高考數(shù)學(xué)（文）高分計(jì)劃一輪高分講義第3章三角函數(shù)解三角形3.3三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

3．3三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)[知識(shí)梳理]1．用五點(diǎn)法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡(jiǎn)圖正弦函數(shù)y＝sinx，x∈[0,2π]的圖象上，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：(0,0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，1))，(π，0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，－1))，(2π，0)．余弦函數(shù)y＝cosx，x∈[0,2π]的圖象上，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：(0,1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，0))，(π，－1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，0))，(2π，1)．2．正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)[診斷自測(cè)]1．概念思辨(1)y＝tanx在整個(gè)定義域上是增函數(shù)．()(2)函數(shù)f(x)＝sin(－2x)與f(x)＝sin2x的單調(diào)增區(qū)間都是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,4)，kπ＋\f(π,4)))(k∈Z)．()(3)由sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋\f(2π,3)))＝sineq\f(π,6)知，eq\f(2π,3)是正弦函數(shù)y＝sinx(x∈R)的一個(gè)周期．()(4)若非零實(shí)數(shù)T是函數(shù)f(x)的周期，則kT(k是非零整數(shù))也是函數(shù)f(x)的周期．()答案(1)×(2)×(3)×(4)√2．教材衍化(1)(必修A4P46T2)函數(shù)f(x)＝(1＋eq\r(3)tanx)cosx的最小正周期、最大值為()A．2π，2B.eq\f(3π,2)，eq\r(3)C．π，2D.eq\f(π,2)，eq\r(3)答案A解析f(x)＝(1＋eq\r(3)tanx)cosx＝eq\f(cosx＋\r(3)sinx,cosx)·cosx＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))，則T＝2π.最大值為2.故選A.(2)(必修A4P40T4)已知函數(shù)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,2)))(x∈R)，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()A．函數(shù)f(x)是偶函數(shù)B．函數(shù)f(x)的最小正周期為πC．函數(shù)f(x)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上是增函數(shù)D．函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝eq\f(π,4)對(duì)稱答案D解析f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,2)))＝－cos2x，此函數(shù)為最小正周期為π的偶函數(shù)，所以A，B正確．由函數(shù)y＝cosx的單調(diào)性知C正確．函數(shù)圖象的對(duì)稱軸方程為x＝eq\f(kπ,2)(k∈Z)，顯然，無(wú)論k取任何整數(shù)，x≠eq\f(π,4)，所以D錯(cuò)誤．故選D.3．小題熱身(1)函數(shù)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上的最小值為()A．－1B．－eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(2),2)D．0答案B解析由已知x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，得2x－eq\f(π,4)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(3π,4)))，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，1))，故函數(shù)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上的最小值為－eq\f(\r(2),2).故選B.(2)函數(shù)y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(π,3)))的單調(diào)遞增區(qū)間是________，最小正周期是________．答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(5π,3)，2kπ＋\f(π,3)))(k∈Z)2π解析由kπ－eq\f(π,2)<eq\f(x,2)＋eq\f(π,3)<kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，得2kπ－eq\f(5π,3)<x<2kπ＋eq\f(π,3)，k∈Z.周期T＝eq\f(π,\f(1,2))＝2π.題型1三角函數(shù)的定義域和值域eq\o(\s\up7(),\s\do5(典例1))函數(shù)f(x)＝eq\r(64－x2)＋log2(2sinx－1)的定義域是________．本題采用數(shù)形結(jié)合．答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(11π,6)，－\f(7π,6)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(5π,6)))∪eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(13π,6)，8))解析由題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(64－x2≥0，①,2sinx－1>0，②))由①得－8≤x≤8，由②得sinx>eq\f(1,2)，由正弦曲線得eq\f(π,6)＋2kπ<x<eq\f(5π,6)＋2kπ(k∈Z)．所以不等式組的解集為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(11π,6)，－\f(7π,6)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(5π,6)))∪eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(13π,6)，8)).eq\o(\s\up7(),\s\do5(典例2))是否存在實(shí)數(shù)a，使得函數(shù)y＝sin2x＋acosx＋eq\f(5,8)a－eq\f(3,2)在閉區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上的最大值是1？