江蘇省揚(yáng)州市高郵市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期初學(xué)情調(diào)研測試數(shù)學(xué)試題【含答案】

2023-2024學(xué)年第一學(xué)期高二期初學(xué)情調(diào)研測試數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合要求．）1.直線的傾斜角是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)直線方程確定直線斜率，由傾斜角與斜率的關(guān)系即可得傾斜角大小.【詳解】設(shè)直線傾斜角為，則直線的斜率．，，故選：C．2.直線，若，則實(shí)數(shù)的值為（）A.0 B.3 C.0或 D.0或3【答案】C【解析】【分析】根據(jù)直線垂直的充要條件列方程求解即可.【詳解】因，，所以，即，解得或.故選：C.3.圓在點(diǎn)處的切線方程為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先計(jì)算出，從而由斜率乘積為-1得到切線斜率，利用點(diǎn)斜式寫出切線方程，得到答案.【詳解】因?yàn)?，所以在圓上，的圓心為，故，設(shè)圓在點(diǎn)處的切線方程斜率為，故，解得，所以圓在點(diǎn)處的切線方程為，變形得到，即.故選：A4.兩條平行直線和間的距離為，則分別為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由兩直線平行可推出，再根據(jù)平行線間距離公式可計(jì)算.【詳解】由題意可得，再由平行線的距離公式得.故選：B5.一個(gè)小島的周圍有環(huán)島暗礁，暗礁分布在以小島中心為圓心，半徑為的圓形區(qū)域內(nèi)，已知小島中心位于輪船正西處，港口位于小島中心正北處，如果輪船沿直線返港，不會有觸礁危險(xiǎn)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，寫出輪船沿直線返港時(shí)直線的方程及暗礁分布的圓形區(qū)域的邊界的方程，由輪船沿直線返港不會有觸礁危險(xiǎn)可得直線與相離，進(jìn)而可求得結(jié)果.【詳解】以小島中心為原點(diǎn)O，東西方向?yàn)閤軸，南北方向?yàn)閥軸建立平面直角坐標(biāo)系，則設(shè)輪船所在位置為點(diǎn)B，港口所在位置為點(diǎn)A，如圖所示，則，（），暗礁分布的圓形區(qū)域的邊界的方程為，所以輪船沿直線返港時(shí)直線的方程為，即，又因?yàn)檩喆刂本€返港不會有觸礁危險(xiǎn)，所以直線與相離，即圓心O到直線的距離（），解得.故選：A.6.已知圓，直線則直線被圓截得的弦長的最小值為（）A.5 B.4 C.10 D.2【答案】C【解析】【分析】先判定直線過定點(diǎn)，再由弦長公式計(jì)算即可.【詳解】由，，即過定點(diǎn)，由得，半徑，則當(dāng)時(shí)，C到的距離最遠(yuǎn)，此時(shí)被圓截得的弦長最小，最小值.故選：C7.已知，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先對所求式子配方整理，把問題轉(zhuǎn)化為，求直線上一點(diǎn)，到直線同側(cè)的兩點(diǎn)間的距離之和的最小值，就是將軍飲馬求最值問題，先對其中一點(diǎn)作關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，進(jìn)一步把問題轉(zhuǎn)化為，求兩點(diǎn)間的距離，求解即可.【詳解】該式子是表示點(diǎn)到點(diǎn)、點(diǎn)的距離之和，又，上述式子表示直線上的點(diǎn)到點(diǎn)、點(diǎn)的距離之和的最小值（如圖）.設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，則有，解得，即，所以，所以直線上的點(diǎn)到點(diǎn)、點(diǎn)的距離之和的最小值為.故選：D.8.已知圓：和兩點(diǎn)，，若圓上至少存在一點(diǎn)，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)已知條件可得圓：與圓：（）位置關(guān)系為相交、內(nèi)切或內(nèi)含即可滿足題意，進(jìn)而求得a的值.【詳解】圓：的圓心，半徑為，因?yàn)閳A上至少存在一點(diǎn)，使得，所以圓：與圓：（）位置關(guān)系為相交、內(nèi)切或內(nèi)含，如圖所示，或或所以，又因?yàn)?