高考數(shù)學(xué)高分秘籍平面向量含解析

平面向量1．向量e1→=（1，2），e2→=（3，4），且x，y∈R，xe1→+ye2→ A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1【答案】B【解答】：向量e1→=（1，2），e2→=（且x，y∈R，xe1→+ye2→則（x+3y，2x+4y）=（5，6），∴&x+3y=5解得&x=-1∴x﹣y=﹣3．故選：B．2．已知向量a→=（λ，﹣2），b→=（1，3），若a→⊥（a→+ A．1 B．﹣2 C．l或﹣2 D．1或2【答案】C【解答】：∵向量a→=（λ，﹣2），b→=（1，∴a→+b→=（λ+∵a→⊥（a→+∴a→?（a→+b→）=λ（λ解得λ=1或λ=﹣2．故選：C．向量的坐標(biāo)運算主要是利用向量加、減、數(shù)乘運算的法則來進行求解的，若已知有向線段兩端點的坐標(biāo)，則應(yīng)先求向量的坐標(biāo)．解題過程中，常利用向量相等則其坐標(biāo)相同這一原則，通過列方程(組)來進行求解，并注意方程思想的應(yīng)用.1．向量坐標(biāo)的求法（1）若向量的起點是坐標(biāo)原點，則終點坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo).（2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則=（x2－x1，y2－y1）.2．向量加法、減法、數(shù)乘向量及向量的模設(shè)a=（x1，y1），b=（x2，y2），則a＋b=（x2+x1，y2+y1），a－b=（x1－x2，y1－y2），λa=（λx1，λy1），|a|=，|a＋b|=.3．平面向量共線的坐標(biāo)表示設(shè)a=（x1，y1），b=（x2，y2），則a∥b?x1y2－x2y1=0.注：（1）共線向量定理：向量a(a≠0)與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一的一個實數(shù)λ，使得.（2）若存在實數(shù)λ，使，則A，B，C三點共線．4．平面向量垂直的坐標(biāo)表示設(shè)a=（x1，y1），b=（x2，y2），則3．在平行四邊形ABCD中，點E為CD的中點，BE與AC的交點為F，設(shè)AB→=a→，AD→=b→ A．13a→+23b→ C．﹣13a→+23b→【答案】C【解答】：如圖所示，∵點E為CD的中點，CD∥AB，∴BFEF=ABEC∴BF→=23BE→，BE→=BC∴BF→=23(b→-故選：C．應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加、減或數(shù)乘運算，共線向量定理的應(yīng)用起著至關(guān)重要的作用．當(dāng)基底確定后，任一向量的表示都是唯一的．1．應(yīng)用平面向量基本定理的關(guān)鍵點（1）平面向量基本定理中的基底必須是兩個不共線的向量．（2）選定基底后，通過向量的加、減、數(shù)乘以及向量平行的充要條件，把相關(guān)向量用這一組基底表示出來．（3）強調(diào)幾何性質(zhì)在向量運算中的作用，用基底表示未知向量，常借助圖形的幾何性質(zhì)，如平行、相似等．2．用平面向量基本定理解決問題的一般思路（1）先選擇一組基底，并運用平面向量基本定理將條件和結(jié)論表示成該基底的線性組合，再進行向量的運算．（2）在基底未給出的情況下，合理地選取基底會給解題帶來方便，另外，要熟練運用線段中點的向量表達式.4．設(shè)向量a→與b→的夾角為θ，且a→ A．-35 B．35C．55【答案】A【解答】：∵向量a→與b→的夾角為θ，且∴b→=a→+2b→-則cosθ=a→?b→|a故選：A．5．若|a→|=|b→|=1，（a→+2b→）⊥a→ A．30° B．60° C．120° D．150°【答案】C【解答】：|a→|=|b→|=1，（a→+2b→可得a→2+2a→?b→=0，即：1故選：C．【名師點睛】本題主要考查向量的模及平面向量數(shù)量積公式，屬于中檔題.平面向量數(shù)量積公式有兩種形式，一是夾角公式；二是坐標(biāo)公式，主要應(yīng)用有以下幾個方面：（1）求夾角的大?。喝鬭，b為非零向量，則由平面向量的數(shù)量積公式得；（2）求投影：向量在上的投影是；（3）若向量垂直，則；（4）求向量的模（平方后需求）.設(shè)非零向量，是與的夾角.（1）數(shù)量積：.（2）模：.（3）夾角：.注：數(shù)量積大于0說明不共線的兩向量的夾角為銳角，數(shù)量積等于0說明不共線的兩向量的夾角為直角，數(shù)量積小于0且兩向量不共線時兩向量的夾角為鈍角.1．已知是所在平面內(nèi)一點，且，，則A．2 B．1C． D．【答案】C【解析】由題意得∴，∴，∴，故選C.