高中數(shù)學(xué)必修3第一章：算法

第一章：算法

1、算法三種語言：

自然語言、流程圖、程序語言；

2、流程圖中的圖框：

起止框、輸入輸出框、處理框、判斷框、流程線等規(guī)范表示方法;

3、算法的三種基本結(jié)構(gòu)：

J當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)

順序結(jié)構(gòu)、條件結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu)［直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)

⑴順序結(jié)構(gòu)示意圖:

⑵條件結(jié)構(gòu)示意圖:

②IF-THEN格式:

⑶循環(huán)結(jié)構(gòu)示意圖：

①當(dāng)型（WHILE型）循環(huán)結(jié)構(gòu)示意圖:

4、基本算法語句：

①輸入語句的一般格式：INPUT“提示內(nèi)容”；變量

②輸出語句的一般格式：PRINT"提示二容”；表達式

③賦值語句的一般格式：變量=表達式一

（“=”有時也用“一”）

④條件語句的…般格式有兩種：

IF—THEN—ELSE語句的一般格式為:

IF條件THEN

語句1

ELSE

語句2

ENDIF（圖2）

IF—THEN語句的?般格式為:

IF條件THEN

語句

ENDIF（圖3）

⑤循環(huán)語句的一般格式是兩種：

當(dāng)型循環(huán)（WHILE）語句的一般格式:

WHILE條件

循環(huán)體

（圖4）

WEND

直到型循環(huán)（UNTIL）語句的一般格式:

DO

循環(huán)體

LOOPUNTIL條件

（圖5）

⑹算法案例：

①輾轉(zhuǎn)相除法一結(jié)果是以相除余數(shù)為0而得到

利用輾轉(zhuǎn)相除法求最大公約數(shù)的步驟如下：

i）：用較大的數(shù)m除以較小的數(shù)n得到一個商So和一個余數(shù)&;

u）：若凡=0,則n為m,n的最大公約數(shù)；若凡產(chǎn)。，則用除數(shù)n除以余數(shù)&得到一

個商3和一個余數(shù)8；

iii）：若%=0,則均為m,n的最大公約數(shù)；若RR0,則用除數(shù)除以余數(shù)?得到一

個商S2和一個余數(shù)凡；……

依次計算直至R”=0,此時所得到的R.即為所求的最大公約數(shù)。

②更相減損術(shù)一結(jié)果是以減數(shù)與差相等而得到

利用更相減損術(shù)求最大公約數(shù)的步驟如下：

i）：任意給出兩個正數(shù)：判斷它們是否都是偶數(shù)。若是，用2約簡：若不是，執(zhí)行第二

步。

u）：以較大的數(shù)減去較小的數(shù)，接著把較小的數(shù)與所得的差比較，并以大數(shù)減小數(shù)。繼

續(xù)這個操作，直到所得的數(shù)相等為止，則這個數(shù)（等數(shù)）就是所求的最大公約數(shù)。

③進位制

十進制數(shù)化為k進制數(shù)一除k取余法

k進制數(shù)化為十進制數(shù)

【思路方法點撥】

1.在設(shè)計一個算法的過程中要牢記它的五個特征：概括性、邏輯性、有窮性、不惟一性、

普遍性.

2.編程的一般步驟：（1）算法分析：根據(jù)提供的問題，利用數(shù)學(xué)及相關(guān)學(xué)科的知識，設(shè)計出

解決問題的算法.（2）畫流程圖：依據(jù)算法分析，畫出流程圖.（3）寫出程序：根據(jù)流程圖中

的算法步驟，逐步寫出相應(yīng)的程序語句.

3.算法的思想與數(shù)學(xué)知識的融合會是新高考命題的方向，要注意此方面知識的積累.

4.輸入、輸出語句和賦值語句是?個程序必不可少的語句，注意它們各自的形式和要求，

熟練掌握通過引入第三個變量利用賦值語句交換兩個變量值的方法.

5.實際問題的編程設(shè)計一般是先對問題進行認(rèn)真分析，設(shè)計出合理的算法，然后將算法用

算法框圖表示出來，最后根據(jù)算法框圖利用算法語句寫出程序.

6.條件語句有兩種形式：If—Then—Else語句和If—Then語句.

對于第一種形式的條件語句執(zhí)行步驟是：

當(dāng)計算機執(zhí)行上述If語句時，首先對If后的條件進行判斷，如果條件符合，就執(zhí)行Then

后的語句1,否則執(zhí)行Else后的語句2.

對于第二種形式的條件語句執(zhí)行步驟是：

當(dāng)計算機執(zhí)行上述If語句時:首先對If后的條件進行判斷，如果條件符合，就執(zhí)行Then

之后的語句，否則執(zhí)行EndIf后的語句.

7.循環(huán)語句

(l)For語句的一般形式是：

For循環(huán)變量=初始值To終值

循環(huán)體

執(zhí)行步驟：

當(dāng)計算機執(zhí)行For語句，一般先執(zhí)行一次循環(huán)體，當(dāng)循環(huán)變量在初始值與終值之間時，執(zhí)行

循環(huán)體；當(dāng)循環(huán)變量超過終值時，不再執(zhí)行循環(huán)體，跳出循環(huán)體執(zhí)行后面的語句.

(2)DoLoop語句的一般形式是：

Do

循環(huán)體

LoopWhile條件為真

執(zhí)行步驟：

計算機執(zhí)行DoLoop語句，先執(zhí)行一次循環(huán)體，若符合條件，繼續(xù)執(zhí)行循環(huán)體；當(dāng)不符合條

件時，跳出循環(huán)，執(zhí)行LoopWhile后的語句.

