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文檔簡介
四川省成都實(shí)驗(yàn)中學(xué)2024屆高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)1.考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.若為虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.過拋物線()的焦點(diǎn)且傾斜角為的直線交拋物線于兩點(diǎn).,且在第一象限,則()A. B. C. D.3.將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度,得到的函數(shù)為偶函數(shù),則的值為()A. B. C. D.4.若雙曲線:繞其對稱中心旋轉(zhuǎn)后可得某一函數(shù)的圖象,則的離心率等于()A. B. C.2或 D.2或5.我國古代有著輝煌的數(shù)學(xué)研究成果,其中的《周髀算經(jīng)》、《九章算術(shù)》、《海島算經(jīng)》、《孫子算經(jīng)》、《緝古算經(jīng)》,有豐富多彩的內(nèi)容,是了解我國古代數(shù)學(xué)的重要文獻(xiàn).這5部專著中有3部產(chǎn)生于漢、魏、晉、南北朝時期.某中學(xué)擬從這5部專著中選擇2部作為“數(shù)學(xué)文化”校本課程學(xué)習(xí)內(nèi)容,則所選2部專著中至少有一部是漢、魏、晉、南北朝時期專著的概率為()A. B. C. D.6.一個算法的程序框圖如圖所示,若該程序輸出的結(jié)果是,則判斷框中應(yīng)填入的條件是()A. B. C. D.7.已知函數(shù)滿足,且,則不等式的解集為()A. B. C. D.8.在中,,則=()A. B.C. D.9.在邊長為1的等邊三角形中,點(diǎn)E是中點(diǎn),點(diǎn)F是中點(diǎn),則()A. B. C. D.10.函數(shù)的圖像大致為().A. B.C. D.11.已知雙曲線C:()的左、右焦點(diǎn)分別為,過的直線l與雙曲線C的左支交于A、B兩點(diǎn).若,則雙曲線C的漸近線方程為()A. B. C. D.12.已知過點(diǎn)且與曲線相切的直線的條數(shù)有().A.0 B.1 C.2 D.3二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知平面向量,,且,則向量與的夾角的大小為________.14.設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,若,,則__________.15.設(shè),若關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)解,則實(shí)數(shù)的取值范圍_____.16.某市公租房源位于、、三個小區(qū),每位申請人只能申請其中一個小區(qū)的房子,申請其中任意一個小區(qū)的房子是等可能的,則該市的任意位申請人中,恰好有人申請小區(qū)房源的概率是______.(用數(shù)字作答)三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,且點(diǎn)在函數(shù)的圖像上;(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)數(shù)列滿足:,,求的通項(xiàng)公式;(3)在第(2)問的條件下,若對于任意的,不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;18.(12分)已知函數(shù).(1)討論函數(shù)單調(diào)性;(2)當(dāng)時,求證:.19.(12分)已知橢圓()的離心率為,且經(jīng)過點(diǎn).(1)求橢圓的方程;(2)過點(diǎn)作直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn),,試問在軸上是否存在定點(diǎn)使得直線與直線恰關(guān)于軸對稱?若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,說明理由.20.(12分)如圖,在直三棱柱中,,點(diǎn)分別為和的中點(diǎn).(Ⅰ)棱上是否存在點(diǎn)使得平面平面?若存在,寫出的長并證明你的結(jié)論;若不存在,請說明理由.(Ⅱ)求二面角的余弦值.21.(12分)已知函數(shù).(1)當(dāng)時,求不等式的解集;(2)若的圖象與軸圍成的三角形面積大于6,求的取值范圍.22.(10分)已知數(shù)列的各項(xiàng)都為正數(shù),,且.(Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(Ⅱ)設(shè),其中表示不超過x的最大整數(shù),如,,求數(shù)列的前2020項(xiàng)和.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】
由共軛復(fù)數(shù)的定義得到,通過三角函數(shù)值的正負(fù),以及復(fù)數(shù)的幾何意義即得解【詳解】由題意得,因?yàn)椋?,所以在?fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了共軛復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的幾何意義,考查了學(xué)生概念理解,數(shù)形結(jié)合,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于基礎(chǔ)題.2、C【解析】
