云南民族大學(xué)附屬中學(xué)2017-2018學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)（理）試題

云南民族大學(xué)附屬中學(xué)2018年春季學(xué)期期中考試（高二數(shù)學(xué)理科）試卷（考試時間120分鐘，滿分150分）命題人：審題人：注意事項：1.答題前，考生務(wù)必用黑色碳素筆將自己的考號、姓名、考場、座位號、班級在答題卡上填寫清楚。2.每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)的題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。在試卷上作答無效。第Ⅰ卷一、選擇題（本大題包括12小題，每小題5分，共60分，每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請將正確選項填涂在答題卡上）.1.設(shè)全集，函數(shù)的定義域為，則為（）A. B. C. D.2.復(fù)數(shù)滿足，，則（）A.1 B. C.2 D.3.《算法統(tǒng)宗》是中國古代數(shù)學(xué)名著，由明代數(shù)學(xué)家程大位所著，該作完善了珠算口訣，確立了算盤用法，完成了由籌算到珠算的徹底轉(zhuǎn)變，該作中有題為“李白沽酒”“李白街上走，提壺去買酒。遇店加一倍，見花喝一斗,三遇店和花，喝光壺中酒。借問此壺中，原有多少酒？”，如圖為該問題的程序框圖，若輸出的值為0，則開始輸入的值為（）A.B.C.D.4.5名學(xué)生和2名老師排成一排照相，2名老師不在兩邊且不相鄰的概率為（）A. B. C. D.5.在△中，角的對邊分別是，若，，則（）A. B. C. D.6.函數(shù)的大致圖象為（） A. B. C. D.7.函數(shù)的最小正周期為（）A．B．C．D．8.如圖,測量河對岸的塔高時,可以選與塔底在同一水平面內(nèi)的兩個觀測點與,測得,,米,并在測得塔頂?shù)难鼋菫?則塔的高度為（）A.米 B.米 C.米 D.米9.若等差數(shù)列前項和有最大值，且，則當(dāng)數(shù)列的前項和取最大值時，=（）A.11 B.12 C.22 D.2310.函數(shù)在點處的切線斜率的最小值是（）A.B.C.D.11.已知是雙曲線的兩個焦點，是上一點，若，且的最小內(nèi)角為，則雙曲線的離心率是（）A. B. C. D.12.已知函數(shù)（），若，則的最小值為（）A. B. C. D.第Ⅱ卷本卷包括必考題和選考題兩部分，第13題－21題為必考題，每個試題考生都必須作答，第22題－24題為選考題，考生根據(jù)要求作答.13.的展開式中，的系數(shù)等于.14.若，則的值為．15．在平面直接坐標系中，若滿足，則當(dāng)取得最大值時，點的坐標是________.16.如圖，在三棱錐中，與是全等的等腰三角形，且平面平面，,則該三棱錐的外接球的表面積為________.第Ⅱ卷三、解答題（本大題包括6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）.17.（本小題滿分12分）已知數(shù)列的前項和為，且滿足.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和.18.（本小題滿分12分）某城市隨機監(jiān)測一年內(nèi)100天的空氣質(zhì)量PM2.5的數(shù)據(jù)API，結(jié)果統(tǒng)計如下：API天數(shù)61222301416(1)若將API值低于150的天氣視為“好天”，并將頻率視為概率，根據(jù)上述表格，預(yù)測今年高考6月7日、8日兩天連續(xù)出現(xiàn)“好天”的概率；(2)API值對部分生產(chǎn)企業(yè)有著重大的影響，假設(shè)某企業(yè)的日利潤與API值的函數(shù)關(guān)系為：（單位；萬元），利用分層抽樣的方式從監(jiān)測的100天中選出10天，再從這10天中任取3天計算企業(yè)利潤之和，求離散型隨機變量的分布列以及數(shù)學(xué)期望和方差.19.（本小題滿分12分）在三棱柱中，，側(cè)棱平面，為棱上的動點，為的中點，點在棱上，且.(1)設(shè)，當(dāng)為何值時，平面；(2)在（1）條件下，求二面角的余弦值.20.