山東省臨沂市蘭陵縣第四中學(xué)2023-2024學(xué)年高考數(shù)學(xué)三模試卷含解析_第1頁
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文檔簡介

山東省臨沂市蘭陵縣第四中學(xué)2023-2024學(xué)年高考數(shù)學(xué)三模試卷注意事項(xiàng)1.考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑;如需改動(dòng),請用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.復(fù)數(shù)的()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知與之間的一組數(shù)據(jù):12343.24.87.5若關(guān)于的線性回歸方程為,則的值為()A.1.5 B.2.5 C.3.5 D.4.53.下列函數(shù)中,在區(qū)間上為減函數(shù)的是()A. B. C. D.4.在關(guān)于的不等式中,“”是“恒成立”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5.函數(shù)在內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn),則a的值為()A.3 B.-3 C.2 D.-26.已知函數(shù),若對于任意的,函數(shù)在內(nèi)都有兩個(gè)不同的零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍為()A. B. C. D.7.過拋物線的焦點(diǎn)作直線交拋物線于兩點(diǎn),若線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3,且,則拋物線的方程是()A. B. C. D.8.已知定義在上的函數(shù),若函數(shù)為偶函數(shù),且對任意,,都有,若,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.9.已知集合,則()A. B. C. D.10.已知向量,,則與共線的單位向量為()A. B.C.或 D.或11.在很多地鐵的車廂里,頂部的扶手是一根漂亮的彎管,如下圖所示.將彎管形狀近似地看成是圓弧,已知彎管向外的最大突出(圖中)有,跨接了6個(gè)坐位的寬度(),每個(gè)座位寬度為,估計(jì)彎管的長度,下面的結(jié)果中最接近真實(shí)值的是()A. B. C. D.12.函數(shù),,的部分圖象如圖所示,則函數(shù)表達(dá)式為()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知橢圓Г:,F(xiàn)1、F2是橢圓Г的左、右焦點(diǎn),A為橢圓Г的上頂點(diǎn),延長AF2交橢圓Г于點(diǎn)B,若為等腰三角形,則橢圓Г的離心率為___________.14.現(xiàn)有一塊邊長為a的正方形鐵片,鐵片的四角截去四個(gè)邊長均為x的小正方形,然后做成一個(gè)無蓋方盒,該方盒容積的最大值是________.15.《九章算術(shù)》卷5《商功》記載一個(gè)問題“今有圓堡瑽,周四丈八尺,高一丈一尺.問積幾何?答曰:二千一百一十二尺,術(shù)曰:周自相乘,以高乘之,十二而一”,這里所說的圓堡瑽就是圓柱體,它的體積為“周自相乘,以高乘之,十二而一”,就是說:圓堡瑽(圓柱體)的體積為(底面圓的周長的平方高),則由此可推得圓周率的取值為________.16.如圖所示,點(diǎn),B均在拋物線上,等腰直角的斜邊為BC,點(diǎn)C在x軸的正半軸上,則點(diǎn)B的坐標(biāo)是________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在中,角所對的邊分別為,若,,,且.(1)求角的值;(2)求的最大值.18.(12分)已知矩陣,二階矩陣滿足.(1)求矩陣;(2)求矩陣的特征值.19.(12分)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別是a,b,c,.(1)求cosC;(2)若b=7,D是BC邊上的點(diǎn),且△ACD的面積為,求sin∠ADB.20.(12分)在中,角的對邊分別為,且.(1)求角的大?。唬?)已知外接圓半徑,求的周長.21.(12分)已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,且滿足,各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列滿足(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)若,求數(shù)列的前項(xiàng)和22.(10分)已知函數(shù)()在定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn).(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍;(2)若有兩個(gè)不同的極值點(diǎn),,且,若不等式恒成立.求正實(shí)數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】所對應(yīng)的點(diǎn)為(-1,-2)位于第三象限.【考點(diǎn)定位】本題只考查了復(fù)平面的概念,屬于簡單題.2、D【解析】

利用表格中的數(shù)據(jù),可求解得到代入回歸方程,可得,再結(jié)合表格數(shù)據(jù),即得解.【詳解】利用表格中數(shù)據(jù),可得又,.解得故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了線性回歸方程過樣本中心點(diǎn)的性質(zhì),考查了學(xué)生概念理解,數(shù)據(jù)處理,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于基礎(chǔ)題.3、C【解析】

利用基本初等函數(shù)的單調(diào)性判斷各選項(xiàng)中函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性,進(jìn)而可得出結(jié)果.【詳解】對于A選項(xiàng),函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù);對于B選項(xiàng),函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù);對于C選項(xiàng),函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù);對于D選項(xiàng),函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù).故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)性的判斷,熟悉一些常見的基本初等函數(shù)的單調(diào)性是判斷的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.4、C【解析】

