專(zhuān)題7.4 期末復(fù)習(xí)之解答壓軸題十三大題型總結(jié)（蘇科版）（解析版）

專(zhuān)題7.4期末復(fù)習(xí)之解答壓軸題十三大題型總結(jié)【蘇科版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1兩條直線相交問(wèn)題】 1【題型2與一次函數(shù)有關(guān)的面積的計(jì)算】 9【題型3與一次函數(shù)圖像有關(guān)的應(yīng)用】 19【題型4與一次函數(shù)性質(zhì)有關(guān)的應(yīng)用】 25【題型5探究函數(shù)的圖像及其性質(zhì)】 30【題型6由三角形全等分類(lèi)討論求參數(shù)的值】 39【題型7利用全等三角形解決閱讀理解類(lèi)問(wèn)題】 48【題型8勾股定理在格點(diǎn)中的運(yùn)用】 58【題型9以弦圖為背景的計(jì)算】 64【題型10利用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題】 72【題型11等腰三角形中的證明與計(jì)算】 78【題型12數(shù)式或圖形的規(guī)律探究】 90【題型13數(shù)式或圖形中新定義問(wèn)題】 95【題型1兩條直線相交問(wèn)題】【例1】（2023上·山西太原·八年級(jí)統(tǒng)考期末）綜合與探究：如圖1，平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=-43x+8的圖象分別與x軸、y軸交于點(diǎn)A，B，經(jīng)過(guò)點(diǎn)B的直線交x軸的負(fù)半軸于點(diǎn)C，且OB=OC．點(diǎn)D是線段CA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作x軸的垂線交直線AB于點(diǎn)E，交直線BC于點(diǎn)F．設(shè)點(diǎn)D

(1)直接寫(xiě)出A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)當(dāng)m=-3時(shí)，求△BEF的面積；(3)如圖2，作點(diǎn)C關(guān)于直線DF的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)G．請(qǐng)從下面A，B兩題中任選一題作答．我選擇題．A．①當(dāng)m=2時(shí)，點(diǎn)G的坐標(biāo)為；②點(diǎn)D在線段CA上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，當(dāng)EF=13DG時(shí)，m的值為B．①用含m的代數(shù)式表示點(diǎn)G的坐標(biāo)為；②點(diǎn)D在線段CA上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，當(dāng)EF=12AG時(shí)，m的值為【答案】(1)A(6,0)，B(0,8)，C(-8,0)(2)21(3)A：①(12,0)；②43或-1；B：①(2m+8,0)，②34【分析】（1）在y=-43x+8中，令x=0得y=8，令y=0得x=6，即得A(6,0)，B(0,8)，而OB=OC，C在x（2）設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b(k≠0)，將點(diǎn)B(0,8)，C(-8,0)代入可得直線BC的解析式為y=x+8，當(dāng)m=-3時(shí)，F(xiàn)(-3,5)，E(-3,12)，可得EF=7，即可得ΔBEF（3）選A、①由m=2，C(-8,0)，直接可得G(12,0)；②由C(-8,0)，D(m,0)，得CD=m+8=DG，E(m,-43m+8)，F(xiàn)(m,m+8)，故EF=|73m|，即有選B、①由C(-8,0)，D(m,0)，得CD=m+8=DG，即可得G(2m+8,0)，②由A(6,0)，得AG=|2m+2|，根據(jù)已知得|73m|=12【詳解】（1）解：在y=-43x+8中，令x=0得y=8，令y=0∴A(6,0)，B(0,8)，∵OB=OC，C在x軸負(fù)半軸，∴C(-8,0)；（2）解：設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b(k≠0)，將點(diǎn)B(0,8)，C(-8,0)代入可得，b=8-8k+b=0解得k=1b=8∴直線BC的解析式為y=x+8，∵點(diǎn)D的橫坐標(biāo)m=-3，∴在y=x+8中令x=-3得y=5，即F(-3,5)，在y=-43x+8中令x=-3得y=12∴EF=12-5=7，∴△BEF的面積為：12（3）解：選A、①∵m=2，C(-8,0)，∴G(12,0)，②∵C(-8,0)，D(m,0)，∴CD=m+8=DG，E(m,-43m+8)∴EF=|m+8-(-4∵EF=1∴|7解得m=43或故答案為：①(12,0)；②43或-1選B、①∵C(-8,0)，D(m,0)，∴CD=m+8=DG，∴OG=OD+DG=m+m+8=2m+8或OG=DG-OD=m+8-(-m)=2m+8，∴G(2m+8,0)，②∵A(6,0)，∴AG=|2m+8-6|=|2m+2|，∴|7解得m=34或故答案為：①(2m+8,0)，②34或-【點(diǎn)晴】本題考查了一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解題意，掌握一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，用含m的代數(shù)式表示相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)及相關(guān)線段．【變式1-1】（2023上·安徽合肥·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線y=kx+8交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B，且OB=2OA．

(1)求直線AB的解析式；(2)①若另一條直線y=ax+a+6與直線AB有唯一交點(diǎn)P，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；②直接寫(xiě)出a的取值范圍．(3)若直線y=ax+a+6只與y軸的交點(diǎn)D在線段OB上（D不與O，B重合），試寫(xiě)出a取值范圍．【答案】(1)y=2x+8；(2)①P(-1,6)；②a≠2；(3)-6<a<2．【分析】本題主要考查待定系數(shù)法求直線解析式，直線的交點(diǎn)以及點(diǎn)的坐標(biāo)運(yùn)算．（1）令x=0得y=8,可得點(diǎn)B的坐標(biāo)，OB的長(zhǎng)，由OB=2OA可得OA，求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式；（2）令y=2x+8y=ax+a+6，解得x=-1,y=6，從而得出點(diǎn)P（3）令x=0得y=a+6,根據(jù)題意得0<a+6<8，求解即可．【詳解】（1）對(duì)于直線y=kx+8，令x=0得y=8,∴B∵OB=2OA，∴OA=∴A把A-4,0代入y=kx+8，得解得，k=2,∴直線AB的解析式為y=2x+8；（2）①聯(lián)立方程組y=2x+8y=ax+a+6∴2x+8=ax+a+6,整理得，a-2x=2-a∵直線y=ax+a+6與直線AB有唯一交點(diǎn)，∴a-2≠0,解得x=-1，∴y=2×-1∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為：-1,6②由①知a-2≠0,∴a≠2；（3）對(duì)于y=ax+a+6，當(dāng)x=0時(shí)，y=a+6,∵直線y=ax+a+6只與y軸的交點(diǎn)D在線段OB上（D不與O，B重合），∴0<a+6<8，解得，-6<a<2．【變式1-2】（2023下·河北承德·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知直線l1與y軸相較于點(diǎn)A0,3，直線l2:y=-x-2交y軸于點(diǎn)B，交直線

(1)求直線l1(2)過(guò)動(dòng)點(diǎn)Da,0作x軸的垂線，與直線l1相交于點(diǎn)M，與直線l2相交于點(diǎn)N，當(dāng)MN=3(3)點(diǎn)Q為l2上一點(diǎn)，若S△APQ=【答案】(1)y=(2)a=-65(3)-2,0或-4,2【分析】（1）根據(jù)題意求得點(diǎn)P的坐標(biāo)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式即可；（2）根據(jù)題意推得Ma,23a+3，（3）設(shè)Qh,-h-2，分當(dāng)點(diǎn)Q在線段PB上和當(dāng)點(diǎn)Q在射線BP上討論，根據(jù)【詳解】（1）解：∵y=-x-2過(guò)點(diǎn)P∴m=1即點(diǎn)P設(shè)l1的解析式為∵過(guò)點(diǎn)A0,3，∴-3k+b=1b=3解得，k=2所以l1的解析式為y=（2）解：由題意可知，Ma,23因?yàn)镸N=3，有兩種情況：23解得：a=-6-a-2-2解得：a=-24（3）解：設(shè)Qh,-h-當(dāng)點(diǎn)Q在線段PB上，∵S△APQ∴S△ABQ∴h=2即Q-2,0當(dāng)點(diǎn)Q在射線BP上，∵S∴S△ABQ∴h=-4，即Q-4,2綜上，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為-2,0或-4,2．【點(diǎn)睛】本題考查了求一次函數(shù)的函數(shù)值，求一次函數(shù)的解析式等，在（1）中求得P點(diǎn)坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，注意函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)滿足每個(gè)函數(shù)的解析式，在（2）中用含a的代數(shù)式表示出MN的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵，在（3）中三角形面積的表示是關(guān)鍵．【變式1-3】（2023上·山西太原·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，直線l1:y=14x+1與x軸，y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，直線l2與x軸，y軸分別交于C，D兩點(diǎn)，兩直線相交于點(diǎn)P，已知點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1)直接寫(xiě)出點(diǎn)A、B、P的坐標(biāo)；(2)求出直線l2(3)如圖1，求ΔADP(4)如圖2，點(diǎn)M是線段AP上任一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作y軸的平行線交直線l2于點(diǎn)N，設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m①用m表示點(diǎn)M、N的坐標(biāo)：M:，N:；②線段MN的長(zhǎng)度用l表示，寫(xiě)出l與m的函數(shù)關(guān)系式；③ΔANP的面積用s表示，寫(xiě)出s與m【答案】(1)A(-4,0)，B(0,1)，P(2,(2)y=-x+(3)15(4)①(m,14m+1)，(m,-m+72)【分析】（1）在直線l1:y=14x+1中，分別令y=0和x=0，x=2，可求得A（2）利用待定系數(shù)法得到直線l2（3）求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，根據(jù)SΔ（4）①根據(jù)直線l1:y=14x+1，直線l2:y=-x+②根據(jù)①得出的點(diǎn)M、N的坐標(biāo)即可寫(xiě)出l與m的函數(shù)關(guān)系式；③根據(jù)SΔ【詳解】（1）解：在直線l1令y=0可得x=-4，令x=0可得y=1，令x=2可得y=3∴A(-4,0)，B(0,1)，P(2,3（2）解：設(shè)直線l2的解析式為y=kx+b∴3.5k+b=02k+b=3∴直線l2的解析式為y=-x+（3）解：∵直線l2的解析式為y=-x+∴點(diǎn)D(0,7∴S（4）解：①∵點(diǎn)M是線段AP上任一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作y軸的平行線交直線l2于點(diǎn)N，設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m則：M:(m,14m+1)故答案為：(m,14m+1)②線段MN的長(zhǎng)度l=-m+7∴l(xiāng)與m的函數(shù)關(guān)系式為l=-5③SΔ∴s與m的函數(shù)關(guān)系式為s=-15【點(diǎn)睛】本題是一次函數(shù)綜合題，考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，三角形的面積，用點(diǎn)的坐標(biāo)表示線段的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．【題型2與一次函數(shù)有關(guān)的面積的計(jì)算】【例2】（2023下·山東濟(jì)寧·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A10，0，點(diǎn)B0，8，過(guò)點(diǎn)B作x軸的平行線l，點(diǎn)

