河南中職數(shù)學(xué)（基礎(chǔ)模塊）下冊 第九章 《立體幾何》習(xí)題集（含答案）

第九章立體幾何同步習(xí)題集（附答案）教材名稱（完整全稱）數(shù)學(xué)（基礎(chǔ)模塊）下冊教材ISBN號978-7-04-049893-6主編李廣全

李尚志出版社高等教育出版社命題范圍教材第83頁至第124頁

第九章立體幾何第九章立體幾何一、選擇題1.下列說法正確的是（）.每一個平面都有確定的面積.一個平面長為寬為.一個平面把空間分成兩個部分.兩個平面把空間分成三部分2.下列圖形不一定是平面圖形的是（）.三角形.平行四邊形.梯形.四條線段首尾相接形成的四邊形三條平行直線最多能確定平面?zhèn)€數(shù)（）....4.下列說法正確的是（）.四邊形一定是平面圖形.角一定是平面圖形.梯形不一定是平面圖形.兩個平面只有一個公共點(diǎn)5.過空間同一點(diǎn)的三條直線（沒有任何兩條重合）可以確定的平面?zhèn)€數(shù)是最多能確定平面?zhèn)€數(shù)（）....6.下列說法錯誤的是（）.若線段在平面內(nèi)，則直線就在平面內(nèi).若點(diǎn)在平面內(nèi)，點(diǎn)又在直線上，則直線就在平面內(nèi).已知平面，若點(diǎn)在平面內(nèi)，又在平面內(nèi)，則點(diǎn)在直線上.若兩個平面有三個不共線的公共點(diǎn)，則這兩個平面重合7．在空間，下列命題中不正確的是()A．若兩個平面有一個公共點(diǎn)，則它們有無數(shù)多個公共點(diǎn)B．若A、B、C、D四個點(diǎn)不共面，則其中任意三點(diǎn)不共線．C．若點(diǎn)A既在平面內(nèi)，又在平面內(nèi)，則與相交于直線且A在上D．任意兩條直線不能確定一個平面8．一個正方體8個頂點(diǎn)中4個頂點(diǎn)共面的情況有()A．6種B．8種C．10種D.12種9.平行于同一條直線的兩條直線一定（）【2013年】A．垂直 B．平行 C．異面 D．平行或異面10．下列命題中，錯誤的是()【2018年】A．平面內(nèi)一個三角形各邊所在的直線都與另一個平面平行，則這兩個平面平行B．平行于同一平面的兩個平面平行C．若兩個平面平行，則位于這兩個平面內(nèi)的直線也互相平行D．若兩個平面平行，則其中一個平面內(nèi)的直線平行于另一個平面11.下列各條件中，能確定空間兩條直線平行的是（）.它們沒有公共點(diǎn).它們分別與同一條直線垂直.它們在同一平面內(nèi)且不相交.它們不相交12.直線在平面外是指直線與平面（）.平行.相交.在平面內(nèi).相交或平行13.一條直線與另一條直線平行，它與經(jīng)過另一條直線的平面的位置關(guān)系是（）.平行.相交.在平面內(nèi)或平行.在平面內(nèi)14.直線是異面直線，與經(jīng)過的平面的位置關(guān)系可能是（）.平行.相交.在平面內(nèi).相交或平行15.直線，那么直線與直線是（）.平行直線.相交直線.異面直線.以上均有可能16.平行于同一平面的兩條直線的位置關(guān)系是（）A、平行B、相交C、異面D、以上均有可能17.在長方體中，分別是上的點(diǎn)，且，則與的關(guān)系是（）.平行.相交.重合.異面18.直線∥平面，那么平行于內(nèi)的（）.全部直線.任意直線.唯一直線.過的平面與的交線19.直線∥平面，，那么直線與直線是（）.平行直線.相交直線.異面直線.平行直線或異面直線20.下面說法正確的是（）.一個平面內(nèi)的兩條直線平行于另一個平面，則這兩個平面平行。.一個平面內(nèi)的無數(shù)多條直線都平行于另一個平面，則這兩個平面平行。.一個平面內(nèi)的任一直線都平行于另一個平面，則這兩個平面平行。.分別在兩個平行平面內(nèi)兩條直線互相平行。21.如果平面∥，直線a，直線b，則a與b的關(guān)系是（）A、平行B、異面或相交C、平行或異面D、相交22.在空間內(nèi)，如果兩條直線垂直于同一條直線，那么這兩條直線的位置關(guān)系是（）.平行.相交.異面直線.以上都有可能23.下列結(jié)論中，正確的為（1）過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行；（2）過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直；（3）過直線上一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直。