蘇教版高中數(shù)學(xué)必修5全部教案

蘇教版高中數(shù)學(xué)必修5全部教案【精美整理版】

目錄

第一章解三角形..............................................................................1

第1課時(shí)正弦定理（1）..................................................................1

第2課時(shí)正弦定理（2）....................................................................3

第3課時(shí)正弦定理（3）....................................................................7

第4課時(shí)余弦定理（1）.................................................................10

第5課時(shí)余弦定理（2）...................................................................13

第6課時(shí)余弦定理（3）.................................................................16

第7課時(shí)正、余弦定理的應(yīng)用（1）........................................................20

第8課時(shí)正、余弦定理的應(yīng)用（2）........................................................24

第9課時(shí)解三角形復(fù)習(xí)課.................................................................27

⑴、⑵..................................................................................27

第二章數(shù)列..................................................................................34

第1課數(shù)列的概念及其通項(xiàng)公式...........................................................34

第2課時(shí)數(shù)列的概念及其通項(xiàng)公式........................................................37

第3課時(shí)等差數(shù)列的概念和通項(xiàng)公式.......................................................40

第4課忖等差數(shù)列的概念和通項(xiàng)公式.......................................................44

第5課時(shí)等差數(shù)列的概念和通項(xiàng)公式.......................................................47

第6課時(shí)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和（1）........................................................50

第7課時(shí)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和（2）........................................................54

第8課忖等差數(shù)列的前n項(xiàng)和（3）........................................................59

第9課時(shí)等比數(shù)列的概念和通項(xiàng)公式.......................................................63

第10課忖等比數(shù)列的概念和通項(xiàng)公式......................................................67

第11課時(shí)等比數(shù)列的概念和通項(xiàng)公式.......................................................70

第12課忖等比數(shù)列的...................................................................74

前〃項(xiàng)和（1）.............................................................................74

第13課時(shí)等比數(shù)列的...................................................................77

前n項(xiàng)和（2）...............................................................................77

第14課時(shí)等比數(shù)列的...................................................................82

前n項(xiàng)和（3）...............................................................................82

第15、16課時(shí)數(shù)列復(fù)習(xí)課（2課時(shí)）........................................................87

第三章不等式...............................................................................100

第1課時(shí)不等關(guān)系......................................................................100

第2課時(shí)一元二次不等式（1）..............................................................104

第3課時(shí)一元二次不等式（2）..............................................................110

第4課時(shí)一元二次不等式（3）..............................................................114

第5課時(shí)一元二次不等式應(yīng)用題...........................................................118

第6課時(shí)二元一次不等式表示的平面區(qū)域..................................................120

第7課時(shí)二元一次不等式組表示的平面區(qū)域.................................................124

第8課時(shí)簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題...........................................................128

第9課時(shí)線性規(guī)劃應(yīng)用題...............................................................131

第10課時(shí)基本不等式的證明(1)...............................................................135

第11課時(shí)基本不等式的證明(2)...............................................................139

第12課時(shí)不等式的證明方法.............................................................142

第13課時(shí)基本不等式的應(yīng)用(1)............................................................145

第14課時(shí)基本不等式的應(yīng)用(2)..............................................................148

第15課時(shí)不等式復(fù)習(xí)課.................................................................151

本站資源匯總［優(yōu)秀資源，值得收藏］.........................................................157

第一章解三角形聽課隨筆

【知識(shí)結(jié)構(gòu)】

正弦定理'

一解三角形7正、余弦定理的應(yīng)用

余弦定理

【重點(diǎn)難點(diǎn)】

重點(diǎn)：（1）通過對(duì)任意三角形邊長(zhǎng)和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡(jiǎn)

單的三角形度量問題。

難點(diǎn)：（2）能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問題

第1課時(shí)正弦定理（1）

【學(xué)習(xí)導(dǎo)航】

知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

直角三角形的邊角關(guān)系f任意三角形的邊角關(guān)系f正弦定理

學(xué)習(xí)要求

1,正弦定理的證明方法有幾種，但重點(diǎn)要突出向量證法；

2.正弦定理重點(diǎn)運(yùn)用于三角形中“已知兩角一邊”、“已知兩邊?對(duì)角”等的相關(guān)問題

【課堂互動(dòng)】

自學(xué)評(píng)價(jià)

1.正弦定理：在中，_L=_2_=—J=2R,

sinAsinBsinC----

2.正弦定理可解決兩類問題：

（1）兩角和任意一邊，求其它兩邊和一角:

（2）兩邊和其中一邊對(duì)角，求另一邊的對(duì)角，進(jìn)而可求其它的邊和角.