(1)如圖1，求出△AOP的面積；(2)如圖2，已知點(diǎn)C是直線y=85x上一點(diǎn)，若△APC是以AP【答案】(1)△AOP的面積為40(2)點(diǎn)C的坐標(biāo)為10，16【分析】（1）根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論；（2）當(dāng)點(diǎn)C在直線l的上方時(shí)，證明△PEA≌△CFP(AAS)，得到AE=PF且PE=FC，即可求解；當(dāng)點(diǎn)C在直線【詳解】（1）∵點(diǎn)A10，0∴OA=10，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥OA于H，

∵直線l∥x軸，點(diǎn)B在z軸上，∴PH=OB=8，∴S△AOP故答案為：40；（2）設(shè)點(diǎn)Pn,8n≠0，點(diǎn)C當(dāng)點(diǎn)C在直線l的上方時(shí)，如圖，

過(guò)點(diǎn)P作直線FE，交x軸于點(diǎn)E，交過(guò)點(diǎn)C與x軸的平行線于點(diǎn)F，、∵△APC為等腰直角三角形，則PA=PC，∠APC=90°，∴∠APE+∠FPC=90°，∠FPC+∠FCP=90°，∴∠APE=∠FCP，∵∠PEA=∠CFP=90°，PA=PC，∴△PEA≌△CFP(AAS∴AE=PF且PE=FC，則85m-8=10-n且解得：m=10n=2即點(diǎn)C的坐標(biāo)為10,16（不合題意的值已舍去）；當(dāng)點(diǎn)C在直線l的下方時(shí)，如圖，過(guò)點(diǎn)A作AM⊥l于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)C作CN⊥x軸于點(diǎn)N，

同理可得：△AMP≌△ANC(AAS∴AM=AM且MP=NC，∴8=|10-m|或n-10=8解得：m=2n=565即點(diǎn)C的坐標(biāo)為2,165或綜上，點(diǎn)C的坐標(biāo)為：10,16或2,16【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、分類(lèi)討論及數(shù)形結(jié)合的思想．本題第三問(wèn)注意考慮問(wèn)題要全面，做到不重不漏．本題考查知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，難度較大．【變式2-1】（2023下·河北唐山·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A-5，2，B-1，2，直線y=kx-1與

(1)求△ABC的面積；(2)若點(diǎn)A和點(diǎn)B在直線y=kx-1的兩側(cè)，求k的取值范圍；(3)若P點(diǎn)將線段AB分成1：3兩部分，直接寫(xiě)出【答案】(1)6(2)-3<k<-(3)k=-32【分析】（1）延長(zhǎng)線段AB交y軸于點(diǎn)D，則AB⊥y軸，求出AB,CD，利用三角形的面積公式求解即可；（2）先求出直線AC,BC的斜率，即可求出k的取值范圍；（3）分兩種情況：AP:PB=1:3或AP:PB=3:1求解.【詳解】（1）解：∵A-5∴AB∥x軸，延長(zhǎng)線段AB交y軸于點(diǎn)D，AB⊥y軸，∵CD=2--1=3，∴S

（2）解：設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b(k≠0)，∴-5k+b=2b=-1∴直線AC的解析式為y=-設(shè)直線BC的解析式為y=mx+n(m≠0)，∴-m+n=2n=-1∴直線BC的解析式為y=-3x-1∵點(diǎn)A和點(diǎn)B在直線y=kx-1的兩側(cè)，∴-3<k<-3（3）解：當(dāng)AP:PB=1:3，∵A-5∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為-4,2，將點(diǎn)P-4,2代入y=kx-1，得2=-4k-1解得，k=-3當(dāng)AP:PB=3:1，∵A-5∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為-2,2，將點(diǎn)P-2,2代入y=kx-1，得2=-2k-1解得，k=-3綜上所述，k=-32【點(diǎn)睛】此題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，一次函數(shù)交點(diǎn)問(wèn)題，正確理解一次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式2-2】（2023上·江蘇泰州·八年級(jí)?？计谀┮阎淮魏瘮?shù)y=kx+b的圖像直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)0,1，-1,4，將此函數(shù)中的k與b交換位置后得另一個(gè)一次函數(shù)，設(shè)其圖像為直線l'(1)求直線l的函數(shù)表達(dá)式；(2)求直線l、直線l'及y(3)過(guò)y軸上一點(diǎn)P畫(huà)x軸的平行線分別與直線l，l'交于兩個(gè)不同的點(diǎn)M、N，若點(diǎn)P、M、N中有一點(diǎn)是另兩點(diǎn)所成線段的中點(diǎn)，求點(diǎn)P【答案】(1)y=-3x+1(2)2(3)0,-5或0,-177【分析】（1）將點(diǎn)0,1，-1,4代入一次函數(shù)的解析式y(tǒng)=kx+b中，得到關(guān)于k，b的二元一次方程組，求解即可；（2）確定直線l與y軸的交點(diǎn)A0,1，確定直線l'與y軸的交點(diǎn)B0,-3，得到AB=4，再通過(guò)解聯(lián)立方程組y=-3x+1y=x-3，得到兩直線的交點(diǎn)C1,-2，得到點(diǎn)C（3）求得兩條直線與直線y=a的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，分四種情況討論即可．【詳解】（1）解：∵一次函數(shù)y=kx+b的圖像直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)0,1，-1,4，∴b=1-k+b=4解得：k=-3b=1∴直線l的函數(shù)表達(dá)式為y=-3x+1；（2）∵直線l的解析式為y=-3x+1，∴直線l'的解析式為y=x-3設(shè)直線l：y=-3x+1與y軸的交點(diǎn)為A，當(dāng)x=0時(shí)，y=1，則A0,1設(shè)直線l'：y=x-3與y軸的交點(diǎn)為B當(dāng)x=0時(shí)，y=-3，則B0,-3∴AB=1--3設(shè)直線l與直線l'交于點(diǎn)C∴y=-3x+1y=x-3解得：x=1y=-2∴C1,-2∴點(diǎn)C到y(tǒng)軸的距離為1，∴S△ABC∴直線l、直線l'及y軸圍成三角形的面積為2（3）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為P0,a∴過(guò)點(diǎn)P與x軸平行的直線的解析式為y=a，把y=a代入y=-3x+1得，a=-3x+1，解得：x=1-a∴M1-a把y=a代入y=x-3得，a=x-3，解得：x=a+3，∴Na+3,a分四種情況：①如圖所示，點(diǎn)P為NM的中點(diǎn)，則0-a+3解得：a=-5，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為0,-5，②如圖所示，點(diǎn)N為PM的中點(diǎn)，則a+3-0=解得：a=-17∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為0,-17③如圖所示，點(diǎn)M為PN的中點(diǎn)，則1-a3解得：a=-7∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為0,-7④如圖所示，點(diǎn)P為MN的中點(diǎn)，則0-1-a解得：a=-5（不符合題意，舍去），綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為0,-5或0,-177或【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)圖像與幾何變換，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，一次函數(shù)圖像與坐標(biāo)軸相交的點(diǎn)的坐標(biāo)，兩直線相交問(wèn)題，三角形的面積．分類(lèi)討論的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【變式2-3】（2023下·湖南邵陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，過(guò)點(diǎn)C的直線y-x=6與坐標(biāo)軸相交于A、B兩點(diǎn)，已知點(diǎn)Cx,y是第二象限的點(diǎn)，設(shè)△AOC的面積為S

(1)寫(xiě)出S與x之間的函數(shù)關(guān)系，并寫(xiě)出x的取值范圍；(2)當(dāng)△AOC的面積為6時(shí)，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；(3)在（2）的條件下，坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)M，使得M與A、O、C中任意兩點(diǎn)形成的三角形面積也為6，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo)．【答案】(1)S=3x+18(2)C(-4,2)(3)存在，M10,2，M2(0,-2)，M30,3，M40,-3【分析】（1）先求出點(diǎn)A坐標(biāo)，由S△AOC（2）將S=6代入函數(shù)解析式可求得點(diǎn)C(-4,2)；（3）根據(jù)三角形三個(gè)頂點(diǎn)不同分類(lèi)討論求出點(diǎn)M．【詳解】（1）解：點(diǎn)Cx，y在第二象限，則當(dāng)y=0時(shí)，x=-6，則AO＝S△AOC==18+3x（-6<x<0)（2）由（1）可知S當(dāng)18+3x=6則x=-4此時(shí)：y=6+x=2所以C(-4,2)（3）存在點(diǎn)M滿足條件，I．當(dāng)M點(diǎn)在y軸時(shí)，若S△MAO=6，即∴12∴OM=2，∴當(dāng)點(diǎn)M在原點(diǎn)上方時(shí)，點(diǎn)M坐標(biāo)為M1∴當(dāng)點(diǎn)M在原點(diǎn)下方時(shí)，點(diǎn)M坐標(biāo)為M2II．當(dāng)M點(diǎn)在y軸時(shí)，若S△MOC=6，即∴12∴OM=3，∴當(dāng)點(diǎn)M在原點(diǎn)上方時(shí)，點(diǎn)M坐標(biāo)為M3∴當(dāng)點(diǎn)M在原點(diǎn)下方時(shí)，點(diǎn)M坐標(biāo)為M4III．當(dāng)M點(diǎn)在y軸時(shí)，若S△MAC=6，即

12∴BM=6，∴當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)B上方時(shí)，點(diǎn)M坐標(biāo)為M5∴當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)B下方時(shí)，點(diǎn)M點(diǎn)M與點(diǎn)O重合，不合題意舍去；；IV．當(dāng)M點(diǎn)在x軸時(shí)，若S△MOC=6，即∴12∴OM=6，∴當(dāng)點(diǎn)M在原點(diǎn)右側(cè)時(shí)，點(diǎn)M坐標(biāo)為M6∴當(dāng)點(diǎn)M在原點(diǎn)左側(cè)時(shí)，點(diǎn)M坐標(biāo)為-6,0，與點(diǎn)A重合，不合題意舍去；V．當(dāng)M點(diǎn)在x軸時(shí)，若S△MAC=6，即∴12∴AM=6，∵點(diǎn)A坐標(biāo)為(-6,0)，∴當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)A左側(cè)時(shí)，點(diǎn)M坐標(biāo)為M7∴當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)A右側(cè)時(shí)，點(diǎn)M與點(diǎn)O重合，不合題意舍去；綜上所述：點(diǎn)M坐標(biāo)為M10,2，M2(0,-2)，M30,3，M40,-3【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、三角形的面積、解一元一次方程，解題的關(guān)鍵是分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想．【題型3與一次函數(shù)圖像有關(guān)的應(yīng)用】【例3】（2023下·安徽蕪湖·八年級(jí)校考期末）甲、乙兩地高速鐵路建設(shè)成功，一列動(dòng)車(chē)從甲地開(kāi)往乙地，一列普通列車(chē)從乙地開(kāi)往甲地，兩車(chē)均勻速行駛并同時(shí)出發(fā)．設(shè)普通列車(chē)行駛的時(shí)間為x（小時(shí)），兩車(chē)之間的距離為y（千米）．圖中的折線表示y與x之間的函數(shù)關(guān)系圖像．求：