8.流程圖的畫法

(1)流程圖一般按照從左到右，從上到下的順序來畫；

(2)工序流程圖可以按照從左到右，也可以按照從上到下的順序來畫，圖形用矩形或平行四

邊形表示，再用流程線相連，流程線是有向線，表示工序進展的方向.

9.繪制結(jié)構(gòu)圖的要求

(1)對所畫的結(jié)構(gòu)圖的每一部分有一個深刻的理解，從頭到尾抓住主要脈絡(luò)進行分解.

(2)將每一部分進行歸納與提煉，形成個個點并逐一寫在矩形框內(nèi).

(3)按其邏輯順序?qū)⑺鼈兣帕衅饋?，并用線相連.

【例1】已知三角形三邊長，判定這個三角形是否為直角三角形，寫出算法，畫出相應(yīng)的

算法框圖.［開始）

［解析］算法：

/輸入

51輸入a、b、c.

『+/—22222

S2/5=d,q-b+c—a,r=a+c—p=a2+b2-c1

h2.q=b2+c2-a2

r=di+c2-

S3若p=0,則輸出“是直角三角形”.

54若q=0,則輸出“是直角三角形”.

孔若/?=()，則輸出“是直角三角形”.

S6若p/邦，則輸出“不是直角三角形"，結(jié)束.

算法框圖如圖.想一想，還可以怎樣設(shè)計算法.

【教師點評】1.給出一個問題，設(shè)計算法時應(yīng)

注意：

(1)認(rèn)真分析問題,聯(lián)系解決此問題的一般數(shù)學(xué)方

法./不是直貯角形//是百角三角形/

(2)綜合考慮此類問題中可能涉及的各種情況.

(3)將解決問題的過程劃分為若干個步驟.

(4)用簡練的語言將各個步驟表示出來.

2.畫程序框圖的規(guī)則

(1)使用標(biāo)準(zhǔn)的框圖符號；

(2)框圖一般按從上到下、從左到右的方向畫；

(3)除判斷框外，大多數(shù)程序框圖中的程序框只有一個進入點和一個退出點，判斷框是具有

超過,?個退出點的唯一符號；

(4)在圖形符號內(nèi)描述的語言要非常簡練清楚.

注意：(1)終端框(起止框)是任何程序圖不可少的，表明程序開始和結(jié)束.

⑵輸入框和輸出框可用在算法中任何需要輸入、輸出的位置.

［例2］(1)下面的算法框圖，如果輸入三個實數(shù)a,b,c,要求輸出

這三個數(shù)中最大的數(shù)，那么在空白的判斷框中，應(yīng)該填入下面四個選項

中的()

A.c>x

B.x>c

C.c>b

D.b>c

【思路點撥】第一次判斷后，x取。與匕中較大的一個，故第二次判斷

后x應(yīng)取x與c中較大者，故判斷框中應(yīng)填c>x,故選A.

［答案］A

⑵(2011.長沙鐵一中月考)如圖給出一個算法框圖，其作用是輸入x的值,

輸出相應(yīng)的y值.若要使輸入的x值與輸出的y值相等.則這樣的x值

有個.

【思路點撥】當(dāng)xW2時，x—x,有x=0或x=l；當(dāng)2<xW5時，2%—3=x,有x=3；當(dāng)

時'x《，x無解.故可知這樣的x有3個.

［答案］3

【例3］］給出下面的算法框圖，那么輸出結(jié)果應(yīng)為

)

A.2450B.2550C.5050D.4900

【思路點撥】由條件知，?=100時退出循環(huán)，故最后一個加數(shù)為

98,??.此框圖即計算2+4+6+…+98的值.故選A.

［答案］A

【強化訓(xùn)練】(1)如果執(zhí)行下面的程序

框圖，那么輸出的S等于()

A.2450B.2500

C.2550D.2652

［答案］C

【思路點撥】由題意知輸出的結(jié)果

S為2、4、6、…、100的和，

C50X2+100

所以S=—《——i=2550.

【例4】如圖(1)是某縣參加2011年高考的學(xué)生身高條形統(tǒng)計圖，從左到右的各條形表示的

學(xué)生人數(shù)依次記為4、A?、…、小0(如仆表示身高(單位：cm)在［150,155)內(nèi)的學(xué)生人數(shù)).如

圖(2)是統(tǒng)計圖(1)中身高在一定范圍內(nèi)學(xué)生人數(shù)的一個算法流程圖.現(xiàn)要統(tǒng)計身高在160?

180cm(含160cm,不含180cm)的學(xué)生人數(shù)，那么在算法框圖中的判斷框內(nèi)應(yīng)填寫的條件是

)

A.i<9B./<8

C.i<7D.i<6

［答案］B

【思路點撥】:統(tǒng)計160-180cm的學(xué)生,

即A4+A5+A6+A7,4</<7時都符合要求.

故i=8時，跳出循環(huán).

【強化訓(xùn)練】隨機抽取某產(chǎn)品n件，測得其長度分

別為內(nèi)，“2,…，即，則如圖所示的程序框圖輸出的$=,S表示的樣本的數(shù)字特征

是.(注：流程圖中的賦值符號“=”也可以寫成“一”“：三)

［答案］-(a,+a+-+a,)樣本平均數(shù)

n;

【思路點撥】考查程序框圖的概念、結(jié)構(gòu)和統(tǒng)計的基本概念.

由程序框圖知，當(dāng)『=1時，Xx—ai,此時S—ai.

