對(duì)數(shù)概念與運(yùn)算

3.2.1對(duì)數(shù)概念與運(yùn)算1引入：

1.莊子：一尺之棰，日取其半，萬世不竭。（1）取4次，還有多長(zhǎng)？（2）取多少次，還有0.125尺？2.假設(shè)2002年我國(guó)國(guó)民生產(chǎn)總值為a億元，如果每年平均增長(zhǎng)8%，那么經(jīng)過多少年國(guó)民生產(chǎn)總值是2002年的2倍？抽象出：1這是已知底數(shù)和冪的值，求指數(shù)!怎樣求呢？2有三個(gè)數(shù)2(底),4(指數(shù)）和16（冪）（1）由2，4得到數(shù)16的運(yùn)算是（2）由16，4得到數(shù)2的運(yùn)算是（3）由2，16得到數(shù)4的運(yùn)算是乘方運(yùn)算。開方運(yùn)算。對(duì)數(shù)運(yùn)算！3其中a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù),N叫做真數(shù)。一.對(duì)數(shù)的定義：一般地，如果a(a>0,a≠1)的b次冪等于N，就是那么數(shù)b叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作:4底數(shù)冪真數(shù)指數(shù)對(duì)數(shù)5例如：

6二.性質(zhì)：⑴負(fù)數(shù)與零沒有對(duì)數(shù)（∵在指數(shù)式中N>0）⑵對(duì)任意且都有⑶對(duì)數(shù)恒等式如果把中的b寫成則有7⑷常用對(duì)數(shù)：

我們通常將以10為底的對(duì)數(shù)叫做常用對(duì)數(shù)。為了簡(jiǎn)便,N的常用對(duì)數(shù)簡(jiǎn)記作lgN。例如：簡(jiǎn)記作lg5；簡(jiǎn)記作lg3.5.⑸自然對(duì)數(shù)：

在科學(xué)技術(shù)中常常使用以無理數(shù)e=2.71828……為底的對(duì)數(shù)，以e為底的對(duì)數(shù)叫自然對(duì)數(shù)。為了簡(jiǎn)便，N的自然對(duì)數(shù)簡(jiǎn)記作lnN。

例如：簡(jiǎn)記作ln3;簡(jiǎn)記作ln10（6）底數(shù)a的取值范圍：真數(shù)N的取值范圍:8例1將下列指數(shù)式寫成對(duì)數(shù)式：（1）（4）（3）（2）9（1）（4）（3）（2）例2將下列對(duì)數(shù)式寫成指數(shù)式：10例3計(jì)算：（1）（2）解法一：解法二：設(shè)則解法一：解法二：設(shè)則11練習(xí)

1.把下列指數(shù)式寫成對(duì)數(shù)式（1）（4）（3）（2）12練習(xí)

（1）（4）（3）（2）2將下列對(duì)數(shù)式寫成指數(shù)式：133.求下列各式的值練習(xí)

（1）（4）（3）（2）（5）（6）144.求下列各式的值練習(xí)

（1）（4）（3）（2）（5）（6）15一般地，如果的b次冪等于N,就是，那么數(shù)b叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)。定義：復(fù)習(xí)上節(jié)內(nèi)容16例如：

復(fù)習(xí)上節(jié)內(nèi)容17有關(guān)性質(zhì)：⑴負(fù)數(shù)與零沒有對(duì)數(shù)（∵在指數(shù)式中N>0）⑵⑶對(duì)數(shù)恒等式復(fù)習(xí)上節(jié)內(nèi)容18⑷常用對(duì)數(shù)：我們通常將以10為底的對(duì)數(shù)叫做常用對(duì)數(shù)。為了簡(jiǎn)便,N的常用對(duì)數(shù)簡(jiǎn)記作lgN。⑸自然對(duì)數(shù)：在科學(xué)技術(shù)中常常使用以無理數(shù)e=2.71828……為底的對(duì)數(shù)，以e為底的對(duì)數(shù)叫自然對(duì)數(shù)。為了簡(jiǎn)便，N的自然對(duì)數(shù)簡(jiǎn)記作lnN。（6）底數(shù)a的取值范圍：真數(shù)N的取值范圍:復(fù)習(xí)上節(jié)內(nèi)容19三.積、商、冪的對(duì)數(shù)運(yùn)算法則：如果a>0，a

1，M>0，N>0有：為了證明以上公式，請(qǐng)同學(xué)們回顧一下指數(shù)運(yùn)算法則：20證明：①設(shè)由對(duì)數(shù)的定義可以得：∴MN=即證得21證明：②設(shè)由對(duì)數(shù)的定義可以得：∴即證得22證明：③設(shè)由對(duì)數(shù)的定義可以得：∴即證得23上述證明是運(yùn)用轉(zhuǎn)化的思想，先通過假設(shè)，將對(duì)數(shù)式化成指數(shù)式，并利用冪的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行恒等變形；然后再根據(jù)對(duì)數(shù)定義將指數(shù)式化成對(duì)數(shù)式。①簡(jiǎn)易語言表達(dá)：“積的對(duì)數(shù)=對(duì)數(shù)的和”……②有時(shí)逆向運(yùn)用公式

③真數(shù)的取值范圍必須是④對(duì)公式容易錯(cuò)誤記憶，要特別注意：24其他重要公式1:證明：設(shè)由對(duì)數(shù)的定義可以得：∴即證得25其他重要公式2:證明：設(shè)由對(duì)數(shù)的定義可以得：即證得這個(gè)公式叫做換底公式26其他重要公式3:證明:由換底公式取以b為底的對(duì)數(shù)得：還可以變形,得27例1計(jì)算（1）（2）講解范例

解:=5+14=19解:28講解范例

（3）解:=329例2

講解范例

解（1）解（2）用表示下列各式：30（1）例3計(jì)算：講解范例

解法一：解法二：31（2）例3計(jì)算：講解范例

解：32練習(xí)

（1）（4）（3）（2）1.求下列各式的值：332.用lgｘ，lgｙ，lgｚ表示下列各式：練習(xí)

（1）（4）（3）（2）＝lgｘ＋２lgｙ－lgｚ；＝lgｘ＋lgｙ＋