(1)甲、乙兩地相距______千米；(2)求動(dòng)車(chē)和普通列車(chē)的速度；(3)求C點(diǎn)坐標(biāo)和直線CD解析式；(4)求普通列車(chē)行駛多少小時(shí)后，兩車(chē)相距1000千米．【答案】(1)1800(2)動(dòng)車(chē)的速度為300km/h；普通列車(chē)的速度(3)C6,900，(4)169h【分析】(1)根據(jù)圖像，直接得到．(2)根據(jù)圖像，慢車(chē)走完全程用時(shí)12小時(shí)，計(jì)算速度；根據(jù)4小時(shí)相遇，可確定動(dòng)車(chē)的速度．(3)根據(jù)題意，動(dòng)車(chē)達(dá)到目的地的時(shí)間為1800300=6h，根據(jù)圖像，得到m=6，此時(shí)相遇后各自行駛2小時(shí)，此時(shí)y=2300+150=900km(4)分相遇前和相遇后兩種情形計(jì)算．【詳解】（1）根據(jù)圖像，得到當(dāng)x=0h時(shí)，y=1800兩地距離為1800km故答案為：1800．（2）根據(jù)圖像，慢車(chē)走完全程用時(shí)12小時(shí)，∴普通列車(chē)的速度為180012根據(jù)4小時(shí)相遇，得4150解得v動(dòng)（3）根據(jù)題意，動(dòng)車(chē)達(dá)到目的地的時(shí)間為1800300根據(jù)圖像，得到m=6，此時(shí)相遇后各自行駛2小時(shí)，此時(shí)y=2300+150故C6,900設(shè)CD的解析式為y=kx+b，∵D12,1800∴6k+b=90012k+b=1800解得k=150b=0故CD的解析式為y=150x6≤x≤12（4）設(shè)經(jīng)過(guò)x小時(shí)，輛車(chē)相距1000千米，當(dāng)相遇前，輛車(chē)相距1000千米時(shí)，根據(jù)題意，得150x+300x=1800-1000，解得x=16當(dāng)相遇后，輛車(chē)相距1000千米時(shí)，動(dòng)車(chē)到達(dá)目的地，普通車(chē)自己行駛x小時(shí)，根據(jù)題意，得2150+300解得x=2故行駛總時(shí)間為6+2故經(jīng)過(guò)169h或203【點(diǎn)睛】本題考查了圖像信息的讀取，待定系數(shù)法求解析式，交點(diǎn)的意義，熟練掌握交點(diǎn)的意義，待定系數(shù)法，讀取圖像信息是解題的關(guān)鍵．【變式3-1】（2023下·重慶沙坪壩·八年級(jí)重慶一中?？计谀┰谝粭l直線上依次有A、B、C三個(gè)港口，甲、乙兩船同時(shí)分別從A、B港口出發(fā)，沿直線勻速駛向C港，最終到達(dá)C港停止．設(shè)甲、乙兩船行駛xh后，與B港的距離分別為y1、y2km，y1

(1)B、C兩港口間的距離為_(kāi)_____km，a=______；(2)甲船出發(fā)幾小時(shí)追上乙船？(3)在整個(gè)過(guò)程中，什么時(shí)候甲乙兩船相距10km【答案】(1)90，2(2)甲船出發(fā)1小時(shí)追上乙船(3)當(dāng)經(jīng)過(guò)23h或43h【分析】（1）根據(jù)圖象可得，甲船用0.5h從A港口到達(dá)B港口，A港口和B港口距離30km，即可求出甲船的速度，根據(jù)圖象得出B港口和C港口距離為90km（2）先求出乙船的速度，根據(jù)甲船追上乙船時(shí)，兩船與B港口距離相等，列出方程求解即可；（3）根據(jù)投影進(jìn)行分類(lèi)討論：①當(dāng)甲船還未追上乙船時(shí)；②當(dāng)甲船追上乙船后，當(dāng)未到達(dá)C港口時(shí)；③當(dāng)甲船到達(dá)C港口，乙船還未到達(dá)C港口時(shí)，分別列出方程求解即可．【詳解】（1）解：由圖可知：B、C兩港口間的距離為90km，甲船用0.5h從A港口到達(dá)B港口，A港口和B港口距離∴甲船的速度為：300.5∴甲船從B港口到C港口時(shí)間為：9060∴a=1.5+0.5=2，故答案為：90，2；（2）解：由圖可知，乙船用3h從B港口到達(dá)C∴乙船的速度為：90360x-30=30x，解得：x=1．答：甲船出發(fā)1小時(shí)追上乙船；（3）解：①當(dāng)甲船還未追上乙船時(shí)，30x-60x-30解得：x=2②當(dāng)甲船追上乙船后，當(dāng)未到達(dá)C港口時(shí)：60x-30-30x=10解得：x=4③當(dāng)甲船到達(dá)C港口，乙船還未到達(dá)C港口時(shí)：90-30x=10，解得：x=8綜上：當(dāng)經(jīng)過(guò)23h或43h或【點(diǎn)睛】此題主要考查了從函數(shù)圖象獲取信息，以及一元一次方程的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合得出關(guān)鍵數(shù)據(jù)，根據(jù)題意找出等量關(guān)系列出方程是解題關(guān)鍵．【變式3-2】（2023上·江蘇鹽城·八年級(jí)統(tǒng)考期末）數(shù)學(xué)活動(dòng)課上：學(xué)?？萍夹〗M進(jìn)行機(jī)器人行走性能試驗(yàn)，在試驗(yàn)場(chǎng)地一條筆直的賽道上有A，B，C三個(gè)站點(diǎn)，A，B兩站點(diǎn)之間的距離是90米（圖1）．甲、乙兩個(gè)機(jī)器人分別從A，B兩站點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，向終點(diǎn)C行走，乙機(jī)器人始終以同一速度勻速行走．圖2是兩機(jī)器人距離C站點(diǎn)的距離y（米）出發(fā)時(shí)間t（分鐘）之間的函數(shù)圖像，其中EF-FM-MN為折線段．請(qǐng)結(jié)合圖像回答下列問(wèn)題：

(1)乙機(jī)器人行走的速度是___________米/分鐘；(2)在4≤t≤6時(shí)，甲的速度變?yōu)榕c乙的速度相同，6分鐘后，甲機(jī)器人又恢復(fù)為原來(lái)出發(fā)時(shí)的速度．①圖2中m的值為_(kāi)__________．②請(qǐng)求出在6≤t≤9時(shí)，甲、乙兩機(jī)器人之間的距離為60米時(shí)時(shí)間t的值．【答案】(1)50(2)①120，②7或39【分析】（1）根據(jù)圖形知乙機(jī)器人9分鐘走完了450米，據(jù)此可求得乙機(jī)器人行走的速度；（2）①先求得甲機(jī)器人行走的總路程540米，再分段求得甲機(jī)器人行走的路程，根據(jù)速度、時(shí)間、路程的關(guān)系式求解即可；②分情況討論，一種是甲乙都在運(yùn)動(dòng)，第二種狀態(tài)是甲先到，靜止下來(lái)，乙在跑，以甲停止運(yùn)動(dòng)那一刻為分界點(diǎn)．【詳解】（1）解：根據(jù)圖形知乙機(jī)器人9分鐘走完了450米，∴乙機(jī)器人行走的速度為450÷9=50(米/分)；故答案為：50．（2）①設(shè)甲機(jī)器人前3分鐘的速度為x米/分，依題意得：3x=50×3+90，解得x=80，甲機(jī)器人行走的總路程為：450+90=540(米)，甲機(jī)器人前4分鐘的速度為80米/分，甲行走路程：80×4=320(米)，4≤t≤6時(shí)，甲的速度變?yōu)榕c乙的速度相同，甲行走路程：50×2=100(米)，∴m=540-320-100=120故答案為：120．②∵6分鐘后甲機(jī)器人的速度又恢復(fù)為原來(lái)出發(fā)時(shí)的速度，∴6分鐘后甲機(jī)器人的速度是80米/分，當(dāng)t=6時(shí)，甲乙兩機(jī)器人的距離為：80×4+50×6-4當(dāng)甲到達(dá)終點(diǎn)C時(shí)，t=7.5（分），乙到達(dá)終點(diǎn)C時(shí)，t=9（分）當(dāng)6≤t≤9時(shí)，y當(dāng)6≤t≤7.5時(shí)，y當(dāng)7.5<t≤9時(shí)，y-50t+450--80t+600-50t+450-0=60，甲、乙兩機(jī)器人之間的距離為60米時(shí)時(shí)間的值為7或39【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用、一元一次方程中追擊問(wèn)題，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用一次函數(shù)的性質(zhì)和數(shù)形結(jié)合的思想解答．【變式3-3】（2023下·河北唐山·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，水平放置的甲容器內(nèi)原有120mm高的水，乙容器中有一圓柱形實(shí)心鐵塊立放其中（圓柱形鐵塊的下底面完全落在乙容器底面上）．現(xiàn)將甲容器中的水勻速注入乙容器，且乙容器中水不外溢．甲、乙兩個(gè)容器中水的深度y（mm）與注水時(shí)間x（min）之間的關(guān)系如圖．