.,、a2-IS+a?&+a2.&+a

1=2時，*2=-----1------,此時,

3—2S+asai+a2+at

7=3時，Xi—,此時S=

33

Si+32+

3

【例6】如圖所示是解決某個問題而繪制的算法框圖.仔細分析各圖框內(nèi)的內(nèi)容及圖框之

間的關(guān)系，回答下面的問題：

1開始1

(1)圖框①中x=2的含義是什么？1

(2)圖框②中yi=ax+b的含義是什么？x=2①

(3)圖框④中y=ax+b的含義是什么？1

2|%=丁+可②

(4)該算法框圖解決的是怎樣的一個問題？

(5)若最終輸出的結(jié)果yi=3,m=-2.當(dāng)x取5時輸出的結(jié)果5a+b的③

值應(yīng)該是多大？*

|力=7+6]④

【思路點撥】本題主要考查賦值語句的特點及意義.

［解析］⑴圖框①中x=2表示把2賦給變量x./輸出力>2/

(2)圖框②中的含義：該圖框在執(zhí)行①的前提下，即當(dāng)x=2

結(jié)束

時計算ax+b的值，并把這個值賦給力.

(3)圖框④中>2=ax+b的含義：該圖框在執(zhí)行③的前提下，即當(dāng)x=-3時計算ax+b的值,

并把這個值賦給

(4)該算法框圖解決的是求函數(shù)/(x)=ax+b的函數(shù)值的問題.其中輸入的是自變量x的值，

輸出的是x對應(yīng)的函數(shù)值.

(5)yi=3,即2a+h=3.

yi=—2,即一3"+〃=一2.

由⑤⑥得。=1,%=1.所以於)=x+l.所以x取5時，5a+ft=5X1+1=6.

【例71輸入一個數(shù)，用語句描述通過函

數(shù)

5%—5.x>0；

y='0.x=Q；求y的值的

5x+3,XO.

算法，并畫出算法框圖.

［解析］用語句描述如下：

輸入尢；

Ifx>0Then

y=5x—5

Else

Ifx=OThen

y=O

/輸出

Else>7

y=5x+3

EndIf

輸出y.

其算法框圖如圖所示：

【例8】編寫程序計算2+4+6+…+20的值.

［解析］程序如下：S=0

Fori=lTo10

S=S+2］Next

輸出s

【教師點評】注意循環(huán)變量i的初始值與終值各是多少，有時易錯認(rèn)為終值為20.

【強化訓(xùn)練】設(shè)計算法求〃！=1X2X3X…X〃用語句描述.

［解析］法一用語句描述為：

輸入

5=1;

Fori=1Ton

S=S*i

Next

輸出S.

法二輸入〃

z=l

P=\

Do

P=P*i

i=i+\

LoopWhilei<n

輸出尸

【例9】編寫程序,求「+22+32+…+10（）2

［解析］程序如下：i=l

Sum=0

Do

Sum=Sum+產(chǎn)

i=i+i

LoopWhilez<100

輸出Sum

【教師點評】注意循環(huán)變量初始值的設(shè)置方式及累加變量的位置，當(dāng)位置不同時;處理功能

有可能不同.

【強化訓(xùn)練】求尸+22+3?+…+”2<1000成立的”的最大正整數(shù)值.用程序語言表示其算

法.

［解析］5=1

i=2

Do

a—i2

S^S+a

z-z+1

LoopWhile5<1000

i=i-2

輸出i

【例101機械制造廠加工某種零件有四道工序：鑄（造）件、粗加工（刨、車）、熱處理和精加

工（銃、磨）.每道工序完成時，都要對產(chǎn)品進行檢驗，合格品進入下一道工序，不合格品為

廢品.鑄（造）件合格品進入粗加工，粗加工合格品進入熱處理，熱處理（熱處理不合格品可以

返工一次）合格品進入精加工，精加工的合格品為零件成品.用流程圖表示這種零件的加工

過程.

【思路點撥】按照四道工序的順序，要注意每道工序完成時，要進行檢驗，此時要有判斷，

合格品進入下一道工序，不合格品為廢品.

［解析］

【例11】用結(jié)構(gòu)圖描述平面幾何中四邊形的分類.

【思路點撥】本題考查結(jié)構(gòu)圖的應(yīng)用與設(shè)計，決定一個四邊形的基本要素是邊長和角度，四

邊形分類應(yīng)按此線索展開.

【例12】某公司做人事調(diào)整：設(shè)經(jīng)理一名，配有經(jīng)理助理一名：設(shè)副經(jīng)理兩名，直接對總

經(jīng)理負責(zé)；設(shè)有6個部門，其中副經(jīng)理A管理生產(chǎn)部、安全部和質(zhì)量部；副經(jīng)理8管理銷

售部、財務(wù)部和保衛(wèi)部；生產(chǎn)車間由生產(chǎn)部和安全部共同管理，公司配有質(zhì)檢中心和門崗.請

根據(jù)以上信息設(shè)計并畫出該公司的人事結(jié)構(gòu)圖.

【思路點撥】本題所給信息較，應(yīng)抓住主要脈絡(luò)分析各部門之間的關(guān)系.

解析

基礎(chǔ)訓(xùn)練

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個選項中，有且

只有一項是符合題目要求的，請把正確答案填在相應(yīng)的括號（）內(nèi).