（）.（1）和（3）.（2）和（3）.（1）.（1）和（2）24.若直線∥平面，直線平面，則與的關(guān)系是（）.垂直.平行.相交但不垂直.以上都不對25.下列說法正確的是（）.一條直線垂直于三角形的兩條邊，則該直線與三角形所在的平面垂直.一條直線垂直于梯形的兩條邊，則該直線與梯形所在的平面垂直.一條直線垂直于平面內(nèi)無數(shù)條直線，則該直線與平面垂直.兩條平行直線中一條垂直于一個平面，另一條不一定垂直于這個平面26.如果直線，并且直線平面，那么與平面的關(guān)系是（）...∥.∥或27.教室內(nèi)有一直尺，無論如何放置，在地面上總有直線與直尺所在的直線（）A、異面B、相交C、垂直D、平行28.若平面，平面，且則與平面的關(guān)系為（）A、斜交B、C、∥D、以上都有可能29.垂直于梯形兩腰的直線與梯形所在的平面的位置關(guān)系是（）A、平行B、垂直C、相交但不垂直D、無法確定30．已知三條相交于一點(diǎn)的線段PA、PB、PC且PA=PB=PC，且A、B、C在同一個平面內(nèi)，P在平面ABC外，PH⊥平面ABC于H，則垂足H是△ABC的()A．外心B．內(nèi)心C．垂心D.重心31.下列說法中不正確的是()【2011年】A.平行于同一條直線的兩條直線互相平行B．垂直于同一條直線的兩個平面平行C．垂直于同一平面的兩條直線平行D．垂直于同一條直線的兩條直線互相垂直32．垂直于同一個平面的兩個平面一定()【2014年】A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．前三種情況都有可能33.垂直于同一個平面的兩個平面()【2015年】互相垂直B．互相平行C．相交D．前三種情況都有可能34．在空間中垂直于同一條直線的兩條直線一定是()【2016年】A．平行 B．相交 C．異面D．以上三種情況均有可能35.垂直于平面的兩條不重合直線一定()【2010年】A.平行B．垂直C．相交D.異面36.若線段與它在平面內(nèi)的射影的長之比是，則與平面所成的角的大小是（）....37.如果二面角的一個面上的點(diǎn)到棱的距離是它到另一個面的距離的倍，那么這個二面角的平面角應(yīng)該滿足（）....38.在二面角的一個面內(nèi)有一個已知點(diǎn),它到棱的距離等于它到另一個面的距離的倍,則這個二面角的大小為——為（）A、450B、300C、900D、60039.兩個平行平面之間的距離12cm，一條直線和它們相交成600角，那么這條直線夾在兩平面之間的線段長是（）A、8cmB、24cmC、12cmD、6cm40.在正方體ABCD--ABCD中，二面角D-AB-D的大小是()【2012年】A.30°B．60°C．45°D．90°41．正三棱柱各棱長都是，分別是的中點(diǎn)，則與所成的角的余弦值是()【2019年】A.B.C.D.42.下列說法錯誤的是（）.棱柱的側(cè)面都是平行四邊形.直棱柱的側(cè)面都是矩形.棱柱的側(cè)棱長不一定相等.過棱柱的不相鄰的兩條側(cè)棱的截面都是平行四邊形43.一個正方體的棱長縮小到原來的一半，它的體積縮小到原來的（）....44.如果棱柱的側(cè)面都是矩形,則這個棱柱一定是（）A、正棱柱B、直棱柱C、正方體D、長方體45.正方體的棱長為，則其對角線長為（）A、B、C、D、46.正四棱柱的底面邊長和高都為1，則其全面積是()A．6B．4C．2D．147.若正四棱柱的對角線和側(cè)面所成的角為30°，底面邊長為a，則它的體積是()A．B．C.D．48.下列說法正確的是（）.底面是矩形的平行六面體是長方體.底面是平行四邊形的直棱柱是長方體.側(cè)面是矩形的平行六面體是長方體.底面和側(cè)面都是矩形的棱柱是長方體49.一棱錐被平行于底面的截面所截，頂點(diǎn)與截面的距離與棱錐高之比1：2，則截面面積與底面面積之比是（）.1：2.2：4.1：4.1：850.正四棱錐的側(cè)棱及底面邊長都為2，則這個棱錐側(cè)面積為（）....51.正三棱錐的高為，底面邊長為，則體積為（）....52.一個正四棱錐的底面邊長為2,高為3，則體積為（）A、B、C、D、53．