新課標高中數學平面向量

高中數學總復習教學案

第3單元平面向量.

本章知識結構

本章的市點難點聚焦

(1)本章的重點有向量的概念、運算及坐標表示，向量共線的條件極其坐標表示，向量

的數量積運算的定義、運算律及其坐標表示，向量垂直的條件極其坐標表示._

(2)本章的難點是向量的概念，向量運算法則的理解和運用，J知兩邊和其中一邊的對

角解斜三角形等；_

本章學習中應當著重注意的問題

對于本章內容的學習，要注意體會數形結合的數學思想方法的應用一

本章高考分析及預測

在高考試題中，主要考查有關的基礎知識，突出向量的工具作用.平面向量的考查要求:

第一，主要考查平面向量的性質和運算法則，以及基本運算技能，考查學生掌握平面向量的

和、差、數乘和數量積的運算法則，理解其直觀的兒何意義，并能正確地進行運算；第二，

考察向量的坐標表示，及坐標形勢下的向量的線性運算；第三，經常和函數、曲線、數列等

知識結合，考察綜合運用知識能力.一

在近幾年的高考中，每年都有兩道題目.其中小題以填空題或選擇題形式出現，考查

了向量的性質和運算法則，數乘、數量積、共線問題與軌跡問題.大題則以向量形式為條件,

綜合考查了函數、三角、數列、曲線等問題.

§3.1向量的概念及線性運算一

新課標要求一

1.理解向量的概念，掌握向量的幾何表示；_

2.了解零向量、單位向量、平行向量、相等向量等概念，并會辨認圖形中的相等向量或

出與某一己知向量相等的向量；一

3.會用向量加法的三角形法則和向量的平行四邊形法則作兩個向量的和向量，會作兩

個向量的差向量_

5.掌握向量加法的交換律和結合律，并會用它們進行向量計算；_

6.了解相反向量的概念；_

8.掌握向量的數乘定義，理解向量的數乘的幾何意義；_

9.掌握向量的數乘的運算律；_

10.理解兩個向量共線的充要條件，能夠運用共線條件判定兩向量是否平行.一

重點難點聚焦.

重點：1.向量概念、相等向量概念、向量幾何表示；一

2.用向量加法的三角形法則和平行四邊形法則，作兩個向量的和向量與差向量;

3.掌握實數與向量的積的定義、運算律、理解向量共線的充要條件.一

難點：1.向量概念的理解；_

2.向量的加法和減法的定義的理解：_

3.對向量共線的充要條件的理解._

高考分析及預策.

本節(jié)主要考點：一

向量的加法與減法；_

向量的數乘的定義；_

向量的數乘的運算律；一

向量共線的條件；_

有關向量平行及三點共線問題.一

高考預策：一

注意數形結合思想的應用

注意向量共線條件的應用一

題組設計一

再現型題組一

1.已知48co的對角線AC和8。相交于。，且礪=。，礪=B,用向量2,占分

別表示向量。之而，沆，元.

2.對任意向量,下列命題正確的是（）.

A.若扇B滿足間>網，月.。與3同向，則萬〉B

B.歸+坂卜同+忖

■>-張同-W

若原3都是單位向量，則）=3

3.設1是非零向量，又是非零實數，則下列結論正確的是（）.

A.行與一42的方向相反B.|-2a|>|a|

C.M與萬彳的方向相同D.\-Aa\=\A\a

鞏固型題組_

4.在A4BC中，AB=c,AC=b,若點。滿足麗=2麗，貝|」而=（）..

2-152-2-1I-2

A.-b+-cB.-c--bC.-b--cD.-b+-c

33333333

5.已知而=1+53,瑟=—2）+83,而=3（2—B）,則（）_

A.A,B,D三點共線B.A,B,C三點共線一

C.B,C,O三點共線D.A,C,。三點共線.

6.已知向量2,b是兩個非兩向量，在下列的四個條件中，能使不，b共線的條件是（）

①2萬-33=4?且2+2^=—3。②存在相異實數入〃使

Aa+/2b-0

③4+）石=。（其中實數x,y滿足x+y=0）④已知梯形ABCD,其中

AB=a,CD=b

A.①②B.①③C.②④D.③④.