【精典范例】

【例1】在A46C中，Z=30°,C=105°,a=10,求c.

分析：正弦定理可以用于解決已知兩角和?邊求另兩邊和角的問題.

【解】因?yàn)镹=30。，C=105。，所以8=45°.因?yàn)椋?=—2-=-J,

sinAsinBsinC

7i7sin510sin45°crrasinCIOsin1050_rr./-

所以6=--------=------------=110V2,c=---------=-------------=5j2+5j6.

sinAsin30°sinAsin30°

因此，b,c的長(zhǎng)分別為10夜和50+5街.

【例2】根據(jù)下列條件解三角形:

（1）b-A/3,B-60°,c-1；

(2)c=y[6,A=45°,a=2.

分析：正弦定理也可用于解決已知兩邊及一邊的對(duì)角，求其他邊和角的問題.

csinBlxsin60°_1

【解】(1)——=——

sin5sinCb=5，

?[b>c,B=60°,:.C<B,：?C為銳角,C=30"=90°/.a—J/?2+c，=2.

.*9一二黨生邛一,一0?；颌?。,

⑵v—

sinAsinC

第1頁共159頁

上當(dāng)C=60時(shí)8=7562且=迪些=百+1

sinCsin60

???當(dāng)C=120,時(shí)，8=15。小巫=^^=6-1所以,

sinCsin600

8=0+1,8=75。,。=60?；?=百-1,8=15。,。=120。.

追蹤訓(xùn)練一

1.在4ABC中,C=105°,8=45°,c=5,則6的值為(A)

A5(V3-1)B5(73+1)

C10D5(V6+V2)

2

2.在4ABC中,已知67=3,6=4,sin5=—,則sin/=(C)

3

31小1

ADB-C一D1

462

3.（課本P9練習(xí)第2題）在aABC中,

(1)已知4=75°,B-45°,c=3-J2,求a,b；

(2)已知Z=30°,8=120°,6=12,求a,c

略解：(1)a=3+V3,b—2V3；

(2)a=4也,c=4百(可以先判斷是等腰三角形再解)

4.(課本P9練習(xí)第3題)根據(jù)下列條件解三角形：

⑴6=40,c=20,C=25°；

(2)6=13,a=26,3=30°。

略解：(1)由題意知：

sin8=2sinC=2sin25°=0.423=>5=58°或122°

=>4=97°,a=47或4=33°,a=25.8(要注意兩解的情況)

(2)由題意知：

/=90°=C=60°=c=1373

【選修延伸】

【例3】在銳角三角形ABC中，A=2B,a、b、c所對(duì)的角分別為A、B、C,試求且的范圍

b

分析：本題由條件銳角三角形得到B的范圍，從而得出@的范圍。

b

8<90°

【解】在銳角三角形ABC中，A、B、C<90°,即：，28<90°二>30°<8<45°,

180°-38<90°

山正弦定理知:

a_sin4_sin25=2cos5G(V2,A/3),

bsin8sin5

故所求的范圍是：

［例4］在AABC中，設(shè)

第2頁共159頁

cos5cosCCOSJ,、,-

----=-----=-----，求cos/的值。

3b2ca

【解】由正弦定理得：

cos5_cosC_cosA

3sin52sinCsinJ

tan5=—tanA

3

n<

tanC=—tanA

2

「,/「tanB+tanC5tanJ2,一

又tan/=-tan(5+C)=-------------......-=>tan2A=H

1-tan5tanC6-tan-A

.V3

ncosA=—o

6

追蹤訓(xùn)練二

(l)在AA5c中，已知6+c=8,ZB=30°,NC=45。，則6=,c=.