作,;,由題意,由二倍角公式即得解.【詳解】由題意,,準(zhǔn)線:,作,;,設(shè),故,,.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的性質(zhì)綜合,考查了學(xué)生綜合分析,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于中檔題.3、D【解析】
利用三角函數(shù)的圖象變換求得函數(shù)的解析式,再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì),即可求解,得到答案.【詳解】將將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度,可得函數(shù)又由函數(shù)為偶函數(shù),所以,解得,因?yàn)?,?dāng)時,,故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象變換,以及三角函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用,其中解答中熟記三角函數(shù)的圖象變換,合理應(yīng)用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.4、C【解析】
由雙曲線的幾何性質(zhì)與函數(shù)的概念可知,此雙曲線的兩條漸近線的夾角為,所以或,由離心率公式即可算出結(jié)果.【詳解】由雙曲線的幾何性質(zhì)與函數(shù)的概念可知,此雙曲線的兩條漸近線的夾角為,又雙曲線的焦點(diǎn)既可在軸,又可在軸上,所以或,或.故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線的簡單幾何性質(zhì),函數(shù)的概念,考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想.5、D【解析】
利用列舉法,從這5部專著中選擇2部作為“數(shù)學(xué)文化”校本課程學(xué)習(xí)內(nèi)容,基本事件有10種情況,所選2部專著中至少有一部是漢、魏、晉、南北朝時期專著的基本事件有9種情況,由古典概型概率公式可得結(jié)果.【詳解】《周髀算經(jīng)》、《九章算術(shù)》、《海島算經(jīng)》、《孫子算經(jīng)》、《緝古算經(jīng)》,這5部專著中有3部產(chǎn)生于漢、魏、晉、南北朝時期.記這5部專著分別為,其中產(chǎn)生于漢、魏、晉、南北朝時期.從這5部專著中選擇2部作為“數(shù)學(xué)文化”校本課程學(xué)習(xí)內(nèi)容,基本事件有共10種情況,所選2部專著中至少有一部是漢、魏、晉、南北朝時期專著的基本事件有,共9種情況,所以所選2部專著中至少有一部是漢、魏、晉、南北朝時期專著的概率為.故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查古典概型概率公式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題,利用古典概型概率公式求概率時,找準(zhǔn)基本事件個數(shù)是解題的關(guān)鍵,基本亊件的探求方法有(1)枚舉法:適合給定的基本事件個數(shù)較少且易一一列舉出的;(2)樹狀圖法:適合于較為復(fù)雜的問題中的基本亊件的探求.在找基本事件個數(shù)時,一定要按順序逐個寫出:先,….,再,…..依次….…這樣才能避免多寫、漏寫現(xiàn)象的發(fā)生.6、D【解析】
首先判斷循環(huán)結(jié)構(gòu)類型,得到判斷框內(nèi)的語句性質(zhì),然后對循環(huán)體進(jìn)行分析,找出循環(huán)規(guī)律,判斷輸出結(jié)果與循環(huán)次數(shù)以及的關(guān)系,最終得出選項(xiàng).【詳解】經(jīng)判斷此循環(huán)為“直到型”結(jié)構(gòu),判斷框?yàn)樘鲅h(huán)的語句,第一次循環(huán):;第二次循環(huán):;第三次循環(huán):,此時退出循環(huán),根據(jù)判斷框內(nèi)為跳出循環(huán)的語句,,故選D.【點(diǎn)睛】題主要考查程序框圖的循環(huán)結(jié)構(gòu)流程圖,屬于中檔題.解決程序框圖問題時一定注意以下幾點(diǎn):(1)不要混淆處理框和輸入框;(2)注意區(qū)分程序框圖是條件分支結(jié)構(gòu)還是循環(huán)結(jié)構(gòu);(3)注意區(qū)分當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)和直到型循環(huán)結(jié)構(gòu);(4)處理循環(huán)結(jié)構(gòu)的問題時一定要正確控制循環(huán)次數(shù);(5)要注意各個框的順序,(6)在給出程序框圖求解輸出結(jié)果的試題中只要按照程序框圖規(guī)定的運(yùn)算方法逐次計(jì)算,直到達(dá)到輸出條件即可.7、B【解析】
構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,即可得到結(jié)論.【詳解】設(shè),則函數(shù)的導(dǎo)數(shù),,,即函數(shù)為減函數(shù),,,則不等式等價為,則不等式的解集為,即的解為,,由得或,解得或,故不等式的解集為.故選:.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式,考查學(xué)生分析問題解決問題的能力,是難題.8、B【解析】
在上分別取點(diǎn),使得,可知為平行四邊形,從而可得到,即可得到答案.【詳解】如下圖,,在上分別取點(diǎn),使得,則為平行四邊形,故,故答案為B.【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的線性運(yùn)算,考查了學(xué)生邏輯推理能力,屬于基礎(chǔ)題.9、C【解析】