已知正四棱錐S-ABCD的側(cè)棱長與底面邊長都相等為，則它的體積為()A．B．C．D．．54.圓柱側(cè)面積為，一底面半徑為，則體積為（）....55．圓柱的底周長為cm，高為4cm，則軸截面的面積是()A.B.C.D.56．把邊長分別為，b的長方形卷成一個圓柱的側(cè)面，則圓柱的體積為()A．B.C．或D．57.若軸截面是正方形的圓柱的側(cè)面積為，則圓柱的體積等于()....58.已知圓柱的底面面積是，軸截面面積是，它的側(cè)面積為（）....59.一個圓錐的軸截面為等邊三角形且面積為，則圓錐的高（）....60.一個物體的下半部分為圓柱，上半部分為圓錐，圓錐的底面與圓柱的底面時半徑相同的圓，已知圓柱半徑為3，高度為8，圓錐的母線長為5，則該物體的表面積為（）....61.一個邊長為的正三角形，以其一條高為軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的全面積為（）A、B、C、D、62．圓錐的側(cè)面展開圖是扇形，且扇形的半徑為18，圓心角為240°，則圓錐的體積為()．A.B.C.D.63.圓錐的高擴(kuò)大到原來的2倍，底面半徑縮短到原來的，則圓錐的體積()A.縮小到原來的一半B.擴(kuò)大到原來的2倍C.不變D.縮短到原來的64.已知球的大圓周長為，則這個球的體積為（）....65.一個玩具的下半部分為半徑為3的半球，上半部分為圓錐，圓錐的母線長為5，圓錐的底面與球的截面密合，則該玩具的全面積為（）....66.一個球的體積為，該球內(nèi)切于一個正方體內(nèi)，那么這個正方體的棱長為（）....67.球的半徑擴(kuò)大一倍，它的體積擴(kuò)大到原來的（）倍.....68.球的半徑為，截面圓周長為，則球心到截面圓心的距離是（）....69.已知球的大圓周長為，則這個球的表面積為（）....二、填空題1.正方形是圖形；正方體是圖形。2.當(dāng)平面正對我們豎直放置時，通常把平面畫成。3.水平放置的平面用平行四邊形表示時，把平行四邊形的銳角畫成，橫邊畫成鄰邊的倍。4.如果一條直線上有點(diǎn)在一個平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)都在這個平面內(nèi)。5.如果不重合的兩個平面有一個公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過的公共直線。6.的三點(diǎn)可以確定一個平面。7.直線和一點(diǎn)可以確定一個平面。8.兩條或直線可以確定一個平面。9.若在平面內(nèi)，記，直線在平面內(nèi)，記。10．三個平面最多把空間分成部分.【2014年】11.過直線外一點(diǎn)有條直線與這條直線平行。12.在正方體中，下列直線的位置關(guān)系是(1)是直線（2）是直線(3)是直線。13.若三角形ABC在平面內(nèi)，P在平面外，則圖形P-ABC中異面直線為______________。14.直線與平面交于用符號表示為________；直線與平面平行用符號表示為________；直線在平面內(nèi)用符號表示。15.在正方體中，下列位置關(guān)系是(1)直線；（2）直線和平面；(3)直線和平面是;(4)直線和平面是;16.如果直線與平面沒有公共點(diǎn)，則直線與平面的位置關(guān)系為。17.在正方體中，互相平行的平面有對。18.平面∥平面，直線，則直線與關(guān)系是19.直線，∥，則。20.若∥，是平面、外一點(diǎn)，過P的兩條直線和交平面于，交平面于，，則。21.垂直于三角形兩邊的直線與三角形所在的平面的位置關(guān)系是。22.垂直于同一平面的兩條直線。23.平面則。24.如果直線⊥,且⊥平面，則與平面的關(guān)系為。25.空間四邊形ABCD各邊及兩條對角線長均為1,E是對角線BD的中點(diǎn),則B到平面ACE的距離為。26.已知長方體中，AB=4，AD=2，則與平面的距離為。27.正方形ABCD，AB=PD=1，則P到AC的距離為28．已知正方形ABCD的邊長為，PA⊥平面ABCD，且PA=b，則PC=____【2007年】29.在正方體中，直線與所成的角為度。30.點(diǎn)到平面的一條垂線段，斜線段，那么斜線與平面的夾角為度。31.正方形所在的平面外一點(diǎn)，有，則二面角的余弦值為。32.