1、算法的有窮性是指（）

A、算法必須包含輸出B、算法中每個步驟都是可執(zhí)行的

C、算法的步驟必須有限D(zhuǎn)、以上說法均不對

2、在算法的邏輯結(jié)構(gòu)中，要求進行邏輯判斷，并根據(jù)結(jié)果進行不同處理的是哪種結(jié)構(gòu)（）

A、順序結(jié)構(gòu)B、選擇結(jié)構(gòu)和循環(huán)結(jié)構(gòu)C、順序結(jié)構(gòu)和選擇結(jié)構(gòu)D、沒有任何結(jié)構(gòu)

3、下列語句中：①,②r—rx/③32―A④A―2*（B+l）=2*B+2

⑤A—A+2⑥p—（（7x+3）x-5）x+l其中是賦值語句的個數(shù)為（）

A、6B、5C、4D、3

4、將兩個數(shù)a=25,b=9交換，使”=9,b=25,F面語句正確一組是（）

b<-at~b|a<-c

b-ac<-b

a<-b2lb—a

BcD

5、條件語句的一般形式是“ifAthenBelseC”，件B表示的是)

A、滿足條件時執(zhí)行的內(nèi)容B、條件語句C、條件D、不滿足條件時執(zhí)行的內(nèi)容

6、for語句的一般格式為:forifromatobstep,其中a的意義是()

A、循環(huán)變量初始值B、循環(huán)變量終值

a—1

C、循環(huán)體D、循環(huán)條件的語句i=l

b—2

7、右邊程序運行的結(jié)果是（）WHILEz<8

c<—3

A、1,2,3B、2,3,1a<-bi=i+2

C、2,3,2D、3,2,1b<—cs=2'注3

8、右邊程序運行后的輸出結(jié)果為（）c<—aENDWHILE

A、17B、19PRINTa,b,cPRINTs

C、21D、23ENDEND

加四給出的基計箕!…的值的一個程序框圖.(第7題)(第8題)

9、

24620

其中判斷框內(nèi)應(yīng)填入的條件是

()

A、i>10B、i<10C、i>20D、i<20

10、右邊的程序框圖，能判斷任意輸入的數(shù)x的奇偶性：其中判斷框內(nèi)的條件是)

A^m=0B、x=0C、x=lD、m=l

（開始）

工

/輸個x/

二、填空題：本大題共6小題，每小題5分,共30分.請把第10題正確答案填

在該小題中相應(yīng)的橫線上.

11、下列四個有關(guān)算法的說法中：（1）算法的某些步驟可以不明確或有歧義，以便使算法能

解決更多問題；（2）正確的算法執(zhí)行后一定得到確定的結(jié)果；（3）解決某類問題的算法不

一定是唯一的；（4）正確的算法一定能在有限步之內(nèi)結(jié)束。其中正確的是..(要

求只填寫序號）

54

12、用秦九韶算法計算多項式/(%)=3/+4x+5x+6x3+7,+8x+1當(dāng)x=04時的

值時,需要做乘法和加法的次數(shù)共次.

13、已知如圖程序，若輸入8,則程序執(zhí)行后輸出的結(jié)果是；

14、如圖所示的算法程序框圖，表示的算法的功能是

程序。

16、將下列問題的算法用偽代碼中的“for”語句表示（寫在下面的框中），并畫出“for”語

句流程圖（畫在右邊）。

i-1

S-0

WhileiW10

S-S+i

i-i+l

EndWhile

PrintS

三、解答題：本大題共5小題，共80分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

17、（本題16分）設(shè)計一個計算2+4+6+8+…+80的算法，并分別用F”語句與While

語句表示。

18、（本題16分）畫出解關(guān)于x的不等式ax+/YO（“，6GR）的流程圖及其偽代碼。

19、（本題16分）某電信部門規(guī)定：撥打市內(nèi)電話時，如果通話時間不超過3分鐘，則收取

通話費0.2元，如果通話時間超過3分鐘，則超過部分以每分鐘0.1元收取通話費（通

話不足1分鐘時按1分鐘計），試設(shè)計一個計算通話費用的算法.要求寫出算法，畫出程

序框圖，編寫程序。

20、（本題16分）給出30個數(shù)：1,2,4,7,……，其規(guī)律是：第1個數(shù)是1,第2個數(shù)

比第1個數(shù)大1,第3個數(shù)比第2個數(shù)大2,第4個數(shù)比第3個數(shù)大3,依此類推.要計

算這30個數(shù)的和，現(xiàn)已給出了該問題算法的程序框圖（如圖所示），（I）請在圖中判斷

框內(nèi)（1）處和執(zhí)行框中的（2）處填匕合適的語句，使之能完成該題算法功能；（II）根據(jù)程

序框圖寫出程序。

21,（本題16分）設(shè)計算法求1---------

'+」一+,+???+—!—的值.要求畫出程序框圖，寫出用基本語句編寫的

1x22x33x499x100

程序.

參考答案

1、解析：選C。

2、解析：選B,在選擇結(jié)構(gòu)和循環(huán)結(jié)構(gòu)中都要進行邏輯判斷。

3、解析：選C,正確的是①②⑤⑥，賦值語句只能將表達式或數(shù)值賦給一個變量。

4、解析：選C。

5、解析：選A。

6、解析：選A。

7,解析：選C,賦值語句要注意變量替換順序。

8,解析：選C,當(dāng)i=9時，s=2?93=21,然后循環(huán)結(jié)束。

9、解析：選A,當(dāng)5=,+,+!+…+’時要提出循環(huán)體，而此時接下來i=11,因此條

246

件為i>10?

