＝4，則PD的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為________．BACDPxyzMO點(diǎn)M在x軸、y軸、z軸上的射影分別為M1，O，M2，題型二求空間向量的坐標(biāo)xyzOABB1A1O1D()用坐標(biāo)表示空間向量的步驟觀圖形充分觀察圖形特征用運(yùn)算建坐標(biāo)系根據(jù)圖形特征建立空間直角坐標(biāo)系綜合利用向量的加減及數(shù)乘運(yùn)算將所求的向量用已知的基向量表示出來，確定坐標(biāo)定結(jié)果ABCDMN因?yàn)镻A＝AB＝AD＝1，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，以AD，AB，AP所在直線為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示．xyz題型三空間向量的坐標(biāo)應(yīng)用角度1對(duì)稱問題在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P(－2,1,4)．(1)求點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)求點(diǎn)P關(guān)于Oxy平面的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)求點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)M(2，－1，－4)的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)．(1)由于點(diǎn)P關(guān)于x軸對(duì)稱后，它在x軸的分量不變，在y軸、z軸的分量變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù)，所以對(duì)稱點(diǎn)為(－2，－1，－4)．(2)由于點(diǎn)P關(guān)于Oxy平面對(duì)稱后，它在x軸、y軸的分量不變，在z軸的分量變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù)，所以對(duì)稱點(diǎn)為(－2，1，－4)．點(diǎn)M為線段PP1的中點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，可得P1(6，－3，－12)．角度2

距離問題如圖所示，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，|AB|＝|AD|＝3，|AA1|＝2，點(diǎn)M在A1C1上，|MC1|＝2|A1M|，N在D1C上且為D1C的中點(diǎn)，求線段MN的長度．CDA1B1C1D1ABNM如圖所示，分別以AB，AD