在二面角的一個面內(nèi)有一點(diǎn)到另一面的距離為，則點(diǎn)到棱的距離為。33.將正方形ABCD沿AC折成直二面角后.34.已知正方體中，二面角的大小為。35.在45°二面角的一個平面內(nèi)有一點(diǎn)A，它到另一平面的距離為，則點(diǎn)A到棱的距離為?！?006年】36.正方體ABCD-A1B1C1D1中AC與AC1所成角的正弦值為___.【2015年】37．將正方形ABCD沿對角線AC折成直二面角后,則_________．【2016年】38．若長方體的長、寬、高分別為，，，則其對角線長為．【2013年】39．正六棱柱的底面邊長是1，側(cè)棱長也是1，則它的體積是．【2011年】40．將一個球的體積擴(kuò)大到原來的2倍，則它的半徑為原來的_____倍.【2017年】41．側(cè)棱長和底面邊長都為1的正三棱錐的體積為．【2017年】42.圓柱的軸截面是邊長為4的正方形，則其體積是____________.【2020年】【2021年】43.已知正方體棱長為，則它的對角線長為．44.正方體的對角線長為，則它的棱長為．45.已知正四棱柱底面長為，高為，則它的底面積為；體積為．46.若長方體的長、寬、高分別為，則對角線長為。47．設(shè)正四棱柱的對角線長是3cm，底面邊長為2cm，則它的體積為____．48.底面邊長為1，側(cè)棱長也為1的正六棱柱，其體積為．49.若正四棱柱底面邊長為，側(cè)面對角線長為，則正四棱柱的對角線長為。50.在正三棱錐中，若底面邊長為，側(cè)棱長為，則其高為，側(cè)棱與底面所成的角為。51.設(shè)正四棱錐底面長為，高為，則它的斜高為；側(cè)面積為。52.在正方體中，是正三棱錐的四個頂點(diǎn)，則正方體的全面積是正三棱錐的全面積之比為.53.已知正四棱錐的側(cè)面積等于底面積的倍，則它的側(cè)面和底面所成二面角等于。54.圓柱底面半徑為，高為，其全面積為。55.一個圓柱的高為，底面半徑為，一個平面截的圓柱的截面為正方形，則這個截面與軸的距離為。56．圓柱的軸截面面積為4，則側(cè)面積為____．57.圓柱的側(cè)面展開圖是邊長為和的矩形，則圓柱的表面積_______________．58.以直角邊長為的等腰直角三角形一直角邊為軸旋轉(zhuǎn)一周，形成的圓錐的軸截面面積為___。59.圓錐的底面半徑為，軸截面為直角三角形，圓錐的全面積為。60.一個圓錐，底面積不變，高擴(kuò)大到原來的2倍，體積擴(kuò)大到原來的倍。61.一個圓柱和一個圓錐的底面直徑相等，圓錐的高是圓柱的3倍，圓錐的體積是15，則圓柱的體積為_______。62．圓錐的底面面積為，母線與底面所成的角為60°，其體積為____．63.如果一個球的半徑縮小為原來的一半，則它的表面積縮小為原來的倍。64.球心到截面圓心距離為，球的半徑為，則截面圓的直徑為。65.三個球的半徑之比為，那么最大球的表面積是其余兩個球的表面積之和的倍。66.若與球心距離為的平面截球所得的截面圓的面積是，則球的表面積是。67.已知兩球的表面積比為9:16，則這兩個球的體積比為。68.一個正方體的頂點(diǎn)都在球面上,它的棱長為4,則這個球的體積為。69.已知某球的體積大小等于其表面積大小，則球的半徑是。70．-個正方體的頂點(diǎn)部在球面上，它的棱長是6cm，則這個球的體積是____．71.一個正方體的全面積為，它的頂點(diǎn)都在球面上，這個球的表面積為____．72.已知長方體的長為2，寬為3，高為6，求它的對角線長_______。73.已知正方體的對角線長為，求它的棱長_________。三、計算題1.用符號表示下列語句（1）：若不在直線上（2）直線不在平面內(nèi)2．已知A，B是直二面角的棱上兩點(diǎn)，線段AC，線段BD，且AC⊥，BD⊥，AC=AB=6，BD=24，求線段CD的長.【2008年】3.以等腰直角△ABC的斜邊BC上高AD為折痕，使平面ABD與平面ADC互相垂直，求∠BAC．【2009年】4．已知正六棱柱的底面邊長為，高為，求它的全面積．5.正三棱柱的側(cè)面積為，高為，求它的體積6.若正三棱錐的側(cè)棱長于底面邊長都是，求該棱錐的高。7.三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，已知，求該棱錐的體積。8.已知圓柱的側(cè)面展開圖是邊長為的正方形，求它的體積。