若存在，求出對(duì)應(yīng)的a值；若不存在，試說(shuō)明理由．用轉(zhuǎn)化法將問(wèn)題化為二次函數(shù)型，然后分類討論．解y＝1－cos2x＋acosx＋eq\f(5,8)a－eq\f(3,2)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosx－\f(a,2)))2＋eq\f(a2,4)＋eq\f(5,8)a－eq\f(1,2).當(dāng)0≤x≤eq\f(π,2)時(shí)，0≤cosx≤1.若eq\f(a,2)>1，即a>2，則當(dāng)cosx＝1時(shí)，ymax＝a＋eq\f(5,8)a－eq\f(3,2)＝1?a＝eq\f(20,13)<2(舍去)，若0≤eq\f(a,2)≤1，即0≤a≤2，則當(dāng)cosx＝eq\f(a,2)時(shí)，ymax＝eq\f(a2,4)＋eq\f(5,8)a－eq\f(1,2)＝1?a＝eq\f(3,2)或a＝－4<0(舍去)．若eq\f(a,2)<0，即a<0，則當(dāng)cosx＝0時(shí)，ymax＝eq\f(5,8)a－eq\f(1,2)＝1?a＝eq\f(12,5)>0(舍去)綜合上述，存在a＝eq\f(3,2)符合題設(shè)．方法技巧1．三角函數(shù)定義域的求法求三角函數(shù)定義域?qū)嶋H上是構(gòu)造簡(jiǎn)單的三角不等式(組)，常借助三角函數(shù)線或三角函數(shù)圖象來(lái)求解．見(jiàn)典例1.2．三角函數(shù)值域的不同求法(1)形如y＝asinx＋bcosx＋k的三角函數(shù)化為y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再求值域(最值)．(2)形如y＝asin2x＋bsinx＋k的三角函數(shù)，可先設(shè)sinx＝t，化為關(guān)于t的二次函數(shù)求值域(最值)．見(jiàn)典例2.(3)形如y＝asinxcosx＋b(sinx±cosx)＋c的三角函數(shù)，可先設(shè)t＝sinx±cosx，化為關(guān)于t的二次函數(shù)求值域(最值)．沖關(guān)針對(duì)訓(xùn)練1．(2017·鄭州模擬)已知函數(shù)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))，其中x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，a))，若f(x)的值域是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1))，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．答案eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，π))解析由x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，a))，知x＋eq\f(π,6)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，a＋\f(π,6))).∵x＋eq\f(π,6)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(π,2)))時(shí)，f(x)的值域?yàn)閑q\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1))，∴由函數(shù)的圖象知eq\f(π,2)≤a＋eq\f(π,6)≤eq\f(7π,6)，所以eq\f(π,3)≤a≤π.2．已知3sin2α＋2sin2β＝2sinα，求y＝sin2α＋sin2β的取值范圍．解∵3sin2α＋2sin2β＝2sinα，∴sin2β＝－eq\f(3,2)sin2α＋sinα，∵0≤sin2β≤1，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)sin2α＋sinα≥0，,－\f(3,2)sin2α＋sinα≤1，))解得0≤sinα≤eq\f(2,3)，∵y＝sin2α＋sin2β＝－eq\f(1,2)sin2α＋sinα＝－eq\f(1,2)(sinα－1)2＋eq\f(1,2)，0≤sinα≤eq\f(2,3)，∴sinα＝0時(shí)，ymin＝0；sinα＝eq\f(2,3)時(shí)，ymax＝eq\f(4,9)，∴0≤sin2α＋sin2β≤eq\f(4,9).題型2三角函數(shù)的單調(diào)性eq\o(\s\up7(),\s\do5(典例1))(2017·長(zhǎng)沙一模)函數(shù)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－\f(1,2)x))，x∈[－2π，2π]的單調(diào)遞增區(qū)間是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(5π,3))) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－2π，－\f(π,3)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5π,3)，2π)) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－2π，－\f(π,3)))和eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5π,3)，2π))本題用子集法．答案D解析依題意得y＝－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,3)))，當(dāng)2kπ＋eq\f(π,2)≤eq\f(1,2)x－eq\f(π,3)≤2kπ＋eq\f(3π,2)(k∈Z)，即4kπ＋eq\f(5π,3)≤x≤4kπ＋eq\f(11π,3)(k∈Z)時(shí)，函數(shù)y＝－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,3)))是單調(diào)遞增函數(shù)．又x∈[－2π，2π]，因此函數(shù)y＝－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,3)))，x∈[－2π，2π]的單調(diào)遞增區(qū)間是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－2π，－\f(π,3)))和eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5π,3)，2π)).選D.eq\o(\s\up7(),\s\do5(典例2))已知ω>0，函數(shù)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,4)))在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)ω的取值范圍是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(5,4)))B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(3,4)))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))D．