(2)在A48C中，如果4=30°,Z5=120°,6=12,那么a=______,A48C的面積是

(3)在A48C中，歷=30,SMBC*6則4=?

【師生互動(dòng)】

學(xué)生質(zhì)疑

教師釋疑

第2課時(shí)正弦定理（2）

【學(xué)習(xí)導(dǎo)航】

知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

正弦定理一測(cè)量問題中的應(yīng)用

學(xué)習(xí)要求

1.正弦定理的教學(xué)要達(dá)到“記熟公式”和“運(yùn)算正確”這兩個(gè)目標(biāo);

2.學(xué)會(huì)用計(jì)算器，計(jì)算三角形中數(shù)據(jù)。

【課堂互動(dòng)】

自學(xué)評(píng)價(jià)

1.正弦定理：在△Z8C中，-0-=_9_=_J=2A,

sinAsinBsinC

變形：(1)。=2火sinZ,6=27?sin5,c=2RsinC

0nb?「c

(2)、s?in〃—°，si?nB—,sinC一

2R2R2R

第3頁共159頁

2.三角形的面積公式:

(1)s--absinC=—bcsmA=—casmB

222

(2)s=27?2sinAsinBsinC

【精典范例】

【例1】如圖，某登山隊(duì)在山腳A處測(cè)得山頂B的仰角為35°,沿傾斜角為20°的斜坡前進(jìn)1000

m后到達(dá)D處，又測(cè)得山頂?shù)难鼋菫?5°,求山的高度BC（精確到1m）.

分析：要求BC,只要求AB,為此考慮

解AABD.

【解】

過點(diǎn)D作D臍昭窿交BC于E,因?yàn)閆DAC=20°,所以

NADE=160。，于是/ADB=360。-160°-65°=135°.又NBAD=35°-

20°=15",所以NABD=30°.

在4ABD中，由正弦定理，得sin

在Rt^ABC中，BC=ABsin35°=1000后sin35°弋811(m).

答山的高度約為811m.

【例2】在埃及，有許多金字塔形的王陵，經(jīng)過幾千年的風(fēng)化蝕食，有不少已經(jīng)損壞了，考古人員在研究

中測(cè)得一座金字塔的橫截面如圖（頂部已經(jīng)丹塌了），ZA=50°,ZB=55°,AB=120m,如何求得它的高?

(sin50°=0.766,sin55°=0.819)

分析：本題可以轉(zhuǎn)化成：（1）解三角形，確定頂點(diǎn)C；

(2)求三角形的\昌1o

【解】/\

(1)先分別沿人、4BB延長(zhǎng)斷邊，確定交點(diǎn)C,ZC=180°-ZA-ZB,用正弦定理

4C=2^-sinB

算出AC或BC：

sinC

170

=------sin550=101.8

sin75°

(2)設(shè)高為h,則

//=JC-sinJ=101.8-sin50°=78

【例3】一座攔水壩的橫斷面為梯形,如圖所示，求攔水壩的橫斷面面積。（請(qǐng)用計(jì)算器解答，精確到0.1）

【解】

連接BD,設(shè)NFDC=a,則由正弦定理知

第4頁共159頁

BC_DC

sinZBDC~sinADBC

70_50

sinasin(60"-a)

=tana==a=35.5°,從而有

17

N8D4=105°-35.5°=69.5°,

BD_BC

=80=104.4,由

sinl20°-sin35.5°

AB_BD

,即

sinZ.BDAsin/BAD

AB_104.4

n48=101.2,

sin69.5°-sin75°

而梯形的高

h=BCsinAABC=70sin60°=35

所以有+

=i(50+101.2)-35V3-4583.0

注：本題也可以構(gòu)造直角三角形來解，過C作CEJ_AB于E,過D作DFJ_AB于F即可。

【例4】已知a、b、c是aABC中NA、

NB、NC的對(duì)邊，S是AABC的面積，若a=4,b=5,S=5A/J,求。的長(zhǎng)度。

【解】

由三角形的面積公式得：S=-^sinC=--4-5sinC

22

=>cosC=±—=>c=yja2+b2-labcosC

2

^16+25±2.4-5-,

c=V5T或&T

追蹤訓(xùn)練一聽課隨筆

1.海上有/、8兩個(gè)小島相距10海里，從A島望C島和B島成60。的視角,從8島望C島和A島成75。

的視角，則8、C間的距離是(D)

