專題二 概率統(tǒng)計-2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)核心速學(xué)解答題專題突破（藝體生適用）

核心速學(xué)專題二概率統(tǒng)計【核心考點整合】【思維導(dǎo)引】1.樣本估計總體在求解樣本的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)以及方差時，首先一般要將樣本的數(shù)據(jù)按照一定的順序進行列舉，并根據(jù)這些數(shù)的定義進行計算；在綜合題中求解相應(yīng)事件的概率時，可以利用樹狀圖作為鞏固輔助基本事件的列舉，最后在作答時一般利用點列法進行列舉.2.離散隨機變量的數(shù)學(xué)期望、方差、標準差①期望：,②方差：=，③標準差：=.④，⑤若～,則，3.回歸分析與相關(guān)性檢驗的關(guān)注點（1）相關(guān)關(guān)系和回歸分析的注意點①易混淆相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系,兩者的區(qū)別是函數(shù)關(guān)系是一種確定的關(guān)系,而相關(guān)關(guān)系是一種非確定的關(guān)系,函數(shù)關(guān)系是一種因果關(guān)系,而相關(guān)關(guān)系不一定是因果關(guān)系,也可能是伴隨關(guān)系.②回歸分析中易誤認為樣本數(shù)據(jù)必在回歸直線上,實質(zhì)上,回歸直線必過點(x,y),可能所有的樣本數(shù)據(jù)點都不在直線上.③利用回歸方程分析問題時,所得的數(shù)據(jù)易誤認為是準確值,而實質(zhì)上是預(yù)測值(期望值).（2）解獨立性檢驗問題的關(guān)注點①兩個明確：(ⅰ)明確兩類主體；(ⅱ)明確研究的兩個問題．②兩個準確：(ⅰ)準確畫出2×2列聯(lián)表；(ⅱ)準確理解K2.4.非線性回歸問題的求解方法非線性回歸問題有時并不直接給出經(jīng)驗公式,此時我們可以由已知的數(shù)據(jù)畫出散點圖,并把散點圖與我們已經(jīng)學(xué)習(xí)的各種函數(shù),如冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)等作比較,然后采用變量的置換,把問題轉(zhuǎn)化成線性回歸分析問題,使問題得以解決.【真題領(lǐng)航】1.（2021.全國新高考Ⅰ卷，T19)為加強環(huán)境保護，治理空氣污染，環(huán)境監(jiān)測部門對某市空氣質(zhì)量進行調(diào)研，隨機抽查了天空氣中的和濃度（單位：），得下表：（1）估計事件“該市一天空氣中濃度不超過，且濃度不超過”的概率；（2）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的列聯(lián)表：（3）根據(jù)（2）中的列聯(lián)表，判斷是否有的把握認為該市一天空氣中濃度與濃度有關(guān)？附：，【解析】（1）由表格可知，該市100天中，空氣中的濃度不超過75，且濃度不超過150的天數(shù)有天，所以該市一天中，空氣中的濃度不超過75，且濃度不超過150的概率為；（2）由所給數(shù)據(jù)，可得列聯(lián)表為：合計641680101020合計7426100（3）根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)可得，因為根據(jù)臨界值表可知，有把握認為該市一天空氣中濃度與濃度有關(guān).2.（2020.全國新高考Ⅰ卷，T19)某學(xué)校組織“一帶一路”知識競賽，有A，B兩類問題，每位參加比賽的同學(xué)先在兩類問題中選擇一類并從中隨機抽取一個問題回答，若回答錯誤則該同學(xué)比賽結(jié)束；若回答正確則從另一類問題中再隨機抽取一個問題回答，無論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束.A類問題中的每個問題回答正確得20分，否則得0分；B類問題中的每個問題回答正確得80分，否則得0分，己知小明能正確回答A類問題的概率為0.8，能正確回答B(yǎng)類問題的概率為0.6，且能正確回答問題的概率與回答次序無關(guān).（1）若小明先回答A類問題，記為小明的累計得分，求的分布列；（2）為使累計得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問題？