(0,2]子集反推法．答案A解析由eq\f(π,2)<x<π，得eq\f(ωπ,2)＋eq\f(π,4)<ωx＋eq\f(π,4)<ωπ＋eq\f(π,4).又y＝sinα在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,2)))上遞減，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(ωπ,2)＋\f(π,4)≥\f(π,2)，,ωπ＋\f(π,4)≤\f(3π,2)，))解得eq\f(1,2)≤ω≤eq\f(5,4).故選A.方法技巧1．求三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的方法(1)代換法：就是將比較復(fù)雜的三角函數(shù)含自變量的代數(shù)式整體當(dāng)作一個(gè)角u(或t)，利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性列不等式求解．(2)圖象法：畫出三角函數(shù)的正、余弦曲線，結(jié)合圖象求它的單調(diào)區(qū)間．(3)子集法：求出原函數(shù)的相應(yīng)單調(diào)區(qū)間，由已知區(qū)間是所求某區(qū)間的子集，列不等式(組)求解．見(jiàn)典例1.2．已知三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求參數(shù)的取值范圍的方法(1)反子集法：由所給區(qū)間求出整體角的范圍，由該范圍是某相應(yīng)正、余弦函數(shù)的某個(gè)單調(diào)區(qū)間的子集，列不等式(組)求解．見(jiàn)典例2.(2)周期法：由所給區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)到其相應(yīng)對(duì)稱中心的距離不超過(guò)eq\f(1,4)周期列不等式(組)求解．提醒：要注意求函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的單調(diào)區(qū)間時(shí)ω的符號(hào)，若ω<0，那么一定先借助誘導(dǎo)公式將ω化為正數(shù)．同時(shí)切莫漏掉考慮函數(shù)自身的定義域．沖關(guān)針對(duì)訓(xùn)練1．(2017·濟(jì)寧檢測(cè))下列函數(shù)中，周期為π，且在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))上為減函數(shù)的是()A．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2))) B．y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)))C．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2))) D．y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))答案A解析對(duì)于選項(xiàng)A，注意到y(tǒng)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)))＝cos2x的周期為π，且在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))上是減函數(shù)．故選A.2．(2017·莆田一模)已知函數(shù)f(x)＝eq\r(3)sin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω>0，－\f(π,2)<φ<\f(π,2)))，Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，0))為f(x)圖象的對(duì)稱中心，B，C是該圖象上相鄰的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，若BC＝4，則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2k－\f(2,3)，2k＋\f(4,3)))，k∈ZB.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(2π,3)，2kπ＋\f(4π,3)))，k∈ZC.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4k－\f(2,3)，4k＋\f(4,3)))，k∈ZD.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4kπ－\f(2π,3)，4kπ＋\f(4π,3)))，k∈Z答案C解析函數(shù)f(x)＝eq\r(3)sin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω>0，－\f(π,2)<φ<\f(π,2)))，Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，0))為f(x)圖象的對(duì)稱中心，B，C是該圖象上相鄰的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，∵BC＝4，∴(2eq\r(3))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(T,2)))2＝42，即12＋eq\f(π2,ω2)＝16，求得ω＝eq\f(π,2).再根據(jù)eq\f(π,2)·eq\f(1,3)＋φ＝kπ，k∈Z，可得φ＝－eq\f(π,6)，∴f(x)＝eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)x－\f(π,6))).令2kπ－eq\f(π,2)≤eq\f(π,2)x－eq\f(π,6)≤2kπ＋eq\f(π,2)，求得4k－eq\f(2,3)≤x≤4k＋eq\f(4,3)，故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4k－\f(2,3)，4k＋\f(4,3)))，k∈Z.故選C.題型3三角函數(shù)的奇偶性及對(duì)稱性eq\o(\s\up7(),\s\do5(典例1))(2018·江西模擬)已知函數(shù)f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<π)為奇函數(shù)，該函數(shù)的部分圖象如圖所示，△EFG是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，則f(1)的值為()A．－eq\f(\r(3),2)B．－eq\f(\r(6),2)C.eq\r(3)D．－eq\r(3)數(shù)形結(jié)合思想．答案D解析∵f(x)＝Acos(ωx＋φ)為奇函數(shù)，∴f(0)＝Acosφ＝0∵0<φ<π，∴φ＝eq\f(π,2)，∴f(x)＝Acoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,2)))＝－Asinωx.