(1)乙容器中原有水的高度是_________mm，鐵塊的高度是_________mm；(2)注水多長(zhǎng)時(shí)間時(shí)，甲、乙兩個(gè)容器中水的深度相同：(3)若乙容器底面積為900mm【答案】(1)20，140(2)注水2min時(shí)，甲、乙兩個(gè)容器中水的深度相同(3)21000【分析】（1）借助圖像可知折線A-B-C是乙容器睡得高度隨時(shí)間的變化圖象，分析圖象可以得到答案；（2）分別求出線段AB、DE的解析式，然后聯(lián)立解方程組即可解題；（3）先求出鐵塊的底面積，然后計(jì)算出鐵塊的體積即可解題．【詳解】（1）解：由圖像可知，折線A-B-C是乙容器睡得高度隨時(shí)間的變化圖象，即可以得到原有水的高度是20mm，鐵塊的高度是140故答案為：20，140．（2）設(shè)線段AB的解析式為：y=kx+b，將點(diǎn)0,20和4,140代入得，b=204k+b=140解得，∴y=30x+20設(shè)線段DE的解析式為：y=mx+n，將點(diǎn)0,120和6,0代入得，n=1206m+n=0，解得，∴y=-20x+120，令30x+20=-20x+120，解得x=2，∴注水2min時(shí)，甲、乙兩個(gè)容器中水的深度相同．（3）解：由圖象知：當(dāng)水槽中沒(méi)過(guò)鐵塊時(shí)4分鐘水面上升了120mm，即1分鐘上升30mm，當(dāng)水面沒(méi)有沒(méi)過(guò)鐵塊時(shí)，2分鐘上升了50mm，即1分鐘上升25mm．設(shè)鐵塊的底面積為a?m∵勻速注水，∴1分鐘非水量是相等的．乙水槽中放入鐵塊時(shí)，1分鐘注水的體積為：30×不放鐵塊時(shí)，1分鐘注水的體積為：25×900m∴30×900-a=25×900，解得∴鐵塊的體積為：150×140=21000m【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的實(shí)際問(wèn)題，掌握待定系數(shù)法求函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．【題型4與一次函數(shù)性質(zhì)有關(guān)的應(yīng)用】【例4】（2023下·山東泰安·八年級(jí)統(tǒng)考期末）為使活動(dòng)更具有意義，某活動(dòng)舉辦方?jīng)Q定購(gòu)買(mǎi)甲、乙兩種品牌的文化衫，已知購(gòu)買(mǎi)3件甲品牌文化衫和2件乙品牌文化衫需190元；購(gòu)買(mǎi)5件甲品牌文化衫和1件乙品牌文化衫需235元．(1)求甲、乙兩種品牌文化衫的單價(jià)；(2)根據(jù)需要，舉辦方?jīng)Q定購(gòu)買(mǎi)兩種品牌的文化衫共1000件，且甲品牌文化衫的件數(shù)不少于乙品牌文化衫件數(shù)的3倍．請(qǐng)你設(shè)計(jì)出最省錢(qián)的購(gòu)買(mǎi)方案，并說(shuō)明理由．【答案】(1)甲品牌文化衫的單價(jià)為40元，乙品牌文化衫的單價(jià)為35元(2)購(gòu)買(mǎi)750件甲品牌文化衫，250件乙品牌文化衫；理由見(jiàn)解析【分析】（1）設(shè)甲品牌文化衫的單價(jià)為x元，乙品牌文化衫的單價(jià)為y元，根據(jù)“購(gòu)買(mǎi)3件甲品牌文化衫和2件乙品牌文化衫需190元；購(gòu)買(mǎi)5件甲品牌文化衫和1件乙品牌文化衫需235元”列方程組求解即可；（2）設(shè)購(gòu)買(mǎi)m件甲品牌文化衫，根據(jù)“甲品牌文化衫的件數(shù)不少于乙品牌文化衫件數(shù)的3倍”列不等式求出m的取值范圍，設(shè)購(gòu)買(mǎi)這1000件文化衫所需總費(fèi)用為w元，列出w與m的關(guān)系式，根據(jù)w隨m的變化關(guān)系求出最佳方案即可．【詳解】（1）設(shè)甲品牌文化衫的單價(jià)為x元，乙品牌文化衫的單價(jià)為y元，依題意得：3x+2y=1905x+y=235解得：x=40y=35答：甲品牌文化衫的單價(jià)為40元，乙品牌文化衫的單價(jià)為35元．（2）最省錢(qián)的購(gòu)買(mǎi)方案為：購(gòu)買(mǎi)750件甲品牌文化衫，250件乙品牌文化衫，理由如下：設(shè)購(gòu)買(mǎi)m件甲品牌文化衫，則購(gòu)買(mǎi)1000-m件乙品牌文化衫，依題意得：m≥31000-m解得：m≥750．設(shè)購(gòu)買(mǎi)這1000件文化衫所需總費(fèi)用為w元，則w=40m+351000-m∵5>0，∴w隨m的增大而增大，∴當(dāng)m=750時(shí)，w取得最小值，此時(shí)1000-m=250，∴最省錢(qián)的購(gòu)買(mǎi)方案為：購(gòu)買(mǎi)750件甲品牌文化衫，250件乙品牌文化衫．【點(diǎn)睛】本題考查了購(gòu)買(mǎi)問(wèn)題，方案設(shè)計(jì)問(wèn)題．解題的關(guān)鍵是熟練掌握總價(jià)與單價(jià)和數(shù)量的關(guān)系，運(yùn)用題設(shè)等量關(guān)系和不等關(guān)系列出二元一次方程組、一元一次不等式、一次函數(shù)解析式，根據(jù)函數(shù)值增減性設(shè)計(jì)最佳方案．【變式4-1】（2023下·河北邢臺(tái)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）學(xué)校計(jì)劃組織八年級(jí)的同學(xué)參觀大學(xué)城，已知八年級(jí)共有480名同學(xué)，計(jì)劃租用9輛客車(chē)，現(xiàn)有甲、乙兩種型號(hào)的客車(chē)，它們的載客量和租金如下表：租金/（元/輛）載客量/（座/輛）甲種客車(chē)170045乙種客車(chē)200060(1)若恰好一次性將480名學(xué)生送往大學(xué)城且客車(chē)全部坐滿，則應(yīng)租用甲、乙兩種客車(chē)各多少輛？(2)設(shè)租用甲種客車(chē)x輛，租用甲、乙兩種型號(hào)的客車(chē)總費(fèi)用y元．①求y與x的函數(shù)關(guān)系式．②在保證所有同學(xué)均能被送達(dá)大學(xué)城的情況下，怎樣租車(chē)費(fèi)用最低？最低費(fèi)用是多少元？【答案】(1)租用甲種客車(chē)4輛，乙種客車(chē)5輛(2)應(yīng)租用4輛甲種客車(chē)，5輛乙種客車(chē)，最低租車(chē)費(fèi)用16800元【分析】（1）設(shè)租用甲種客車(chē)a輛，乙種客車(chē)b輛．然后根據(jù)題意列二元一次方程組求解即可；（2）①設(shè)租用甲種客車(chē)x輛，應(yīng)租乙種客車(chē)9-x輛．然后根據(jù)題意列出y與x的函數(shù)關(guān)系式即可；②由①所得解析式的增減性再結(jié)合x(chóng)的取值范圍求解即可.【詳解】（1）解：設(shè)租用甲種客車(chē)a輛，乙種客車(chē)b輛．由題可得a+b=945a+60b=480，解得a=4答：租用甲種客車(chē)4輛，乙種客車(chē)5輛．（2）解：①設(shè)租用甲種客車(chē)x輛，由題可知，應(yīng)租乙種客車(chē)9-x輛．可得y=1700x+20009-x②由①知y=-300x+18000，∵-300<0，∴y隨x的增大而減小．依題意可得x≥045x+60解得0≤x≤4，∴當(dāng)x=4時(shí)，y有最小值，最小值為16800．答：應(yīng)租用4輛甲種客車(chē)，5輛乙種客車(chē)，最低租車(chē)費(fèi)用16800元．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二元一次方程組的應(yīng)用、一次函數(shù)的應(yīng)用、不等式的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)題意確定x的取值范圍是解答本題的關(guān)鍵．【變式4-2】（2023下·湖北荊門(mén)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）為了落實(shí)“鄉(xiāng)村振興”政策，A,B兩城決定向C,D兩鄉(xiāng)運(yùn)送水泥建設(shè)美麗鄉(xiāng)村，已知A,B兩城分別有水泥200噸和300噸，從A城往C,D兩鄉(xiāng)運(yùn)送水泥的費(fèi)用分別為20元/噸和25元/噸；從B城往C,D兩鄉(xiāng)運(yùn)送水泥的費(fèi)用分別為15元/噸和24元/噸，現(xiàn)C鄉(xiāng)需要水泥240噸，D鄉(xiāng)需要水泥260噸．(1)設(shè)從A城運(yùn)往C鄉(xiāng)的水泥x噸．設(shè)總運(yùn)費(fèi)為y元，寫(xiě)出y與x的函數(shù)關(guān)系式并求出最少總運(yùn)費(fèi)．(2)為了更好地支援鄉(xiāng)村建設(shè)，A城運(yùn)往C鄉(xiāng)的運(yùn)費(fèi)每噸減少a(0<a<7)元，這時(shí)A城運(yùn)往C鄉(xiāng)的水泥多少?lài)崟r(shí)總運(yùn)費(fèi)最少？【答案】(1)y=4x+100400≤x≤200，最少總運(yùn)費(fèi)為10040(2)A城運(yùn)往C鄉(xiāng)200噸，總運(yùn)費(fèi)最少．【分析】（1）先求出x的取值范圍，在求出y與x的函數(shù)解析式，最后根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，求出最小值；（2）先列出A城運(yùn)往C鄉(xiāng)的運(yùn)費(fèi)每噸減少a(0<a<7)元時(shí)，總費(fèi)w用關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，再分類(lèi)討論，分別求出最小值．【詳解】（1）設(shè)從A城運(yùn)往C鄉(xiāng)肥料x(chóng)噸，則運(yùn)往D鄉(xiāng)200-x，從B城運(yùn)往C鄉(xiāng)肥料240-x噸，則運(yùn)往D鄉(xiāng)60+x噸，設(shè)總運(yùn)費(fèi)為y元，根據(jù)題意，則：y=20x+25200-x=4x+100400≤x≤200∵k=4>0,y隨x的增大而增大，∴當(dāng)x=0時(shí)，總運(yùn)費(fèi)最少，且最少的總運(yùn)費(fèi)為10040元．答：y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=4x+100400≤x≤200最少總運(yùn)費(fèi)為10040元；（2）設(shè)減少運(yùn)費(fèi)后，總運(yùn)費(fèi)為w元，則：w==∵0<a<7，∴分以下三種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)0<a<4時(shí)，4-a>0，此時(shí)w隨x的增大而增大，∴當(dāng)x=0時(shí)，w最?、诋?dāng)a=4時(shí)，w=10040，∴不管怎樣調(diào)運(yùn)，費(fèi)用一樣多，均為10040元；③當(dāng)4<a<7時(shí)，4-a<0，此時(shí)w隨x的增大而減小，∴當(dāng)x=200時(shí)，w最小∴綜上可得：當(dāng)0<a<4時(shí)，A城運(yùn)往C鄉(xiāng)0噸，總運(yùn)費(fèi)最少；當(dāng)a=4時(shí)，無(wú)論從A城運(yùn)往C鄉(xiāng)多少?lài)嵎柿希ú怀^(guò)200噸），總運(yùn)費(fèi)都是10040元；當(dāng)4<a<7時(shí)，A城運(yùn)往C鄉(xiāng)200噸，總運(yùn)費(fèi)最少．【點(diǎn)睛】本題考差了一次函數(shù)解析式的求法，一次函數(shù)的性質(zhì)，分類(lèi)討論思想是解題的關(guān)鍵．【變式4-3】（2023下·福建廈門(mén)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）“雙減”政策頒布后，各校重視了延時(shí)服務(wù)，并在延時(shí)服務(wù)中加大了體育活動(dòng)的力度．某體育用品商店抓住商機(jī)，計(jì)劃購(gòu)進(jìn)300套乒乓球拍和羽毛球拍進(jìn)行銷(xiāo)售，其中購(gòu)進(jìn)乒乓球拍的套數(shù)不超過(guò)150套，他們的進(jìn)價(jià)和售價(jià)如下表：商品進(jìn)價(jià)售價(jià)乒乓球拍（元/套）a45羽毛球拍（元/套）b52已知購(gòu)進(jìn)2套乒乓球拍和1套羽毛球拍需花費(fèi)110元，購(gòu)進(jìn)4套乒乓球拍和3套羽毛球拍需花費(fèi)260元．(1)求出a，b的值；(2)該店面根據(jù)以往的銷(xiāo)售經(jīng)驗(yàn)，決定購(gòu)進(jìn)乒乓球拍套數(shù)不少于羽毛球拍套數(shù)的一半．設(shè)購(gòu)進(jìn)乒乓球拍x套，售完這批體育用品獲利y元．①求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出x的取值范圍；②該商品實(shí)際采購(gòu)時(shí)，恰逢“618”購(gòu)物節(jié)，乒乓球拍的進(jìn)價(jià)每套降低了n元（0<n<10），羽毛球拍的進(jìn)價(jià)不變．已知商店的售價(jià)不變，這批體育用品能夠全部售完．則如何購(gòu)貨才能獲利最大？【答案】(1)a的值為35，b的值為40(2)①y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=-2x+3600，x的取值范圍為：100≤x≤150；②當(dāng)0<n<2時(shí)，乒乓球拍購(gòu)進(jìn)100套，羽毛球拍購(gòu)進(jìn)200套能獲利最大；當(dāng)2<n<10時(shí)，乒乓球拍購(gòu)進(jìn)150套，羽毛球拍購(gòu)進(jìn)150套能獲利最大；當(dāng)n=2時(shí)，無(wú)論購(gòu)多少套，只要滿足100≤x≤150，利潤(rùn)都是3600．【分析】（1）根據(jù)購(gòu)進(jìn)2套乒乓球拍和1套羽毛球拍需花費(fèi)110元，購(gòu)進(jìn)4套乒乓球拍和3套羽毛球拍需花費(fèi)260元，列出方程組，解方程組即可；（2）①根據(jù)總利潤(rùn)=乒乓球拍的利潤(rùn)+羽毛球拍的利潤(rùn)列出函數(shù)解析式，再根據(jù)購(gòu)進(jìn)乒乓球拍的套數(shù)不超過(guò)150套，購(gòu)進(jìn)乒乓球拍套數(shù)不少于羽毛球拍套數(shù)的一半求出自變量的取值范圍；②根據(jù)總利潤(rùn)=乒乓球拍的利潤(rùn)+羽毛球拍的利潤(rùn)列出函數(shù)解析式，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求最值．