9.已知圓柱的底面半徑為2，體積為，求圓柱的高與全面積.10.一個工件由圓柱中間去掉一個圓錐構(gòu)成，已知圓柱的底面半徑為，圓柱的高為，圓錐的高為，求工件的體積。11．用一個平行于圓錐底面的平面截該圓錐，截得的小圓錐底面與圓錐底面半徑的比是1:4，小圓錐的母線長是3cm，求圓錐的母線長．已知圓錐的底面半徑為，它的軸截面是直角三角形，求圓錐的體積。13.已知圓錐的軸截面是直角三角形，求它的側(cè)面積于底面積之比值。14.將圓心角為，面積為的扇形，作為圓錐的側(cè)面，求圓錐的表面積和體積.15.已知球的半徑為41cm，一個球的截面與球心的距離為9cm，求該截面的面積．16.已知正方體各頂點(diǎn)都在球面上，正方體棱長為2，求球的體積。17.一個球的體積為，該球內(nèi)切于一個正方體內(nèi)，求這個正方體的棱長。四、證明題1．如圖9-05，已知三角形ABC各邊所在直線分別與平面交于P、Q、R，求證：P、Q、R共線．2．如圖9-06，O是正方體ABCD--ABCD的上底面ABCD的中心，M是對角線AC和截面BDA的交點(diǎn)。求證：O、M、A三點(diǎn)共線．3.已知：分別是空間四邊形的邊的中點(diǎn)，且，試問：四邊形是什么圖形，并說明理由。4.正方體中,分別是棱的中點(diǎn)，求證:∥平面.5.如圖,P—ABCD的底面ABCD是平行四邊形，E是PA中點(diǎn).求證:PC//平面BDE。6.已知∥，求證：∥。7.空間四邊形ABCD中，點(diǎn)E,F,G,H分別是邊AB.BC,CD,DA上的點(diǎn)，且EFGH是平行四邊形，求證：AC//EF.8.正方體中，求證：平面∥平面.9.在正方體中，求證：。10.等腰三角形的底邊的中點(diǎn)為，,求證：.11.已知平面，垂足分別是，求證：。12.在空間四邊形中，若，為對角線中點(diǎn)，求證：。13.如圖，ABCD是矩形E是以DC直徑的半圓上一點(diǎn)，平面CDE⊥平面ABCD。求證：CE是AE、BC公垂線。14.空間四邊形中，平面平面，，為的中點(diǎn)，求證：平面平面。15.四棱錐中，為矩形，平面平面，求證：16.已知在平面內(nèi)有平行四邊形，是對角線的交點(diǎn)，點(diǎn)在外，且，求證：如上圖，四邊形是正方形，為平面外一點(diǎn)，平面，求證：平面平面18．圓的直徑是AB，PA垂直于圓所在平面，C為圓上不同于A，B的任一點(diǎn)，求證：平面⊥平面.P是△ABC所在平面外的一點(diǎn)，PA，PB，PC兩兩垂直，PH⊥平面ABC，H是垂足．求證：H是△ABC的垂心.如圖9-27，已知ABCD是矩形，E是以DC為直徑的半圓上一點(diǎn)，平面CDE⊥平面ABCD.求證：CE是AE、BC的公垂線【2006年】21.菱形ABCD在平面上，PA⊥，求證：PC⊥BD【2010年】22．在正方體，證明：直線AC平面．【2016年】23．如圖所示，矩形ABCD所在的平面與直角三角形ABE所在的平面互相垂直．。證明：平面平面．【2019年】24.如圖1所示，在直四棱柱中，AD⊥AB，AD=AB=1，BC=，DC=2，求證：平面⊥平面.【2020年】25．如圖所示，在直三棱柱中，是邊長為4的正方形，，求證：平面．（請將23題圖畫在答題卡上，并作答）26.已知正方體ABCD-ABCD，證明：直線AC與直線AD所成角的余弦值為.【2012年】27.已知正方體棱長是，求證:三角形為等邊三角形.【2014年】五、綜合題1．ABCD是邊長為2ABC=60°，PC⊥底面ABCDPC=2EFPAAB的中點(diǎn).【2018年】EFPBC；E-PBC的體積.2．如圖，正方體的棱長為1.【2017年】（1）求與所成的角；（2）求三棱錐的體積.六、判斷題1.判斷題兩條相交直線可以確定一個平面()【2006年】2．判斷題：如果一平面內(nèi)有無數(shù)條直線與另一平面平行，則這兩個平面平行．()【2006年】3．判斷題：平行于同一平面的兩條直線平行．()【2008年】4.判斷題：過平面外一點(diǎn)P可以作無數(shù)條直線與平面平行()【2009年】5．判斷題：過直線外一點(diǎn)有無數(shù)條直線與該直線平行．()【2010年】第九章立體幾何答案一、選擇題1.C2.D3.C4.B5.C6.B7．D8．