∵△EFG是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，則yE＝eq\r(3)＝A，又∵函數(shù)的周期T＝2FG＝4，根據(jù)周期公式可得，ω＝eq\f(2π,4)＝eq\f(π,2).∴f(x)＝－Asineq\f(π,2)x＝－eq\r(3)sineq\f(π,2)x，則f(1)＝－eq\r(3).故選D.eq\o(\s\up7(),\s\do5(典例2))(2018·江南十校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω>0，|φ|<\f(π,2)))的最小正周期為4π，且對(duì)?x∈R，有f(x)≤feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))恒成立，則f(x)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2π,3)，0)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，0))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，0)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,3)，0))應(yīng)用公式法．答案A解析由f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期為4π，得ω＝eq\f(1,2).因?yàn)閒(x)≤feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))恒成立，所以f(x)max＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))，即eq\f(1,2)×eq\f(π,3)＋φ＝eq\f(π,2)＋2kπ(k∈Z)．由|φ|<eq\f(π,2)，得φ＝eq\f(π,3)，故f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x＋\f(π,3))).令eq\f(1,2)x＋eq\f(π,3)＝kπ(k∈Z)，得x＝2kπ－eq\f(2π,3)(k∈Z)，故f(x)圖象的對(duì)稱中心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(2π,3)，0))(k∈Z)．當(dāng)k＝0時(shí)，f(x)圖象的對(duì)稱中心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2π,3)，0)).故選A.方法技巧1．若f(x)＝Asin(ωx＋φ)為偶函數(shù)，則φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，同時(shí)當(dāng)x＝0時(shí)，f(x)取得最大或最小值．若f(x)＝Asin(ωx＋φ)為奇函數(shù)，則φ＝kπ(k∈Z)，同時(shí)當(dāng)x＝0時(shí)，f(x)＝0.見(jiàn)典例1.2．解決對(duì)稱性問(wèn)題的關(guān)鍵：熟練掌握三角函數(shù)的對(duì)稱軸、對(duì)稱中心．對(duì)于函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)，其對(duì)稱軸一定經(jīng)過(guò)圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)，對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)一定是函數(shù)的零點(diǎn)，因此在判斷直線x＝x0或點(diǎn)(x0,0)是否是函數(shù)的對(duì)稱軸或?qū)ΨQ中心時(shí)，可通過(guò)檢驗(yàn)f(x0)的值進(jìn)行判斷．見(jiàn)典例2.沖關(guān)針對(duì)訓(xùn)練1．(2017·揭陽(yáng)模擬)當(dāng)x＝eq\f(π,4)時(shí)，函數(shù)f(x)＝sin(x＋φ)取得最小值，則函數(shù)y＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)－x))()A．是奇函數(shù)且圖象關(guān)于點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，0))對(duì)稱B．是偶函數(shù)且圖象關(guān)于點(diǎn)(π，0)對(duì)稱C．是奇函數(shù)且圖象關(guān)于直線x＝eq\f(π,2)對(duì)稱D．是偶函數(shù)且圖象關(guān)于直線x＝π對(duì)稱答案C解析∵當(dāng)x＝eq\f(π,4)時(shí)，函數(shù)f(x)取得最小值，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋φ))＝－1，∴φ＝2kπ－eq\f(3π,4)(k∈Z)，∴f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋2kπ－\f(3π,4)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3π,4)))，∴y＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)－x))＝sin(－x)＝－sinx，∴y＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)－x))是奇函數(shù)，且圖象關(guān)于直線x＝eq\f(π,2)對(duì)稱．故選C.2．(2018·南陽(yáng)期末)已知函數(shù)f(x)＝eq\r(1－cos2x)，試討論該函數(shù)的奇偶性、周期性以及在區(qū)間[0，π]上的單調(diào)性．解因?yàn)閥＝eq\r(1－cos2x)＝eq\r(sin2x)＝|sinx|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinx，2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z，,－sinx，2kπ＋π<x≤2kπ＋2π，k∈Z，))所以作函數(shù)的圖象如下：所以，該函數(shù)是偶函數(shù)，周期為π.在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上是增函數(shù)，在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))上是減函數(shù)，在區(qū)間[0，π]上不是單調(diào)函數(shù)．1．(2017·全國(guó)卷Ⅲ)設(shè)函數(shù)f(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()A．f(x)的一個(gè)周期為－2πB．y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝eq\f(8π,3)對(duì)稱C．f(x＋π)的一個(gè)零點(diǎn)為x＝eq\f(π,6)D．