18.1.4-平行四邊形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用

18.1平行四邊形第4課時(shí)

平行四邊形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用第十八章

平行四邊形習(xí)題課

平行四邊形的性質(zhì)與判定方法的區(qū)別與聯(lián)系．(1)聯(lián)系：平行四邊形的性質(zhì)的題設(shè)和結(jié)論正好與判定

的題設(shè)和結(jié)論相反，它們構(gòu)成互逆的關(guān)系．(2)區(qū)別：由平行四邊形這一條件得到邊、角或?qū)蔷€

的關(guān)系，這是平行四邊形的性質(zhì)；反之，由邊、

角或?qū)蔷€的關(guān)系得到平行四邊形，這是平行四

邊形的判定．1類型利用平行四邊形的性質(zhì)和判定判定平行四邊形1．【2016·鄂州】如圖，在?ABCD中，BD是它的一條對(duì)

角線，過A，C兩點(diǎn)作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分別

為E，F(xiàn)，延長(zhǎng)AE，CF分別交CD，AB于M，N.(1)求證：四邊形CMAN是平行四邊形；(2)已知DE＝4，F(xiàn)N＝3，求BN的長(zhǎng)．(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴CD∥AB.∵AM⊥BD，CN⊥BD，∴AM∥CN.∴四邊形CMAN是平行四邊形．證明：(2)∵四邊形CMAN是平行四邊形，∴CM＝AN.∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴CD＝AB，CD∥AB.∴DM＝BN，∠MDE＝∠NBF.

在△MDE和△NBF中，∴△MDE≌△NBF.∴BF＝DE＝4.

在Rt△NBF中，∵∠BFN＝90°，BF＝4，F(xiàn)N＝3，∴BN＝

＝5.解：2利用平行四邊形的性質(zhì)和判定說明線段平分關(guān)系類型2．如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，CD

上，AE＝CF，連接AF，BF，DE，CE，分別交于H，G.求證：(1)四邊形AECF是平行四邊形．(2)EF與GH互相平分．(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AB＝CD.∵AE＝CF，∴四邊形AECF是平行四邊形．(2)由(1)得四邊形AECF是平行四邊形，∴AF∥CE.∵AE＝CF，AB∥CD，AB＝CD，∴BE∥DF，BE＝DF.∴四邊形BFDE是平行四邊形．∴BF∥DE.∴四邊形EGFH是平行四邊形．∴EF與GH互相平分．證明：3利用平行四邊形的性質(zhì)和判定說明線段的垂直關(guān)系類型3．如圖，?ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，AE＝9，BD＝12，AD＝10.(1)求證：AE⊥BD；(2)求?ABCD的面積．過D作DF∥AE交BC的延長(zhǎng)線于F，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴BC＝AD＝10，AD∥BC，∴四邊形AEFD為平行四邊形．∴EF＝AD＝10，DF＝AE＝9.∵E是BC的中點(diǎn)，∴BE＝

BC＝5.∴BF＝BE＋EF＝5＋10＝15.∴BD2＋DF2＝122＋92＝225＝BF2.∴∠BDF＝90°，即DF⊥BD.

又∵DF∥AE，∴AE⊥BD.證明：(2)過D作DM⊥BF于M，∵BD·DF＝BF·DM，∴DM＝.∴S?ABCD＝BC·DM＝72.解：4利用平行四邊形的性質(zhì)和判定證明線段間的平方關(guān)系4．【中考·揚(yáng)州】如圖，將?ABCD沿過點(diǎn)A的直線l折疊，

使點(diǎn)D落到AB邊上的點(diǎn)D′處，折痕l交CD邊于點(diǎn)E，

連接BE.(1)求證：四邊形BCED′是平行四邊形；(2)若BE平分∠ABC，求證：AB2＝AE2＋BE2.類型(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠D＝∠CBA，DC∥AB，AD∥BC.∵將?ABCD沿過點(diǎn)A的直線l折疊，使點(diǎn)D落到AB

邊上的點(diǎn)D′處，∴∠DAE＝∠D′AE，∠D＝∠AD′E.∴∠AD′E＝∠CBA.∴ED′∥CB.∵EC∥D′B，∴四邊形BCED′是平行四邊形．證明：(2)∵BE平分∠ABC，∴∠CBE＝∠EBA.∵AD∥BC，∴∠DAB＋∠CBA＝180°.∵∠DAE＝∠BAE，∴∠EAB＋∠EBA＝90°.∴∠AEB＝90°.