（本小題滿分12分）已知點，點為平面上的動點，過點作直線的垂線，垂足為，且.(1)求動點的軌跡的方程；(2)設(shè)點的軌跡與軸交于點，點是軌跡上異于點的不同D的兩點，且滿足，在處分別作軌跡的切線交于點，求點的軌跡的方程；(3)在（2）的條件下，求證：為定值21.（本小題滿分12分） 已知函數(shù). (1)若函數(shù)在區(qū)間上存在極值，求正實數(shù)的取值范圍； (2)如果當(dāng)時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.(3)求證：請考生在22、23、兩題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題記分.22.（本小題滿分10分）選修4－4：坐標系與參數(shù)方程選講.在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為，以原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.(1)求曲線的普通方程和曲線的直角坐標方程；(2)求曲線上的任意一點到曲線的最小距離，并求出此時點的坐標.23.（本小題滿分10分）選修4－5：不等式選講.設(shè)函數(shù).(1)若不等式的解集為，求實數(shù)的值；(2)

數(shù)學(xué)(理科)參考答案及評分參考一、選擇題(本大題包括12小題，每小題5分，共60分)1.A【命題意圖】本小題主要考查集合的計算，是一道常規(guī)問題.【試題解析】A ，則．故選A.2.A【命題意圖】本小題主要考查復(fù)數(shù)的幾何意義.【試題解析】A 根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，由題意，可將看作夾角為的單位向量，從而，故選A.3.C【解析】模擬程序的運行，可得時，，滿足條件，執(zhí)行循環(huán)體；時，，滿足條件執(zhí)行循環(huán)體；時，，不滿足條件，退出循環(huán)體，輸出∴∴故選C4.B【命題意圖】本小題主要考查排列組合在古典概型中的應(yīng)用，既對抽象概念進行提問，又貼近生活實際，是數(shù)學(xué)與生活相聯(lián)系.【試題解析】B ，故選B.5.A【命題意圖】本小題主要考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，對學(xué)生的推理論證能力和數(shù)形結(jié)合思想提出一定要求.【試題解析】A 由正弦定理得，，再由余弦定理可得，故選A.6.A【命題意圖】本小題主要考查函數(shù)的性質(zhì)對函數(shù)圖像的影響，并通過對函數(shù)的性質(zhì)來判斷函數(shù)的圖像等問題.【試題解析】A 判斷函數(shù)為奇函數(shù)，排除；又由于當(dāng)時，的增加速度快，故選A.7.C8.D【命題意圖】本小題主要考查利用三角函數(shù)以及解三角形的知識解決實際問題，對學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想提出一定要求.【試題解析】D 在中，由正弦定理得，在中，，故選D.9.C 【命題意圖】本小題主要考查對等差數(shù)列通項以及變化規(guī)律的理解，還包括前項和的理解，理解了等差數(shù)列性質(zhì)以及特點的學(xué)生解決此類問題會比較容易.【試題解析】C 由等差數(shù)列的前項和有最大值，可知，再由，知，從而有，即，從而使得數(shù)列的前項和取最大值的，故選C.10.A11.C【命題意圖】本小題主要考查雙曲線的定義，雙曲線離心率的運算，對考生的運算求解能力和數(shù)形結(jié)合能力提出較高要求.【試題解析】C 不妨設(shè)點在雙曲線右支，分別為左，右焦點，有，由，可得，由知，的最小內(nèi)角為，從而為直角三角形，，此時雙曲線離心率，故選C.12.C【命題意圖】本小題主要考查對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和運算，并對基本不等式的考查也提出很高要求，本題作為選擇的壓軸題，屬于較難題，對學(xué)生的運算求解能力和推理論證能力提出一定要求.【試題解析】C 由可得，，而=，當(dāng)且僅當(dāng) 時取“=”，從而，，故選C.二、14.或115.