f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))單調(diào)遞減答案D解析因?yàn)閒(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))的周期為2kπ(k∈Z)，所以f(x)的一個(gè)周期為－2π，A項(xiàng)正確．因?yàn)閒(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))圖象的對(duì)稱軸為直線x＝kπ－eq\f(π,3)(k∈Z)，所以y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝eq\f(8π,3)對(duì)稱，B項(xiàng)正確．f(x＋π)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(4π,3))).令x＋eq\f(4π,3)＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，得x＝kπ－eq\f(5,6)π，當(dāng)k＝1時(shí)，x＝eq\f(π,6)，所以f(x＋π)的一個(gè)零點(diǎn)為x＝eq\f(π,6)，C項(xiàng)正確．因?yàn)閒(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))的遞減區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,3)，2kπ＋\f(2π,3)))(k∈Z)，遞增區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(2π,3)，2kπ＋\f(5π,3)))(k∈Z)，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(2π,3)))是減區(qū)間，eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，π))是增區(qū)間，D項(xiàng)錯(cuò)誤．故選D.2．(2018·舟山模擬)若函數(shù)f(x)＝3sin(2x＋θ)(0<θ<π)是偶函數(shù)，則f(x)在[0，π]上的遞增區(qū)間是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))答案B解析∵函數(shù)f(x)＝3sin(2x＋θ)(0<θ<π)是偶函數(shù)，∴θ＝eq\f(π,2)，f(x)＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)))＝3cos2x，令2kπ－π≤2x≤2kπ，求得kπ－eq\f(π,2)≤x≤kπ，可得函數(shù)f(x)的增區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)，kπ))(k∈Z)．則f(x)在[0，π]上的遞增區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π)).故選B.3．(2014·北京高考)設(shè)函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常數(shù)，A>0，ω>0)．若f(x)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,2)))上具有單調(diào)性，且feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)))＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))，則f(x)的最小正周期為_(kāi)_______．答案π解析記f(x)的最小正周期為T.由題意知eq\f(T,2)≥eq\f(π,2)－eq\f(π,6)＝eq\f(π,3)，又feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)))＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))，且eq\f(2π,3)－eq\f(π,2)＝eq\f(π,6).可作出示意圖如圖所示，∴x1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋\f(π,6)))×eq\f(1,2)＝eq\f(π,3)，x2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋\f(2π,3)))×eq\f(1,2)＝eq\f(7π,12)，∴eq\f(T,4)＝x2－x1＝eq\f(7π,12)－eq\f(π,3)＝eq\f(π,4)，∴T＝π.4．(2017·贛榆區(qū)期中)已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A>0，ω>0，φ∈\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))))的圖象在y軸上的截距為1，在相鄰兩個(gè)最值點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0－\f(3,2)，2))和(x0，－2)上(x0>0)，函數(shù)f(x)分別取最大值和最小值．(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)若f(x)＝eq\f(k＋1,2)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(3,2)))內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求k的取值范圍；(3)求函數(shù)f(x)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(13,4)，\f(23,4)))上的對(duì)稱軸方程．解(1)A＝2，eq\f(T,2)＝x0－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0－\f(3,2)))＝eq\f(3,2)?T＝3?ω＝eq\f(2π,3)，∴f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)x＋φ))，代入(0,1)點(diǎn)，2sinφ＝1，∵φ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴φ＝eq\f(π,6)，∴f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)x＋\f(π,6))).(2)x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(3,2)))?eq\f(2π,3)x＋eq\f(π,6)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(7π,6)))?1≤eq\f(k＋1,2)<2?1≤k<3.(3)eq\f(2π,3)x＋eq\f(π,6)＝eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z?x＝eq\f(1,2)＋eq\f(3,2)k，k∈Z?函數(shù)f(x)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(13,4)，\f(23,4)))上的對(duì)稱軸方程為x＝eq\f(7,2)，x＝5.