討論當(dāng)時(shí),是否恒成立;討論當(dāng)恒成立時(shí),是否成立,即可選出正確答案.【詳解】解:當(dāng)時(shí),,由開口向上,則恒成立;當(dāng)恒成立時(shí),若,則不恒成立,不符合題意,若時(shí),要使得恒成立,則,即.所以“”是“恒成立”的充要條件.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了命題的關(guān)系,考查了不等式恒成立問題.對于探究兩個(gè)命題的關(guān)系時(shí),一般分成兩步,若,則推出是的充分條件;若,則推出是的必要條件.5、A【解析】

求出,對分類討論,求出單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn),結(jié)合三次函數(shù)的圖像特征,即可求解.【詳解】,若,,在單調(diào)遞增,且,在不存在零點(diǎn);若,,在內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn),.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的零點(diǎn)、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,考查分類討論思想,熟練掌握函數(shù)圖像和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題.6、D【解析】

將原題等價(jià)轉(zhuǎn)化為方程在內(nèi)都有兩個(gè)不同的根,先求導(dǎo),可判斷時(shí),,是增函數(shù);當(dāng)時(shí),,是減函數(shù).因此,再令,求導(dǎo)得,結(jié)合韋達(dá)定理可知,要滿足題意,只能是存在零點(diǎn),使得在有解,通過導(dǎo)數(shù)可判斷當(dāng)時(shí),在上是增函數(shù);當(dāng)時(shí),在上是減函數(shù);則應(yīng)滿足,再結(jié)合,構(gòu)造函數(shù),求導(dǎo)即可求解;【詳解】函數(shù)在內(nèi)都有兩個(gè)不同的零點(diǎn),等價(jià)于方程在內(nèi)都有兩個(gè)不同的根.,所以當(dāng)時(shí),,是增函數(shù);當(dāng)時(shí),,是減函數(shù).因此.設(shè),,若在無解,則在上是單調(diào)函數(shù),不合題意;所以在有解,且易知只能有一個(gè)解.設(shè)其解為,當(dāng)時(shí),在上是增函數(shù);當(dāng)時(shí),在上是減函數(shù).因?yàn)椋匠淘趦?nèi)有兩個(gè)不同的根,所以,且.由,即,解得.由,即,所以.因?yàn)椋?,代入,?設(shè),,所以在上是增函數(shù),而,由可得,得.由在上是增函數(shù),得.綜上所述,故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查由函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求解參數(shù)取值范圍問題,構(gòu)造函數(shù)法,導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)增減性與最值關(guān)系,轉(zhuǎn)化與化歸能力,屬于難題7、B【解析】

利用拋物線的定義可得,,把線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3,代入可得p值,然后可得出拋物線的方程.【詳解】設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F,設(shè)點(diǎn),由拋物線的定義可知,線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3,又,,可得,所以拋物線方程為.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程,以及簡單性質(zhì)的應(yīng)用,利用拋物線的定義是解題的關(guān)鍵.8、A【解析】

根據(jù)題意,分析可得函數(shù)的圖象關(guān)于對稱且在上為減函數(shù),則不等式等價(jià)于,解得的取值范圍,即可得答案.【詳解】解:因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù),所以函數(shù)的圖象關(guān)于對稱,因?yàn)閷θ我?,,都有,所以函?shù)在上為減函數(shù),則,解得:.即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的對稱性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用,涉及不等式的解法,屬于綜合題.9、A【解析】

考慮既屬于又屬于的集合,即得.【詳解】.故選:【點(diǎn)睛】本題考查集合的交運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.10、D【解析】

根據(jù)題意得,設(shè)與共線的單位向量為,利用向量共線和單位向量模為1,列式求出即可得出答案.【詳解】因?yàn)椋?,則,所以,設(shè)與共線的單位向量為,則,解得或所以與共線的單位向量為或.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及共線定理和單位向量的定義.11、B【解析】

為彎管,為6個(gè)座位的寬度,利用勾股定理求出弧所在圓的半徑為,從而可得弧所對的圓心角,再利用弧長公式即可求解.【詳解】如圖所示,為彎管,為6個(gè)座位的寬度,則設(shè)弧所在圓的半徑為,則解得可以近似地認(rèn)為,即于是,長所以是最接近的,其中選項(xiàng)A的長度比還小,不可能,因此只能選B,260或者由,所以弧長.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了弧長公式,需熟記公式,考查了學(xué)生的分析問題的能力,屬于基礎(chǔ)題.12、A【解析】

根據(jù)圖像的最值求出,由周期求出,可得,再代入特殊點(diǎn)求出,化簡即得所求.【詳解】由圖像知,,,解得,因?yàn)楹瘮?shù)過點(diǎn),所以,,即,解得,因?yàn)?,所以?故選:A【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)圖像求正弦型函數(shù)的解析式,三角函數(shù)誘導(dǎo)公式,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