A.10百海里海里

3

C.5、歷海里D.56海里

第5頁共159頁

2.有一長(zhǎng)為1公里的斜坡，它的傾斜角為20。，現(xiàn)要將傾斜角改為10。，則坡底要伸長(zhǎng)(A)

A.1公里B.sinlO。公里

C.coslO。公里D.cos20。公里

3.如圖：在斜度一定的山坡上的一點(diǎn)/測(cè)得山頂上一建筑物頂端C對(duì)于山坡的斜度為15。，向山頂前進(jìn)

100m后，又從點(diǎn)8測(cè)得斜度為45。，假設(shè)建筑物高50m,求此山對(duì)于地平面的斜度&

【解】在中，AB=100m,/CAB=15°,Z.ACB=450-15°=30°

100BC

由正弦定理：------=-------.\5C=200sinl5°

sin30°sin15°

在△D8C中，C￡>=50m,Z.CBD=45°,/LCDB=90°+0

200sin15°

由正弦定理：------=>COS0=V3—1

sin45°sin(90°+6)

.,.0=42.94°

【選修延伸】

【例5】在湖面上高〃處，測(cè)得云彩仰角為a,而湖中云彩影的俯角為0,

求云彩高.

【解】a關(guān)于點(diǎn)6對(duì)稱，設(shè)云高CE=x,

則=C'D=x+h,

CD_x—h

在R/ZL4CZ)中，

tanatana

.入,C'Dx+h

在中，AD=--=--

tanBtanp

.x-h_x+h

tanatanp

上“加,tanB+tana,sin(B+a)

解得x=h------------=h——V——-.

tanp-tanasin(p-a)

追蹤訓(xùn)練二

1.一船向正北航行，看見正西方向有相距10海里的兩個(gè)燈塔恰好與它在一條直線上，繼續(xù)航行半小時(shí)后，

看見一燈塔在船的南偏西60。，另一燈塔在船的南偏西75。，則這只船的速度是每小時(shí)(C)

A.5海里B.5、回海里

C.10海里D.IOA/J海里

2.某人站在山頂向下看一列車隊(duì)向山腳駛來，他看見第一輛車與第二輛車的俯角差等于他看見第二輛車

與第三輛車的俯角差，則第一輛車與第二輛車的距離4與第二輛車與第三輛車的距離d2之間的關(guān)系為

(C)

A.&>d2B.d、=d2

C.dx<d2D,不能確定大小

第6頁共159頁

聽課隨筆

【師生互動(dòng)】

學(xué)生質(zhì)疑

教師釋疑

第3課時(shí)正弦定理（3）

知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

,判斷三角形狀

正弦定理的應(yīng)用平面幾何中某些問題

解的個(gè)數(shù)的判定

學(xué)習(xí)要求

1.掌握正弦定理和三角形面積公式，并能運(yùn)用這兩組公式求解斜三角形;

2.熟記正弦定理及其變形形式；

3.判斷△ABC的形狀.

【課堂互動(dòng)】

自學(xué)評(píng)價(jià)

1.正弦定理：在8c中，‘一=」一=—^=2及，

sinAsinBsinC

a±b_a±b±c

sin4士sin8sin4±sin6±sinC

R為MBC的外接圓的半徑

2.三角形的面積公式：

s=—abs\nC=—bcs\v\A=LisinB

(1)

222

(2)s=2R2sinAsinBsinC

abc

(3)s=-----

4R

【精典范例】

【例1】在4ABC中，已知，==試判斷4ABC的形狀.

cosAcosBcosC

【解】令61=k,由正弦定理，^a=k\\mA,b=ks\nB,c=ksinC

sinA

第7頁共159頁

、r，…rZBsinAsinBsinC??「_

代入已知條件，得-----=-----=-----,即tanA=tanB=tanC.

cosAcos8cosC

又A,B,CG(0,加)，

所以A=B=C,從而AABC為正三角形.

點(diǎn)評(píng)：通過正弦定理，可以實(shí)現(xiàn)邊角互化?聽課隨筆

AD是NBAC的平分線，用正弦定理證明絲=處.