提高型題組_

7.如圖對于平行四邊形A8CO,點M是AB的中點，點N在8。上，且

3

求證：M,N,C三點共線.一

8.若向量3,OB,OC

0C=AOA+f.iOB,反之，也成立.

反饋型題組.

9.平面向量方、5共線的充要條件是（）_

A.a,方方向相同B.a,5兩向量中至少有一個為零向量一

C.BAeR,b=AaD.存在不全為零的實數z,乙，\a+^b=6

10.在AABC中，已知。是AB邊上一點，若麗=2而，CD=-CA+XCB,則丸等

3

于（）_

2112

A.-B.-C.--D.一一

3333

11.化簡以下各式結果為零向量的個數是（）.

①AB+JC+CA；②~AB-~AC+BD-CD；③OA-OD+~\D；④

NQ+QP+MN-MP

A.1B.2C.3D.4

12.設同=6,B卜20,求B+.的大值和最小值.一

13.。是平面上一定點，A,8,C是平面上不共線三點，動點P滿足一

OP=OA+A（AB+AC）,/le[0,+oo）,則點尸的軌跡一定通過八43。的（）_

A.外心B.垂心C.內心D.重心一

14.已知A48c中，點。在6c上，且麗=2而，麗=+,則

r+s=.

§3.2向量的正交分解及坐標表示_

新課標要求.

1了解平面向量基本定理；一

2掌握平面里的任何一個向量都可以用兩個不共線的向量來表示，理解這是應用向量解

決實際問題的重要思想方法；_

3.理解平面向量的坐標的概念，掌握平面向量的坐標運算；_

4.會根據向量的坐標，判斷向量是否共線；_

5.掌握線段的定比分點坐標公式及線段的中點坐標公式；一

重點難點聚焦一

重點：1.平面內任一向量都可以用兩個不共線非零向量表示；_

2.平面向量的坐標運算；

3.段的定比分點和中點坐標公式的應用

難點：1.平面向量基本定理的理解；

2.向量的坐標表示的理解及運算的準確性；

高考分析及預策

本節(jié)考點：

1.平面向量基本定理；

2.向量的正交分解；

3.平面向量的坐標表示極坐標運算；

4.兩向量共線的條件的坐標表示；

5.利用共線求定比分點坐標.

題組設計

再現型題組

1.下列說法正確的是（）

①一個平面內只有一對不共線向量可作為表示該平面所有向量的基底；

②一個平面內有無數多對不共線的向量可作為表示該平面所有向量的基底；

③零向量不可作為基底中的向量.

A.①②B.②③C.①③D.①②③

2.已知2=(1,0),B=,c=(-1,0),求4和〃，使O=+

3.已知點40』)，B(l,0),C(l,2),0(2,1),是判斷向量而和麗的位置關系.

鞏固型題組

4.在AA8C中，已知4(2,3),8(6,—4),6(4,-1)是中線4。上一點，且不卜2|麗|,則

點C的坐標為()

A.(—4,2)B.(-4,-2)C.(4,一2)D.(4,2)

5.a=(1,2),B=(x,l),u=a+2b,v=2a-b,且/v,則x的值為()

A.-B.----C.-D.----

2266

6.已知5=(1,2),B=(—3,2),當人為何值時，女之+3與平行？平行時，它們是同

向還是反向？

提高型題組

9.若向量1=(x+3,——3x—4)與而相等，已知4(1,2),802),則x的值為一.

10.若2=(6,-8),則與5平行的單位向量是.

11.已知向量±5=(女,12),麗=(4,5),無=(—左,10),且A,8,。三點共線，則:=—.

12.已知點。(0,0),4(1,2),8(4,5)及麗=麗+￡而

求：⑴f為何值時，尸在第二象限？

(2)四邊形OABP能否構成平行四邊形？若能，求出相應的f值；若不能，請說明理由.

13.已知向量而=(3,4),而=(—1,3),點A(—2,1),若點尸(3,y)滿足麗=丸所,求y與

4的值.

14.已知A(1,O),直線/:y=2x—6,點R是直線/上的一點，若兩=2而，求點尸的

軌跡方程.

