湖南省張家界市一鳴實驗中學高三數(shù)學理模擬試題含解析

湖南省張家界市一鳴實驗中學高三數(shù)學理模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.“”是“”的A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件參考答案：C略2.在圓內(nèi)，過點有n條弦的長度成等差數(shù)列，最短弦長為數(shù)列的首項，最長弦長為，若公差，那么n的取值集合為

（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：A由題意得，，，，，，，，．故選A。3.已知雙曲線的一條漸近線方程為，則雙曲線的離心率為（

）

A．

B．C．

D．參考答案：A4.若函數(shù)()滿足且時，,函數(shù)，則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)零點的個數(shù)為A．

B．

C．

D．

參考答案：C略5.設R，，，則.

.

.

.參考答案：B略6.拋物線y2＝－8x的焦點坐標是

A．(2,0)

B．(4,0)

C．(－2,0)

D．(－4,0)參考答案：C由y2＝－8x，易知焦點坐標是(－2,0)．7.如下框圖，當時，等于（

）A.7

B.8

C.10

D.11參考答案：B8.“x＜1”是“l(fā)n（x+1）＜0”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：B【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】根據(jù)不等式的關系，結合充分條件和必要條件的定義進行判斷即可．【解答】解：由ln（x+1）＜0得0＜x+1＜1，得﹣1＜x＜0，則“x＜1”是“l(fā)n（x+1）＜0”的必要不充分條件，故選：B【點評】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，根據(jù)不等式的關系是解決本題的關鍵．9.若空間三條直線滿足，，則直線與

………（

）.一定平行

一定相交

一定是異面直線

一定垂直參考答案：D10.某幾何體的三視圖如圖所示，則它的體積是

A．

B．8

C．8－

D．8參考答案：C由三視圖知：原幾何體為一個正方體里面挖去一個圓錐，正方體的棱長為2，圓錐的底面半徑為1，高為2，所以該幾何體的體積為：。二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在Rt△ABC中，AB=AC=3，M，N是斜邊BC上的兩個三等分點，則的值為．參考答案：4考點： 平面向量數(shù)量積的運算．專題： 計算題；平面向量及應用．分析： 運用向量垂直的條件，可得=0，由M，N是斜邊BC上的兩個三等分點，得=（+）?（+），再由向量的數(shù)量積的性質(zhì)，即可得到所求值．解答： 解：在Rt△ABC中，BC為斜邊，則=0，則=（）?（+）=（+）?（+）=（+）?（）=++=×9+=4．故答案為：4．點評： 本題考查平面向量的數(shù)量積的定義和性質(zhì)，考查運算能力，屬于中檔題．12.某飛機顯示屏上的每個指示燈均以紅光或藍光來表示不同的信號，已知一排有個指示燈．若每次顯示其中的4個，并且恰有3個相鄰，則可顯示的不同信號共有（

）A．80種

B．160種

C．320種

D．640種參考答案：C13.己知是虛數(shù)單位,若，則__________.參考答案：2+i14.已知函數(shù)，則滿足的實數(shù)x的取值范圍是________.參考答案：15.如圖是數(shù)學家GerminalDandelin用來證明一個平面截圓錐得到的截口曲線是橢圓的模型（稱為“Dandelin雙球”）；在圓錐內(nèi)放兩個大小不同的小球，使得它們分別與圓錐的側(cè)面、截面相切，設圖中球O1，球O2的半徑分別為3和1，球心距離,截面分別與球O1，球O2切于點E，F(xiàn)，（E，F(xiàn)是截口橢圓的焦點），則此橢圓的離心率等于______．參考答案：【分析】利用已知條件和幾何關系找出圓錐母線與軸的夾角為，截面與軸的夾角為的余弦值，即可得出橢圓離心率?！驹斀狻咳鐖D，圓錐面與其內(nèi)切球，分別相切與B,A，連接則，，過作垂直于，連接，交于點C設圓錐母線與軸的夾角為，截面與軸的夾角為在中，，∵△EO2C≌△FO1C解得即則橢圓的離心率【點睛】“雙球模型”橢圓離心率等于截面與軸的交角的余弦與圓錐母線與軸的夾角的余弦之比，即。16.關于的方程（其中為虛數(shù)單位），則方程的解_______.參考答案：由行列式得，即。【答案】【解析】17.有一列向量：，如果從第二項起，每一項與前一項的差都等于同一個向量，那么這列向量稱為等差向量列．已知等差向量列，滿足，，那么這列向量中模最小的向量的序號n=．參考答案：4或5【考點】數(shù)列與向量的綜合．【專題】函數(shù)思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】求出等差向量列的差向量，得出得通項公式，代入模長公式求解最小值．【解答】解：∵{}是等差向量列，∴{xn}，{yn}是等差數(shù)列，設{xn}，{yn}的公差分別是d1，d2，∴，解得d1=1，d2=1，∴xn=﹣20+n﹣1=n﹣21，yn=13+n﹣1=n+12，∴=（n﹣21，n+12）．∴||2=（n﹣21）2+（n+12）2=2n2﹣18n+585=2（n﹣）2﹣+585．∴當n=4或n=5時，||2取得最小值．故答案為4或5．【點評】本題考查了數(shù)列與向量的綜合應用，求出{}的通項公式是關鍵．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知二階矩陣的特征值所對應的一個特征向量．（1）求矩陣；（2）設曲線在變換矩陣作用下得到的曲線的方程為，求曲線的方程．參考答案：（1）依題意,得，