10、解析：選A,一個數(shù)被2除的余數(shù)為1忖為奇數(shù)。

11、解析：(2)(3)(4),算法的步驟必須是明確的。

12、解析：12次對于一個“次多項式，利用秦九韶算法計算，只要做〃次乘法和〃次加法。

13>解析：0.7,此時c=0.2+0.1?(83)=0.7--------

C-10

14、解析：計算并輸出使1X3X5X7...X—>10000成立的最r~

小正整數(shù)。?▼

15.解析：Readn,i￡n,srs'i,因為當(dāng)時要進入歐］

循環(huán)體，接著i=l+〃，而i>〃要提出循環(huán)體。一匕^I

16、解析:

S-0

ForIFrom1To10

S-S+I

EndFor

PrintS

輸出S

解析:用析”語句表示:(8Z)用皿〃e語句表示:(8，)

S—0

S<-0z<-2

Forifrom2to80step2Whilei<80

S—S+iS—S+i

EndForz<-z+2

PrintSEndWhile

PrintS

18、解析：偽代碼與流程圖分別為

19、解：該題涉及分段函數(shù)，故設(shè)c(單位：元)表示通話費,(單位：分鐘)表示通話時

0.2,0<t<3

間，則依題意有

0.2+0.l(f—3),t>3

算法步驟如下：

第一步，輸入通話時間t；READt

第二步，如果t<3,那么c=0.2；IFt<=3THEN

否則令c=0.2+0.1(t—3)；c=0.2

第三步，輸出通話費用c;ELSE

程序框圖如圖所示c=0.2+0.1(t-3)

ENDIF

PRINTc

END

(第19題偽代碼)

20、解(I)該算法使用了當(dāng)型循環(huán)結(jié)

構(gòu)，因為是求30個數(shù)的和，故循環(huán)體應(yīng)

執(zhí)行30次，其中i是計數(shù)變量，因此判

斷框內(nèi)的條件就是限制計數(shù)變量i的，

故應(yīng)為1430。算法中的變量p實質(zhì)是

表示參與求和的各個數(shù)，由于它也是變

化的，且滿足第i個數(shù)比其前一個數(shù)大

i-l,第i+1個數(shù)比其前一個數(shù)大i,

故應(yīng)有p=p+i.故(1)處應(yīng)填z<30；

(2)處應(yīng)填p=p+i

(II)根據(jù)以上框圖，可設(shè)計如圖程序:

21、解：這是一個累加求和問題，共99項相加，可設(shè)

計一個計數(shù)變量，一個累加變量，用循環(huán)結(jié)構(gòu)實現(xiàn)這一

算法,程序框圖如圖所示。

S=0

K=1

Do

s=s+l/k(k+l)

k=k+l

LOOPUNTILk>99

PRINTs

END

(第21題程序)

第二章：統(tǒng)計

1、抽樣方法：

①簡單隨機抽樣（總體個數(shù)較少）

②系統(tǒng)抽樣（總體個數(shù)較多）

③分層抽樣（總體中差異明顯）

注意：在N個個體的總體中抽取出n個個體組成樣本，每個個體被抽到的機會（概率）均

2、總體分布的估計：

⑴一表二圖：

①頻率分布表——數(shù)據(jù)詳實

②頻率分布直方圖一一分布直觀

③頻率分布折線圖一一便于觀察總體分布趨勢

注：總體分布的密度曲線與橫軸圍成的面積為1。

⑵莖葉圖：

①莖葉圖適用于數(shù)據(jù)較少的情況，從中便于看出數(shù)據(jù)的分布，以及中位數(shù)、眾位數(shù)等。

②個位數(shù)為葉，十位數(shù)為莖，右側(cè)數(shù)據(jù)按照從小到大書寫，相同的數(shù)據(jù)重復(fù)寫。

3、總體特征數(shù)的估計：

⑴平均數(shù)：+X.+X3+…+X“；

取值為Xi,X2,---,Xn的頻率分別為P1，P2,…，P”＞則其平均數(shù)為X1P,+X2P2+…+X"P"；

注意：頻率分布表計算平均數(shù)要取組中值。

⑵方差與標(biāo)準(zhǔn)差：一組樣本數(shù)據(jù)看》2,…,X,,

方差：S?=」之（&-X）；

n-

標(biāo)準(zhǔn)差:

注：方差與標(biāo)準(zhǔn)差越小，說明樣本數(shù)據(jù)越穩(wěn)定。

平均數(shù)反映數(shù)據(jù)總體水平；方差與標(biāo)準(zhǔn)差反映數(shù)據(jù)的穩(wěn)定水平0

⑶線性回歸方程

①變量之間的兩類關(guān)系：函數(shù)關(guān)系與相關(guān)關(guān)系；

②制作散點圖，判斷線性相關(guān)關(guān)系

③線性回歸方程：y=hx+a（最小二乘法）

一〃xy

a=y-bx

注意：線性回歸直線經(jīng)過定點點J）。

【思路方法點撥】

1.三種抽樣方法的共同點是等概率抽樣，即抽樣過程中每個個體被抽取的概率相等，

體現(xiàn)了這三種抽樣方法的客觀性和公平性.若樣本容量為〃，總體的個體數(shù)為M則用這三

種方法抽樣時，每一個個體被抽到的概率都是與

A

NN

2.系統(tǒng)抽樣中為將整個的編號進行分段，要確定分段的間隔h當(dāng)4是整數(shù)時，k=一；

nn

當(dāng)△’不是整數(shù)時，通過從總體中剔除一些個體使剩下的個體數(shù)M能被“整除，這時A=匕.

nn

3.三種抽樣方法各有其特點和適用范圍，在實際應(yīng)用時;要靈活選取恰當(dāng)?shù)某闃臃椒?，?/p>

后按照它的操作步驟進行抽樣.

4.抽樣方法在高考中不會出解答題，不會出難題，理解三種抽樣方法的定義及操作步驟，

解決有關(guān)抽樣的一些簡單問題即可.

