第14講 雙曲線（十大題型）-2023年暑假高一升高二數(shù)學(xué)銜接知識(shí)自學(xué)講義（人教A版2019）（解析版）

第14講雙曲線

【題型歸納目錄】

題型一：雙曲線的定義、條件

題型二：求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

題型三：雙曲線的綜合問(wèn)題

題型四：軌跡方程

題型五：雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)

題型六：求雙曲線的離心率

題型七：求雙曲線離心率的取值范圍

題型八：由雙曲線離心率求參數(shù)的取值范圍

題型九：雙曲線中的范圍與最值問(wèn)題

題型十：焦點(diǎn)三角形

【知識(shí)點(diǎn)梳理】

知識(shí)點(diǎn)一：雙曲線的定義

在平面內(nèi)，到兩個(gè)定點(diǎn)￡、入的距離之差的絕對(duì)值等于常數(shù)2a(。大于0且2。＜|耳居|)的動(dòng)點(diǎn)P

的軌跡叫作雙曲線.這兩個(gè)定點(diǎn)￡、b叫雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫作雙曲線的焦距.

知識(shí)點(diǎn)詮釋：

1、雙曲線的定義中，常數(shù)2a應(yīng)當(dāng)滿足的約束條件：儼用-歸曰=2a＜閨可，這可以借助于三角

形中邊的相關(guān)性質(zhì)“兩邊之差小于第三邊”來(lái)理解；

2、若去掉定義中的“絕對(duì)值”，常數(shù)a滿足約束條件：歸周一|。用=幼＜出閭(a＞0),則動(dòng)點(diǎn)軌跡

僅表示雙曲線中靠焦點(diǎn)尸2的一支；若第|一|/岑|=2。＜忻6|(a＞0),則動(dòng)點(diǎn)軌跡僅表示雙曲線中靠焦

點(diǎn)F1的一支；

3、若常數(shù)a滿足約束條件：歸用一|P用|=2a=|耳聞，則動(dòng)點(diǎn)軌跡是以為端點(diǎn)的兩條射線(包

括端點(diǎn))；

4、若常數(shù)a滿足約束條件：歸耳|—上到=2a＞閨用，則動(dòng)點(diǎn)軌跡不存在；

5、若常數(shù)a=0,則動(dòng)點(diǎn)軌跡為線段的垂直平分線.

知識(shí)點(diǎn)二：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

Nv2

1、當(dāng)焦點(diǎn)在X軸上時(shí)，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：--^v=l(a＞0,b＞0),其中。2=。2+從；

a~b

2、當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：二一二=1（。>0力>0）,其中/=/+〃

a"b~

橢圓、雙曲線的區(qū)別和聯(lián)系:

橢圓雙曲線

根據(jù)|M尸i|+|M尸21=2。根據(jù)|MFi|一|M尸2l=±2a

a>c>0,0<a<c,

/—(》>())/一/=啟(&>0)

龍2丁一]

靛+爐-葭/一瓦-匕

丁%2-i

L*1

力>0)（67>0,b>0,〃不一定大于〃）

a2=b2-^-c2(。最大)c2=a2+b2(c最大)

22

標(biāo)準(zhǔn)方程統(tǒng)一為：土+匕=1

mn

方程城+為2=。（4、B、C均不為零）表示雙曲線的條件

ADy-丫2

方程"+8），2=。可化為竺+&L=1,即三+匚=1,

CCCC

AB

所以只有A、B異號(hào)，方程表示雙曲線.

當(dāng)*C>0,C*<0時(shí)，雙曲線的焦點(diǎn)在X軸上；

AB

當(dāng)±C<0,C]>0時(shí)，雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上.

知識(shí)點(diǎn)詮釋：

3、當(dāng)且僅當(dāng)雙曲線的對(duì)稱中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸是坐標(biāo)軸，雙曲線的方程才是標(biāo)準(zhǔn)方程形式.此時(shí)，

雙曲線的焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上.

4、雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中，八氏c三個(gè)量的大小與坐標(biāo)系無(wú)關(guān)，是由雙曲線本身所確定的，分別表示雙曲

線的實(shí)半軸長(zhǎng)、虛半軸長(zhǎng)和半焦距長(zhǎng)，均為正數(shù)，且三個(gè)量的大小關(guān)系為：c>“，c>b,且/="+“2.

5、雙曲線的焦點(diǎn)總在實(shí)軸上，因此已知標(biāo)準(zhǔn)方程，判斷焦點(diǎn)位置的方法是：看/、V的系數(shù)，如果x2

項(xiàng)的系數(shù)是正的，那么焦點(diǎn)在x軸上；如果V項(xiàng)的系數(shù)是正的，那么焦點(diǎn)在y軸上.