并說明理由.【解析】（1）由題可知，的所有可能取值為，，．；；．所以的分布列為（2）由（1）知，．若小明先回答問題，記為小明的累計得分，則的所有可能取值為，，．；；．所以．因為，所以小明應(yīng)選擇先回答類問題．【核心考能聚焦】核心考點一統(tǒng)計【例1】我國是世界上嚴重缺水的國家，某市政府為了鼓勵居民節(jié)約用水，計劃調(diào)整居民生活用水收費方案，擬確定一個合理的月用水量標準（噸）、一位居民的月用水量不超過的部分按平價收費，超出的部分按議價收費.為了了解居民用水情況，通過抽樣，獲得了某年100位居民每人的月均用水量（單位：噸），將數(shù)據(jù)按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5)分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖.（I）求直方圖中a的值；（=2\*ROMANII）設(shè)該市有30萬居民，估計全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)，并說明理由；（=3\*ROMANIII）若該市政府希望使85%的居民每月的用水量不超過標準（噸），估計的值，并說明理由.【解析】（Ⅰ）由頻率分布直方圖知，月均用水量在[0,0.5)中的頻率為0.08×0.5=0.04，同理，在[0.5,1)，[1.5,2)，[2,2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5)中的頻率分別為0.08，0.20，0.26，0.06，0.04，0.02．由0.04+0.08+0.5×a+0.20+0.26+0.5×a+0.06+0.04+0.02=1，解得a=0.30．（Ⅱ）由（Ⅰ），100位居民每人月均用水量不低于3噸的頻率為0.06+0.04+0.02=0.12．由以上樣本的頻率分布，可以估計全市30萬居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)為300000×0.12=36000．（Ⅲ）因為前6組的頻率之和為0.04+0.08+0.15+0.20+0.26+0.15=0.88>0.85，而前5組的頻率之和為0.04+0.08+0.15+0.20+0.26=0.73<0.85，所以2.5≤x<3．由0.3×(x–2.5)=0.85–0.73，解得x=2.9．所以，估計月用水量標準為2.9噸時，85%的居民每月的用水量不超過標準．例2.某研究機構(gòu)為了研究人的腳的大小與身高之間的關(guān)系，隨機抽測20人，得到如下數(shù)據(jù)：序號12345678910身高x（厘米）192164172177176159171166182166腳長y（碼）48384043443740394639序號11121314151617181920身高x（厘米）169178167174168179165170162170腳長y（碼）43414043404438423941（1）若“身高大于175厘米”的為“高個”，“身高小于等于175厘米”的為“非高個”；“腳長大于42碼”的為“大腳”，“腳長小于等于42碼”的為“非大腳”，請根據(jù)上表數(shù)據(jù)完成下面的列聯(lián)表：高個非高個合計大腳非大腳12合計20（2）根據(jù)（1）中表格數(shù)據(jù)，若按99%的可靠性要求，能否認為腳的大小與身高之間有關(guān)系？附：0.0500.0100.0013.8416.63510.828【解析】（1）列聯(lián)表補充如下：高個非高個合計大腳527非大腳113合計614（2）根據(jù)上述列聯(lián)表可以求得，，所以我們有的把握認為：人的腳的大小與身高之間有關(guān)系．【對點練】1.是指空氣中直徑小于或等于微米的顆粒物（也稱可入肺顆粒物）.為了探究車流量與的濃度是否相關(guān)，現(xiàn)采集到某城市周一至周五某一時間段車流量與的數(shù)據(jù)如下表：時間周一周二周三周四周五車流量（萬輛）的濃度（微克/立方米）（1）根據(jù)上表數(shù)據(jù)，請在下列坐標系中畫出散點圖；（2）根據(jù)上表數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出關(guān)于的線性回歸方程；（3）若周六同一時間段車流量是萬輛，試根據(jù)（2）求出的線性回歸方程預(yù)測，此時的濃度為多少（保留整數(shù)）？