，所以，?故選：B.二?多項(xiàng)選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.）9.下列說法正確的是（）A.過點(diǎn)并且傾斜角為90°的直線方程為B.過點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程為C.經(jīng)過點(diǎn)，傾斜角為的直線方程為D.過兩點(diǎn)直線的方程為【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)直線傾斜角與斜率的關(guān)系，結(jié)合截距的定義、直線的兩點(diǎn)式方程進(jìn)行逐一判斷即可.【詳解】A：直線的傾斜角為90°，所以該直線與橫軸垂直，所以直線方程為，故本選項(xiàng)正確；B：當(dāng)直線在兩坐標(biāo)軸上截距都為零時(shí)，方程設(shè)為，過點(diǎn)，所以有，所以本選項(xiàng)不正確；C：當(dāng)直線的傾斜角為90°時(shí)，沒有意義，所以本選項(xiàng)不正確；D：直線過兩點(diǎn)，所以有，因此本選項(xiàng)正確，故選：AD10.已知直線與圓，若點(diǎn)為直線l上的一個(gè)動點(diǎn)，下列說法正確的是（）A.直線l與圓相交B.若點(diǎn)Q為圓上的動點(diǎn)，則的取值范圍為C.與直線l平行且截圓的弦長為2的直線為或D.圓C上存在兩個(gè)點(diǎn)到直線的距離為【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)圓心到直線的距離即可求解ABD，由平行的斜率關(guān)系，結(jié)合弦長公式即可求解C.【詳解】對于A:圓心到直線的距離為，故直線與圓相離，A錯(cuò)誤，對于B，圓上的點(diǎn)到直線的最小距離為，故的取值范圍為，B正確，對于C，設(shè)與平行的直線為，由于圓心到直線的距離為，所以，故直線為或，故C錯(cuò)誤，對于D，由于圓上的點(diǎn)到直線的最小距離為，最大距離為，而，故圓C上存在兩個(gè)點(diǎn)到直線的距離為，D正確，故選：BD11.已知實(shí)數(shù)滿足曲線的方程，則下列選項(xiàng)正確的是（）A.點(diǎn)到曲線C上任意點(diǎn)距離最大為7 B.的最大值是3C.的最小值是 D.的取值范圍是【答案】ACD【解析】【分析】利用點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，數(shù)形結(jié)合可求A，由兩點(diǎn)距離公式可得B，由直線與圓的位置關(guān)系可得C、D.【詳解】易知曲線的方程，如圖所示，設(shè)，圓心，半徑，連接AC延長交圓C于B點(diǎn)，此時(shí)長為點(diǎn)到曲線C上任意點(diǎn)距離最大值，易得，故A正確；，即為圓上一點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方，延長OC交圓C于D點(diǎn)，則，故B錯(cuò)誤；令，則的值為過圓上一點(diǎn)的直線在縱軸上的的截距，顯然該直線與圓在相切時(shí)取得最值，即到直線的距離為半徑時(shí)，，故C正確；，即為圓C上一點(diǎn)與點(diǎn)的斜率，易知與圓C相切時(shí)斜率取得端點(diǎn)值，可設(shè)該切線方程為，則有或，由圖象可知，故D正確.故選：ACD.12.已知圓直線：，點(diǎn)P在直線上運(yùn)動，直線PA，PB分別與圓切于點(diǎn)A，B．則下列說法正確的是（）A.四邊形的面積最小值為 B.|PA|最短時(shí)，弦AB長為C.|PA|最短時(shí)，弦AB直線方程為 D.直線AB過定點(diǎn)【答案】ABD【解析】【分析】A選項(xiàng)，四邊形的面積可以看成兩個(gè)直角三角形的面積之和，又因切線長定理可知，當(dāng)最短時(shí)，面積最?。瓸選項(xiàng)，由圓的弦長公式結(jié)合銳角三角函數(shù)即可求解．C選項(xiàng)，兩垂直直線的斜率相乘等于，兩平行直線斜率相等．D選項(xiàng)，由向量積公式求定點(diǎn)坐標(biāo)．【詳解】對于A，四邊形的面積可以看成兩個(gè)直角三角形的面積之和，即，最短時(shí)，面積最小，故當(dāng)時(shí)，最短，即，，故A正確．