由題意可得等腰三角形的兩條相等的邊,設(shè),由題可得的長,在三角形中,三角形中由余弦定理可得的值相等,可得的關(guān)系,從而求出橢圓的離心率【詳解】如圖,若為等腰三角形,則|BF1|=|AB|.設(shè)|BF2|=t,則|BF1|=2a?t,所以|AB|=a+t=|BF1|=2a?t,解得a=2t,即|AB|=|BF1|=3t,|AF1|=2t,設(shè)∠BAO=θ,則∠BAF1=2θ,所以Г的離心率e=,結(jié)合余弦定理,易得在中,,所以,即e==,故答案為:.【點(diǎn)睛】此題考查橢圓的定義及余弦定理的簡單應(yīng)用,屬于中檔題.14、【解析】

由題意容積,求導(dǎo)研究單調(diào)性,分析即得解.【詳解】由題意:容積,,則,由得或(舍去),令則為V在定義域內(nèi)唯一的極大值點(diǎn)也是最大值點(diǎn),此時(shí).故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用,考查了學(xué)生數(shù)學(xué)建模,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于中檔題.15、3【解析】

根據(jù)圓堡瑽(圓柱體)的體積為(底面圓的周長的平方高),可得,進(jìn)而可求出的值【詳解】解:設(shè)圓柱底面圓的半徑為,圓柱的高為,由題意知,解得.故答案為:3.【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓柱的體積公式.只要能看懂題目意思,結(jié)合方程的思想即可求出結(jié)果.16、【解析】

設(shè)出兩點(diǎn)的坐標(biāo),結(jié)合拋物線方程、兩條直線垂直的條件以及兩點(diǎn)間的距離公式列方程,解方程求得的坐標(biāo).【詳解】設(shè),由于在拋物線上,所以.由于三角形是等腰直角三角形,,所以.由得,化為,可得,所以,解得,則.所以.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的方程和運(yùn)用,考查方程思想和運(yùn)算能力,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2).【解析】

(1)由正弦定理可得,再用余弦定理即可得到角C;(2),再利用求正弦型函數(shù)值域的方法即可得到答案.【詳解】(1)因?yàn)椋?在中,由正弦定理得,所以,即.在中,由余弦定理得,又因?yàn)椋?(2)由(1)得,在中,,所以.因?yàn)椋?,所以?dāng),即時(shí),有最大值1,所以的最大值為.【點(diǎn)睛】本題考查正余弦定理解三角形,涉及到兩角差的正弦公式、輔助角公式、向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算,是一道容易題.18、(1)(2)特征值為或.【解析】

(1)先設(shè)矩陣,根據(jù),按照運(yùn)算規(guī)律,即可求出矩陣.(2)令矩陣的特征多項(xiàng)式等于,即可求出矩陣的特征值.【詳解】解:(1)設(shè)矩陣由題意,因?yàn)?所以,即所以,(2)矩陣的特征多項(xiàng)式,令,解得或,所以矩陣的特征值為1或.【點(diǎn)睛】本題主要考查矩陣的乘法和矩陣的特征值,考查學(xué)生的劃歸與轉(zhuǎn)化能力和運(yùn)算求解能力.19、(1);(2).【解析】

(1)根據(jù)誘導(dǎo)公式和二倍角公式,將已知等式化為角關(guān)系式,求出,再由二倍角余弦公式,即可求解;(2)在中,根據(jù)面積公式求出長,根據(jù)余弦定理求出,由正弦定理求出,即可求出結(jié)論.【詳解】(1),,;(2)在中,由(1)得,,由余弦定理得,,在中,,.【點(diǎn)睛】本題考查三角恒等變換求值、面積公式、余弦定理、正弦定理解三角形,考查計(jì)算求解能力,屬于中檔題.20、(1)(2)3+3【解析】

(1)利用余弦的二倍角公式和同角三角函數(shù)關(guān)系式化簡整理并結(jié)合范圍0<A<π,可求A的值.(2)由正弦定理可求a,利用余弦定理可得c值,即可求周長.【詳解】(1),即又(2),∵,∴由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA,∴,∵c>0,所以得c=2,∴周長a+b+c=3+3.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用,正弦定理,余弦定理在解三角形中的應(yīng)用,考查了轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題.21、(1);(2)【解析】

(1)由化為,利用數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和的關(guān)系,得到是首項(xiàng)為,公差為的等差數(shù)列求解.(2)由(1)得到,再利用錯(cuò)位相減法求解.【詳解】(1)可以化為,,,,又時(shí),數(shù)列從開始成等差數(shù)列,,代入得是首項(xiàng)為,公差為的等差數(shù)列,,.(2)由(1)得,,,兩式相減得,,.【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和的關(guān)系和錯(cuò)位相減法求和,還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題.22、(1);(2)

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