6、對(duì)于雙曲線，。不一定大于江因此不能像橢圓那樣通過(guò)比較分母的大小來(lái)判定焦點(diǎn)在哪一條坐標(biāo)軸

上.

知識(shí)點(diǎn)三：求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

①待定系數(shù)法：由題目條件確定焦點(diǎn)的位置，從而確定方程的類型，設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程，再由條件確定方程

中的參數(shù)4、。、C的值.其主要步驟是“先定型，再定量”；

②定義法：由題目條件判斷出動(dòng)點(diǎn)的軌跡是什么圖形，然后再根據(jù)定義確定方程.

知識(shí)點(diǎn)四：雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)

22

雙曲線二一二=1Ca>0,b>0)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)

ab

范圍

2

,??[NW”

a"

x>?；騲<-a

雙曲線上所有的點(diǎn)都在兩條平行直線4-〃和廣。的兩側(cè)，是無(wú)限延伸的.因此雙曲線上點(diǎn)的橫坐標(biāo)滿

足x<-a或x>a.

對(duì)稱性

一、x2y2

對(duì)于雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程一^-”=1b>0),把x換成-x,或把y換成-y,或把“、y同時(shí)換成-x、

a

22

干方程都不變，所以雙曲線=-當(dāng)=1(a>0,b>0)是以x軸、y軸為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形，且是以原

a~b

點(diǎn)為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形，這個(gè)對(duì)稱中心稱為雙曲線的中心.

頂點(diǎn)

①雙曲線與它的對(duì)稱軸的交點(diǎn)稱為雙曲線的頂點(diǎn).

22

②雙曲線「-5=1(?>0,。>0)與坐標(biāo)軸的兩個(gè)交點(diǎn)即為雙曲線的兩個(gè)頂點(diǎn)，坐標(biāo)分別為

a"b~

Ai(-a,0),A2(a,0),頂點(diǎn)是雙曲線兩支上的點(diǎn)中距離最近的點(diǎn).

③兩個(gè)頂點(diǎn)間的線段4A2叫作雙曲線的實(shí)軸；設(shè)6(0,-h),&(0,b)為y軸上的兩個(gè)點(diǎn)，則線段

8/2叫做雙曲線的虛軸.實(shí)軸和虛軸的長(zhǎng)度分別為肉4|=2"，|8/2|=2b.“叫做雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)，人叫做

雙曲線的虛半軸長(zhǎng).

①雙曲線只有兩個(gè)頂點(diǎn)，而橢圓有四個(gè)頂點(diǎn)，不能把雙曲線的虛軸與橢圓的短軸混淆.

②雙曲線的焦點(diǎn)總在實(shí)軸上.

③實(shí)軸和虛軸等長(zhǎng)的雙曲線稱為等軸雙曲線.

離心率

①雙曲線的焦距與實(shí)軸長(zhǎng)的比叫做雙曲線的離心率，用e表示，記作e=t=￡.

laa

②因?yàn)閏>a>0,所以雙曲線的離心率e=￡〉l.

a

由<2="+/，可得2層《=（￡）2—1=朽工，所以2決定雙曲線的開(kāi)口大小，2越大，e也

a\a\aaa

越大，雙曲線開(kāi)口就越開(kāi)闊.所以離心率可以用來(lái)表示雙曲線開(kāi)口的大小程度.

③等軸雙曲線。=人，所以離心率e=后.

漸近線

經(jīng)過(guò)點(diǎn)A2、4作y軸的平行線x=±a,經(jīng)過(guò)點(diǎn)9、打2作x軸的平行線產(chǎn)±8,四條直線圍成一個(gè)矩形（如

知識(shí)點(diǎn)四：雙曲線兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程幾何性質(zhì)的比較

焦點(diǎn)￡(-c,0),K(c,0)6(o,-c),K(0,c)

2222

焦距\FlF2\=2c(c=y/a+b)\FlF2\=2c(c=yla+b)

范圍{x\x<-c^x>a},y￡R｛小W—族”辦XGR

對(duì)稱性關(guān)于X軸、了軸和原點(diǎn)對(duì)稱

性質(zhì)

頂點(diǎn)(±?,0)(0,±?)

軸實(shí)軸長(zhǎng)=2。，虛軸長(zhǎng)=2b

離心率e=—(e>l)

a

漸近線

y=±\y=±-x

方程ab

知識(shí)點(diǎn)詮釋：雙曲線的焦點(diǎn)總在實(shí)軸上，因此己知標(biāo)準(zhǔn)方程，判斷焦點(diǎn)位置的方法是：看％2、V的系

數(shù)，如果『項(xiàng)的系數(shù)是正的，那么焦點(diǎn)在X軸上；如果v項(xiàng)的系數(shù)是正的，那么焦點(diǎn)在y軸上.

