4.3.2對數(shù)的運(yùn)算(1)課件高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版

第四章指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)4.3

對數(shù)4.3.2對數(shù)的運(yùn)算(1)內(nèi)容索引學(xué)習(xí)目標(biāo)活動方案檢測反饋學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，并掌握推導(dǎo)這些性質(zhì)的依據(jù)和方法.2.弄清對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)成立的條件，并能較靈活地運(yùn)用性質(zhì)解決問題.活動方案我們已知道，指數(shù)冪運(yùn)算有相關(guān)的性質(zhì)，那么，對數(shù)運(yùn)算又有怎樣的性質(zhì)呢？活動一對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)思考1???指數(shù)冪運(yùn)算有哪些性質(zhì)？【解析】

am·an＝am＋n；am÷an＝am－n；(am)n＝amn；(ab)t＝atbt.思考2???指數(shù)式與對數(shù)式的互化公式是怎樣的？【解析】

ax＝N?logaN＝x思考3???根據(jù)對數(shù)的定義及對數(shù)與指數(shù)的關(guān)系，你能解答下列問題嗎？(1)設(shè)loga2＝m，loga3＝n，求am＋n的值；【解析】

由loga2＝m，得am＝2，由loga3＝n，得an＝3，所以am＋n＝am·an＝2×3＝6.(2)設(shè)logaM＝m，logaN＝n，試?yán)胢，n表示loga(M·N)．【解析】

由logaM＝m，得am＝M，由logaN＝n，得an＝N，所以M·N＝am·an＝am＋n，所以loga(M·N)＝m＋n.在思考3的第(2)題中，我們得到loga(M·N)＝m＋n，又由logaM＝m，logaN＝n，進(jìn)行m，n的代換后就得到對數(shù)的一條運(yùn)算性質(zhì)，即loga(M·N)＝logaM＋logaN.當(dāng)n≠0時，令logaM＝p，由對數(shù)定義可得M＝ap，所以Mn＝(ap)n＝anp，所以logaMn＝np，將logaM＝p代入，即證得logaMn＝nlogaM.當(dāng)n＝0時，顯然成立，所以logaMn＝nlogaM.上述證明是運(yùn)用轉(zhuǎn)化的思想，先通過假設(shè)，將對數(shù)式化成指數(shù)式，并利用冪的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行恒等變形，然后再根據(jù)對數(shù)的定義將指數(shù)式化成對數(shù)式．對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)可以用簡易語言表達(dá)：“積的對數(shù)＝對數(shù)的和”“商的對數(shù)＝對數(shù)的差”“正數(shù)的n次方的對數(shù)＝正數(shù)的對數(shù)的n倍”．有時可逆用運(yùn)算性質(zhì)，如lg5＋lg2＝lg10＝1.例

1求下列各式的值：(1)log2(23×45)；【解析】log2(23×45)＝log223＋log245＝3＋5log24＝3＋5×2＝13.(2)log5125.【解析】log5125＝log553＝3log55＝3.這類問題一般有兩種處理方法：一種是將式中真數(shù)的積、商、冪、方根運(yùn)用對數(shù)的運(yùn)算法則將它們化為對數(shù)的和、差、積、商，然后化簡求值；另一種方法是將式中的對數(shù)的和、差、積、商運(yùn)用對數(shù)的運(yùn)算法則將它們化為真數(shù)的積、商、冪、方根，然后化簡求值．要特別注意loga(MN)≠logaM·logaN，loga(M±N)≠logaM±logaN.(2)log2(47×25)．【解析】log2(47×25)＝log247＋log225＝7log24＋5log22＝7×2＋5×1＝19.例

3已知lg2＝a，lg3＝b，求下列各式的值：(1)lg12；活動二對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用【解析】lg12＝lg(22×3)＝lg22＋lg3＝2lg2＋lg3＝2a＋b.將待求式子用已知式子中的對數(shù)表示，關(guān)鍵是建立對數(shù)式底數(shù)與真數(shù)的聯(lián)系，在運(yùn)算過程中應(yīng)注意運(yùn)算性質(zhì)的靈活運(yùn)用．已知lg2≈0.3010，lg3≈0.4771，求下列各式的值(結(jié)果保留4位小數(shù))：(1)lg18；【解析】lg18＝lg(2×32)＝lg2＋lg32＝lg2＋2lg3≈0.3010＋2×0.4771＝1.2552.例

4計算或化簡下列各式：(1)(lg2)2＋lg2×lg5＋lg50；活動三利用對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)求值或化簡【解析】

原式＝lg2(lg2＋lg5)＋lg(5×10)＝lg2×lg10＋lg5＋lg10＝lg2＋lg5＋1＝1＋1＝2.利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)解決問題的一般思路：(1)把復(fù)雜的真數(shù)化簡；(2)正用公式：將式中真數(shù)的積、商、冪、方根運(yùn)用對數(shù)的運(yùn)算法則將它們化為對數(shù)的和、差、積、商再化簡；(3)逆用公式：將式中對數(shù)的和、差、積、商運(yùn)用對數(shù)的運(yùn)算法則，將它們化為真數(shù)的積、商、冪、方根，然后化簡求值．【解析】

原式＝2lg5＋2lg2＋lg5(2lg2＋lg5)＋(lg2)2＝2lg10＋(lg5＋lg2)2＝2＋(lg10)2＝2＋1＝3.檢測反饋245131.(2022·漢中高一期末)已知5a＝2，b＝log53，則log512等于(

)A.a＋3b B.2a＋b

C.a＋2b D.3a＋b【解析】

由5a＝2，得a＝log52，又b＝log53，所以log512＝log5(3×22)＝log53＋2log52＝b＋2a.【答案】B245132.(2022·漢中高一聯(lián)考)青少年視力是社會普遍關(guān)注的問題，視力情況可借助視力表測量．通常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù)，五分記錄法的數(shù)據(jù)L和小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)V滿足L＝5＋lgV.已知某同學(xué)視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)為0.25，則其視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)約為(lg2≈0.3)(

)A.4.4 B.4.7C.4.9 D.5.2【解析】

根據(jù)表達(dá)式L＝5＋lgV，代入V＝0.25，得L