【詳解】（1）根據(jù)題意：2a+b=1104a+3b=260解得a=35b=40答：a的值為35，b的值為40；（2）①由題意得：y=(45-35)x+(52-40)(300-x)=-2x+3600，∵購(gòu)進(jìn)乒乓球拍的套數(shù)不超過(guò)150套，∴x≤150，∵購(gòu)進(jìn)乒乓球拍套數(shù)不少于羽毛球拍套數(shù)的一半，∴x≥1解得：x≥100，則x的取值范圍為：100≤x≤150，∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=-2x+3600，x的取值范圍為：100≤x≤150；②由題意得：y=45-35+n∵0<n<10，∴當(dāng)0<n<2即n-2<0時(shí)，y隨x的增大而減小，∴當(dāng)x=100時(shí)，y有最大值100n-2∴乒乓球拍購(gòu)進(jìn)100套，羽毛球拍購(gòu)進(jìn)200套能獲利最大；當(dāng)2<n<10時(shí)，即n-2>0時(shí)，y隨x的增大而增大，∴當(dāng)x=150時(shí)，y有最大值150n-2乒乓球拍購(gòu)進(jìn)150套，羽毛球拍購(gòu)進(jìn)150套能獲利最大；當(dāng)n=2時(shí)，無(wú)論購(gòu)多少套，只要滿足100≤x≤150，利潤(rùn)都是3600．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)和二元一次方程組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是仔細(xì)審題，找到等量關(guān)系列出函數(shù)解析式和列出方程組．【題型5探究函數(shù)的圖像及其性質(zhì)】【例5】（2023下·江西撫州·八年級(jí)南城縣第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）有這樣一個(gè)問(wèn)題：探究函數(shù)y=-2|x|+1的圖像與性質(zhì)．小明根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)函數(shù)y=-2|x|+1的圖像與性質(zhì)進(jìn)行了探究．(1)①函數(shù)y=-2|x|+1的自變量x的取值范圍是_____________；②若點(diǎn)A（－7，a），B（9，b）是該函數(shù)圖像上的兩點(diǎn)，則a___________b（填“＞”“＜”或“＝”）；(2)請(qǐng)補(bǔ)全下表，并在平面直角坐標(biāo)系xOy中，畫(huà)出該函數(shù)的圖像：x…－5－3－10135…y……(3)函數(shù)y1=-2|x|和函數(shù)①y1=-2|x|的圖像向___________平移________個(gè)單位長(zhǎng)度得到y(tǒng)=-2|x|+1，y2=-2|x+1|+1的圖像向___________平移②當(dāng)-2|x|+1=-2|x+1|+1時(shí)，x＝_____________；③觀察函數(shù)y2【答案】(1)①全體實(shí)數(shù)；②＞；(2)見(jiàn)詳解；(3)①上，1，右，1；②-0.5；③當(dāng)x=-1時(shí)，函數(shù)有最大值，最大值為1．（答案不唯一）【詳解】（1）解：①函數(shù)y=-2|x|+1的自變量x的取值范圍全體實(shí)數(shù)；故答案為：全體實(shí)數(shù)；②把點(diǎn)A（－7，a），B（9，b）代入函數(shù)解析式y(tǒng)=-2|x|+1得a=-2×|-7|+1=-13，b=-2×|9|+1=-17，∴a＞故答案為：＞；（2）解：補(bǔ)全表格得x…－5－3－10135…y…-9-5-11-1-5-9…在平面直角坐標(biāo)系畫(huà)出函數(shù)圖像如圖：（3）（3）觀察函數(shù)圖像可發(fā)現(xiàn)：①y1=-2|x|的圖像向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到y(tǒng)=-2|x|+1，y2=-2|x+1|+1的圖像向右平移故答案為：上，1，右，1；②當(dāng)-2|x|+1=-2|x+1|+1時(shí)，x＝-0.5；故答案為：-0.5；③觀察函數(shù)y2=-2|x+1|+1的圖像，得到當(dāng)x=-1時(shí)，函數(shù)有最大值，最大值為【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)圖像、性質(zhì)的探究，熟知畫(huà)函數(shù)圖像的一般步驟，并能根據(jù)圖像得到函數(shù)性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【變式5-1】（2023上·重慶潼南·八年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖1，△ABC是直角三角形，∠C=90°，BC=4，AC=3，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿著B(niǎo)-C-A方向運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)停止，設(shè)y=S△ABP，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為(1)直接寫(xiě)出y與x之間的函數(shù)表達(dá)式，并寫(xiě)出對(duì)應(yīng)x的取值范圍．(2)在平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出y的圖像，并寫(xiě)出y的一條性質(zhì)(3)結(jié)合作出的圖像直接寫(xiě)出它與函數(shù)y=x+1相交時(shí)x的值．（保留一位小數(shù)，誤差不超過(guò)0.2）【答案】(1)y=(2)圖見(jiàn)解析，當(dāng)0<x≤4時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)4<x<7時(shí)，y隨x的增大而減小(3)x≈4.3或x=2.0【分析】（1）分兩種情況，點(diǎn)P在BC上，點(diǎn)P在AC上，分別根據(jù)三角形的面積公式求出結(jié)果即可；（2）描點(diǎn)再順次連接可得函數(shù)圖象，由圖象可得函數(shù)的一條性質(zhì)；（3）觀察圖象可得答案．【詳解】（1）解：當(dāng)點(diǎn)P在BC上時(shí)，0<x≤4，此時(shí)y=1當(dāng)點(diǎn)P在AC上時(shí)，4<x<7，此時(shí)y=1綜上分析可知：y=3（2）解：把x=4代入y=32x則圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)4,6，把x=7代入y=14-2x得：y=0，則圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)7,0，∴連接點(diǎn)0,0和4,6，連接點(diǎn)4,6和7,0，且點(diǎn)0,0和7,0除外，如圖所示：根據(jù)函數(shù)圖象可知，當(dāng)0<x≤4時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)4<x<7時(shí)，y隨x的增大而減??；（3）解：根據(jù)函數(shù)圖象可知，作出的圖像與函數(shù)y=x+1的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)約為4.3，2.0，即此時(shí)x≈4.3或x=2.0．【點(diǎn)睛】本題主要考查了求一次函數(shù)解析式，一次函數(shù)的性質(zhì)，畫(huà)一次函數(shù)圖象，直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，熟練掌握一次函數(shù)的性質(zhì)．【變式5-2】（2023上·江蘇鹽城·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）【了解概念】對(duì)于給定的一次函數(shù)y=kx+b（其中k，b為常數(shù)，且k≠0），則稱(chēng)函數(shù)y=-kx+bx≥0kx+bx<0為一次函數(shù)y=kx+b（其中k，【理解運(yùn)用】例如：一次函數(shù)y=-2x+1，它的關(guān)聯(lián)函數(shù)為y=2x+1(1)點(diǎn)P-2,m在一次函數(shù)y=-2x+1的關(guān)聯(lián)函數(shù)的圖像上，則m的值為_(kāi)_____(2)已知一次函數(shù)y=-2x+1．我們可以根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)一次函數(shù)y=-2x+1，它的關(guān)聯(lián)函數(shù)為y=2x+1①填表，x…-2-1012…y…53135…②根據(jù)（1）中的結(jié)果，請(qǐng)?jiān)谒o坐標(biāo)系中畫(huà)出一次函數(shù)y=-2x+1的關(guān)聯(lián)函數(shù)的圖像；③若-1≤x≤2，則y的取值范圍為_(kāi)_____；【拓展提升】(3)在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)M、N的坐標(biāo)分別為-1，4、2，2，連接MN．直接寫(xiě)出線段MN與一次函數(shù)y=-2x+b的關(guān)聯(lián)函數(shù)的圖像有1個(gè)交點(diǎn)時(shí)，【答案】(1)5；(2)②作圖見(jiàn)解析；③1≤y≤5；(3)-2≤b<2或者b=10【分析】（1）根據(jù)關(guān)聯(lián)函數(shù)的定義把P-2，m（2）②根據(jù)列表即可作出圖形，③分別求出x=-1、0、2時(shí)，y的值，結(jié)合圖形即可求得對(duì)應(yīng)y的取值范圍；（3）先求出直線MN與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，再由一次函數(shù)y=-2x+b的關(guān)聯(lián)函數(shù)為y=2x+b【詳解】（1）解∶由題意得y=-2x+1的關(guān)聯(lián)函數(shù)為y=2x+1∵點(diǎn)P-2，m在一次函數(shù)y=-2x+1∴把P-2，m代入y=-2x+1，得，解得m=5，故答案為∶5；（2）解：②作圖如下，③∵當(dāng)x=-1時(shí)，y=-2x+1=-2×-1+1=3，當(dāng)x=0時(shí)∴-1≤x<0時(shí)，1<y≤3，∵當(dāng)x=0時(shí)y=2x+1=2×0+1=1，當(dāng)x=2時(shí)，y=2x+1=2×2+1=5，∴0≤x≤2時(shí)，1<y≤5，∴-1≤x≤2時(shí)，1≤y≤5；（3）解：如圖，設(shè)直線MN為y=mx+n，∵點(diǎn)M、N的坐標(biāo)分別為-1，4、∴-m+n=42m+n=2解得m=-2∴直線MN為y=-2令x=0，則y=10∴直線MN為y=-23x+103由題意得，一次函數(shù)y=-2x+b的關(guān)聯(lián)函數(shù)為y=2x+b當(dāng)y軸右側(cè)部分與MN有交點(diǎn)時(shí)，把-1，4和0，103當(dāng)y軸左側(cè)部分與MN有交點(diǎn)時(shí)，把0，103和2，2當(dāng)x<0，b≠2，∴-2≤b<2或者b=10∴關(guān)聯(lián)函數(shù)與MN有1個(gè)交點(diǎn)時(shí)，b的取值范圍為∶-2≤b<2或者b=10故答案為∶-2≤b<2或者b=10【點(diǎn)睛】此題是一次函數(shù)綜合題，主要考查了新定義，了函數(shù)圖象與函數(shù)的性質(zhì)和一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，一次函數(shù)與不等式，兩直線相交等知識(shí)，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．【變式5-3】（2023上·江蘇淮安·八年級(jí)?？计谀┰谖覀儗W(xué)習(xí)函數(shù)的過(guò)程中，經(jīng)歷了“確定函數(shù)的解析式一利用函數(shù)圖象研究其性質(zhì)”的學(xué)習(xí)過(guò)程，在畫(huà)函數(shù)圖象時(shí)，我們可以通過(guò)描點(diǎn)或平移的方法畫(huà)出一個(gè)函數(shù)的大致圖象．同時(shí)，我們也學(xué)習(xí)了絕對(duì)值的意義a陽(yáng)陽(yáng)結(jié)合上面的學(xué)習(xí)過(guò)程，對(duì)函數(shù)y=|2x-1|的圖象與性質(zhì)進(jìn)行了探究．(1)①化簡(jiǎn)函數(shù)y=|2x-1|的表達(dá)式：當(dāng)x≥12時(shí)，y=，當(dāng)x＜12②在平面直角坐標(biāo)系中，畫(huà)出此函數(shù)的圖象；(2)函數(shù)y1=|2x-1|+1的圖象可由y=|2x-1|的圖象向上平移①當(dāng)0≤x<3時(shí)，y1的取值范圍是②當(dāng)2≤y1≤5時(shí)，x的取值范圍是③當(dāng)m<y1<n時(shí)（其中m，n為實(shí)數(shù)，m<n），自變量x的取值范圍是-1<x<2，求n【答案】(1)①2x-1；-2x+1(2)①1≤y1<6②1≤x≤52或0≤x≤-32【分析】本題考查的是兩條直線相交問(wèn)題，考查了用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，（1）①根據(jù)絕對(duì)值的代數(shù)意義去掉絕對(duì)值即可；②根據(jù)一次函數(shù)的圖象特征和自變量x的取值范圍不同，確定三個(gè)點(diǎn)即可畫(huà)出該函數(shù)圖象；（2）①根據(jù)題意畫(huà)出圖象，利用函數(shù)頂點(diǎn)的位置和自變量的取值范圍進(jìn)行計(jì)算判斷即可；②根據(jù)題意畫(huà)出圖象，利用函數(shù)頂點(diǎn)的位置和函數(shù)的取值范圍進(jìn)行計(jì)算判斷即可；③根據(jù)題意畫(huà)出圖象，利用函數(shù)頂點(diǎn)的位置和自變量的取值范圍及函數(shù)的取值范圍進(jìn)行計(jì)算判斷即可；熟練掌握其性質(zhì)及數(shù)形結(jié)合思想是解決此題的關(guān)鍵．【詳解】（1）①函數(shù)y=|2x-1|，當(dāng)x≥12時(shí)，當(dāng)x<12時(shí)，故答案為：2x-1；②當(dāng)x=12時(shí)，y=0；當(dāng)x=1時(shí)，y=1；當(dāng)x=-1時(shí)，圖象過(guò)三點(diǎn)（1y=|2x-1||如圖示：（2）平移后的圖象如圖所示：