由上述可知，時(shí)，最短，故最小，且最小值為，所以,故B正確，當(dāng)|PA|最短時(shí)，則，又，所以，，，可設(shè)的直線方程為，圓心到直線的距離，解得，，由于直線在圓心的右側(cè)，且在直線的左側(cè)，所以，所以，（舍去）即直線的方程為．故C錯(cuò)誤．設(shè)圓上一點(diǎn)為,，,，,，,，,，,，易知，由于，所以同理，．，，將代入得等號成立，故直線過定點(diǎn)為，故D正確．故選：ABD．三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.已知直線與直線平行，且經(jīng)過點(diǎn)，則直線的方程為______.【答案】【解析】【分析】運(yùn)用直線平行的性質(zhì)可求得直線l的斜率，再結(jié)合直線的點(diǎn)斜式方程即可求得結(jié)果.【詳解】由題意知，，所以直線l的方程為，即.故答案為：.14.已知點(diǎn)四點(diǎn)共圓，則點(diǎn)D到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離為______.【答案】【解析】【分析】運(yùn)用待定系數(shù)法求得過A、B、C的圓的方程，由點(diǎn)D在此圓上可求得的值，再根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式即可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)過A、B、C的圓的方程為：（），則，解得，所以過A、B、C的圓的方程為：，又因?yàn)辄c(diǎn)D在此圓上，所以，解得，所以點(diǎn)D到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離為.故答案：.15.已知直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，則的取值范圍為______.【答案】【解析】【分析】由直線與圓的位置關(guān)系數(shù)形結(jié)合計(jì)算即可.【詳解】，即過定點(diǎn)，，即曲線為原點(diǎn)為圓心，2為半徑的半圓，如圖所示，設(shè)與曲線切于點(diǎn)C，曲線與橫軸負(fù)半軸交于點(diǎn)B，則，，故.故答案為：.16.已知圓和圓，設(shè)為平面上的點(diǎn)，且滿足：存在過點(diǎn)的無窮多對互相垂直的直線和，它們分別與圓和圓相交，且直線被圓截得的弦長與直線被圓截得的弦長相等，則所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為______.【答案】或【解析】【分析】根據(jù)已知條件設(shè)出直線與直線的方程，由兩圓半徑相等且弦長相等，結(jié)合圓的弦長公式可得的圓心到直線的距離等于的圓心到直線的距離，再運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式列式，再結(jié)合含參直線方程恒過定點(diǎn)即可求得結(jié)果.【詳解】由題意知，直線、的斜率均存在且不為0，設(shè)點(diǎn)滿足條件，不妨設(shè)直線的方程為（），則直線的方程為，因?yàn)楹偷陌霃蕉紴?，且直線被截得的弦長與直線被截得的弦長相等，所以的圓心到直線的距離等于的圓心到直線的距離，即，整理得，所以或，即或，因?yàn)閗的取值有無窮多個(gè)，所以或，解得或，所以滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為或.故答案為：或.四、解答題（本大題共6小題，計(jì)70分．）17.的三個(gè)頂點(diǎn)為．求：（1）所在直線的方程；（2）邊上的中線所在直線的方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)兩點(diǎn)斜率公式以及點(diǎn)斜式即可求解，（2）根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)以及斜截式即可求解.【小問1詳解】依題意，直線的斜率，所以直線的方程為，即.【小問2詳解】由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以邊上的中線所在直線的斜率為，故直線方程為18.已知圓心為的圓經(jīng)過，兩點(diǎn)，且圓心在直線上．（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求過點(diǎn)且與圓相切的直線方程．