§3.3數量積及其應用

新課標要求

1掌握平面向量的數量積及其幾何意義；

2掌握平面向量數量積的重要性質及運算律；

3了解用平面向量的數量積可以處理有關長度、角度和垂直的問題；

4掌握向量垂直的條件

重:點難點聚焦

重點：1.平面向量的數量積定義；

2.平面向量數量積及運算規(guī)律；

3.平面向量數量積的坐標表示.

難點：1.平面向量數量積的定義及運算律的理解和平面向量數量積的應用;

2.平面向量數量積的坐標表示的綜合運用

高考分析及預策

本節(jié)的主要考點：

1.兩個向量的夾角；

2.平面向量的數量積的性質;

3.向量數量積的運算律；

4.用向量的坐標表示兩個向量垂直的條件;

5.向量的長度、距離和夾角公式.

題組設計

再現型題組

1.設心B是任意的非零平面向量，且它們相互不共線，下列命題:

①(展—化以)石=0②同-同＜B-可

22

③方一01)坂不與E垂直@(3a+2&)?(35-2&)=9p|-41^|

其中正確的是()

A.①②B.②③C,③④D.②④

2.1=(1,0),3=(1,1),4為何值時,1+4$與2垂直？

3.已知同=4,同=3,(2不一33)<2萬+3)=61

⑴求不與B的夾角6；

(2)求向+司;

⑶若麗=M,AC^b,求A48C的面積.

鞏固型題組

4.若向量1與B的夾角為60°,W=4,5+2B)-?—3B)=—72,則向量5的模為()

A.2B.4C.6D.12

5.已知A(2,5),B(5,2),C(10,7),試判斷AABC的形狀,并給出證明.

6.已知。，"c為AABC的三個內角A,B,C的對邊，向量玩=(6,-1),k=(cosA,sinA),

若比_Ln,且acosB+bcosA=csinC,則角B=.

提高型題組

7.設兩個向量不，&滿足：同=2,同=1.4,a的夾角為60°,若向量2同+7%與向量

不+向的夾角為鈍角，求實數，的范圍.

55-尤X71

8.已知向量萬=(cos—x,sin—x),/?=(cos—,-sin—),且xw0,—

22222

⑴求展B及B+；

⑵若/(x)=展B-2/1B+.的最小值是一m,求/l的值.

反饋型題組

9.A48c為銳角三角形的充要條件是()

A.(AB.AC)?(A4-BC)>0B.(AB-AC)?(C4-CB)>0

C.(BA-JC)-(CACB)>OD.(AB-AC)-(BABC)-(CACB)>0

10.如圖，E,EG,“分別是四邊形48co的所在邊的中點，若

（而+就）?（而+而）=0,則四邊形EQG”是（）

A.平行四邊形，但不是矩形也不是菱形

B.矩形

C.菱形

D.正方形

11.設優(yōu)5是兩個非零向量，4是2在B的方向上的投影，而〃是坂在之的方向上的投影,

若萬與B的夾角為鈍角，則（）

A.丸=〃〉0B.2=//<0C.2,/ZG/?-D.

12.若同=忖=歸一可=r（r>0）,則萬與B的夾角為；a-h=.

13.在A46c中，若與e==而=5,且屐5=3.己=03，則A48C的形狀是

（）

A.等邊三角形B.直角三角形C.等腰非等邊三角形D.三邊均不相等的三角形

-1

14.已知向量T=（sinx,l）,b=（cos?

⑴當AJL1時,求B+可的值；

⑵求函數的值域.

第3章平面向量45分鐘單元綜合檢測題

一、選擇題

1.已知O,A,B是平面上的三個點，直線A3上有一點C,滿足2元+而=0,則方=

()

————2—1——■2―-

A.2OA—OBB.—OA+208C.—OAH—OBD.——OA+-OB

3333

2.設。=(1,—2)3=(—3,4)忑=(3,2),則伍+21)1=()

A.(-15,12)B.0C.-3D.-11

3.已知向量不=(2,—3),3=(3,4),若汗則力等于()

2Q

A.-B.-2C.--

32

4.已知兩點M(—2,0),N(2,0),點尸為坐標平面內的動點,

滿足|麗1網+而初=0,則動點P(x,y)的軌跡方程為(

A.y2=8xB.y2--8xC.y2-4x1).y2=—

—?—?3A/33—?—?