【例2】在AABC中，

ACDC

【證】設(shè)NBAD=a,ZBDA=P,則NCAD=a,ZCDA=180°

CD中分別運(yùn)用正弦定理，得出_=吧2,AC

-B.在4NBD和4A

ACsinaDC

sin(180°-廣).AC4R

?S1n(180°-P)=sinB,所以絲=生，即絲

sina

_BD

~~DC'

【例3】根據(jù)下列條件，判斷A4BC有沒固解？若有解，判斷解的個(gè)數(shù).

(1)a=5,6=4,A=120°,求5；

(2)。=5,6=4,A=90°,求5；

(3)a=10A/6,h=20^/3,A=45°,求B；

(4)a=20V2,b=20V3,4=45。，束8；

(5)a=4,b-1°"，A—60°,求B

3

【解】(1)???/=120。，...B只能是銳角，因此僅有一解.

(2):/二鄉(xiāng)。。，...B只能是銳角，因此僅有一解.

(3)由于/為銳角，而10指=20百X業(yè)，即a=Asin/因此僅有--解8=90°.

2

(4)由于4為銳角，而20G>20拉>2)JJx~—=10后，即6>a>bsin4,因此有兩解，易解得

2

8=60?；?20。.

(5)由于力為銳角，又4<絲巫6皿60°=5,即avbsinN,

3

???B無解.

追蹤訓(xùn)練一

1.在AABC中，已知b=6,c=10,B=30°,則解此三角形的結(jié)果是(C)

A.無解B.一解

C.兩解D.解的個(gè)數(shù)不能確定

2.在AABC中，若2=28,則。等于(D)

A.2Z?sinAB.2bcosA

C.2bsinBD.2bcos8

若咽'=g_,則ABC的形狀是(D)

3.在AABC中，^

tan8b2

A.直角三角形B.等腰或直角三角形

C.不能確定D.等腰三角形

【選修延伸】

第8頁共159頁

【例4】如圖所示，在等邊三角形中，/8=區(qū)O為三角形的中心，過。的直線交Z8于/交AC于N,

求+工的最大值和最小值.

OM2ON2

角形N8C的中心，二/。=且。

【解】由于。為正三

3

71yr27r

ZMAO=ZNAO=-設(shè)NMQ4=a,則勺WaW工,

633

OM_04

在A40M■中，由正弦定理得:

sinNM40-sin[4—(a+工)]

6

V3V3

——a——a

：.OM=—-------,在A4ON中，由正弦定理得：ON=―--------

sin(a+—)sin(a--)

66

?1112r,2/兀、.2/兀、、12/1.2\

??--------------r=~7[sin~(a4—)+sin"(a—)1———(—Fsin~cc),

OM2ON2a266a22

,**—<a<—,—<sina<1,故當(dāng)a=一時(shí)-----H--------取得最大值一-，

3342OM2ON2a2

所以，當(dāng)a=生，”至?xí)rsin2a=3,此時(shí)一^+工取得最小值..

334OM2ON2a2

追蹤訓(xùn)練二

1.在A48C中,A:B\C=^\\A,則Q:6:C=(D)

A.4:1:1B.2:1:1

C.V2:l:lD.V3:1:1

2.在A48c中,若sin4:sinB:sinC=4:5:6,且。+力+。=15,則a=4,b=5

6

3.已知△48C中，a：6：c=l：VJ：2,則/：2：C等于（A）

A.1：2：3B.2：3：1C.1：3：2D.3：1：2

4.如圖，是簡(jiǎn)易遮陽棚，4、8是南北方向上兩個(gè)定點(diǎn)，正東方向射出的太陽光線與地面成40。角,

為了使遮陰影面16。面積最大，遮陽棚48。與地面所成的角為（C）

陽光

A.75°B.60°C.50°D.45

5.已知△48C中，sinA：sinB:sinC=k：(1-2*)：3W0),則k的取值范圍為(B)

A.(2,+8)B.(1)!)聽課隨筆

64

C.(一;,0)D.(y,+°°)

6.在AABC中，

,cos2/cos2511

XTlFD明Q：---：----------z—=--------.

