四川省成都東部新區(qū)養(yǎng)馬高級中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題【含答案】

東部新區(qū)養(yǎng)馬高級中學(xué)2022級數(shù)學(xué)開學(xué)考試一、選擇題（本題共8道小題，每小題5分，共40分）1.若?，則?（）A.? B.?C.? D.?【答案】B【解析】【分析】直接利用二倍角的余弦公式即可得解.【詳解】解：因?yàn)?，所以?.故選：B.2.已知向量，，那么（）A.5 B. C.8 D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)平面向量模的坐標(biāo)運(yùn)算公式，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)橄蛄?，，所?故選：B.3.復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法運(yùn)算可求得，根據(jù)對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)可得結(jié)果.【詳解】，對應(yīng)的點(diǎn)為，位于第三象限.故選：C.4.已知，是兩條不重合的直線，，，是三個(gè)不重合的平面，則下列命題正確的是（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則【答案】D【解析】【分析】對ABC，舉反例判斷即可；對D根據(jù)線面平行與線面垂直的性質(zhì)判定即可【詳解】對A，若，，則或，故A錯(cuò)誤；對B，若，，則或，故B錯(cuò)誤；對C，長方體同一頂點(diǎn)所在的三個(gè)平面滿足，，，故C錯(cuò)誤；對D，若，則平行于內(nèi)的一條直線，又，故，故成立，故D正確；故選：D5.在四邊形中，，，，，，，分別為，的中點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】以為原點(diǎn)、所在的直線為軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系，求出所需各點(diǎn)坐標(biāo)，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示即可求解.【詳解】以為原點(diǎn)、所在的直線為軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系，設(shè)與軸交于點(diǎn)，因?yàn)?，，，，，分別為，的中點(diǎn)，可得，，，，所以，，，，，，所以，，，故選：D.6.在中，，則是（）A.等腰三角形 B.等邊三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形【答案】C【解析】【分析】利用正弦定理實(shí)現(xiàn)角化邊，再整理?xiàng)l件可得，從而為直角三角形.【詳解】在中，由正弦定理得，，又，所以，整理得.所以為直角三角形.故選：C.7.已知空間四邊形中，，分別是，的中點(diǎn)，若，，，則與所成的角為（）A.30° B.45° C.60° D.90°【答案】A【解析】【分析】設(shè)G為AD的中點(diǎn)，連接GF，GE，由三角形中位線定理可得，，則∠GFE即為EF與CD所成的角，結(jié)合AB=2，CD=4，EF⊥AB，在△GEF中，利用三角函數(shù)即可得到答案.【詳解】解：設(shè)G為AD的中點(diǎn)，連接GF，GE，則GF，GE分別為△ABD，△ACD的中線.∴，且，，且，則EF與CD所成角的度數(shù)等于EF與GE所成角的度數(shù)，又EF⊥AB，，∴EF⊥GF，則△GEF為直角三角形，GF=1，GE=2，∠GFE=90°，∴在直角△GEF中，，∴∠GEF=30°.故選：A.8.在三棱錐中，平面，且，若球在三棱錐的內(nèi)部且與四個(gè)面都相切（稱球?yàn)槿忮F的內(nèi)切球），則球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)球的半徑為r，由等積法得，由此可求得設(shè)球的半徑為r，再根據(jù)球的表面積公式可求得答案.【詳解】解：因?yàn)槠矫?，平面，平面，平面，所以，，，又，所以平面，所以，所以均為直角三角形，設(shè)球的半徑為r，則，而，，所以，解得，所以球的表面積為，故選：A.二、多選題（本題共4道小題，每小題5分，共20分）9.在銳角三角形ABC中，A，B，C為三個(gè)內(nèi)角，a，b，c分別為A，B，C所對的三邊，則下列結(jié)論成立的是（）A.若，則 B.若，則B取值范圍是C. D.【答案】ACD【解析】【分析】由正弦定理判斷A；由角形為銳角三角形，，所以，即有，根據(jù)可得的范圍，從而判斷B；由，可得，進(jìn)而得，從而判斷C；由，可得，從而判斷D.【詳解】解：對于選項(xiàng)A，因?yàn)锳>B，所以有,所以，故正確；對于選項(xiàng)B，因?yàn)?