根據(jù)平面向量基本定理,用來表示,然后利用數(shù)量積公式,簡單計(jì)算,可得結(jié)果.【詳解】由題可知:點(diǎn)E是中點(diǎn),點(diǎn)F是中點(diǎn),所以又所以則故選:C【點(diǎn)睛】本題考查平面向量基本定理以及數(shù)量積公式,掌握公式,細(xì)心觀察,屬基礎(chǔ)題.10、A【解析】
本題采用排除法:由排除選項(xiàng)D;根據(jù)特殊值排除選項(xiàng)C;由,且無限接近于0時,排除選項(xiàng)B;【詳解】對于選項(xiàng)D:由題意可得,令函數(shù),則,;即.故選項(xiàng)D排除;對于選項(xiàng)C:因?yàn)?故選項(xiàng)C排除;對于選項(xiàng)B:當(dāng),且無限接近于0時,接近于,,此時.故選項(xiàng)B排除;故選項(xiàng):A【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)解析式較復(fù)雜的圖象的判斷;利用函數(shù)奇偶性、特殊值符號的正負(fù)等有關(guān)性質(zhì)進(jìn)行逐一排除是解題的關(guān)鍵;屬于中檔題.11、D【解析】
設(shè),利用余弦定理,結(jié)合雙曲線的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè),由雙曲線的定義可知:因此再由雙曲線的定義可知:,在三角形中,由余弦定理可知:,因此雙曲線的漸近線方程為:.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的定義的應(yīng)用,考查了余弦定理的應(yīng)用,考查了雙曲線的漸近線方程,考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.12、C【解析】
設(shè)切點(diǎn)為,則,由于直線經(jīng)過點(diǎn),可得切線的斜率,再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出曲線在點(diǎn)處的切線斜率,建立關(guān)于的方程,從而可求方程.【詳解】若直線與曲線切于點(diǎn),則,又∵,∴,∴,解得,,∴過點(diǎn)與曲線相切的直線方程為或,故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過某點(diǎn)切線方程的斜率,求解曲線的切線的方程,其中解答中熟記利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解切線的方程是解答的關(guān)鍵,著重考查了運(yùn)算與求解能力,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
由,解得,進(jìn)而求出,即可得出結(jié)果.【詳解】解:因?yàn)?,所以,解得,所以,所以向量與的夾角的大小為.都答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的運(yùn)算,平面向量垂直,向量夾角等基礎(chǔ)知識;考查運(yùn)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】
由題意,設(shè)等比數(shù)列的公比為,根據(jù)已知條件,列出方程組,求得的值,利用求和公式,即可求解.【詳解】由題意,設(shè)等比數(shù)列的公比為,因?yàn)?,即,解得,,所?【點(diǎn)睛】本題主要考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,及前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用,其中解答中根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,正確求解首項(xiàng)和公比是解答本題的關(guān)鍵,著重考查了推理與計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】
先求出,從而得函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù);在區(qū)間為減函數(shù).即可得的最大值為,令,得函數(shù)取得最小值,由有實(shí)數(shù)解,,進(jìn)而得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】解:,當(dāng)時,;當(dāng)時,;函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù);在區(qū)間為減函數(shù).所以的最大值為,令,所以當(dāng)時,函數(shù)取得最小值,又因?yàn)榉匠逃袑?shí)數(shù)解,那么,即,所以實(shí)數(shù)的取值范圍是:.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)的最值問題,導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,屬于中檔題.16、【解析】
基本事件總數(shù),恰好有2人申請小區(qū)房源包含的基本事件個數(shù),由此能求出該市的任意5位申請人中,恰好有2人申請小區(qū)房源的概率.【詳解】解:某市公租房源位于、、三個小區(qū),每位申請人只能申請其中一個小區(qū)的房子,申請其中任意一個小區(qū)的房子是等可能的,該市的任意5位申請人中,基本事件總數(shù),該市的任意5位申請人中,恰好有2人申請小區(qū)房源包含的基本事件個數(shù):,該市的任意5位申請人中,恰好有2人申請小區(qū)房源的概率是.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法,考查古典概型、排列組合等基礎(chǔ)知識,考查運(yùn)算求解能力,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)當(dāng)n為偶數(shù)時,;當(dāng)n為奇數(shù)時,.(3)【解析】