【名師點睛】本題考查了平面向量的加減及數(shù)乘運算，解題的關(guān)鍵把多個向量的關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個變量的關(guān)系即可，類似“減元”思想.2．已知點A(2,3),B(4,5),C(7,10)，若AP=AB+λAC(λ∈R)A．23 B．-C．32 D．【答案】B【解析】設(shè)點P的坐標(biāo)為（x，y），所以AP→=(x-2，由AP→=AB→+λAC→，所以有（x﹣2，y﹣3）＝(2，2)+λ(5，7)，得：x=4+5λy=5+7λ，由點用向量解決平面幾何問題的步驟①建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；②通過向量運算研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問題；③把運算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.3．已知是邊長為1的正三角形，若點滿足，則的最小值為A． B．1C． D．【答案】C【解析】以為原點，所在直線為軸，建立坐標(biāo)系，∵為邊長為的正三角形，，∴，，∴.故選C．【名師點睛】本題主要考查向量的模與平面向量的坐標(biāo)運算，屬于難題．向量的運算主要有兩種方法，一是幾何運算，往往結(jié)合平面幾何知識和三角函數(shù)知識解答，運算法則是：（1）平行四邊形法則；（2）三角形法則；二是坐標(biāo)運算，通過建立坐標(biāo)系轉(zhuǎn)化為解析幾何問題解答.向量與平面幾何綜合問題的解法①坐標(biāo)法把幾何圖形放在適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中，則有關(guān)點與向量就可以用坐標(biāo)表示，這樣就能進行相應(yīng)的代數(shù)運算和向量運算，從而使問題得到解決．【注】求最值與求范圍問題往往運用坐標(biāo)運算來解答.②基向量法適當(dāng)選取一組基底，溝通向量之間的聯(lián)系，利用向量間的關(guān)系構(gòu)造關(guān)于未知量的方程來進行求解．【注】用坐標(biāo)法解題時，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系是解題的關(guān)鍵，用基向量解題時要選擇適當(dāng)?shù)幕祝?．在△ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點，則EB→= A．34AB→﹣14AC→ C．34AB→+14AC→2．已知兩個單位向量a→和b→夾角為60°，則向量a→ A．﹣1 B．1C．-12 D3．已知平面向量a→=（1，1），b→=（x，﹣3），且a→⊥b→，則|2a→ A．26 B．32C．35 D4．已知兩個非零向量a→，b→互相垂直，若向量m→=4a A．5 B．3C． D．25．若向量AB→=(12，3 A．12 B．32C．1 D6．設(shè)a→，b→是單位向量，則“a→?b→＞0”是“a→ A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件7．向量a→，b→滿足|a→|=1，|b→|=2，a→與b→的夾角為60°，則 A．23 B．22C．4 D．28．已知點G是△ABC內(nèi)一點，滿足GA→+GB→+GC→=0→，若∠BAC=π3，AB→?AC A．33 B．22C．63 9．在△ABC中，∠A=60°，AB=AC=3，D是△ABC所在平面上的一點．若BC→=3DC→，則DB→? A．﹣1 B．﹣2C．5 D．910．在如圖的平面圖形中，已知OM=1，ON=2，∠MON=120°，BM→=2MA→，CN→=2NA A．﹣15 B．﹣9C．﹣6 D．011．如圖，在△ABC中，點D，E是線段BC上兩個動點，且AD→+AE→=x A．32 B．2C．52 D12已知平面向量a→，b→滿足|a→|=1，|b→|=2，|a→﹣b→|=13.已知向量a→，b→的夾角為60°，|a→|=2，|b→|=1，則|a14.與向量a→15．已知G為△ABC的重心，點M，N分別在邊AB，AC上，滿足AG→=xAM→+yAN→，其中x+y=1，若AM→=3416.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a、b、c，已知a→=(cosA，cosB)，（Ⅰ）求角A的大??；（Ⅱ）若b=3，△ABC的面積S△ABC=317.已知向量a→=(2（1）若角α的終邊過點（3，4），求a→?b（2）若a→∥b18.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c已知c=52（1）若C=2B，求cosB的值；（2）若AB→?AC→=a→=（cosx，﹣1），b→=（3sinx，﹣12（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；（2）在△ABC中，三內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知函數(shù)f（x）的圖象經(jīng)過點(A，12)，b、a、c成等差數(shù)列，且1.