∴AB2＝AE2＋BE2.5利用平行四邊形的性質(zhì)和判定求線段的長(zhǎng)5．【中考·畢節(jié)】如圖，將?ABCD的AD邊延長(zhǎng)至點(diǎn)E，使

DE＝

AD，連接CE，F(xiàn)是BC邊的中點(diǎn)，連接FD.(1)求證：四邊形CEDF是平行四邊形；(2)若AB＝3，AD＝4，∠A＝60°，求CE的長(zhǎng)．類型(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD＝BC.∵F是BC的中點(diǎn)，∴FC＝

BC.

又∵E是AD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且DE＝

AD，∴FC∥DE，F(xiàn)C＝DE.∴四邊形CEDF是平行四邊形．證明：(2)如圖，過點(diǎn)D作DM⊥BC于點(diǎn)M.∵四邊形CEDF，四邊形ABCD是平行

四邊形，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，∴CE＝DF，∠DCM＝∠A＝60°，F(xiàn)C＝

BC＝

AD＝2，DC＝AB＝3.

在Rt△DCM中，∠CDM＝90°－60°＝30°，DC＝3.∴CM＝.∴DM＝

，F(xiàn)M＝.

在Rt△DFM中，由勾股定理可知：DF＝.∴CE＝DF＝.解：6利用平行四邊形的性質(zhì)和判定探究線段的和差關(guān)系6．在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D在邊BC所在的直線上，過點(diǎn)

D作DE∥AC交AB于點(diǎn)E，DF∥AB交AC于點(diǎn)F.(1)當(dāng)點(diǎn)D在邊BC上時(shí)，如圖①，求證：DE＋DF＝AC.(2)當(dāng)點(diǎn)D在邊BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖②；當(dāng)點(diǎn)D在邊BC

的反向延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖③.請(qǐng)分別寫出圖②，圖③中

DE，DF，AC之間的

數(shù)量關(guān)系，不需要證明．類型(1)證明：∵DE∥AC，DF∥AB，∴∠FDC＝∠B，四邊形AEDF是平行四邊形．∴DE＝AF.

又∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∴∠FDC＝∠C，∴DF＝FC.∴DE＋DF＝AF＋FC＝AC.(2)解：當(dāng)點(diǎn)D在邊BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，DE－DF＝AC；

當(dāng)點(diǎn)D在邊BC的反向延長(zhǎng)線上時(shí)，DF－DE＝AC.(3)若AC＝6，DE＝4，則DF＝________.2或107利用平行四邊形的性質(zhì)和判定探究動(dòng)點(diǎn)問題7．如圖所示，在四邊形ABCD中，AD∥BC，BC＝18cm，

CD＝15cm，AD＝10cm，AB＝12cm，動(dòng)點(diǎn)P，Q分別

從點(diǎn)A、C同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P以2cm/s的速度由A向D運(yùn)動(dòng)，

點(diǎn)Q以3cm/s的速度由C向B運(yùn)動(dòng)．(1)幾秒后，四邊形ABQP為平行四邊形？并求出此時(shí)四

邊形ABQP的周長(zhǎng)；(2)幾秒后，四邊形PDCQ為平行四

邊形？并求出此時(shí)四邊形PDCQ

的周長(zhǎng)．類型(1)設(shè)xs后，四邊形ABQP為平行四邊形，由題意易得2x＝18－3x，解得x＝3.6，

即3.6s后，四邊形ABQP為平行四邊形，此時(shí)四邊

形ABQP的周長(zhǎng)是3.6×2×2＋12×2＝38.4(cm)．(2)設(shè)ys后，四邊形PDCQ為平行四邊形．由題意易得10－2y＝3y，解得y＝2，即2s后，四邊形PDCQ為

平行四邊形，此時(shí)四邊形PDCQ的周長(zhǎng)是3×2×2＋15×2＝42(cm)．解：8利用平行四邊形的性質(zhì)和判定探究條件問題8．如圖，△ABC為等邊三角形，D，F(xiàn)分別為BC，AB上的

點(diǎn)，且CD＝BF，以AD為邊作等邊△ADE.(1)求證：△ACD≌△CBF；(2)點(diǎn)D在線段BC上何處時(shí)，四邊形CDEF是平行四邊形

且∠DEF＝30°.類型(1)∵△ABC為等邊三角形，∴AC＝BC，∠FBC＝∠DCA＝60°，

在△ACD和△CBF中，∴△ACD≌△CBF(SAS)．證明：(2)當(dāng)D是線段BC的中點(diǎn)時(shí)，四邊形CD-EF為平行四邊形，且∠DEF＝30°.

如圖，連接BE，

由題易知AB＝AC，AE＝AD，∠BAC＝∠EAD＝60°.∴∠EAB＋∠BAD＝∠DAC＋∠BAD＝60°，

即∠EAB＝∠DAC，∴△AEB≌△ADC(SAS)．

又∵△ACD≌△CBF，∴△AEB≌△ADC≌△CFB.