5.三種抽樣方法的比較：

類別共同點各自特點相互聯(lián)系適用范圍

簡單隨機抽總體中的個體

從總體中逐個抽取

樣數(shù)較少

抽樣過程中將總體均分成幾部分，按在起始部分抽樣

總體中的個體

系統(tǒng)抽樣每個個體被事先確定的規(guī)則在各部分時采用簡單隨機

數(shù)較多

抽到的機會抽取抽樣

均等

各層抽樣時采用總體由差異明

將總體分成幾層，分層進

分層抽樣簡單隨機抽樣或顯的幾部分組

行抽取

系統(tǒng)抽樣成

6.不要把直方圖錯畫為條形圖，兩者的區(qū)別在于條形圖是離散隨機變量，縱坐標(biāo)刻度為頻

數(shù)或頻率，直方圖是連續(xù)隨機變量，縱坐標(biāo)刻度為頻率/組距，這是密度.連續(xù)隨機變量在

某一點上是沒有頻率的.

7.用樣本頻率分布來估計總體分布的重點是：頻率分布表和頻率分布直方圖的繪制及用樣

本頻率分布估計總體分布，難點是頻率分布表和頻率分布直方圖的理解及應(yīng)用.在計數(shù)和計

算時一定要準(zhǔn)確，在繪制小矩形時，寬窄要一致.通過頻率分布表和頻率分布直方圖可以對

總體作出估計.

8.幾種表示頻率分布的方法的優(yōu)點與不足；

(1)頻率分布表在數(shù)量表示上比較確切，但不夠直觀、形象，分析數(shù)據(jù)分布的總體態(tài)勢不太

方便.

(2)頻率分布直方圖能夠很容易地表示大量數(shù)據(jù)，非常直觀地表明分布的形狀，使我們能夠

看到在分布表中看不清楚的數(shù)據(jù)模式.但從直方圖本身得不出原始的數(shù)據(jù)內(nèi)容，也就是說,

把數(shù)據(jù)表示成直方圖后，原有的具體數(shù)據(jù)信息就被抹掉了.

(3)頻率折線圖的優(yōu)點是它反映了數(shù)據(jù)的變化趨勢，如果樣本容量不斷增大，分組的組距不

斷縮小，那么折線圖就趨向于總體分布的密度曲線.

(4)用莖葉圖優(yōu)點是原有信息不會抹掉，能夠展示數(shù)據(jù)的分布情況，但當(dāng)樣本數(shù)據(jù)較多或數(shù)

據(jù)數(shù)較多時，莖葉圖顯得不太方便了.

9.標(biāo)準(zhǔn)差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動的大小.標(biāo)準(zhǔn)差、方差越大，數(shù)據(jù)的離散

程度越大，標(biāo)準(zhǔn)差、方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小，因為方差與原始數(shù)據(jù)的單位不同，且

平方后可能夸大了偏差的程度，所以雖然方差與標(biāo)準(zhǔn)差在刻畫樣本數(shù)據(jù)的分散程度上是一樣

的，但在解決實際問題時，一般多采用標(biāo)準(zhǔn)差.

10.線性相關(guān)關(guān)系的理解：相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系不同.函數(shù)關(guān)系中的兩個變量間是一種確定

性關(guān)系.例如正方形面積S與邊氏x之間的關(guān)系S=x2就是函數(shù)關(guān)系.相關(guān)關(guān)系是一種非

確定性關(guān)系，即相關(guān)關(guān)系是非隨機變量與隨機變量之間的關(guān)系.例如商品的銷售額與廣告費

的相關(guān)關(guān)系.兩個變量具有相關(guān)關(guān)系是回歸分析的前提.

11.求回歸方程，關(guān)鍵在于正確求出系數(shù)a,b,由于a,b的計算量大，計算時應(yīng)仔細謹(jǐn)慎,

分層進行，避免因計算而產(chǎn)生錯誤.(注意回歸直線方程中一次項系數(shù)為b,常數(shù)項為a,這

與一次函數(shù)的習(xí)慣表示不同).

12.獨立性檢驗的一般步驟

(1)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)制成2X2列聯(lián)素.

(2)根據(jù)公式x?=————門J-be-----――-,計算/的值.

a+bc+da+cb+d

(3)比較/與臨界值的大小關(guān)系作統(tǒng)計推斷.

13.回歸方程

(1)線性回歸方程：我們把相關(guān)關(guān)系(不確定性關(guān)系)轉(zhuǎn)化為函數(shù)關(guān)系(確定性關(guān)系)，當(dāng)兩個

具有相關(guān)關(guān)系的變量近似地滿足一次函數(shù)關(guān)系時，我們所求出的函數(shù)關(guān)系y=6x+a就是回

歸直線方程.求回歸直線方程的一般方法是借助于工作軟件求出回歸直線方程，也可利用計

算器計算出。，再由a=}一6二，求出a,寫出回歸直線方程y="+a可以利用回歸直線

方程y=a+6x求出x取某一個值時，y的估計值.

(2)非線性回歸方程：非線性回歸問題有時并不給出經(jīng)驗公式，此時我們可以由已知的數(shù)據(jù)

畫出散點圖，并把散點圖與已經(jīng)學(xué)習(xí)過的各種函數(shù)如基函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、二次函

數(shù)等作比較，挑選出跟這些散點擬合最好的函數(shù)，然后再采用變量的置換，把問題轉(zhuǎn)化為線

性回歸分析問題，使問題得以解決.

注意：線性回歸方程中的a和b都是通過樣本估計出來的，存在隨機誤差，這種誤差可以導(dǎo)

致預(yù)測結(jié)果的偏差，另外，我們選用的線性模型只是一種近似模型.