D9.B10.C11.C12.D13.C14.D15.D16.D17.A18.D19.D20.C21.C22.D23.C24.A25.A26.D27.C28.C29.B30．A31.D32．D33.D34．D35.A36.B37.C38.A39.A40.C41．A42.C43.C44.B45.C46.A47.B48.D49.C50.C51.D52.A53.B54.D55.C56.C57.A58.A59.C60.C61.D62.A63.A64.B65.A66.A67.D68.A69.B二、填空題1.平面；立體2.矩形3.，2。4.兩5.這個點(diǎn)6.不在同一條直線上7.這條直線外8.相交，平行9.，10.811.且只有一12.(1)平行（2）異面(3)平行。13.14.；∥；15.(1)平行；（2）平行；(3)相交;(4)在平面內(nèi);16.平行17.318.平行19.∥20.921.垂直22.平行23.24.平行或在平面內(nèi)25.26.27.28．29.4530.3031.32.33.34.35.36.37．60°或QUOTE38．39．40．QUOTE41．QUOTE42.16π43.44.45.；46.47．48.49.50.，51.;52.53.54.55.56．57.58.59.，60.61.62．63.64.65.66.67.27:6468.69.70．71.72.73.三、計算題1.用符號表示下列語句（1）：若不在直線上（2）直線不在平面內(nèi)解：（1）：（2）2．已知A，B是直二面角的棱上兩點(diǎn)，線段AC，線段BD，且AC⊥，BD⊥，AC=AB=6，BD=24，求線段CD的長.【2008年】解由于平面是直二面角，且AC⊥，AC，所以AC⊥，AD因此CA⊥AD在直角△ACD中，CD=AC+AD在直角△ABD中，AD=AB+BD因此CD==183.以等腰直角△ABC的斜邊BC上高AD為折痕，使平面ABD與平面ADC互相垂直，求∠BAC．【2009年】解連接BC,由題設(shè)∠A=90°，且AB=AC設(shè)AB=AC=，則BD=DC=，由于平面ABD與平面ADC互相垂直．因此∠BDC=90°，于是BC==故△ABC是等邊三角形，∠BAC=60°4．已知正六棱柱的底面邊長為，高為，求它的全面積．解:由題意得，側(cè)面積為，所以全面積為.5.正三棱柱的側(cè)面積為，高為，求它的體積解:設(shè)底面邊長為由題意得側(cè)面積為，所以，體積為.6.若正三棱錐的側(cè)棱長于底面邊長都是，求該棱錐的高。方法一：利用高、側(cè)棱及其射影組成的直角三角形求.解:由題意得，側(cè)棱的射影長為：，所以棱錐的高為.方法二：利用高、斜高及其射影組成的直角三角形求.解:由題意得斜高，斜高的射影為：，所以棱錐的高為.7.三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，已知，求該棱錐的體積。解:由題意得把作為棱錐的高，三角形作為棱錐底面，，所以體積為.8.已知圓柱的側(cè)面展開圖是邊長為的正方形，求它的體積。解:設(shè)底面的半徑為，由題意得，，所以它的體積為.9.已知圓柱的底面半徑為2，體積為，求圓柱的高與全面積.解:由題意得，底面的半徑為，它的體積為，所以.10.一個工件由圓柱中間去掉一個圓錐構(gòu)成，已知圓柱的底面半徑為，圓柱的高為，圓錐的高為，求工件的體積。解:由題意得，圓柱的體積為，圓錐的體積為，所以.工件的體積11．用一個平行于圓錐底面的平面截該圓錐，截得的小圓錐底面與圓錐底面半徑的比是1:4，小圓錐的母線長是3cm，求圓錐的母線長．解：設(shè)圓錐的母線長為，小圓錐底面與圓錐底面半徑分別為,，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得即=12．即圓錐母線長為12cm.12.已知圓錐的底面半徑為，它的軸截面是直角三角形，求圓錐的體積。解:由題意得，圓錐的母線為，圓錐的高為所以.它的體積13.已知圓錐的軸截面是直角三角形，求它的側(cè)面積于底面積之比值。解:由題意得，圓錐的母線為，圓錐的側(cè)面積為，底面積為所以.它的側(cè)面積于底面積之比值為14.將圓心角為，面積為的扇形，作為圓錐的側(cè)面，求圓錐的表面積和體積.解:由題意得，圓錐的母線為，底半徑為，圓錐的側(cè)面積為，底面積為所以.它的表面積為又因?yàn)閳A錐的高為所以.它的體積為15.