【答案】A【解答】：在△ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點，EB→=AB→﹣AE→=AB→﹣12AD→=AB→﹣12×12故選：A．2.【答案】D【解答】：兩個單位向量a→和b→夾角為可得a→?b→=1×1×12（a→﹣b→）?a→=a→2﹣a→?b→向量a→-b→在向量a→方向上的投影為(故選：D．3.【答案】A【解答】：∵平面向量a→=（1，1），b→=（x，﹣3），且a→∴a→?b→=x﹣2a→+b→=（5，﹣1），|2a→+b故選：A．4.【答案】C【解答】：∵a→∴4a→+5b∵m→，n→共線即2a∴&2=4μ&λ=5μ故選：C．5.【答案】A【解答】：∵AB→=（12，∴BA→=（﹣1∴cos＜BA→，BC→＞=BA∴sin＜BA→，BC→＞=∴S△ABC=12×|BA→|×|故選：A．6.【答案】B【解答】：設(shè)a→與b→的夾角是因為a→，b→是單位向量，所以a→?b→＞0等價于由0≤θ≤π得，0≤θ＜π2，所以“a→?b→＞0”推不出“a→和反之，a→和b→的夾角為銳角得cosθ＞0，即得a→?b→＞0，所以“a→和b→的夾角為銳角”推出“綜上可得，“a→?b→＞0”是“a→和b故選：B．7.【答案】D【解答】：向量a→，b→滿足|a→|=1，|b→|=2，a→可得a→?b→=|a→|?|b→|?cos60°=1×2則|2a→-b→|=(2a→故選：D．8.【答案】C【解答】：∵點G是△ABC內(nèi)一點，滿足GA→+GB→+GC→=0→，∴G∴AG→=13（AB→+AC→），∴AC→2=19（AB→2+AC→2+2AB→?AC→）=19（∵AB→?AC→=12|AB|?|AC|=1，∴|AB|?|AC|=2，∴AB2+AC2≥2|AB|?|AC|=4，∴AG→2≥∴|AG→|≥6故選：C．9.【答案】A【解答】：由題意建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，則A（0，0），B（3，0），C（32，3設(shè)D（x，y），則BC→=(-3由BC→=3DC→，得(-32，332)=(92-3x，則DB→=(1，∴DB→?AD→=故選：A．10.【答案】C【解答】：由題意，BM→=2MA→，CN→=2NA→，∴BMMA=CNNA=2，∴又MN2=OM2+ON2﹣2OM?ON?cos120°=1+4﹣2×1×2×（﹣12）=7，∴MN=7∴BC=37，∴cos∠OMN=OM2+MN2-ON2∴BC→?OM→=|BC→|×|OM→|cos（π﹣∠OMN）=37×1×（﹣27故選：C．11.【答案】D【解答】：設(shè)AD→=mAB∵B，D，E，C共線，∴m+n=1，λ+μ=1．∵AD→+AE→=xAB→∴1x+4y=12（1x+4y）（x+y）=則1x+4故選：D．12.【答案】12【解答】：∵|a→|=1，|b→|=2，|a→﹣b→|=3，∴|a→|2+|b→|2﹣2a→?b∴a→在b→方向上的投影是a→故答案為：113.【答案】23【解答】：向量a→，b→的夾角為60°，且|a→|=2，|∴(a→+2b→)2==22+4×2×1×cos60°+4×12=12，∴|a→+2b→|=214.【答案】(35，【解答】：與向量a→=(3，4)共線的一個單位向量=±a→|故答案為：(35，15.【答案】20【解答】：設(shè)BC的中點為D，則AG→=23AD又AM→=34AB→，即AB→=4∴x=49，又x+y=1，∴y=5∴59AN→=13AC∴S△ABCS△AMN=12AB故答案為：20916.【解答】：（Ⅰ）∵a→∥b→，∴（2c﹣b）?cosA﹣∴cosA?（2sinC﹣sinB）﹣sinA?cosB=0，即2cosAsinC﹣cosAsinB﹣sinA?cosB=0，∴2cosAsinC=cosAsinB+sinA?cosB，∴2cosAsinC=sin（A+B），即2cosAsinC=sinC，∵sinC≠0∴2cosA=1，即cosA=12又0＜A＜π∴（Ⅱ）∵b=3，由（Ⅰ）知∴A=π3，∴c=4，由余弦定理有a2=b2+c2﹣2bccosA=3∴a=1317.【解答】：（1）角α的終邊過點（3，4），∴r=32+4∴sinα=yr=45，cosα=xr∴a→?b→=2sinα+sin（α+=2sinα+sinαcosπ4+cosαsin=2×45+45×22+=32（2）若a→∥b→，則即2sin∴sin2α+sinαcosα=1，∴sinαcosα=1﹣sin2α=cos2α，對銳角α有cosα≠0，∴tanα=1，∴銳角α=18.【解答】：（1）因為c=52b，則由正弦定理，得sinC=又C=2B，所以sin2B=