[基礎(chǔ)送分提速狂刷練]一、選擇題1．如果函數(shù)y＝3cos(2x＋φ)的圖象關(guān)于點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4π,3)，0))成中心對(duì)稱，那么|φ|的最小值為()A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,3)D.eq\f(π,2)答案A解析依題意得3coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8π,3)＋φ))＝0，eq\f(8π,3)＋φ＝kπ＋eq\f(π,2)，φ＝kπ－eq\f(13,6)π(k∈Z)，因此|φ|的最小值是eq\f(π,6).故選A.2．(2017·長(zhǎng)沙模擬)已知函數(shù)y＝sinωx在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(π,3)))上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)ω的取值范圍是()A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，0)) B．[－3,0)C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(3,2))) D．(0,3]答案C解析由于y＝sinx在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上是增函數(shù)，為保證y＝sinωx在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(π,3)))上是增函數(shù)，所以ω>0，且eq\f(π,3)ω≤eq\f(π,2)，則0<ω≤eq\f(3,2).故選C.3．(2017·成都調(diào)研)函數(shù)y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)x－\f(π,3)))(0≤x≤9)的最大值與最小值之和為()A．2－eq\r(3)B．0C．－1D．－1－eq\r(3)答案A解析因?yàn)?≤x≤9，所以－eq\f(π,3)≤eq\f(π,6)x－eq\f(π,3)≤eq\f(7π,6)，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)x－\f(π,3)))∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，1)).所以y∈[－eq\r(3)，2]，所以ymax＋ymin＝2－eq\r(3).選A.4．設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋φ＋\f(π,4)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω>0，|φ|<\f(π,2)))的最小正周期為π，且是偶函數(shù)，則()A．f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))內(nèi)單調(diào)遞減B．f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(3π,4)))內(nèi)單調(diào)遞減C．f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))內(nèi)單調(diào)遞增D．f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(3π,4)))內(nèi)單調(diào)遞增答案A解析由條件，知ω＝2.因?yàn)閒(x)是偶函數(shù)，且|φ|<eq\f(π,2)，所以φ＝eq\f(π,4)，這時(shí)f(x)＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)))＝eq\r(2)cos2x.因?yàn)楫?dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))時(shí)，2x∈(0，π)，所以f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))內(nèi)單調(diào)遞減．故選A.5．將函數(shù)y＝sinx的圖象向左平移eq\f(π,2)個(gè)單位，得到函數(shù)y＝f(x)的圖象，則下列說(shuō)法正確的是()A．y＝f(x)是奇函數(shù)B．y＝f(x)的周期為πC．y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝eq\f(π,2)對(duì)稱D．y＝f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))對(duì)稱答案D解析由題意知，f(x)＝cosx，所以它是偶函數(shù)，A錯(cuò)誤；它的周期為2π，B錯(cuò)誤；它的對(duì)稱軸是直線x＝kπ，k∈Z，C錯(cuò)誤；它的對(duì)稱中心是點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,2)，0))，k∈Z，D正確．故選D.6．(2017·廣州綜合測(cè)試)已知函數(shù)f(x)＝sin(2x＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<φ<\f(π,2)))的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,8)，0))，則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(3π,8)，2kπ＋\f(π,8)))(k∈Z)B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,8)，2kπ＋\f(5π,8)))(k∈Z)C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(3π,8)，kπ＋\f(π,8)))(k∈Z)D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,8)，kπ＋\f(5π,8)))(k∈Z)答案D解析由題意得feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,8)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(3π,8)＋φ))＝0，則2×eq\f(3π,8)＋φ＝kπ，k∈Z，解得φ＝－eq\f(3π,4)＋kπ，k∈Z，又因?yàn)?<φ<eq\f(π,2)，所以φ＝eq\f(π,4)，則f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))，則由eq\f(π,2)＋2kπ≤2x＋eq\f(π,4)≤eq\f(3π,2)＋2kπ，k∈Z，得eq\f(π,8)＋kπ≤x≤eq\f(5π,8)＋kπ，k∈Z，所以函數(shù)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))的單調(diào)遞減區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,8)＋kπ，\f(5π,8)＋kπ))，k∈Z.