(1)根據(jù),討論與兩種情況,即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)由(1)利用遞推公式及累加法,即可求得當(dāng)n為奇數(shù)或偶數(shù)時的通項(xiàng)公式.也可利用數(shù)學(xué)歸納法,先猜想出通項(xiàng)公式,再用數(shù)學(xué)歸納法證明.(3)分類討論,當(dāng)n為奇數(shù)或偶數(shù)時,分別求得的最大值,即可求得的取值范圍.【詳解】(1)由題意可知,.當(dāng)時,,當(dāng)時,也滿足上式.所以.(2)解法一:由(1)可知,即.當(dāng)時,,①當(dāng)時,,所以,②當(dāng)時,,③當(dāng)時,,所以,④……當(dāng)時,n為偶數(shù)當(dāng)時,n為偶數(shù)所以以上個式子相加,得.又,所以當(dāng)n為偶數(shù)時,.同理,當(dāng)n為奇數(shù)時,,所以,當(dāng)n為奇數(shù)時,.解法二:猜測:當(dāng)n為奇數(shù)時,.猜測:當(dāng)n為偶數(shù)時,.以下用數(shù)學(xué)歸納法證明:,命題成立;假設(shè)當(dāng)時,命題成立;當(dāng)n為奇數(shù)時,,當(dāng)時,n為偶數(shù),由得故,時,命題也成立.綜上可知,當(dāng)n為奇數(shù)時同理,當(dāng)n為偶數(shù)時,命題仍成立.(3)由(2)可知.①當(dāng)n為偶數(shù)時,,所以隨n的增大而減小從而當(dāng)n為偶數(shù)時,的最大值是.②當(dāng)n為奇數(shù)時,,所以隨n的增大而增大,且.綜上,的最大值是1.因此,若對于任意的,不等式恒成立,只需,故實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查了累加法求數(shù)列通項(xiàng)公式的應(yīng)用,分類討論奇偶項(xiàng)的通項(xiàng)公式及求和方法,數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列的應(yīng)用,數(shù)列的單調(diào)性及參數(shù)的取值范圍,屬于難題.18、(1)見解析(2)見解析【解析】
(1)根據(jù)的導(dǎo)函數(shù)進(jìn)行分類討論單調(diào)性(2)欲證,只需證,構(gòu)造函數(shù),證明,這時需研究的單調(diào)性,求其最大值即可【詳解】解:(1)的定義域?yàn)椋?,①?dāng)時,由得,由,得,所以在上單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減;②當(dāng)時,由得,由,得,或,所以在上單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增;③當(dāng)時,,所以在上單調(diào)遞增;④當(dāng)時,由,得,由,得,或,所以在上單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增.(2)當(dāng)時,欲證,只需證,令,,則,因存在,使得成立,即有,使得成立.當(dāng)變化時,,的變化如下:0單調(diào)遞增單調(diào)遞減所以.因?yàn)?,所以,所?即,所以當(dāng)時,成立.【點(diǎn)睛】考查求函數(shù)單調(diào)性的方法和用函數(shù)的最值證明不等式的方法,難題.19、(1)(2)見解析【解析】
(1)由題得a,b,c的方程組求解即可(2)直線與直線恰關(guān)于軸對稱,等價于的斜率互為相反數(shù),即,整理.設(shè)直線的方程為,與橢圓聯(lián)立,將韋達(dá)定理代入整理即可.【詳解】(1)由題意可得,,又,解得,.所以,橢圓的方程為(2)存在定點(diǎn),滿足直線與直線恰關(guān)于軸對稱.設(shè)直線的方程為,與橢圓聯(lián)立,整理得,.設(shè),,定點(diǎn).(依題意則由韋達(dá)定理可得,,.直線與直線恰關(guān)于軸對稱,等價于的斜率互為相反數(shù).所以,,即得.又,,所以,,整理得,.從而可得,,即,所以,當(dāng),即時,直線與直線恰關(guān)于軸對稱成立.特別地,當(dāng)直線為軸時,也符合題意.綜上所述,存在軸上的定點(diǎn),滿足直線與直線恰關(guān)于軸對稱.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓方程,直線與橢圓位置關(guān)系,熟記橢圓方程簡單性質(zhì),熟練轉(zhuǎn)化題目條件,準(zhǔn)確計(jì)算是關(guān)鍵,是中檔題.20、(Ⅰ)存在點(diǎn)滿足題意,且,證明詳見解析;(Ⅱ).【解析】
(Ⅰ)可考慮采用補(bǔ)形法,取的中點(diǎn)為,連接,可結(jié)合等腰三角形性質(zhì)和線面垂直性質(zhì),先證平面,即,若能證明,則可得證,可通過我們反推出點(diǎn)對應(yīng)位置應(yīng)在處,進(jìn)而得證;(Ⅱ)采用建系法,以為坐標(biāo)原點(diǎn),以分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系,分別求出兩平面對應(yīng)法向量,再結(jié)合向量夾角公式即可求解;【詳
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