①當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)y1=1＋1=2；當(dāng)由圖象知，函數(shù)y1=2x-1∴y1的最小值為1結(jié)合圖象知當(dāng)0≤x<3，y1的取值范圍是1≤故答案為：1≤y②y1=2時(shí)，x=0或x=1，當(dāng)y1=5時(shí)結(jié)合圖象知，x的取值范圍是0≤x≤-32或故答案為：0≤x≤-32③當(dāng)x=-1時(shí)，y1=4，當(dāng)x=2時(shí)，結(jié)合圖象知，當(dāng)x的取值范圍是-1<x<2時(shí)，1≤∴m的取值范圍m<1,n的值4．【題型6由三角形全等分類(lèi)討論求參數(shù)的值】【例6】（2023下·陜西西安·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，△ABC的兩條高AD與BE交于點(diǎn)O，AD=BD，AC=6．

(1)求BO的長(zhǎng)；(2)F是射線BC上一點(diǎn)，且CF=AO，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，沿線段OB以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)，沿射線AC以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，P，Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)△AOP與△FCQ全等時(shí)，求t的值．【答案】(1)6(2)65或【分析】（1）證△BDO≌（2）分兩種情況，點(diǎn)F在BC延長(zhǎng)線上時(shí)△AOP≌△FCQ得t=6-4t；當(dāng)F在線段BC上時(shí)，證出△AOP≌【詳解】（1）解：∵AD，BE為△ABC的高，∴∠AEB=∠ADB=90°，∵∠AOE=∠BOD，∴∠DBO=∠DAC，又∵∠BDO=∠ADC=90°，BD=AD，∴△BDO≌∴BO=AC=6；（2）解：∵△BDO≌∴∠BOD=∠ACD，當(dāng)點(diǎn)F在BC延長(zhǎng)線上時(shí)，

∵∠BOD=∠ACD，∴∠AOP=∠ACF，∵AO=CF，∴當(dāng)OP=CQ時(shí)，△AOP≌∴t=6-4t，解得：t=6當(dāng)F在線段BC上時(shí)，