已知球的半徑為41cm，一個球的截面與球心的距離為9cm，求該截面的面積．解:由題意得，截面半徑為，截面的面積為16.已知正方體各頂點(diǎn)都在球面上，正方體棱長為2，求球的體積。解:由題意得，球的直徑等于正方體對角線長，，球的半徑為所以球的體積為17.一個球的體積為，該球內(nèi)切于一個正方體內(nèi)，求這個正方體的棱長。解:由題意得，球的體積為，球的半徑為所以正方體的棱長為四、證明題1．如圖9-05，已知三角形ABC各邊所在直線分別與平面交于P、Q、R，求證：P、Q、R共線．證明：設(shè)三角形ABC所確定的平面為，直線AP，AQ，BR，即點(diǎn)P，Q，R∈，又P，Q，R∈，所以P，Q，R∈∩，所以P，Q，R共線．2．如圖9-06，O是正方體ABCD--ABCD的上底面ABCD的中心，M是對角線AC和截面BDA的交點(diǎn)。求證：O、M、A三點(diǎn)共線．證明∵AC∩BD=O，BD平面BDA，AC平面AACC∴O∈平面BDA，O∈平面AACC∵AC∩平面BDA=M，AC平面AACC．∴M∈平面BDA，M∈平面AACC又∵A∈平面BDA，A∈平面AACC，∴O、M、A都在兩個平面BDA和平面AACC的交線上，由公理2可知O、M、A三點(diǎn)共線．3.已知：分別是空間四邊形的邊的中點(diǎn)，且，試問：四邊形是什么圖形，并說明理由。解:四邊形是矩形.原因如下：聯(lián)結(jié)因?yàn)榉謩e是的中點(diǎn)，所以為三角形的中位線，于是∥，且，同理可得∥，且，因此，∥，且，故四邊形是平行四邊形.又因?yàn)樗运倪呅问蔷匦?4.正方體中,分別是棱的中點(diǎn)，求證:∥平面.證明:設(shè)是的中點(diǎn),聯(lián)結(jié)因?yàn)榉謩e是的中點(diǎn)，所以為三角形的中位線，于是，∥，,又因?yàn)?，∥，所以，∥且，故四邊形是平行四邊?因此∥.又因?yàn)?，平面。平面因此，∥平?5.如圖,P—ABCD的底面ABCD是平行四邊形，E是PA中點(diǎn).求證:PC//平面BDE。證明:聯(lián)結(jié),交的于因?yàn)榉謩e是的中點(diǎn)，所以為三角形的中位線，于是，∥，又因?yàn)?，平面BDE,平面BDE因此，PC//平面BDE。6.已知∥，求證：∥。證明:因?yàn)椋?∥，所以，∥，又因?yàn)?，，所以?7.空間四邊形ABCD中，點(diǎn)E,F,G,H分別是邊AB.BC,CD,DA上的點(diǎn)，且EFGH是平行四邊形，求證：AC//EF.證明:因?yàn)?，EFGH是平行四邊形，所以，∥又因?yàn)?，平?平面，所以，∥平面，又因?yàn)?，平面，平面平面，所以，AC//EF.8.正方體中，求證：平面∥平面.證明:由題意得∥所以是平行四邊形，所以，∥又因?yàn)?，平?平面，所以，∥平面，同理∥平面，又因?yàn)椋矫?，且，所以，平面∥平?9.在正方體中，求證：。方法一：已知線面垂直推出線線垂直；然后，線線垂直推出線面垂直，再線面垂直推出線線垂直.證明:由題意得聯(lián)結(jié)因?yàn)槠矫嫫矫?，所以，又因?yàn)槭瞧矫嫦嘟恢本€。所以，平面，又因?yàn)椋矫?，所以?方法二：已知線面垂直推出面面垂直；然后，面面垂直推出線面垂直，再線面垂直推出線線垂直.證明:因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面平面ABCD交線為，又因?yàn)闉檎叫危?，因?yàn)槠矫鍭BCD，所以，.又因?yàn)椋矫?，所以?10.等腰三角形的底邊的中點(diǎn)為，,求證：.方法一：已知線面垂直推出線線垂直；然后，線線垂直推出線面垂直，再線面垂直推出線線垂直.證明:因?yàn)榈妊切蔚牡走叺闹悬c(diǎn)為，所以因?yàn)?平面，所以，又因?yàn)椋瞧矫嫦嘟恢本€,所以，平面，又因?yàn)?，平面，所以?方法二：已知線面垂直推出面面垂直；然后，面面垂直推出線面垂直，再線面垂直推出線線垂直.證明:因?yàn)?平面，所以平面平面交線為，又因?yàn)榈妊切蔚牡走叺闹悬c(diǎn)為，所以又因?yàn)槠矫嫠裕矫?，又因?yàn)椋矫妫裕?11.已知平面，垂足分別是，求證：。方法：已知線面垂直推出線線垂直；然后，線線垂直推出線面垂直.證明:因?yàn)槠矫妫?所以同理又因?yàn)?，是平面相交直線,所以，.12.