對(duì)于雙曲線，。不一定大于從因此不能像橢圓那樣通過(guò)比較分母的大小來(lái)判定焦點(diǎn)在哪一條坐標(biāo)軸上.

知識(shí)點(diǎn)五：雙曲線的漸近線

(1)已知雙曲線方程求漸近線方程：

2222

若雙曲線方程為0-與=1,則其漸近線方程為2r=0=￡±2=0=y=±2x

a'bab'aba

已知雙曲線方程，將雙曲線方程中的“常數(shù)”換成"0",然后因式分解即得漸近線方程.

(2)已知漸近線方程求雙曲線方程：

若雙曲線漸近線方程為小土〃y=O,則可設(shè)雙曲線方程為加2/一〃2y2=丸，根據(jù)已知條件，求出力即

可.

22

(3)與雙曲線三一4=1有公共漸近線的雙曲線

a2b2

2222

與雙曲線0—4=1有公共漸近線的雙曲線方程可設(shè)為二—4=4(/1w0)(九＞0,焦點(diǎn)在X軸上,

a~b~a~b~

大＜0,焦點(diǎn)在y軸上)

(4)等軸雙曲線的漸近線

等軸雙曲線的兩條漸近線互相垂直，為y=±x,因此等軸雙曲線可設(shè)為f-y2=2(2^0).

知識(shí)點(diǎn)六：雙曲線中a,兒c的幾何意義及有關(guān)線段的幾何特征：

雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中，。、氏C三個(gè)量的大小與坐標(biāo)系無(wú)關(guān)，是由雙曲線本身的形狀大小所確定的，分別

表示雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)、虛半軸長(zhǎng)和半焦距長(zhǎng)，均為正數(shù)，且三個(gè)量的大小關(guān)系為：c>6>0,c>a>0,且

c2=h2+a2.

X2y2

雙曲線J—勺=1(a>0,b>0),如圖:

a~b~

（1）實(shí)軸長(zhǎng)1442|=2。，虛軸長(zhǎng)北，焦距|￡EI=2c,

6=迎=_^]_=3=1^1=￡=[Zu

（2）離心率:

1

IPM,I\PM2\IA&I\\K2\a\a

（3）頂點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離：|A周=|&國(guó)=c-a,|AE|=|&F；|=a+c；

【典例例題】

題型一：雙曲線的定義、條件

例1.（2023?高二課時(shí)練習(xí)）平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)耳馬的距離之差的絕對(duì)值等于|4國(guó)的點(diǎn)的軌跡是（）

A.雙曲線B.兩條射線C.一條線段D.一條直線

【答案】B

【解析】如圖:

設(shè)動(dòng)點(diǎn)為P,尸到兩個(gè)定點(diǎn)耳尼的距離之差的絕對(duì)值為d,

則若尸在線段大入（不包含兩端點(diǎn)）上，有d<|耳入|；

若尸在直線外,有d<|明:

若P在線段耳5的延長(zhǎng)線上或線段-弱的反向延長(zhǎng)線上（均包含兩端點(diǎn)），

則有d=|耳閭.

故選：B

例2.（2023?高二課時(shí)練習(xí)）到兩定點(diǎn)片（-3,0）、乙（3,0）的距離之差的絕對(duì)值等于6的點(diǎn)M的軌跡（）

A.橢圓B.直線C.雙曲線D.兩條射線

【答案】D

【解析】因?yàn)榘⒅?明曰=6,1號(hào)=6,

故用的軌跡是已寫(xiě)、行為端點(diǎn)的兩條射線，

故選：D.

例3.（2023?高二課時(shí)練習(xí)）已知?jiǎng)狱c(diǎn)P（x,y）滿足J（x+2『+y2一J（x_2?+y2=2,則動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡是

（）

A.雙曲線B.雙曲線左支

C.雙曲線右支D.一條射線

【答案】C

【解析】因?yàn)镴（x+2y+y2—J（x-2?+y2=2的幾何意義是動(dòng)點(diǎn)P（x,y）到點(diǎn)耳（-2,0）與瑪（2,0）的距離

之差為2,

又因?yàn)?V忻局=4,

所以由雙曲線的定義，知?jiǎng)狱c(diǎn)。的軌跡是雙曲線右支.