∵∠BOD=∠ACD，∴∠AOP=∠FCQ，∵AO=CF，∴當(dāng)OP=CQ時(shí)，△AOP≌∴t=4t-6，解得：t=2；綜上所述，△AOP與△FCQ全等時(shí)，t的值為65或2【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握全等三角形判定是解題關(guān)鍵．【變式6-1】（2023上·湖北恩施·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1，在四邊形BCDE中，∠D=∠E=90°，點(diǎn)A在邊上DE上，且AC⊥AB．(1)求證：∠DAC=∠EBA．(2)如圖2，若AC=8，AB=6．點(diǎn)F從點(diǎn)C出發(fā)，沿折線CAB以速度為每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)G從點(diǎn)B出發(fā)，沿折線BAC以速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)；F，G向DE作垂線，垂足分別為M，N．設(shè)點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts．當(dāng)△AMF與A，N，G三點(diǎn)構(gòu)成的三角形全等時(shí)，求AG【答案】(1)見(jiàn)解析(2)AG長(zhǎng)為4或43或【分析】（1）根據(jù)題意，∠D=∠E=∠BAC=90°，可以得到∠DAC、∠DCA互余，∠DAC、∠EBA互余，因此得到∠DAC=∠EBA．（2）根據(jù)題意分析，要使△AMF≌△GNA，需要滿足FA=AG，經(jīng)分析F、G運(yùn)動(dòng)情況可以分為三種：當(dāng)F在CA段，G在AB段時(shí)，列出等量關(guān)系，求出AG的長(zhǎng)；當(dāng)F在AB段，G在AB段時(shí)，列出等量關(guān)系，求出AG的長(zhǎng)；當(dāng)F在AB段，G在CA段時(shí)，列出等量關(guān)系，求出AG的長(zhǎng)．【詳解】（1）證明：∵∠D=∠E=∠BAC=90°，∴∠DAC+∠DCA=90°，∠DAC+EBA=90°∴∠DAC=∠EBA（2）解：由（1）知：∠DAC=∠EBA，∴在△AFM和△GNA中，∠DAC=∠EBA，∠D=∠E=90°，現(xiàn)在只需要FA=AG即可滿足△AFM≌GNAAAS經(jīng)分析，若要FA=AG，F(xiàn)、G運(yùn)動(dòng)情況可以分為三種：當(dāng)F在CA段，G在AB段時(shí)，8-2t=6-t，解得t=2，此時(shí)AG=6-2=4，當(dāng)F在AB段，G在AB段時(shí)，2t-82此時(shí)AG=6-14當(dāng)F在AB段，G在CA段時(shí)，AG=AB=FA=6，此時(shí)t=12，故答案為AG長(zhǎng)為4或43或【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等，直角三角形兩銳角互余，路程、速度、時(shí)間的知識(shí)點(diǎn)，在分析中，利用已知速度的關(guān)系，合理分析滿足FA=AG時(shí)，F(xiàn)，G的三種運(yùn)動(dòng)情況是解答本題的關(guān)鍵．【變式6-2】（2023下·江蘇蘇州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，∠MAN是一個(gè)鈍角，AB平分∠MAN，點(diǎn)C在射線AN上，且AB＝BC，BD⊥AC，垂足為D．(1)求證：∠BAM=∠BCA；(2)動(dòng)點(diǎn)P，Q同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā)，其中點(diǎn)Q以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿射線AN方向勻速運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度勻速運(yùn)動(dòng)．已知AC＝5，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P，Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．①如圖②，當(dāng)點(diǎn)P在射線AM上運(yùn)動(dòng)時(shí)，若點(diǎn)Q在線段AC上，且S△ABP=5②如圖③，當(dāng)點(diǎn)P在直線AM上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q在射線AN上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，是否存在某個(gè)時(shí)刻，使得△APB與△BQC全等？若存在，請(qǐng)求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)出理由．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)①t=2517；②存在，t=【分析】（1）①先證Rt△BDA≌Rt△BDC（HL），推出∠BAC＝∠BCA．再由角平分線的定義得∠BAM＝∠BAC，等量代換即可證明∠BAM=∠BCA；（2）①作BH⊥AM，垂足為M．先證△AHB≌△ADB（AAS），推出BH＝BD，再由S△ABP＝52S△BQC，推出AP=52CQ，結(jié)合P，Q運(yùn)動(dòng)方向及速度即可求解；②分“點(diǎn)P沿射線AM方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在線段AC上”，以及“點(diǎn)P沿射線AM反向延長(zhǎng)線方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在線段AC延長(zhǎng)線上”兩種情況討論，利用三角形全等得出【詳解】（1）證明：∵BD⊥AC，∴∠BDA=∠BDC=90°，在Rt△BDA和Rt△BDC中，BD=BD∴Rt△BDA≌Rt△BDC（HL），∴∠BAC＝∠BCA．∵AB平分∠MAN，∴∠BAM＝∠BAC，∴∠BAM＝∠BCA．（2）解：①如下圖所示，作BH⊥AM，垂足為M．∵BH⊥AM，BD⊥AC，∴∠AHB＝∠ADB＝90°，在△AHB和△ADB中，∠AHB=∠ADB∴△AHB≌△ADB（AAS），∴BH＝BD，∵S△ABP＝52S△BQC∴12∴AP=5∴t=5∴t=25②存在，理由如下：當(dāng)點(diǎn)P沿射線AM方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在線段AC上時(shí)，如下圖所示，∵AB＝BC，又由（1）得∠BAM＝∠BCA，∴當(dāng)AP＝CQ時(shí)，△APB≌△CQB，∴t=5-3t，∴t=5當(dāng)點(diǎn)P沿射線AM反向延長(zhǎng)線方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在線段AC延長(zhǎng)線上時(shí)，如下圖所示，由（1）得∠BAM＝∠BCA，∴∠BAP＝∠BCQ，又∵AB＝BC，∴當(dāng)AP＝CQ時(shí)，△APB≌△CQB，∴t=3t-5，∴t=5綜上所述，當(dāng)t=54或t=52時(shí)，△APB【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的定義，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定方法，并注意分類(lèi)討論是解題的關(guān)鍵．【變式6-3】（2023下·江蘇蘇州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖①，將長(zhǎng)方形紙片沿對(duì)角線剪成兩個(gè)全等的直角三角形ABC、EDF，其中AB＝8cm，BC＝6cm，AC＝10cm．現(xiàn)將△ABC和△EDF按如圖②的方式擺放（點(diǎn)A與點(diǎn)D、點(diǎn)B與點(diǎn)E分別重合）．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AC以2cm/s的速度向點(diǎn)C勻速移動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)E出發(fā)，沿射線ED以acm/s（0＜a＜3）的速度勻速移動(dòng)，連接PQ、CQ、FQ，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為ts（0≤t≤5）．（1）當(dāng)t＝2時(shí)，S△AQF＝3S△BQC，則a＝；（2）當(dāng)以P、C、Q為頂點(diǎn)的三角形與△BQC全等時(shí)，求a的值；（3）如圖③，在動(dòng)點(diǎn)P、Q出發(fā)的同時(shí)，△ABC也以3cm/s的速度沿射線ED勻速移動(dòng)，當(dāng)以A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△EFQ全等時(shí)，求a與t的值．【答案】（1）1；（2）32；（3）a＝2時(shí)，t＝2；或a＝2.3時(shí)，t＝5【分析】（1）由題意得∠BAF＝∠ABC＝90°，BQ＝at＝2a，AF＝BC，由三角形面積得AQ＝3BQ，則AB＝4BQ＝8，得BQ＝2＝2a，則a＝1；（2）由題意得點(diǎn)P與B為對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，PQ＝BQ＝at，PC＝BC＝6，∠CPQ＝∠ABC＝90°，則AP＝AC﹣PC＝4，PQ⊥AC，得t＝2，則PQ＝BQ＝2a，再由三角形面積關(guān)系即可得出答案；（3）分兩種情況：①AP與EQ為對(duì)應(yīng)邊，AQ與EF為對(duì)應(yīng)邊，則AP＝EQ，AQ＝EF＝10，求出a＝2，BQ＝BE﹣EQ＝t，則AQ＝AB+BQ＝8+t＝10，解得t＝2；②AP與EF為對(duì)應(yīng)邊，AQ與EQ為對(duì)應(yīng)邊，則AP＝EF＝10，AQ＝EQ，求出t＝5，則AQ＝EQ＝5a，得BQ＝15﹣5a，或BQ＝5a﹣15，再分別求出a的值即可．【詳解】解：（1）由題意得：∠BAF＝∠ABC＝90°，BQ＝at＝2a，AF＝BC，∵S△AQF＝3S△BQC，S△AQF＝12AF×AQ，S△BQC＝12BC×∴AQ＝3BQ，∴AB＝4BQ＝8，∴BQ＝2＝2a，∴a＝1；故答案為：1；（2）∵以P、C、Q為頂點(diǎn)的三角形與△BQC全等，CQ是公共邊，∴點(diǎn)P與B為對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，PQ＝BQ＝at，PC＝BC＝6，∠CPQ＝∠ABC＝90°，∴AP＝AC﹣PC＝10﹣6＝4，PQ⊥AC，∵AP＝2t＝4，∴t＝2，∴PQ＝BQ＝2a，∵△ABC的面積＝△ACQ的面積+△BCQ的面積，∴12×8×6＝12×10×2a+12×2解得：a＝32（3）由題意得：∠A＝∠E，∴∠A與∠E為對(duì)應(yīng)角，分兩種情況：①AP與EQ為對(duì)應(yīng)邊，AQ與EF為對(duì)應(yīng)邊，則AP＝EQ，AQ＝EF＝10，∵EQ＝at，∴at＝2t，∴a＝2，∴EQ＝2t，∵BE＝3t，∴BQ＝BE﹣EQ＝t，∴AQ＝AB+BQ＝8+t＝10，解得：t＝2；②AP與EF為對(duì)應(yīng)邊，AQ與EQ為對(duì)應(yīng)邊，則AP＝EF＝10，AQ＝EQ，∴2t＝10，∴t＝5，∴AQ＝EQ＝5a，∵BE＝3t＝15，∴BQ＝15﹣5a，或BQ＝5a﹣15，當(dāng)BQ＝15﹣5a時(shí)，AQ＝15﹣5a+8＝23﹣5a，或AQ＝8﹣（15﹣5a）＝5a﹣7，∴5a＝23﹣5a，或5a＝5a﹣7（無(wú)意義），解得：a＝2.3；當(dāng)BQ＝5a﹣15時(shí)，AQ＝5a﹣15+8＝5a﹣7，或AQ＝8﹣（5a﹣15）＝7﹣5a，∴5a＝5a﹣7（無(wú)意義），或5a＝7﹣5a，解得：a＝0.7，不合題意，舍去；綜上所述，a＝2時(shí)，t＝2；或a＝2.3時(shí)，t＝5．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的綜合問(wèn)題及動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，關(guān)鍵是根據(jù)題意找到動(dòng)點(diǎn)之間的聯(lián)系，然后結(jié)合全等三角形的性質(zhì)進(jìn)行求解問(wèn)題即可，注意分類(lèi)討論思想的運(yùn)用．【題型7利用全等三角形解決閱讀理解類(lèi)問(wèn)題】【例7】（2023下·四川達(dá)州·八年級(jí)四川省大竹中學(xué)?？计谀?）閱讀理解：

如圖①，在△ABC中，若AB=5，AC=3，求BC邊上的中線AD的取值范圍．解決此問(wèn)題可以用如下方法：延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E使DE=AD，再連接BE，這樣就把AB，AC，2AD集中在ΔABE中，利用三角形三邊的關(guān)系可判斷線段AE的取值范圍是；則中線AD的取值范圍是（2）問(wèn)題解決：如圖②，在△ABC中，D是BC邊的中點(diǎn)，DE⊥DF于點(diǎn)D，DE交AB于點(diǎn)E，DF交AC于點(diǎn)F，連接EF，此時(shí)：BE+CF與EF的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由．（3）問(wèn)題拓展：如圖③，在四邊形ABCD中，∠B+∠D=180°，CB=CD，∠BCD=160°，以C為頂點(diǎn)作∠ECF=80°，邊CE，CF分別交AB，AD于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，連接EF，此時(shí)：BE、DF與EF的數(shù)量關(guān)系【答案】（1）2<AE<8,1<AD<4；（2）EF<EB+CF，見(jiàn)解析；（3）BE+DF=EF【分析】（1）延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E使DE=AD，再連接BE，證明△ADC≌△EDB(SAS)，可得AC=BE，再由三角形三角關(guān)系可得2<AE<8，（2）延長(zhǎng)FD至G，使FD=DG，連接BG，證明△CFD≌△GBD(SAS)，可得BG=FC，連接EG，可知△EFG是等腰三角形，則FE=EG，在△EBG中，EG>EB+BG，即（3）延長(zhǎng)AB至H使BH=DF，連接CH，證明△CBH≌△CDF(SAS)，可推導(dǎo)出∠CEH=80°，再證明△FCE≌△HCE(SAS)，則【詳解】解：（1）延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E使DE=AD，再連接BE，∵CD=BD，∠ADC=∠BDE，AD=DE，∴△ADC≌△EDB(SAS∴AC=BE，在△ABE中，AB-BE<AE<AB+BE，∴2<AE<8，∵AE=2AD，∴1<AD<4，故答案為：2<AE<8，1<AD<4；（2）延長(zhǎng)FD至G，使FD=DG，連接BG，

∵CD=BD，∠CDF=∠BDG，F(xiàn)D=DG，∴△CFD≌△GBD(SAS∴BG=FC，連接EG，∵ED⊥FD，F(xiàn)D=DG，∴△EFG是等腰三角形，∴FE=EG，在△EBG中，EG<EB+BG，即EF<EB+CF；（3）延長(zhǎng)AB至H使BH=DF，連接CH，