【解析】（1）散點圖如下圖所示.2分（2），，6分，，，，9分故關(guān)于的線性回歸方程是：.10分（3）當時，所以可以預(yù)測此時的濃度約為.12分2.（2021山東青島高三調(diào)研檢測）隨著城市規(guī)模的擴大和人們生活水平的日益提高，某市近年機動車保有量逐年遞增.根據(jù)機動車管理部門的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，以5年為一個研究周期，得到機動車每5年純增數(shù)據(jù)情況為：年度周期1995~20002000~20052005~20102010~20152015~2020時間變量12345純增數(shù)量（單位：萬輛）3691527其中，時間變量對應(yīng)的機動車純增數(shù)據(jù)為，且通過數(shù)據(jù)分析得到時間變量與對應(yīng)的機動車純增數(shù)量（單位：萬輛）具有線性相關(guān)關(guān)系.（1）求機動車純增數(shù)量（單位：萬輛）關(guān)于時間變量的回歸方程，并預(yù)測2025~2030年間該市機動車純增數(shù)量的值；（2）該市交通管理部門為了了解市民對“單雙號限行”的贊同情況，隨機采訪了220名市民，將他們的意見和是否擁有私家車情況進行了統(tǒng)計，得到如下的列聯(lián)表：贊同限行不贊同限行合計沒有私家車9020110有私家車7040110合計16060220根據(jù)上面的列聯(lián)表判斷，能否有的把握認為“對限行的意見與是否擁有私家車”有關(guān).附：回歸直線方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：；.附：，.0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【解析】（1）由年度周期12345純增數(shù)量（單位：萬輛）3691527所以，，.所以.因為過點，所以，，所以.2025~2030年時，，所以，所以2025~2030年間，機動車純增數(shù)量的值約為34.8萬輛.（2）根據(jù)列聯(lián)表，計算得觀測值為，，所以有的把握認為“對限行的意見與是否擁有私家車有關(guān)”.核心考點二概率、隨機變量分布列及其期望與方差【例3】某小組共10人，利用假期參加義工活動，已知參加義工活動次數(shù)為1,2,3的人數(shù)分別為3,3,4,.現(xiàn)從這10人中隨機選出2人作為該組代表參加座談會.（I）設(shè)A為事件“選出的2人參加義工活動次數(shù)之和為4”，求事件A發(fā)生的概率；（=2\*ROMANII）設(shè)為選出的2人參加義工活動次數(shù)之差的絕對值，求隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.【解析】由已知，有所以，事件發(fā)生的概率為.隨機變量的所有可能取值為，，.所以，隨機變量分布列為隨機變量的數(shù)學(xué)期望.例4．甲、乙、丙三班進行知識競賽，每兩班比賽一場，共賽三場．每場比賽勝者得分，負者得分，沒有平局，在每一場比賽中，甲班勝乙班的概率為，甲班勝丙班的概率為，乙班勝丙班的概率為．（Ⅰ）求甲班獲第一名且丙班獲第二名的概率；（Ⅱ）設(shè)在該次比賽中，甲班得分為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．（Ⅱ）可能取的值為O、3、6甲兩場比賽皆輸?shù)母怕蕿榧變蓤鲋粍僖粓龅母怕蕿榧變蓤鼋詣俚母怕蕿椤嗟姆植剂袨?36∴【對點練】1.為了實施“愛的教育”實踐活動，宇華教育集團決定舉行“愛在宇華”教師演講比賽．焦作校區(qū)決定從高中部、初中部、小學(xué)部和幼教部這四個部門選出12人組成代表隊代表焦作校區(qū)參賽，選手如下表：部門高中部初中部小學(xué)部幼教部人數(shù)4422焦作校區(qū)選手經(jīng)過出色表現(xiàn)獲得冠軍，現(xiàn)要從中選出兩名選手代表冠軍隊發(fā)言．（1）求這兩名隊員來自同一部門的概率；（2）設(shè)選出的兩名選手中來自高中部的人數(shù)為，求隨機變量的分布列及數(shù)學(xué)期望．【解析】（1）“從12名隊員中隨機選出兩名，兩人來自同一學(xué)?！庇涀魇录?，則；（2）的所有可能取值為0,1,2則的分布列為0122.甲、乙兩人組成“星隊”參加猜成語活動，每輪活動由甲、乙各猜一個成語，在一輪活動中，如果兩人都猜對，則“星隊”得3分；如果只有一個人猜對，則“星隊”得1分；如果兩人都沒猜對，則“星隊”得0分.