［例1］某班共有60名學(xué)生，領(lǐng)到10張電影票.現(xiàn)在用抽簽法和隨機數(shù)表法把10張電

影票分下去，試寫出過程.

【思路點撥】結(jié)合抽簽法和隨機數(shù)表法的步驟來解決.

［解析］(1)抽簽法.

第一步,先將60名學(xué)生編號.編號為01,02,03,…，60.

第二步，準(zhǔn)備抽簽工具.把號碼寫在形狀、大小相同的號簽上，將這些號簽放在同一個不透

明箱子里.

第三步，實施抽簽.抽簽前先將放在箱子里的號簽攪拌均勻，抽簽時每次從中抽出一號簽，

連續(xù)抽10次，根據(jù)抽到的10個號碼對應(yīng)10名學(xué)生，10張電影票就分給10名被抽到的學(xué)

生.

(2)隨機數(shù)表法.

第一步,先將60名學(xué)生編號,分別為00,01,02,03,…,59.

第二步，由于總體的編號為兩位數(shù)，在隨機數(shù)表中選取兩列組成兩位數(shù).從隨機數(shù)表中的任

意一個位置，按一定順序開始讀數(shù).如果讀到的數(shù)小于59,則將它取出；若讀到的數(shù)大于

59,則舍去；重復(fù)的數(shù)字只取一個，直到取滿10個不超過59的數(shù)為止.將10張電影票分

給抽到10名相應(yīng)編號的學(xué)生.

比如，從隨機數(shù)表第6行的第3列和第4列開始讀數(shù)，從上至下分別是

35,11,48,77,79,64,58,89,31,55,00,93,80,46,66,12,11,10,….其中II重復(fù)出現(xiàn)，

77,79,64,89,93,80,66超過59不能取，這樣選取的10個樣本號碼分別為

35,11,48,58,31,55,00,46,12,10.由此，可把10張電影票分給編號為上述號碼的10名學(xué)生.

【教師點評】利用抽簽法進行簡單隨機抽樣的步驟可分為五個步驟，事實上有些步驟明顯地

可以合并兩個為一個，無論怎樣合并，只要把過程按正確的順序敘述、符合抽簽的規(guī)則就

行.隨機數(shù)表法同理

【強化訓(xùn)練】有一批機器，編號為1,2,3,…，112,為調(diào)查機器的質(zhì)量問題，打算抽取10

臺入樣，問此樣本若采用簡單隨機抽樣方法將如何獲得？

【思路點撥】簡單隨機抽樣方法有抽簽法和隨機數(shù)表法，因為樣本的容量為10,因此，

兩種方法均可以.

［解析］方法一首先，把機器都編上號碼001,002,003,…，112,如用抽簽法，則把112

個形狀、大小相同的號簽放在同一個箱子里，進行均勻攪拌，抽簽時，每次從中抽出1個號

簽，連續(xù)抽取10次，就得到一個容量為10的樣本.

方法二第一步，將原來的編號調(diào)整為00米001,002,003,…,111.

第二步，在隨機數(shù)表中的任選一數(shù)作為開始，任選一方向作為讀數(shù)方向，比如：選第9行第

7個數(shù)“3”,向右讀.

第三步，從“3”開始，向右讀，每次讀取三次，凡不在000?111中的數(shù)跳過去不讀，前面已

經(jīng)讀過的也跳過去不讀，依次可得到074,100,094,052,080,003,105,107,083,092.

第四步，對應(yīng)原來編號74,100,94,52,80,3,105,107,83,92的機器便是要抽取的對象.

【教師點評】(1)?個抽樣試驗?zāi)芊裼贸楹灧?，關(guān)鍵看兩點：一是制簽是否方便：二是號簽

是否易攪勻，一般地，當(dāng)總體容量和樣本容量都較小時可用抽簽法.

⑵隨機數(shù)表中共隨機出現(xiàn)0,1,2,…，9十個數(shù)字，也就是說，在表中的每個位置上出現(xiàn)各

個數(shù)字的機會都是相等的.在使用隨機數(shù)表時，如遇到三位數(shù)或四位數(shù)時，可從選擇的隨機

數(shù)表中的某行某列的數(shù)字計起，每三個或每四個作為一個單位，自左向右選取，有超過總體

號碼或出現(xiàn)重復(fù)號碼的數(shù)字舍去.

【例2】某工廠有1003名工人，從中抽取10人參加體檢，試用系統(tǒng)抽樣進行具體實施.

【思路點撥】由于總體容量較大，因此，采用系統(tǒng)抽樣法進行抽樣，又因總體容量不能被樣

本容量整除，需先剔除3名工人，使得總體容量能被樣本容量整除，取4=*3=100,然

后再利用系統(tǒng)抽樣的方法進行.

［解析］(1)將每個人隨機編一個號由0001至1003.

(2)利用隨機數(shù)法找到3個號，將這3名工人剔除.

⑶將剩余的1000名工人重新隨機編號0001至1000.

(4)分段，取間隔％==100,將總體均分為10段，每段含100名工人.

⑸從第一段即為0001至0100號中隨機抽取一個號L

(6)按編號將L,100+L,20()+L…，900+L共10個號碼選出，這10個號碼所對應(yīng)工人組成

樣本.

【教師點評】(1)系統(tǒng)抽樣時，為保證“等距”分段，應(yīng)先將多余個體剔除，然后再按系統(tǒng)

抽樣步驟進行.

(2)因為每個個體被剔除的可能性也是相等的，所以能保證每個個體被抽到的可能性是相等

的.