【命題意圖】本小題是線性規(guī)劃的簡單應(yīng)用，對可行域的求取、對目標函數(shù)的理解都是考生必須掌握的基本技能.【試題解析】令，由可行域可知其在第一象限，故可看成從點向軸，軸引垂線段，所圍成矩形的面積，故其可能取最大值的位置應(yīng)在線段上，，當(dāng)時取最大值，此時16.【試題解析】取中點分別為，連接，由題意知，，易知三棱錐的外接球球心在線段上，連接，有，求得，所以其表面積為.三、解答題17.(本小題滿分12分)【命題意圖】本題考查數(shù)列通項公式及其前項和公式的求法，其中涉及錯位相減法在數(shù)列求和問題中的應(yīng)用.【試題解析】解：(1)當(dāng)時，，解得當(dāng)時，，有，所以數(shù)列是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，有. （6分）(2)由（1）知，有=1\*GB3①=1\*GB3①，=2\*GB3②=1\*GB3①=2\*GB3②，得整理得. 18.【命題意圖】本小題主要考查統(tǒng)計與概率的相關(guān)知識，其中包括概率的求法、離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望以及方差.本題主要考查學(xué)生的數(shù)據(jù)處理能力和運算求解能力.【試題解析】解：(1)根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)出現(xiàn)好天的概率為0.4，則連續(xù)兩天出現(xiàn)“好天”的概率為. (4分)(2)的所有可能取值為45,70,95,120.4570951200.2160.4320.2880.064 (12分)19.【命題意圖】本小題主要考查立體幾何的相關(guān)知識，具體涉及到線面的平行關(guān)系、二面角的求法及空間向量在立體幾何中的應(yīng)用.本小題對考生的空間想象能力與運算求解能力有較高要求.【試題解析】解：(1)證明：，則，即. (6分) (2)取中點，可知，.以為原點，以方向為軸，以方向為軸，以方向為軸，建立如圖所示坐標系. ，，， 平面中，，， 平面中，，， . 即二面角的余弦值為. (12分)20.【命題意圖】本小題主要考查拋物線的性質(zhì)，直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到拋物線標準方程的求取，直線與圓錐曲線的相關(guān)知識以及圓錐曲線中定值的求取.本小題對考生的化歸與轉(zhuǎn)化思想、運算求解能力都有很高要求.【試題解析】解：(1)由可得：，即，可知點為線段中垂線上的點，即，故動點的軌跡為以為焦點的拋物線，其方程為. (4分)(2)設(shè)直線的斜率為，易得，可求得切線的方程為，化簡整理得 ①因為，所以，故直線的方程為.聯(lián)立直線和拋物線方程解得，所以切線的方程為，化簡整理得 ②①②得，所以(定值).故點的軌跡為是垂直軸的一條定直線. (8分)(3)由(2)有，所以，.故(定值). (12分)21.【命題意圖】本小題主要考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到用導(dǎo)數(shù)來描述函數(shù)的極值等情況.本小題主要考查考生分類討論思想的應(yīng)用，對考生的邏輯推理能力與運算求解有較高要求.【試題解析】解：(1)函數(shù)的定義域為，.令，得；當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減.所以，為極大值點，所以，故，即實數(shù)的取值范圍為. (4分)(2)當(dāng)時，，令，則.再令，則，所以，所以，所以為單調(diào)增函數(shù)，所以，故. (8分)(3)由(2)知，當(dāng)時，，.令，則，所以，，所以，所以所以. (12分)22.【命題意圖】本小題主要考查極坐標系與參數(shù)方程的相關(guān)知識，具體涉及到參數(shù)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化、極坐標方程與平面直角坐標方程的互化、平面內(nèi)直線與曲線的位置關(guān)系、利用三角函數(shù)相關(guān)知識解決點線距離問題等內(nèi)容.本小題考查考生的方程思想與數(shù)形結(jié)合思想，對運算求解能力有一定要求.【試題解析】解：(1)