已知甲每輪猜對的概率是，乙每輪猜對的概率是；每輪活動中甲、乙猜對與否互不影響，各輪結(jié)果亦互不影響.假設(shè)“星隊”參加兩輪活動，求：（=1\*ROMANI）“星隊”至少猜對3個成語的概率；（Ⅱ）“星隊”兩輪得分之和為X的分布列和數(shù)學(xué)期望EX.【解析】(Ⅰ)記事件A:“甲第一輪猜對”，記事件B：“乙第一輪猜對”，記事件C：“甲第二輪猜對”，記事件D：“乙第二輪猜對”，記事件E：“‘星隊’至少猜對3個成語”.由題意，由事件的獨立性與互斥性，所以“星隊”至少猜對3個成語的概率為.(Ⅱ)由題意，隨機變量X的可能取值為0,1,2,3,4,6.由事件的獨立性與互斥性，得,,,,,.可得隨機變量X的分布列為012所以數(shù)學(xué)期望.【核心素養(yǎng)集訓(xùn)】1.某險種的基本保費為（單位：元），繼續(xù)購買該險種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人的本年度的保費與其上年度的出險次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下：上年度出險次數(shù)012345保費0.851.251.51.752設(shè)該險種一續(xù)保人一年內(nèi)出險次數(shù)與相應(yīng)概率如下：一年內(nèi)出險次數(shù)012345概率0.300.150.200.200.100.05（Ⅰ）求一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費的概率；（Ⅱ）若一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費，求其保費比基本保費高出60%的概率；（Ⅲ）求續(xù)保人本年度的平均保費與基本保費的比值．【解析】（Ⅰ）設(shè)表示事件：“一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費”，則事件發(fā)生當且僅當一年內(nèi)出險次數(shù)大于1，故（Ⅱ）設(shè)表示事件：“一續(xù)保人本年度的保費比基本保費高出”，則事件發(fā)生當且僅當一年內(nèi)出險次數(shù)大于3，故又，故因此所求概率為（Ⅲ）記續(xù)保人本年度的保費為，則的分布列為因此續(xù)保人本年度的平均保費與基本保費的比值為2.為了增強環(huán)保意識，我校從男生中隨機抽取了60人，從女生中隨機抽取了50人參加環(huán)保知識測試，統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表所示：優(yōu)秀非優(yōu)秀總計男生402060女生203050總計6050110（Ⅰ）試判斷是否有99%的把握認為環(huán)保知識是否優(yōu)秀與性別有關(guān)；（Ⅱ）為參加市里舉辦的環(huán)保知識競賽，學(xué)校舉辦預(yù)選賽，已知在環(huán)保測試中優(yōu)秀的同學(xué)通過預(yù)選賽的概率為，現(xiàn)在環(huán)保測試中優(yōu)秀的同學(xué)中選3人參加預(yù)選賽，若隨機變量表示這3人中通過預(yù)選賽的人數(shù)，求的分布列與數(shù)學(xué)期望．0．5000．4000．1000．0100．0010．4550．7082．7066．63510．828附:＝【解析】（Ⅰ）有99%的把握認為環(huán)保知識是否優(yōu)秀與性別有關(guān)．（Ⅱ=2\*ROMAN）的可能取值為0，1，2，3X0123P3.(山東省濟寧市2020屆三模)過去五年，我國的扶貧工作進入了“精準扶貧”階段.目前“精準扶貧”覆蓋了全部貧困人口，東部幫西部，全國一盤棋的扶貧格局逐漸形成.到2020年底全國830個貧困縣都將脫貧摘帽，最后4335萬貧困人口將全部脫貧，這將超過全球其他國家過去30年脫貧人口總和.2020年是我國打贏脫貧攻堅戰(zhàn)收官之年，越是到關(guān)鍵時刻，更應(yīng)該強調(diào)“精準”.為落實“精準扶貧”政策，某扶貧小組，為一“對點幫扶”農(nóng)戶引種了一種新的經(jīng)濟農(nóng)作物，并指導(dǎo)該農(nóng)戶于2020年初開始種植.