在空間四邊形中，若，為對角線中點(diǎn)，求證：。方法：已知線線垂直推出線面垂直；然后，線面垂直推出面面垂直.證明∵AB=AD，K為BD中點(diǎn)∴AK⊥BD同理CK⊥BD，且AK∩KC=K∴BD⊥平面AKC∵平面，∴13.如圖，ABCD是矩形E是以DC直徑的半圓上一點(diǎn)，平面CDE⊥平面ABCD。求證：CE是AE、BC公垂線。方法：已知面面垂直推出線面垂直；然后，線面垂直推出線線垂直；線線垂直推出線面垂直；線面垂直推出線線垂直.證明：因?yàn)锳BCD是矩形，所以AD⊥DC，BC⊥DC又平面CDE⊥平面ABCD交于DC，所以AD⊥平面CDE，BC⊥平面CDE所以AD⊥CE，BC⊥CE由于∠DEC是圓的直徑所對的圓周角，所以CE⊥DEAD∩DE=D所以CE⊥平面ADE又因?yàn)槠矫鍭DE所以CE⊥AE故CE是AE、BC的公垂線14.空間四邊形中，平面平面，，為的中點(diǎn)，求證：平面平面。方法：已知面面垂直推出線面垂直；然后，線面垂直推出面面垂直.證明:因?yàn)?，為的中點(diǎn)，所以因?yàn)槠矫嫫矫?，交線為,平面ABC所以又因?yàn)槠矫?，所以，平面平?15.四棱錐中，為矩形，平面平面，求證：方法：已知面面垂直推出線面垂直；然后，線面垂直推出線線垂直.證明:因?yàn)闉榫匦?，所以因?yàn)槠矫嫫矫妫痪€為,平面ABCD所以又因?yàn)槠矫?，所以?16.已知在平面內(nèi)有平行四邊形，是對角線的交點(diǎn)，點(diǎn)在外，且，求證：方法：已知線面垂直推出線線垂直；然后，線線垂直推出線面垂直.證明∵PA=PC，O為AC中點(diǎn)∴PO⊥AC同理PO⊥BD，且AC∩BD=O∴PO⊥平面ABCD∴17.如上圖，四邊形是正方形，為平面外一點(diǎn)，平面，求證：平面平面方法一：已知線面垂直推出線線垂直；然后，線線垂直推出線面垂直，再線面垂直推出面面垂直.證明:因?yàn)闉檎叫?，所以因?yàn)槠矫?，平面ABCD所以又因?yàn)?，是平面相交直線,所以，.又因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫娣椒ǘ阂阎€面垂直推出面面垂直；然后，面面垂直推出線面垂直，再線面垂直推出面面垂直.證明:因?yàn)槠矫?，平面PAC所以平面平面ABCD又因?yàn)闉檎叫危郧移矫鍭BCD，所以，.又因?yàn)槠矫?，所以平面平?8．圓的直徑是AB，PA垂直于圓所在平面，C為圓上不同于A，B的任一點(diǎn)，求證：平面⊥平面.方法一：已知線面垂直推出線線垂直；然后，線線垂直推出線面垂直，再線面垂直推出面面垂直.證明:因?yàn)閳A的直徑是AB，C為圓上不同于A，B的任一點(diǎn)，所以因?yàn)槠矫?，平面ABC所以,又因?yàn)槭瞧矫嫦嘟恢本€,所以，.又因?yàn)槠矫?，所以平面平面方法二：已知線面垂直推出面面垂直；然后，面面垂直推出線面垂直，再線面垂直推出面面垂直.證明:因?yàn)槠矫妫矫鍼AC所以平面平面ABC交線是因?yàn)閳A的直徑是AB，C為圓上不同于A，B的任一點(diǎn)，所以且平面ABC，所以，.又因?yàn)?，所以平面平?9．P是△ABC所在平面外的一點(diǎn)，PA，PB，PC兩兩垂直，PH⊥平面ABC，H是垂足．求證：H是△ABC的垂心.方法：已知線面垂直推出線線垂直；然后，線線垂直推出線面垂直，再線面垂直推出面面垂直.證明連接BH,∵BP⊥PABP⊥PC∴BP⊥面PAC，因?yàn)锳C平面PAC∴BP⊥AC又因?yàn)镻H⊥平面ABC，因?yàn)锳C平面ABC,所以PH⊥AC又因?yàn)锽P和PH為平面PBH相交直線∴AC⊥面PBH，因?yàn)锽H平面PBH,∴BH⊥AC.同理可證CH⊥AB綜上可知H是△ABC的垂心20.如圖9-27，已知ABCD是矩形，E是以DC為直徑的半圓上一點(diǎn)，平面CDE⊥平面ABCD.求證：CE是AE、BC的公垂線【2006年】方法：已知面面垂直推出線面垂直；然后，線面垂直推出線線垂直；線線垂直推出線面垂直；線面垂直推出線線垂直.證明：因?yàn)锳BCD是矩形，所以AD⊥DC，BC⊥DC又平面CDE⊥平面ABCD交于DC，所以AD⊥平面CDE，BC⊥平面CDE所以AD⊥CE，BC⊥CE由于∠DEC是圓的直徑所對的圓周角，所以CE⊥DEAD∩DE=D所以CE⊥平面ADE又因?yàn)槠矫鍭DE所以CE⊥AE故CE是AE、B