故選：C

例4.（2023?四川成都?高二成都實(shí)外?？茧A段練習(xí)）方程x=J+4y2所表示的曲線是（）

A.圓的一部分B.橢圓的一部分

C.雙曲線的一部分D.直線的一部分

【答案】C

【解析】方程兩邊平方后可整理出雙曲線的方程，由于x的值只能取大于等于1的數(shù)，推斷出方程表示的

曲線為雙曲線的一部分.》="耳7兩邊平方，

可變?yōu)?-4丫2=1（乂」），

即X，嚀=l（x.」），

4

表示的曲線為雙曲線的一部分；

故選：C.

例5.（2023?重慶巫山?高二?？计谀┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系lOy中，已知點(diǎn)月（-5,0）,鳥(niǎo)（5,0）,動(dòng)點(diǎn)P滿足

ImHP閭=8,則動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡是（）

A.橢圓B.拋物線

C.雙曲線D.雙曲線的一支

【答案】D

【解析】因?yàn)槎ㄒ?,0）,居（5,0）,所以忸1=10,若動(dòng)點(diǎn)尸滿足歸用一|尸以=8＜閨聞=10,則動(dòng)點(diǎn)P的

軌跡是以《、G為焦點(diǎn)的雙曲線.

而題目中動(dòng)點(diǎn)P只滿足伊用-|P段=8,有|P制>|明|,所以動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡是以耳、尸2為焦點(diǎn)的雙曲線的

右支.

故選:D

題型二：求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

例6.（2023?山西晉中?高二?？茧A段練習(xí)）求滿足下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程:

（1）焦點(diǎn)在x軸上，離心率為g,兩頂點(diǎn)間的距離為6；

（2）以橢圓5+5=1的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，頂點(diǎn)為焦點(diǎn).

22

【解析】⑴設(shè)雙曲線的方程為毛-4=1（。>0,6>0）.

a~b~

c5

由一=三，2a=6,得c=5,b1=c2-a2=16,b=4,

a3

所以雙曲線的方程為三-t=l.

916

（2）由題意可知，雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上.

設(shè)雙曲線的方程為事—方=1（“>0,6>0）,則<?=9,a2=9—5=4>b2=c2—a2=5<

所以雙曲線的方程為r4,

例7.（2023.高二單元測(cè)試）求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程:

(l)a=4,經(jīng)過(guò)點(diǎn)A\1,

（2）焦點(diǎn)y軸上，且過(guò)點(diǎn)卜,-4夜），（,,5）.

22

【解析1（1）當(dāng)雙曲線焦點(diǎn)在X軸上時(shí)，設(shè)雙曲線方程為事-1=1（。>0,6>0）,

ab

22

將。=4代入，得三一*=1.

16h2

又點(diǎn)Al,在雙曲線上,

???有，-黑=1,由此得/<0,不合題意，舍去.

當(dāng)雙曲線焦點(diǎn)在），軸上時(shí)，設(shè)雙曲線方程為｝"=9。，"。）,

故y=1(/?>0)，

記一記

把點(diǎn)A坐標(biāo)代入，得提一5=1，解得。2=9.

故所求雙曲線方程為《-二=1.

169

(2)設(shè)雙曲線方程為小2_與2=1(45>0),將已知點(diǎn)坐標(biāo)代入，

’94-328=1

得^81，解得A=-,，B=--.

一A—253=1916

116

2)

...所求方程為匕-土=1.

169

例8.(2023?全國(guó)?高二專題練習(xí))求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程:

(l)a=3,c=4,焦點(diǎn)在x軸上；

(2)焦點(diǎn)為(0,-6)、(0,6),經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-5,6).

【解析】(1)由題設(shè)知，〃=3,c、=4,由,2=儲(chǔ)+從，得〃=°2—/=42—32=7.

22

因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)在X軸匕所以所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為土-匯=1；

97

(2)由已知得c=6,且焦點(diǎn)在y軸上.因?yàn)辄c(diǎn)A(-5,6)在雙曲線上，

所以點(diǎn)A與兩焦點(diǎn)的距離的差的絕對(duì)值是常數(shù)2”，

22

即2a=J(一5-0『+(6+6)2_^(_5_0)+(6_6)=|13-5|=8,

貝ija=4,&2=c2-a2=62-42=20.

因此，所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是金-《=1.

1620

例9.(2023?全國(guó)?高二專題練習(xí))求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：

(1)焦點(diǎn)為(2,0),(-2,0),且雙曲線上的一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)距離之差為2；

(2)焦點(diǎn)在y軸上，焦距為10,且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,4)；

(3)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,6),(-75,2).

22

【解析】(1)因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)在x軸上，故可設(shè)方程為：^-4=1-

crb

又焦點(diǎn)為(2,0),(-2,0),故可得c=2,

乂雙曲線上的一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)距離之差為2,即為=2,則。=1,

X/?2=c2-a2=4-1=3.

故雙曲線方程為：x2-^-=l.