第9頁共159頁

cos2/cos25_1-2sin2l-2sin2B

證明:

a~b-—a2b2

11/sin2Asin25"1

/一落b^)

sin2B

山正弦定理得：二丁

h2

cos2/4cos25_11

b2a2b2

【師生互動(dòng)】

學(xué)生質(zhì)疑

教師釋疑

第4課時(shí)余弦定理（1）

知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

三角形中的向量關(guān)系f余弦定理

學(xué)習(xí)要求

1.掌握余弦定理及其證明；

2.體會(huì)向量的工具性;

3.能初步運(yùn)用余弦定理解斜三角形.

【課堂互動(dòng)】

自學(xué)評(píng)價(jià)

1.余弦定理：

(l)a2=b2+c2-2be-cosA，b2=a2+c2-lac-cosB,c2=a2+b2-2ab-cosC.

222

(2)變形：cosA=b2+c2-a2,cosB=a+c-b

2be2ab

2.利用余弦定理，可以解決以下兩類解斜三角形的問題:

（1）已知三邊，求三個(gè)角;

（2）已知兩邊和它們的夾角，求第二邊和其他兩個(gè)角.

第10頁共159頁

【精典范例】

［例1］在A48C中，

(1)已知6=3,c=1,A=60°,求Q；

(2)已知。=4,b=5,c=6,求4(精確到0.1°).

【解】⑴由余弦定理，得/=b2+c2-2bccos/=32+12-2x3xlxcos60°=7,

所以Q=J7.

,22252+62-42

（2）山余弦定理，得COS/=+。一一"一=0.75,

2bc2x5x6

所以,4=41.4°.

點(diǎn)評(píng)：利用余弦定理，可以解決以下兩類的斜際物幄里問題：（1）已知三邊，求三個(gè)角；（2）已知兩邊

和它們的夾角，求第三邊和其他兩個(gè)角.

【例2】48兩地之間隔著一個(gè)水塘，現(xiàn)選擇另一點(diǎn)C,測(cè)得CZ=182加，C8=126〃?，

4c8=63°,求48兩地之間的距離（耨確到1根）.

【解】山余弦定理，得

4產(chǎn)=CA2+CB2-2ACCBcosC

?28178.18

所以，43=168(優(yōu))

答48兩地之同的距離約為168/M.

【例3】用余弦定理證明：在A48C中，蘭C為銳角時(shí)，a2+b2>c2；當(dāng)。為鈍角時(shí)，a2+b2<c2.

【證】當(dāng)。為銳角時(shí)，cosC>0,由余弦之理，得=廿十力一2abcosC<1+/,

即a2+b2>c2.

同理可證，當(dāng)。為鈍角時(shí)，a2+b2<c2

點(diǎn)評(píng):余弦定理可以看做是勾股定理的推廣.

追蹤訓(xùn)練一

1.在4NBC中，

（1）已知A=60°,b=4,c=7,

求a\

（2）已知a—7,b=5,c=3,求A.

略解：（1）a國

略解：（2）A=—

3

2.若三條線段的長(zhǎng)為5,6,7,則用這三條線段（B）A.能

組成直角三角形

B.能組成銳角三角形

C.能組成鈍角三角形

D.不能組成三角形

3.在aABC中，已知/+/+a/,=c2,試求NC的大小.

第11頁共159頁

略解：c=——

3

4.兩游艇自某地同時(shí)出發(fā)，一艇以10km/h的速度向正北行駛，另一艇以7km/h的速度向北偏

東45°的方向行駛，問：經(jīng)過40min,兩艇相距多遠(yuǎn)？

略解：兩艇相距4.71km

【選修延伸】

【例4】在AABC中，BC=a,AC=b,且a,6是方程x?-2jJx+2=0的兩根，2cos(/+8)=1。

(1)求角C的度數(shù)；

(2)求AB的長(zhǎng);