，則，所以，由可得的取值范圍是，故錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)C，銳角三角形ABC中，，，∴，同理，，所以故正確；對于選項(xiàng)D，銳角三角形ABC中，因?yàn)?，即，，又∵，∴，故正確．故選：ACD．10.如圖，在正方體中，點(diǎn)是棱上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，給出以下結(jié)論，其中正確的有（）A.與所成的角為45°B.//平面C.平面平面D.對于任意的點(diǎn)，四棱錐的體積均不變【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)異面直線夾角的定義，線面平行的判定定理以及面面垂直的判定定理，對每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析，即可判斷和選擇.【詳解】連接，∵，∴為與所成角，設(shè)正方體棱長為1，則，∴，故A錯(cuò)誤；∵平面平面，平面，∴平面，故B正確；連接，則，∵平面，∴，又，∴平面，又平面，∴平面平面，故C正確；設(shè)正方體棱長為1，則，故三棱錐的體積均不變，故D正確；故選：BCD.【點(diǎn)睛】本題考查異面直線夾角的求解，線面平行的判定以及面面垂直的判定，屬綜合基礎(chǔ)題.11.如圖，正六邊形的邊長為2，半徑為1的圓的圓心為正六邊形的中心，，若點(diǎn)在正六邊形的邊上運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)且關(guān)于圓心對稱，則的值可能為（）A. B. C.3 D.【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)平面向量加法的幾何意義，結(jié)合平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)、圓的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】由題意：因?yàn)檎呅蔚倪呴L為2，所以圓心到各邊的距離為：，所以，所以，故選：BC．12.函數(shù)的圖象，可由的圖象經(jīng)過下列哪項(xiàng)變換而得（）A.向右平移個(gè)單位長度，橫坐標(biāo)伸長到原來的倍，縱坐標(biāo)伸長到原來的倍B.向右平移個(gè)單位長度，橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)伸長到原來的倍C.橫坐標(biāo)縮短到原來的，向右平移個(gè)單位長度，縱坐標(biāo)伸長到原來的倍D.橫坐標(biāo)縮短到原來的，向右平移個(gè)單位長度，縱坐標(biāo)伸長到原來的倍【答案】BC【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式化簡函數(shù)解析式為，利用三角函數(shù)圖象變換可得出結(jié)論.【詳解】由誘導(dǎo)公式可得，所以，為了得到函數(shù)的圖象，可由的圖象向右平移個(gè)單位長度，橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)伸長到原來的倍，B選項(xiàng)滿足條件，也可由的圖象橫坐標(biāo)縮短到原來的，向右平移個(gè)單位長度，縱坐標(biāo)伸長到原來的倍，C選項(xiàng)滿足條件.故選：BC.三、填空題（本題共4道小題，每小題5分，共20分）13.在平行四邊形ABCD中，_________．【答案】##【解析】【分析】先用平行四邊形法則，再用三角形法則．【詳解】平行四邊形ABCD中，.故答案為：.14.______．【答案】【解析】【分析】利用兩角差的正弦公式可求得結(jié)果.【詳解】.故答案為：.15.已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】首先將復(fù)數(shù)化簡，再根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，列不等式求實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】復(fù)數(shù)，因?yàn)閺?fù)數(shù)對于的點(diǎn)在第四象限，所以，解得：.故答案為：16.已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在球的表面上，平面，，，，，則：（1）球的表面積為__________；（2）若是的中點(diǎn)，過點(diǎn)作球的截面，則截面面積的最小值是__________．【答案】①.②.【解析】【分析】（1）根據(jù)垂直關(guān)系,可將三棱錐可放入以為長方體的長,寬,高的長方體中,則體對角線為外接球直徑,進(jìn)而求解即可；（2）易得為底面的外接圓圓心,當(dāng)截面時(shí),截面面積最小,即截面為平面,求解即可.【詳解】（1）由題,根據(jù)勾股定理可得,則可將三棱錐可放入以為長方體的長,寬,高的長方體中,則體對角線為外接球直徑,即,則,所以球的表面積為；（2）由題,因?yàn)?