3

（2）因?yàn)殡p曲線焦點(diǎn)在〉軸上，故可設(shè)雙曲線方程為±=1,

ab

又其焦距為10,故可得2c=10,c=5：

又該雙曲線過(guò)點(diǎn)（0,4）,則。=4,故y=。2一/=25—16=9，

故雙曲線方程為：=1.

169

（3）不妨設(shè)雙曲線方程為：mx2+ny2=],

因其過(guò)點(diǎn)（2,6）,卜石,2）,故可得4〃7+3〃=1,5，〃+4〃=1,

聯(lián)立方程組可得：m=1,〃=-1,

故所求雙曲線方程為：x2-y2=\.

例10.（2023?四川內(nèi)江?高二四川省內(nèi)江市第六中學(xué)?？茧A段練習(xí)）求適合下列條件的圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方

程；

（1）短軸長(zhǎng)為2百，離心率e=|的橢圓；

22

（2）與雙曲線?-?=1具有相同的漸近線，且過(guò)點(diǎn)M（3,-2）的雙曲線.

人=非卜=3

【解析】（1）由題意可知￡=],解得/=石.

a3

I-----c=2

b=\Ja2-c2

若橢圓的焦點(diǎn)在X軸上，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為《+￡=1,

95

若橢圓的焦點(diǎn)在y軸匕橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為片+t=1.

95

綜上所述，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為工+f=1或上+三=1.

9595

（2）設(shè)所求雙曲線方程為[-a=/t（4w0）,

將點(diǎn)（3,-2）代入所求雙曲線方程得2=蜉1_：=-2，

所以雙曲線方程為$-￡=-2,即片-t=1.

4368

題型三：雙曲線的綜合問(wèn)題

22

例11.（多選題）（2023?河南南陽(yáng)?高二南陽(yáng)中學(xué)校考階段練習(xí)）已知雙曲線氏5-方=1（〃>0,6>0）的

左、右焦點(diǎn)分別為月，K，過(guò)原點(diǎn)的直線/與雙曲線交于4B兩點(diǎn)，若四邊形鳥(niǎo)為矩形且

|A用=2|A段，則下列正確的是（）

A.\AB\=2>/5aB.E的漸近線方程為丫=土岳

C.矩形5的面積為4a2D.E的離心率為石

【答案】AD

【解析】不妨設(shè)點(diǎn)4在第一象限，如圖，由題意可得：四邊形鳥(niǎo)為矩形,

由雙曲線的定義可得：|A耳|一|A閭=2|然卜|4閭=|伍|=2a,則防=2|伍|=船,

對(duì)A：?.?四邊形為矩形，則|AB|=|"瑪|=A用2+1=gap+（2aJ=2&,A正確；

對(duì)B：由選項(xiàng)A可得：2c=2亞a,則c=J5a，b=-a2=2a>

h

注意到雙曲線E的焦點(diǎn)在x軸上，則E的漸近線方程為、=士士x=±2x,B錯(cuò)誤；

a

對(duì)C：矩形4片8鳥(niǎo)的面積為S=|A周x|A用=4ax2a=84,c錯(cuò)誤；

對(duì)D：由A選項(xiàng)知，|AB|=2行a,所以e=石，D正確.

故選：AD.

例12.（多選題）（2023?江西?高二校聯(lián)考階段練習(xí)）己知雙曲線（7:/-〃沙2=1的左、右焦點(diǎn)分別為

耳（-2,0）、6（2,0）,點(diǎn)P在雙曲線C上，下列結(jié)論正確的是（）

A.m=3

B.雙曲線C的漸近線方程為丫=士百x

C.存在點(diǎn)尸,滿足|P4|=4|尸聞

D.點(diǎn)尸到兩漸近線的距離的乘積為［

4

【答案】BD

【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)椤?1,c=2,則J1-4=6,

所以，雙曲線C的方程為爐一￡=1,則機(jī)=；,A錯(cuò)；

33

對(duì)于B選項(xiàng)，雙曲線C的漸近線方程為丫=±2=±&,B對(duì)；

a

對(duì)于C選項(xiàng)，若存在點(diǎn)尸，使得歸6|=4仍用，則點(diǎn)P必在雙曲線C的右支上，

由雙曲線的定義可得歸用-歸國(guó)=3歸用=24=2,可得忸用=：,

設(shè)點(diǎn)戶（4,%）,則將21,則|明=J（x0-2）2+y；=舊-4%+4+3*一3

=-4x0+l=|2xfl-l|=2^0-l>l,矛盾，

故不存在點(diǎn)尸，使得|尸耳|=4|尸閭，C錯(cuò)；

對(duì)于D選項(xiàng)，設(shè)點(diǎn)九），則片-卷=1,

則點(diǎn)P到直線底-y=0的距離為1=回一%I,

12

點(diǎn)尸到直線6x+y=0的距離為“=?+T,

22

所以，44=國(guó)二用=3，D對(duì).