(3)求AABC的面積。

解：⑴cosC=cospr-(/+8)]=-cos(^+5)=-1^0=120°

(2)因?yàn)閍,6是方程2岳+2=0的兩根，所以["+”=2返

ab=2

/.AB2=b2+a2-2abcos120°=(a+b『聽那駕On"=VTo

(3)SMBC=^absinC

-T

[例5]ftAABC中，角A、B、C所對(duì)的.力分別為a，b,c,證明：

a2-b2_sin(4-B)

c2sinC

證明：由余弦定理知：

a2=b2+c2-2bc?cosA,b1—a「2+c2-2ac-cosB

則/-/

=b2-a2-26。?cosA+2ac-cosB,

整理得：

a2-b2acosB-hcosA

-c，

又由正弦定理得：

a_sinAb_sinB

=~~■，

csinCcsinC

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cr-b~_sinJcos5-cosJsin5sin(74-B)

C2sinCsinC

追蹤訓(xùn)練二

1.在AABC中，已知6=后，c=\,B=45°,貝ija=(B)

V6+V2

A2B-------

2

聽課隨筆

C屈土垃口娓一冊(cè)

-2--T~

2.在AABC中，已知AB=5,AC=6,BC=J5T,則A=(A)

7T八2〃一4cn

A—B—C—D—

3364

jr

3.在AABC中，若6=10,c=15,C=一，則此三角形有一解。

6

提示：由余弦定理得：

a2+h2-c273a2+100-225

cosC=------------=>——=--------------

lab220a

n4-10y/3a-125=0na=55/3±10V2

負(fù)值不合題意，舍去。

4、ZXABC中，^a2-c2+bc=b2,

貝人f。

【師生互動(dòng)】

學(xué)生質(zhì)疑

教師釋疑

第5課時(shí)余弦定理（2）

【學(xué)習(xí)導(dǎo)航】

知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

第13頁共159頁

加［航運(yùn)問題中的應(yīng)用

余弦定理［4判斷三角形的形狀

學(xué)習(xí)要求

1.能把一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題；

2.余弦定理的教學(xué)要達(dá)到“記熟公式”和“運(yùn)算正確”這兩個(gè)目標(biāo)；

3.初步利用定理判斷三角形的形狀。

【課堂互動(dòng)】

自學(xué)評(píng)價(jià)

1.余弦定理：

(l)a2=b2+c2-2bc-cosA,h2=a2+c2-2ac-cosB,c2=a2+b2-2ab-cosC.

k2,^2o2o2,^2k2o2.k2八2

c\亦稱Ab+c—a?a+c_ba+b—c

(2)父形：cosA=------------，cosB=-------------，cosC=-------------

2.利用余弦定理，可以解決以下兩類解斜三角形的問題：

(1)已知三邊，求三個(gè)角;

(2)已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個(gè)角.

【精典范例】

【例1】在長(zhǎng)江某渡口處，江水以5碗/〃的速度向東流，一渡船在江南岸的〃碼頭出發(fā)，預(yù)定要在0.16后

到達(dá)江北岸8碼頭，設(shè)而為正北方向，已知8碼頭在力碼頭的北偏東15°,并與力碼頭相距1.2協(xié)?.該

渡船應(yīng)按什么方向航行？速度是多少(角度精確到0.1°,速度精確到0.1七w/〃)？

【解】如圖，船按力方向開出，AC方向?yàn)樗鞣较颍訟C為一邊、AB為對(duì)角線作平行四邊形488,

其中28=1.2(七《),/C=5x0.1=0.5(方M).

在AABC中，由余弦定理，得

BC2=1.22+0.52-2-1.20.5-cos(90°-15°)所以

AD=BC-\Al(km).

因此,船的航行速度為1.17+0.1=11.7(6/〃).

在\ABC中，山正弦定理得

…cACsmABAC0.5sin75°”一。

sin/ABC=------------=---------=0.4128所以

BC1.17

24.4°

所以ZDAN=ZDAB-Z.NAB=ZJBC-15°=9.4°

答：渡船應(yīng)按北偏西9.4°的方向，并以11.7加?///的速度航行.

【例2】在A48C中，已知sin/=2sin8cosC,試判斷該三角形的形狀.

【解】山正弦定理及余弦定理，得^i=g,cosC=一廠，

sinBblab

所以g=2工+匕匕整理得b2=c2

b2ab

第14頁共159頁

因?yàn)?>0,c>0,