即，解得，；

（2）設曲線上一點在矩陣的作用下得到曲線上一點，

則，即，

，，整理得曲線的方程為．19.[選修4-5：不等式選講]已知函數(shù)f（x）=|x﹣a|+|x﹣2|，x∈R（Ⅰ）若關于x的不等式f（x）≤a在R上有解，求實數(shù)a的最小值M；（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，已知正實數(shù)m，n，p滿足m+2n+3p=M，求的最小值．參考答案：【考點】柯西不等式在函數(shù)極值中的應用；絕對值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）關于x的不等式f（x）≤a在R上有解，求出f（x）的最小值，即可求實數(shù)a的最小值M；（Ⅱ）利用柯西不等式，即可求++的最小值．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=|x﹣a|+|x﹣2|≥|a﹣2|，∵關于x的不等式f（x）≤a在R上有解，∴|a﹣2|≤a，∴a≥1，∴實數(shù)a的最小值M=1；（Ⅱ）m+2n+3p=1，++=（++）（m+2n+3p）≥（+2+）2=16+8，∴++的最小值為16+8．【點評】本題考查絕對值不等式的運用，考查柯西不等式在最值中的應用，考查計算能力．20.已知函數(shù)f（x）=x2+mlnx+x（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）令g（x）=f（x）﹣x2，試問過點P（1，3）存在多少條直線與曲線y=g（x）相切？并說明理由．參考答案：【考點】利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程．【分析】（1）求出函數(shù)的導數(shù)，通過討論m的范圍，解關于導函數(shù)的不等式，從而得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）設切點為（x0，x0+mlnx0），求出切線斜率K，求出切線方程，切線過點P（1，3），推出關系式，構造函數(shù)g（x）（x＞0），求出導函數(shù)，通過討論①當m＜0時，判斷g（x）單調(diào)性，說明方程g（x）=0無解，切線的條數(shù)為0，②當m＞0時，類比求解，推出當m＞0時，過點P（1，3）存在兩條切線，③當m=0時，f（x）=x，說明不存在過點P（1，3）的切線．【解答】解：（1）f（x）=x2+mlnx+x，（x＞0），f′（x）=x++1==，①m≥0時，f′（x）＞0，函數(shù)在（0，+∞）遞增，②m＜0時，令f′（x）＞0，解得：x＞，令f′（x）＜0，解得：x＜，∴f（x）在（0，）遞減，在（，+∞）遞增；（2）設切點為（x0，x0+mlnx0），則切線斜率k=1+，切線方程為y﹣（x0+alnx0）=（1+）（x﹣x0）．因為切線過點P（1，3），則3﹣（x0+alnx0）=（1+）（1﹣x0）．即m（lnx0+﹣1）﹣2=0．

…①令g（x）=m（lnx+﹣1）﹣2（x＞0），則g′（x）=m（﹣）=，①當m＜0時，在區(qū)間（0，1）上，g′（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增；在區(qū)間（1，+∞）上，g′（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減，所以函數(shù)g（x）的最大值為g（1）=﹣2＜0．故方程g（x）=0無解，即不存在x0滿足①式．因此當m＜0時，切線的條數(shù)為0．②當m＞0時，在區(qū)間（0，1）上，g′（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減，在區(qū)間（1，+∞）上，g′（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增，所以函數(shù)g（x）的最小值為g（1）=﹣2＜0．取x1=e1+＞e，則g（x1）=a（1++e﹣1﹣﹣1）﹣2=ae﹣1﹣＞0．故g（x）在（1，+∞）上存在唯一零點．取x2=e﹣1﹣＜，則g（x2）=m（﹣1﹣+e1+﹣1）﹣2=me1+﹣2m﹣4=m[e1+﹣2（1+）]．設t=1+（t＞1），u（t）=et﹣2t，則u′（t）=et﹣2．當t＞1時，u′（t）=et﹣2＞e﹣2＞0恒成立．所以u（t）在（1，+∞）單調(diào)遞增，u（t）＞u（1）=e﹣2＞0恒成立，所以g（x2）＞0．故g（x）在（0，1）上存在唯一零點．因此當m＞0時，過點P（1，3）存在兩條切線．③當m=0時，f（x）=x，顯然不存在過點P（1，3）的切線．綜上所述，當m＞0時，過點P（1，3）存在兩條切線；當m≤0時，不存在過點P（1，3）的切線．21.已知函數(shù)f（x）=|x+1|﹣|2x﹣1|．（1）求不等式f（x）＜﹣1的解集；（2）若不等式f（x）≤a|x﹣2|對任意的x∈R恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．參考答案：【考點】絕對值不等式的解法；絕對值三角不等式．【專題】分類討論；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；不等式的解法及應用；不等式．【分析】（1）把要解的不等式等價轉(zhuǎn)化為與之等價的三個不等式組，求出每個不等式組的解集，再取并集，即得所求．（2）由題意可得，|x+1|﹣|2x﹣1|≤a|x﹣2|恒成立，即a≥||﹣||=|1+|﹣|2+|，利用絕對值三角不等式求得|1+|﹣|2+|的最大值，可得a的范圍．【解答】解：（1）不等式f（x）＜﹣1，即①，或②，或．解①求得x＜﹣1；解②求得﹣1≤x＜﹣，解③求得x