1-44

故選：BD.

22

例13.（多選題）（2023?江西吉安?高二永豐縣永豐中學(xué)?？计谥校╇p曲線G二-之=1（。>0）的左右焦點(diǎn)分

a-9

別是￡,尸2,左右頂點(diǎn)分別是A,B,兩漸近線分別是4，4,M在雙曲線C上，其中。是坐標(biāo)原點(diǎn)，則

下列說(shuō)法正確的是（）

A.焦點(diǎn)B到漸近線4的距離是3

B.若|。叫=|。制，則也巴的面積是9

C.直線MG的斜率為占，直線的斜率為女2,則發(fā)乂=3

D.過(guò)右頂點(diǎn)8作的平行線交4于尸點(diǎn)，若一03尸的面積為3,則雙曲線的離心率為g

4

【答案】ABD

【解析】因?yàn)榻裹c(diǎn)（c,0）到漸近線3x+”=0的距離是了=j；+32=3=b，故A正確；

|OM|=|O用時(shí)，則次，,故/不鳴=90。，

由勾股定理得田圖2=|PE『+|PE「得4c2=（||PF,|-|尸511>+2尸5II尸鳥(niǎo)

*12*42

則4c2=4a+2\PFt\\PF2\,所以|P幣|PF21=2b,

由三角形的面積公式可得=；|P耳||Pg|="=9,故B正確；

當(dāng)/耳加入=90°時(shí)，kjk2-1,當(dāng)M在右頂點(diǎn)時(shí)，k、-k2=Q,故匕此不是定值，故C錯(cuò)誤：

過(guò)右頂點(diǎn)8作4的平行線交心廣砥于P點(diǎn)，則尸佟勺，故尸修中，

a2）122yz

135

貝％O8P的面積為5=5、“檸=3,解得a=4,則雙曲線的離心率為：，故D正確，

故選：ABD.

22

例14.（多選題）（2023?全國(guó)?高二期中）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線C:-—芯=1（〃>0力>0）的左焦點(diǎn)尸

關(guān)于C的一條漸近線的對(duì)稱點(diǎn)P恰好在C上，若直線Q交C的左半支于點(diǎn)。，則（）

A.C的漸近線方程為》=±2》B.PO尸的面積為/

C.|尸。：|尸。=1：2D.△POQ是等腰三角形

【答案】AC

【解析】如圖，設(shè)口與漸近線/交于點(diǎn)A，尸2為雙曲線C的右焦點(diǎn)，則R為線段FP的中點(diǎn)，

又因?yàn)椤槭現(xiàn)z的中點(diǎn)，所以，ORHPF2,

he

雙曲線的左焦點(diǎn)為F（-c,0）,則點(diǎn)F到直線y=±,x的距離為J，

即|尸/?|=6,則|用=26,由雙曲線的定義可得|印—|6日=為，則|6耳=?-勿，

在RtaP"；中，由勾股定理可得|PF「+|「用2=|五用2,

即（?）2+（2力-24）？=（2c）2,整理可得〃=2a,

所以，雙曲線C的漸近線方程為）=±2》，A對(duì);

\PF\=2b=4a,\F2P\=2b-2a=2a,

2

所以，S^POF=S^PFF2=^\PF\-\PF2\=^x4ax2a=2a,B錯(cuò)；

設(shè)|尸。|=加，則|PQ|=4a-,2,|名Q|=〃?+2a,

在直角,PQF?中有，|PQ『+因/f=l鳥(niǎo)。『，即（4ar"）2+4/=（〃?+2a）2,

解得〃?=?，則|PQ|=|a，IgQkg",所以忻@:|PQ|=1:2,C對(duì)；

設(shè)雙曲線C的半焦距為c,則c=^a，

因?yàn)镻F_LPG。為F弱的中點(diǎn)，所以，|O"=|OF|=C=6,|P0=|a,

因?yàn)椤?，尸尸，。為線段用上一點(diǎn)（不與線段端點(diǎn)重合），則NOQR為銳角，

故NOQ尸為鈍角，則在△OQ尸中，同=|3，所以，|0。＜[0"＜?xì)w。，

所以，△尸OQ不是等腰三角形，D錯(cuò).

故選：AC.