已知該經(jīng)濟農(nóng)作物每年每畝的種植成本為1000元，根據(jù)前期各方面調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該經(jīng)濟農(nóng)作物的市場價格和畝產(chǎn)量均具有隨機性，且兩者互不影響，其具體情況如下表：該經(jīng)濟農(nóng)作物畝產(chǎn)量(kg)該經(jīng)濟農(nóng)作物市場價格(元/kg)概率概率（1）設(shè)2020年該農(nóng)戶種植該經(jīng)濟農(nóng)作物一畝的純收入為X元，求X的分布列；（2）若該農(nóng)戶從2020年開始，連續(xù)三年種植該經(jīng)濟農(nóng)作物，假設(shè)三年內(nèi)各方面條件基本不變，求這三年中該農(nóng)戶種植該經(jīng)濟農(nóng)作物一畝至少有兩年的純收入不少于16000元的概率；（3）2020年全國脫貧標準約為人均純收入4000元.假設(shè)該農(nóng)戶是一個四口之家，且該農(nóng)戶在2020年的家庭所有支出與其他收入正好相抵，能否憑這一畝經(jīng)濟農(nóng)作物的純收入，預(yù)測該農(nóng)戶在2020年底可以脫貧?并說明理由.【解析】（1）由題意知：，，所以X的所有可能取值為：23000，17000，12500設(shè)A表示事件“作物產(chǎn)量為900kg”，則；B表示事件“作物市場價格為15元/kg”，則．則：，所以X的分布列為：2300017000125000.30.50.2（2）設(shè)C表示事件“種植該農(nóng)作物一畝一年的純收入不少于16000元”，則，設(shè)這三年中有Y年的純收入不少于16000元，則有：所以這三年中至少有兩年的純收入不少于16000元的概率為．（3）由（1）知，2020年該農(nóng)戶種植該經(jīng)濟農(nóng)作物一畝的預(yù)計純收入為（元）憑這一畝經(jīng)濟農(nóng)作物的純收入，該農(nóng)戶的人均純收入超過了國家脫貧標準，所以，能預(yù)測該農(nóng)戶在2020年底可以脫貧．4．隨機詢問某大學(xué)40名不同性別的大學(xué)生在購買食物時是否讀營養(yǎng)說明，得到如下列聯(lián)表：性別與讀營養(yǎng)說明列聯(lián)表男女總計讀營養(yǎng)說明16824不讀營養(yǎng)說明41216總計202040（Ⅰ）根據(jù)以上列聯(lián)表進行獨立性檢驗，能否在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為性別與是否讀營養(yǎng)說明之間有關(guān)系？（Ⅱ）從被詢問的16名不讀營養(yǎng)說明的大學(xué)生中，隨機抽取2名學(xué)生，求抽到男生人數(shù)的分布列及其均值（即數(shù)學(xué)期望）．（注：，其中為樣本容量．）【解析】（1）根據(jù)性別與讀營養(yǎng)說明列聯(lián)表，計算隨機變量的觀測值得：，因此，能在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下，認為性別與讀營養(yǎng)說明有關(guān)……5分（Ⅱ）的取值為0，1，2.，，.的分布列為的均值為……12分．5.(2020屆山西省晉中市高三下學(xué)期一模)2020年新年伊始，新型冠狀病毒來勢洶洶，疫情使得各地學(xué)生在寒假結(jié)束之后無法返校，教育部就此提出了線上教學(xué)和遠程教學(xué)，停課不停學(xué)的要求也得到了家長們的贊同．各地學(xué)校開展各式各樣的線上教學(xué)，某地學(xué)校為了加強學(xué)生愛國教育，擬開設(shè)國學(xué)課，為了了解學(xué)生喜歡國學(xué)是否與性別有關(guān)，該學(xué)校對100名學(xué)生進行了問卷調(diào)查，得到如下列聯(lián)表：喜歡國學(xué)不喜歡國學(xué)合計男生2050女生10合計100（1）請將上述列聯(lián)表補充完整，并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下認為喜歡國學(xué)與性別有關(guān)系？（2）針對問卷調(diào)查的100名學(xué)生，學(xué)校決定從喜歡國學(xué)的人中按分層抽樣的方法隨機抽取6人成立國學(xué)宣傳組，并在這6人中任選2人作為宣傳組的組長，設(shè)這兩人中女生人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．參考數(shù)據(jù)：0.150.100.050.0250.010