所以為底面的外接圓圓心,當(dāng)截面時(shí),截面面積最小,即截面為平面,則外接圓半徑為,故截面面積為故答案為：（1）；（2）【點(diǎn)睛】本題考查三棱錐的外接球問題,考查球的表面積,考查轉(zhuǎn)化思想,考查空間想象能力.四、解答題（本題共6道小題，第1題10分，第2題12分，第3題12分，第4題12分，第5題12分，第6題12分，共70分）17.已知向量，，，．（1）若，且，求x的值；（2）是否存在實(shí)數(shù)，使得？若存在，求出k的取值范圍；若不存在，請說明理由．【答案】（1）或；（2）存在；.【解析】【分析】（1）根據(jù)平面向量平行的坐標(biāo)表示可得答案；（2）根據(jù)平面向量垂直的坐標(biāo)表示可得答案.【小問1詳解】∵，又，∴，即．又，∴或；【小問2詳解】∵，，若，則，即，∴．由得，得．∴當(dāng)時(shí)，．18.如圖，在棱長為6的正方體中，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)O.（1）求證：平面；（2）求三棱錐的體積.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）利用線面平行的判定定理可證得；（2）利用三棱錐的體積公式可求解.【小問1詳解】因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，所以點(diǎn)O為的中點(diǎn)，又點(diǎn)E是的中點(diǎn)，又平面，平面，所以平面；【小問2詳解】由正方體性質(zhì)知平面，且點(diǎn)E是的中點(diǎn)，所以點(diǎn)E到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離的一半，即于是，所以三棱錐的體積為.19.已知向量，，函數(shù)．（1）求的最小正周期；（2）當(dāng)時(shí)，求的零點(diǎn)和單調(diào)遞增區(qū)間．【答案】（1）（2）零點(diǎn)為和；單調(diào)遞增區(qū)間為，【解析】【分析】（1）根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算以及二倍角公式，輔助角公式，將化簡為，利用周期公式即可求解.（2）將零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為方程的根即可求解，根據(jù)整體法代入正弦函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間中即可求解.【小問1詳解】由向量，，函數(shù)得．所以的最小正周期為．【小問2詳解】令，∴，，解得，，∵，所以的零點(diǎn)為和．令，，得，．又，所以單調(diào)遞增區(qū)間為，．20.四棱錐的底面是邊長為1的菱形，，E是CD的中點(diǎn)，，平面．（1）求直線與平面所成角；（2）求證：平面平面．【答案】（1）（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)平面，得到AD為直線PD在平面ABCD上的射影，從而直線與平面所成的角求解；（2）易知是等邊三角形，再由E為CD的中點(diǎn)，得到，從而，然后由平面，得到，再利用線面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理證明.【小問1詳解】解：因?yàn)槠矫?，所以AD為直線PD在平面ABCD上的射影，所以直線與平面所成的角，在中，，因?yàn)椋?；【小?詳解】中，，，所以是等邊三角形，又E為CD的中點(diǎn)，所以，又，所以，又平面，平面，所以，又，平面PAB，平面PAB，所以平面PAB，又平面PBE，所以平面平面PAB.21.如圖，我國南海某處的一個(gè)圓形海域上有四個(gè)小島，小島與小島、小島相距都為，與小島相距為.為鈍角，且.（1）求小島與小島之間的距離和四個(gè)小島所形成的四邊形的面積；（2）記為，為，求的值.【答案】（1）2，18平方（2）【解析】【分析】（1）由同角的平方關(guān)系，求出，在中結(jié)合余弦定理即可求出結(jié)果；（2）在中結(jié)合正弦定理求得，然后根據(jù)同角的平方關(guān)系求出，再由平面幾何圖形以及誘導(dǎo)公式求出和，然后利用兩角和的正弦公式即可求出結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)?，且角為鈍角，所以.在中，由余弦定理得，，所以，即，解得或（舍），所以小島與小島之間的距離為.∵，，，四點(diǎn)共圓，∴角與角互補(bǔ)，∴，，在中，由余弦定理得：，∴，∴.解得（舍）或.∴.∴四個(gè)小島所形成的四邊形的面積為18平方.（2）在中，由正弦定理，，即，解得又因?yàn)?，所以，且為銳角，所以為銳角，所以，又因?yàn)?，，所?22.已知向量，，函數(shù)，相鄰對稱軸之間的距離為．（1）求的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的，再向左平移個(gè)單位得的圖象，若關(guān)于x的方程在上只有一個(gè)解，求實(shí)數(shù)m的取