Y2V2

例15.（多選題）（2023?廣東深圳高二統(tǒng)考期末）己知耳、工分別是雙曲線。邑噎=1（4＞0力＞0）的

左、右焦點(diǎn)，P為雙曲線C上的動(dòng)點(diǎn)，陽(yáng)段=10,歸川-「周=6,點(diǎn)耳到雙曲線C一條漸近線的距離為

d,則下列選項(xiàng)正確的有（）

A.雙曲線C的實(shí)軸長(zhǎng)為3B.雙曲線C的離心率為g

C.|尸閭的最小值為2D.d=4

【答案】BCD

【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，由雙曲線的定義可得|「用-歸周=2?=6,可得〃=3,

所以，雙曲線C的實(shí)軸長(zhǎng)為6,A錯(cuò)：

對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)?c=歸段=10,則c=5,所以，雙曲線C的離心率為e=5=g,B對(duì)；

對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)閨P耳尸國(guó)=6＞。，故點(diǎn)尸在雙曲線C的右支上，

________22

易知〃=7=疹于=4,則雙曲線C的方程為1-當(dāng)=1,

916

設(shè)點(diǎn)夕伍，兒），則飛23,易知點(diǎn)1（5,0）,且苓T=i,可得尤=陪_16,

所以'|「閭=-5）~+y：=-10x0+25+^^--16=-10x0+9

=號(hào)-3=爭(zhēng)-325-3=2,當(dāng)且僅當(dāng)毛=3時(shí)，等號(hào)成立，C對(duì)；

b4

對(duì)于D選項(xiàng)，雙曲線C的漸近線方程為丫=±2%=±±凡即4x±3y=0,

a3

4x5

雙曲線C的焦點(diǎn)鳥(niǎo)（5,0）到漸近線4x+3y=0的距離為d=對(duì).

所以,^77=4,D

故選：BCD.

2?>

例16.（多選題）（2023?安徽合肥?高二?？计谀┮阎p曲線上—21=1的左、右焦點(diǎn)分別為"，F(xiàn)2,

916

左、右頂點(diǎn)分別為A,8,點(diǎn)P在雙曲線上，則下列結(jié)論正確的是（）

A.該雙曲線的離心率為g

B.若「耳,耳耳，則△尸耳鳥(niǎo)的面積為與

144

C.點(diǎn)Q到兩漸近線的距離乘積為石

D.直線24和直線總的斜率乘積為I

9

【答案】ACD

【解析】由雙曲線方程得。=3,〃=4,c=反正=5,雙曲線的離心率為上==,A正確;

a3

若不妨設(shè)|尸四=9=修，%可=①，Sg=：2曰=牛=等，B錯(cuò)誤；

設(shè)P（x,y）,則^-一—=1,16x2-9y2=144,漸近線方程為4x±3y=。，

916

|4x+3y|\4x-3y\|16x2-9}^I144

點(diǎn)尸到兩漸近線的距離乘積為Z2/、2=一又一1=C正確；

V42+32^42+（-3）2525

16m

A（-3,0）,8（3,0）,yyv2I9\16.D正確；

k?.?k,,——:—?-----=------；--------=—

Kx+3x-3X2-9X2-99

故選：ACD

例17.（多選題）（2023?浙江杭州?高二杭州市長(zhǎng)河高級(jí)中學(xué)?？计谀┮阎€C:工+片=1,6,心分別是

9m

曲線C的左、右焦點(diǎn)，則下列說(shuō)法中正確的有（）

2兀

A.若m=-3,則曲線C的兩條漸近線所成的夾角為寧

B.若曲線C的離心率e=2,則加=一27

TT

C.若俏=6,則曲線C上不存在點(diǎn)P使得

D.若加=4,P為曲線C上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則△￡尸鳥(niǎo)面積的最大值為

【答案】BC

【解析】時(shí)于A選項(xiàng)，當(dāng)根=-3時(shí)，曲線（7：江-二=1表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，漸近線方程為

93

片士行巧

故漸近線的傾斜角分別為$7T,可57T,所以曲線C的兩條漸近線所成的銳角為j?r，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

663

對(duì)于B選項(xiàng)，離心率e=2,則曲線C為焦點(diǎn)在1軸上的雙曲線，。=34=2,故c=6,

所以T%=C2一/=36-9=27,所以/%=-27,故B選項(xiàng)正確；

對(duì)于C選項(xiàng)，若洲=6,則曲線C:《+其=1表示焦點(diǎn)在X軸上的橢圓，此時(shí)/=9,6=6,。2=3,

96

設(shè)橢圓C的短軸的一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為M（0,76）,

則cosZFMF="+￡[4c。Al＞0,故為銳角，

t2==

所以曲線c上不存在點(diǎn)p,使得/耳尸g=5,故C選項(xiàng)正確;

對(duì)于D選項(xiàng)，若相=4,則曲線C：K+《=1表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，