【答案】（1）（2）和【解析】【分析】（1）求出線段的垂直平分線方程，圓心在線段的垂直平分線上，故聯(lián)立兩直線方程，求出圓心坐標(biāo)，進(jìn)而求出半徑，得到圓的方程；（2）設(shè)出切線方程，由點(diǎn)到直線距離公式得到方程，求出，得到切線方程.【小問1詳解】的中點(diǎn)為，，所以線段的垂直平分線方程為，由垂徑定理可知，圓心在線段的垂直平分線上，所以它的坐標(biāo)是方程組的解，解之得所以圓心的坐標(biāo)是，圓的半徑，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是．【小問2詳解】由題意斜率不存在時(shí)不滿足，所以設(shè)切線方程為即由已知得解得所以切線方程為和19.已知直線的方程為：（1）求證：不論為何值，直線必過定點(diǎn)；（2）過點(diǎn)引直線，使它與兩坐標(biāo)軸的正半軸所圍成的三角形面積最小，求的方程．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）將直線方程改寫成形式，解方程組即可.（2）設(shè)出直線的方程，分別令、求出相對于的y值、x值，結(jié)合三角形面積公式及基本不等式即可求得結(jié)果.【小問1詳解】證明：由可得：，令，所以直線過定點(diǎn)．【小問2詳解】由（1）知，直線恒過定點(diǎn)，所以設(shè)直線方程為，令，則；令，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，三角形面積最小，此時(shí)的方程為．20.在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，圓的圓心為，半徑為1.（1）若，直線經(jīng)過點(diǎn)A交圓于、兩點(diǎn)，且，求直線的方程；（2）若圓上存在點(diǎn)滿足（為坐標(biāo)原點(diǎn)），求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）由弦長公式計(jì)算即可；（2）先求M的軌跡方程，結(jié)合兩圓的位置關(guān)系計(jì)算即可.【小問1詳解】當(dāng)，圓心為圓的方程為，設(shè)圓心到直線的距離為，則，若直線的斜率不存在，則，圓心到直線的距離為2，直線與圓相離，不符合題意；若直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，即，=，得，得，，所以直線的方程為或；【小問2詳解】圓的方程為，設(shè)點(diǎn)，因?yàn)?，所以，化簡得，即，所以點(diǎn)在以圓心，為半徑的圓上.由題意，點(diǎn)在圓上，所以圓與圓有公共點(diǎn)，則，即，由，得；由，得.所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.21.已知圓：關(guān)于直線：對稱的圖形為圓．（1）求圓C的方程；（2）直線與圓C交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，若（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為，求直線的方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用點(diǎn)關(guān)于線對稱可求得圓心的坐標(biāo)，從而可得其方程；（2）用表示點(diǎn)O、C到直線的距離及，由面積求解即可.【小問1詳解】設(shè)圓的圓心坐標(biāo)為，由題意可得，則的中點(diǎn)坐標(biāo)為，因?yàn)閳A關(guān)于直線對稱的圖形為圓C，所以，因?yàn)閳A和圓的半徑相同，即，所以圓C的方程為．【小問2詳解】設(shè)圓心C到直線l：的距離為，原點(diǎn)O到直線l：的距離為，則，，，所以，所以，解得，因?yàn)?，所以，所以直線l的方程為，即．22.已知圓經(jīng)過三點(diǎn)．（1）求圓的方程．（2）已知直線與圓交于M，N（異于A點(diǎn)）兩點(diǎn)，若直線的斜率之積為2，試問直線是否經(jīng)過定點(diǎn)？若經(jīng)過，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不經(jīng)過，請說明理由．【答案】（1）（2）直線經(jīng)過定點(diǎn)，該定點(diǎn)的坐標(biāo)為【解析】【分析】（1）設(shè)出圓的一般方程，代入的坐標(biāo)，由此求得正確答案.（2）根據(jù)直線的斜率是否存在進(jìn)行分類討論，由直線的斜率之積列方程，化簡求得定點(diǎn)坐標(biāo).【小問1