∵∠ABC+∠D=180°，∠ABC+∠CBH=180°，∴∠D=∠CBH，∵CD=CB，BH=DF，∴△CBH≌△CDF(SAS∴CH=CF，∠BCH=∠DCF，∵∠BCD=160°，∠ECF=80°，∴∠DCF+∠ECB=80°，∴∠CEH=80°，∵FC=CH，EC=EC，∴△FCE≌△HCE(SAS∴EH=EF，∵BE+BH=EH，∴BE+DF=EF．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的綜合應(yīng)用，熟練掌握三角形全等的判定及性質(zhì)，三角形中線的定義，三角形三邊關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式7-1】（2023上·遼寧大連·八年級(jí)校聯(lián)考期末）閱讀下面材料：小明遇到這樣一個(gè)問(wèn)題:如圖1,在四邊形ABCD中,E是BC的中點(diǎn),AE是∠BAD的平分線,AB∥DC，求證:AD=AB+DC．小明發(fā)現(xiàn)以下兩種方法:方法1:如圖2,延長(zhǎng)AE、DC交于點(diǎn)F；方法2:如圖3,在AD上取一點(diǎn)G使AG=AB,連接EG、CG.(1)根據(jù)閱讀材料,任選一種方法,證明：AD=AB+DC；用學(xué)過(guò)的知識(shí)或參考小明的方法,解決下面的問(wèn)題:(2)如圖4,在四邊形ABCD中,AE是∠BAD的平分線,E是BC的中點(diǎn),∠BAD=60°,∠ABC=180°-12∠BCD，求證【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析.【分析】（1）方法1：如圖2，延長(zhǎng)AE、DC交于點(diǎn)F，證明△ABE≌△FCE（ASA）即可解決問(wèn)題方法2：如圖3，在AD上取一點(diǎn)G使AG=AB，連接EG、CG．想辦法證明DC=DG即可解決問(wèn)題；（2）如圖4中，作CM∥AB交AE的延長(zhǎng)線于M，CM交AD于N，連接EN．只要證明△CNE≌△CND（ASA）即可解決問(wèn)題；【詳解】（1）方法1：如圖2，延長(zhǎng)AE、DC交于點(diǎn)F；∵AB∥DF，∴∠B=∠ECF，∵BE=EC，∠BEA=∠CEF，∴△ABE≌△FCE（ASA），∴AB=CF，∵EA平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAF=∠F，∴AD=DF，∴AD=CD+AB．方法2：如圖3，在AD上取一點(diǎn)G使AG=AB，連接EG、CG．∵AB=AG，∠BAE=∠GAE，AE=AE，∴△BAE≌△GAE（SAS），∴BE=EG=EC，∠AEB=∠AEG，∴∠EGC=∠ECG，∵∠BEG=∠EGC+∠ECG，∴∠BEA=∠ECG，∴AE∥CG，∴∠EAG=∠CGD，∵AB∥CD，AE∥CG，∴∠BAE=∠DCG，∴∠DCG=∠DGC，∴CD=DG，∴AD=AB+CD．（2）證明：如圖4中，作CM∥AB交AE的延長(zhǎng)線于M，CM交AD于N，連接EN．由（1）可知：AN=NM，AE=EM，∴EN平分∠ANM，∵∠BAD=60°，MN∥AB，∴∠MND=∠BAD=60°，∴∠ENM=∠ENA=60°，∴∠CND=∠CNE，∵∠B+∠ECN=180°，∠ABC=180°-12∠BCD∴∠NCE=∠NCD，∵CN=CN，∴△CNE≌△CND（ASA），∴CE=CD．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題．【變式7-2】（2023下·江蘇泰州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知：如圖①，紙片Rt△ABC，∠ACB=90°

(1)將△ABC沿著MN折疊，使得△AMN與△CMN重合，MN為折痕，展開(kāi)后如圖②所示．試判斷MN與BC的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)在（1）的條件下，連接MC，過(guò)點(diǎn)M作ME⊥BC，點(diǎn)E為垂足，如圖③所示．①將△BME沿ME折疊，點(diǎn)B能與點(diǎn)C重合嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；②圖中與△AMN全等的三角形有______個(gè)；(3)將圖②中紙片沿MC剪開(kāi)得△MBC，如圖④所示，將另一張紙片△OPQ與△MBC拼接，邊OP與邊MC恰好重合(點(diǎn)O與點(diǎn)C重合)，若OP=OQ，且△MBC的面積與△OPQ的面積相等，試探索∠BMC與∠【答案】(1)MN∥(2)①點(diǎn)B與點(diǎn)C重合，理由見(jiàn)解析；②3(3)∠BMC=∠POQ或∠POQ+∠BMC=180°，理由見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)可得MN⊥AC，再根據(jù)∠A+∠B=90°,∠A+∠AMN=90°得出∠B=∠AMN，即可得出結(jié)論；（2）①通過(guò)證明△CMN≌△MCEAAS，得出EM=CN，MN=CE，進(jìn)而推出△BME≌△CMNAAS，即可得出結(jié)論；②根據(jù)折疊的性質(zhì)和（3）根據(jù)題意進(jìn)行分類(lèi)討論：①當(dāng)△OPQ為銳角三角形時(shí)，②當(dāng)△OPQ為鈍角三角形時(shí)．【詳解】（1）解：∵△AMN與△CMN重合，MN為折痕，∴MN⊥AC，∵∠A+∠B=90°,∠A+∠AMN=90°，∴∠B=∠AMN，∴MN∥（2）解：①∵M(jìn)E⊥BC，MN⊥AC∴∠CNM=∠MEC=90°，由（1）可得MN∥∴∠NMC=∠MCE，在△CMN和△MCE中，∠NMC=∠MCE∠CNM=∠MEC=90°∴△CMN≌△MCEAAS∴EM=CN，MN=CE，∵△AMN與△CMN重合，MN為折痕，∴∠B=∠AMN=∠CMN，在△BME和△CMN中，∠B=∠CMN∠CNM=∠MEB=90°∴△BME≌△CMNAAS∴BM=CM，∴將△BME沿ME折疊，點(diǎn)B能與點(diǎn)C重合；②∵△AMN與△CMN重合，MN為折痕，∴△AMN≌△CMN，由①可得△CMN≌△MCEAAS，△BME≌△CMN∴△AMN≌△MCE，△BME≌△AMN，綜上：圖中與△AMN全等的三角形有3個(gè)，故答案為：3．（3）解：①當(dāng)△OPQ為銳角三角形時(shí)，過(guò)點(diǎn)B作BG⊥MC于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥MC于點(diǎn)H，∵S△BMC∴12∵OP與邊MC恰好重合，即OP=MC，∴BG=QH，∵M(jìn)C=MB=OP=OQ，∴MB=OQ，∵BG⊥MC，QH⊥MC，∴∠BGM=∠QHO=90°，在Rt△BGM和RtMB=OQBG=QH∴Rt△BGM≌∴∠BMG=∠QOH，即∠BMC=∠POQ；

②當(dāng)△OPQ為鈍角三角形時(shí)，過(guò)點(diǎn)B作BS⊥CM于點(diǎn)S，過(guò)點(diǎn)Q作QT⊥OP于點(diǎn)T，∵S△BMC∴12∵OP與邊MC恰好重合，即OP=MC，∴BS=QT，∵M(jìn)C=MB=OP=OQ，∴MB=OQ，∵BS⊥CM，QT⊥OP，∴∠T=∠BSM=90°，在Rt△BSM和RtMB=OQBS=QT∴Rt△BSM≌∴∠BMS=∠QOT，∵∠POQ+∠QOT=180°，∴∠POQ+∠BMS=180°，即∠POQ+∠BMC=180°．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的判定和性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)以及全等三角形的判定和性質(zhì)．全等三角形的判定方法有：SSS,SAS,ASA,AAS,HL．【變式7-3】（2023上·河北張家口·八年級(jí)?？计谀┠承０四昙?jí)（1）班數(shù)學(xué)興趣小組在一次活動(dòng)中進(jìn)行了試驗(yàn)探究活動(dòng)，請(qǐng)你和他們一起活動(dòng)吧．【探究與發(fā)現(xiàn)】(1)如圖1，AD是△ABC的中線，延長(zhǎng)AD至點(diǎn)E，使ED=AD，連接BE，寫(xiě)出圖中全等的兩個(gè)三角形：__________；【理解與運(yùn)用】(2)如圖2，EP是△DEF的中線，若EF=5，DE=3，設(shè)EP=x，求x的取值范圍；(3)如圖3，AD是△ABC的中線，∠BAC=∠ACB，點(diǎn)Q在BC的延長(zhǎng)線上，QC=AB，求證：AQ=2AD．

【答案】(1)△ADC≌△EDB(2)1<x<4(3)證明見(jiàn)解析【分析】（1）△ADC≌△EDB，根據(jù)全等三角形的判定SAS即可得到．（2）根據(jù)（1）中的輔助線作法，延長(zhǎng)EP至點(diǎn)Q，使PQ=PE，再證明△PDE≌△PFQ，得到DE=FQ，再在△FQE中，利用三邊關(guān)系進(jìn)行計(jì)算即可．（3）根據(jù)（1）中輔助線作法，延長(zhǎng)AD至點(diǎn)M，使MD=AD，證明△BMD≌△CAD，得到BM=CA，∠DBM=∠DCA，再證明△ACQ≌△MBA，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得證．【詳解】（1）∵AD是△ABC的中線，∴BD=DC,在△ADC和△EDB中，DC=BD∠ADC=∠EDB∴△ADC≌△EDBSAS．（2）如圖2，延長(zhǎng)EP至點(diǎn)Q，使PQ=PE，連接FQ，

∵EP是△DEF的中線，∴PD=PF在△PDE和△PFQ中，PD=PF∠DPE=∠FPQ∴△PDE≌△PFQSAS,∴DE=FQ=3，PE=PQ=x，在△FQE中，EF-FQ<QE<EF+FQ即5-3<2x<5+3，∴1<x<4．（3）如圖3，延長(zhǎng)AD至點(diǎn)M，使MD=AD，連接BM，

∴AM=2AD，∵AD是△ABC的中線，∴BD=CD，在△BMD和△CAD中，MD=AD∠BDM=∠CDA∴△BMD≌△CADSAS，∴BM=CA，∠DBM=∠DCA，∵∠BAC=∠ACB，∠ACQ=∠BAC+∠ABC，∠MBA=∠DBM+∠ABC，∴∠ACQ=∠MBA，在△ACQ和△MBA中，CA=BM∠ACQ=∠MBA∴△ACQ≌△MBASAS，∴AQ=AM=2AD.【點(diǎn)睛】本題考查三角形全等的證明，三角形全等的證明方法以及倍長(zhǎng)中線的輔助線作法是本題關(guān)鍵，準(zhǔn)確的作出輔助線是本題難點(diǎn)．【題型8勾股定理在格點(diǎn)中的運(yùn)用】【例8】（2023上·湖北武漢·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖是由小正方形組成的網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，圖中A、B、C都在格點(diǎn)上，畫(huà)圖過(guò)程用虛線表示．

(1)在圖1中，畫(huà)出格點(diǎn)C，使∠ABC=45°．(2)在圖2中，在AC上畫(huà)點(diǎn)E，使∠AEB=∠ABC．(3)在圖3中，點(diǎn)D是AB上一點(diǎn)，在AB的下方畫(huà)∠ADF=45°．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)見(jiàn)解析【分析】（1）構(gòu)造等腰直角三角形ABC即可；（2）構(gòu)造等腰直角三角形ABJ，BJ交AC一點(diǎn)E，點(diǎn)E即為所求；（3）構(gòu)造等腰直角三角形ABK，取格點(diǎn)P，Q，連接PQ交BK于點(diǎn)T，可得BK的中點(diǎn)T，連接AT，連接