94

此時(shí)/=9,^=4,02=5,P為C上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

則△/＞片8面積的最大值為S耐=1x2cx6=Lx2行x2=2石，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

22

故選：BC

22

例18.（多選題）（2023?湖北十堰?高二校聯(lián)考階段練習(xí)）若P是橢圓C〃'+SulS＞。〉。）與雙曲線

22

'-與=1（機(jī)＞0,〃＞0）在第一象限的交點(diǎn)，且G，G共焦點(diǎn)"，F(xiàn)"3PB=e,c,,q的離心率

分別為G,則下列結(jié)論中正確的是（)

2

Dn^-n

A.\PF\=m+a9\PF2\=m-aB.COS9=F-------7

b2+〃2

31,

C.若6=120?,則F+F=4D.若。=90。，則e；+e；的最小值為2

4斡

【答案】BC

儼用+|珠|=2。

解得|尸耳|=。+同尸閭=a-6,A不正確;

【解析】依題意,‘度卜仍周=2,”

cos3_|P"『+|PE|2-|可用2_(。+㈤2+("附2-4,2_/+，/-2c2

令16月|=2c,由余弦定理得:22

“2\PFt\\PF2\―2(a+〃?)(.一〃?)—_a-m

因?yàn)樵跈E圓C1中。2“2=萬(wàn),在雙曲線C2中,相2_。2=_”2,

所以cos。=匕丁：=與二4，故B選項(xiàng)正確；

a-fnr+n

J221

當(dāng)，=120時(shí)，cos0=—一~=——，即3〃=n2,*

b'+n-2

所以3標(biāo)+加=牝2,即3(與+('了=4,

CC

31)

所以，—+—=4-故c選項(xiàng)正確；

qq

當(dāng)6=90。時(shí),h2=ir,HPa2+m2=2c2,

所以，(-)2+(-)2=2,有4+4=2,

cc54

因?yàn)?<e：<1<e；,

所以，e：+e；=2e；W<2(￡￥)2,解得e；+e；>2,D不正確；

故選：BC

題型四：軌跡方程

例19.(2023?四川德陽(yáng)?高二德陽(yáng)五中?？茧A段練習(xí))已知點(diǎn)M卜石,0),N(百,0),動(dòng)點(diǎn)尸滿足條件

\PM\-\PN\=4.則動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡方程為()

22

A.y-y2=l(x>^)B.y-/=l(x<-V2)

22

C.-y2=l(x>2)D.-y2=l(x<-2)

44

【答案】c

【解析】由點(diǎn)M(-百,0),7V(T5,O),可得|MN|=2近，

又由|PM|—|PN|=4,可得|「叫一|網(wǎng)|=4<|則=2君,

根據(jù)雙曲線的定義，可得點(diǎn)尸的軌跡衣示以為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，

且2a=4,2c=2石，可得a=2,c=石,則，2=02-/=],

所以點(diǎn)P的軌跡方程為三-/=1(%>2).

4

故選：C.

例20.(2023?廣東深圳?高二統(tǒng)考期末)已知A(-2,-1),3(2,1),若動(dòng)點(diǎn)P滿足直線曰與直線PB的斜率之積

為則動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡方程為()

x2v2BX-

A.—I----l,xw±2D.--------1-----=1,XW±5/6

6363

22

C.—y2=l,xw±2D.y?-土=l,xw±2

)2

【答案】C

【解析】設(shè)尸(x,y)(x=±2),因?yàn)锳(-2,-l),3(2,1),所以弧=三二2%=>

—2—XL—X

又因?yàn)橹本€PA與直線網(wǎng)的斜率之積為g所以擊

整理得5-/=1*x±2).

故選：C.

例21.（2023?廣東?高二統(tǒng)考期末）動(dòng)圓P過(guò)定點(diǎn)M（0,2）,且與圓N：V+（>+2）2=4相內(nèi)切，則動(dòng)圓圓

心P的軌跡方程是（）

A.J2-y=l(y<0)B.y2--=1

3

C.?T=l(y<0)D.x2+^-=\

3

【答案】A

【解析】圓M丁+（丫+2）2=4的圓心為7（0,—2）,半徑為2,且|MN|=4

設(shè)動(dòng)圓P的半徑為r,貝（||加|=4叫=一2,BP|PA/|-|WV|=2<|A?V|.

即點(diǎn)P在以M,N為焦點(diǎn)，焦距長(zhǎng)為2c=4,實(shí)軸長(zhǎng)為2a=2,

虛軸長(zhǎng)為26=2"^T=2G的雙曲線上，且點(diǎn)尸在靠近于點(diǎn)N這一支上，

故動(dòng)圓圓心P的軌跡方程是y2-二=