【強化訓(xùn)練】某單位共有在崗職工人數(shù)為624人，為了調(diào)查工人上班時，從離開家到單位平

均所用的時間，決定抽取10%的工人調(diào)查這一情況，如何采用系統(tǒng)抽樣的方法完成這一抽

樣？

【思路點撥】總體中的每個個體，都必須等可能地入樣，為了實現(xiàn)“等距”入樣，且又等概

率，因此，應(yīng)先剔除，再“分段”，后定起始位.

［解析］第一步，將在崗的工人624人，用隨機方式編號（如按出生年月日順序），

000,001,002,-1623.第二步，由題意知，應(yīng)抽取62人的樣本，因為不是整數(shù)，所

以應(yīng)從總體中剔除4人（剔除方法用隨機數(shù)表法，隨機定一起始數(shù)，向右取三位數(shù).如起始

數(shù)為課本附表1中第8行，第19列數(shù)，則為1.向右取三位數(shù)為199,即編號199被剔除，

若三位數(shù)恰大于623或是已被剔除之?dāng)?shù)，則重新定起始數(shù)，反復(fù)下去，直到剔除4人為止），

將余下的620人,按編號順序補齊000,001,002,…619分成62個段,每段10人，在第一段

000,001,002,009這十個編號中,隨機定一起始號力,則編號加，曲+10,曲+20,…,

zo+61X10為所抽取的樣本.

【教師點評】當(dāng)總體容量不能被樣本容量整除時，可以先從總體中隨機地剔除幾個個體，使

得總體中剩余的個體數(shù)能被樣本容量整除.

【例3】某單位最近組織了一次健身活動，活動分為登山組和游泳組，且每個職工至多參加

其中一組.在參加活動的職工中，青年人占42.5%,中年人占47.5%,老年人占10%.登山組

的職工占參加活動總?cè)藬?shù)的，且該組中，青年人占50%,中年人占40%,老年人占10%.

為了了解各組不同年齡層次的職工對本次活動的滿意程度，現(xiàn)用分層抽樣方法從參加活動的

全體職工中抽取一個容量為200的樣本.試確定

（1）游泳組中，青年人、中年人、老年人分別所占的比例；

（2）游泳組中，青年人、中年人、老年人分別應(yīng)抽取的人數(shù).

［解析］（1）設(shè)登山組人數(shù)為x,游泳組中，青年人、中年人、老年人各占比例分別為a、

b、c,則有匚華土出=47.5%,l?+3xc=i（）%,解得。=5（）%,c=10%.故a=100%—

50%-10%=40%,即游泳組中，青年人、中年人、老年人各占比例分別為40%、50%、10%.

33

（2）游泳組中，抽取的青年人數(shù)為200X1X40%=60（人），抽取的中年人數(shù)為200義彳

3

X50%=75（人）；抽取的老年人數(shù)為200X；X10%=15（人）.

［例4］為了考查某校的教學(xué)水平，將抽查這個學(xué)校高三年級的部分學(xué)生本年度的考試成

績.為了全面反映實際情況，采取以下三種方式進行抽查（已知該校高三年級共有20個班，

并且每個班內(nèi)的學(xué)生已經(jīng)按隨機方式編好了學(xué)號，假定該校每班學(xué)生的人數(shù)相同）：①從高

三年級20個班中任意抽取一個班，再從該班中任意抽取20名學(xué)生，考察他們的學(xué)習(xí)成績；

②卷個班抽取1人，共計20人，考察這20名學(xué)生的成績；③把學(xué)生按成績分成優(yōu)秀、良好、

普通三個級別，從其中共抽取100名學(xué)生進行考察（已知該校高三學(xué)生共1000人，若按成績

分，其中優(yōu)秀生共150人，良好生共600人，普通生共250人）.根據(jù)上面的敘述，試回答

下列問題：

（1）上面三種抽取方式的總體、個體、樣本分別是什么？每一種抽取方式抽取的樣本中，樣

本容量分別是多少？

（2）上面三種抽取方式各自采用的是何種抽取樣本的方法？

（3）試分別寫出上面三種抽取方式各自抽取樣本的步驟.

【思路點撥】本題主要考查基本概念和三種抽樣方法的聯(lián)系與區(qū)別，準(zhǔn)確把握三種抽樣方法

的概念與特點是解此題的關(guān)鍵；另外要注意敘述的完整性和條理性.

［解析］(1)這三種抽取方式的總體都是指該校高三全體學(xué)生本年度的考試成績，個體都是指

高三年級每個學(xué)生本年度的考試成績.其中第一種抽取方式的樣本為所抽取的20名學(xué)生本

年度的考試成績，樣本容量為20；第二種抽取方式的樣本為所抽取的20名學(xué)生本年度的考

試成績，樣本容量為20；第三種抽取方式的樣本為所抽取的100名學(xué)生本年度的考試成績，

樣本容量為100.

(2)三種抽取方式中，第一種采用的是簡單隨機抽樣法；第二種采用的是系統(tǒng)抽樣法和簡單

隨機抽樣法；第三種采用的是分層抽樣法和簡單隨機抽樣法.

(3)第一種方式抽樣的步驟：第一步，用抽簽法在這20個班中任意抽取一個班；第二步，從

這個班中按學(xué)號用隨機數(shù)表法或抽簽法抽取20名學(xué)生，考察其考試成績.

第二種方式抽樣的步驟如下：第一步，用簡單隨機抽樣法從第一個班中任意抽取一名學(xué)生，

記其學(xué)號為。，第二步，在其余的19個班中，選取學(xué)號為a的學(xué)生，加上第?個班中的一

名學(xué)生，共計20人.

第三種方式抽樣的步驟如下：第一步，分層.因為若按成績分，其中優(yōu)秀生共150人