故選D.7．已知函數(shù)y＝sineq\f(πx,3)在區(qū)間[0，t]上至少取得2次最大值，則正整數(shù)t的最小值是()A．6B．7C．8D．9答案C解析由y＝sineq\f(πx,3)可得T＝6，則由圖象可知eq\f(5T,4)≤t，即eq\f(15,2)≤t，∴tmin＝8.故選C.8．將函數(shù)f(x)＝sin(2x＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(|φ|<\f(π,2)))的圖象向左平移eq\f(π,6)個(gè)單位長(zhǎng)度后關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上的最小值為()A．－eq\f(\r(3),2)B．－eq\f(1,2)C.eq\f(1,2)D.eq\f(\r(3),2)答案A解析將f(x)＝sin(2x＋φ)的圖象左移eq\f(π,6)個(gè)單位長(zhǎng)度得y＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))＋φ))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)＋φ))的圖象，該圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即為奇函數(shù)，則eq\f(π,3)＋φ＝kπ(k∈Z)，且|φ|<eq\f(π,2)，所以φ＝－eq\f(π,3)，即f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))，當(dāng)x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))時(shí)，2x－eq\f(π,3)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(2π,3)))，所以當(dāng)2x－eq\f(π,3)＝－eq\f(π,3)，即x＝0時(shí)，f(x)取得最小值，最小值為－eq\f(\r(3),2).選A.9．若函數(shù)f(x)＝Msin(ωx＋φ)(ω>0)在區(qū)間[a，b]上是增函數(shù)，且f(a)＝－M，f(b)＝M，則函數(shù)g(x)＝Mcos(ωx＋φ)在[a，b]上()A．是增函數(shù) B．是減函數(shù)C．可以取得最大值M D．可以取得最小值－M答案C解析T＝eq\f(2π,ω)，g(x)＝Mcos(ωx＋φ)＝Msineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋φ＋\f(π,2)))＝Msineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ω\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2ω)))＋φ))，∴g(x)的圖象是由f(x)的圖象向左平移eq\f(π,2ω)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(即\f(T,4)))得到的．由b－a＝eq\f(T,2)，可知，g(x)的圖象由f(x)的圖象向左平移eq\f(b－a,2)得到的．∴得到g(x)圖象如圖所示．選C.10．(2018·新疆質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)＝|sinx|cosx，給出下列五個(gè)結(jié)論：①feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2018π,3)))＝－eq\f(\r(3),4)；②若|f(x1)|＝|f(x2)|，則x1＝x2＋kπ(k∈Z)；③f(x)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,4)))上單調(diào)遞增；④函數(shù)f(x)的周期為π；⑤f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，0))成中心對(duì)稱．其中正確的結(jié)論是()A．①⑤B．①②⑤C．②④D．②⑤答案A解析①feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2018π,3)))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\f(2018π,3)))coseq\f(2018π,3)＝eq\f(\r(3),2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－eq\f(\r(3),4)，∴①正確；②若|f(x1)|＝|f(x2)|，則eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)sin2x1))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)sin2x2))，當(dāng)x1＝0，x2＝eq\f(π,2)時(shí)也成立，∴②不正確；③∵當(dāng)x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,4)))時(shí)，f(x)＝|sinx|cosx＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)sin2x，－\f(π,4)≤x<0，,\f(1,2)sin2x，0≤x≤\f(π,4)，))∴f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,4)))上不是單調(diào)函數(shù)，∴③不正確；④∵f(x＋π)≠f(x)，∴函數(shù)f(x)的周期不是π，∴④不正確；⑤∵f(x)＝|sinx|cosx＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)sin2x，－π＋2kπ<x<2kπ，,\f(1,2)sin2x，2kπ≤x<π＋2kπ，))k∈Z，∴結(jié)合圖象可知f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，0))成中心對(duì)稱，∴⑤正確．故選A.二、填空題11．設(shè)函數(shù)f(x)＝sin(x＋φ)(0<φ<π)，若函數(shù)f(x)＋f′(x)是奇函數(shù)，則φ＝________.答案eq\f(3π,4)解析由題意得f(x)＝sin(x＋φ)＝sinxcosφ＋cosxsinφ，f′(x)＝cos(x＋φ)，f(x)＋f′(x)＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋φ＋\f(π,4)))是奇函數(shù)，因此φ＋eq\f(π,4)＝kπ(其中k∈Z)，φ＝kπ－eq\f(π,4).又0<φ<π，所以φ＝eq\f(3π,4).12．將函數(shù)y＝sin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)<φ<π))的圖象，僅向右平移eq\f(4π,3)，或僅向左平移eq\f(2π,3)，所得到的函數(shù)圖象均關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則ω＝____