5.在A48c中，ABBC=3,A48C的面積SE工,一，則A8與8c夾角的取值

42

范圍是()

7171八兀兀7171?7C兀

A.—B.—C.—D.—

.43」|_64」|_63」|_32.

6.已知:與了為互相垂直的單位向量，萬=；—2］力=；+/17,且2與3的夾角為銳角，

則實數2的取值范圍是()

A.(―8,—2)U(-2,2)B.f,+oojC.(—2,§)U(§,+8)D.f—j

二、填空題

7.若三點4(2,2),8(。,0),。(0,匕)(。匕70)共線，則4+1=_________.

ab

8.設向量4=(1,0),1=(cos。,sin6),其中0464萬,則卜+4的最大值是________

9.設是平面直角坐標系內x軸、y軸正方向上的單位向量，

且AB=4i+2j,AC=3i+4j,則\ABC面積的值等于.

10.已知向量G與B的夾角為120°,同=1,阿=3,則忖一可=.

三、解答題

11.設A,8為圓/+F=1上兩點，。為坐標原點(A,O,B不共線)

⑴求證：/+礪與礪-而垂直.

TT(JTJT|‘‘I'-3

(2)當NxO4=—,NxOB=e,ee——，—且0A08=一時，求sin。的值.

4I445

12.已知0為坐標原點，4(0,2),5(4,6),OM=ttOA+12AB

⑴求點M在第一象限或第三象限的充要條件；

⑵求證：當4=1時，不論L為何實數，A,8,M三點都共線.

§3.1向量的概念及線性運算（解答部分）

再現型題組

1.【提示或答案】

如圖

反是次的相反向量，，近=一。

而是礪的相反向量，，歷=一3

DC^DO+OC-a（或反=反一歷=B—5）

BC=~BO+OC=-b+a（BC=OC-OB=a-b）.

【基礎知識聚焦】相反向量的概念；向量加法的幾何表示；向量減法的幾何表示.

2.【提示或答案】B.

【基礎知識聚焦】

⑴向量是既有大小又有方向的量，不能用“>”或連接;

⑵向量加法的三角形法則的應用;

⑶單位向量的概念.

3.【提示或答案】C.

【基礎知識聚焦】

⑴實數與向量的積的意義；

⑵向量共線的條件.

鞏固型題組

4.【解法一】

------2—

VBD=2DC：.BD=-BC

3

————2——?2——1—2—■12-

AD=AB+BD=AB+-BC=AB+-(AC-AB)=-AB+-AC=-c+-b.

333333

【解法二】

過。作OEAC交A6于點E

—1—?―-2―-

則AE=-A8,ED^-AC

33

——■—1-2-

?*.AD-AE+ED=—cH—b

33

【點評】解法二利用了共線向量的性質，使過程得到了簡化.解題過程中應注意條件

30=20。的使用，它表明了點。的位置.

【變式與拓展】在A48c中，已知。是AB邊上一點，若AO=2OB,

—1—■—

CO=—C4+/IC8,則4等于（）

3

,2、1八12

A.-B.-C.—D.----.

3333

5.解：'：BD^BC+CD^-2a+Sh+3（a-b）^a+5b^AB

A,8,。三點共線.

【點評】判斷三點共線往往借助于兩個共點向量共線.

--1-101-

6.解：①由22—38=4。且萬+2b=—30,得）=—則）=—則

7710

aB；

②；存在相異實數2,〃使然+〃=0,不妨設之wo,則"一名，則2B；

③有可能是x=y=o,所以不能判斷萬B；

④A&C。不一定是梯形的兩底，有可能是梯形的兩腰.

提高型題組

7.解：設而=2,而=B

貝IJ

一'-""I'一I'-I'——I-I''I］一

MN=MB+BN=MB+-BD=-AB+-(AD—AB)=-AB+-AD=-G+-b；

3236363

————1——I——2--I—1?-

CN=CB+BN=-AD+-BD=-AD+-(AD-AB)=——AD——AB=——a——b

333333

...麗=—2而：.CNMNM,N,C三點共線.

8.解：「AI,。共線：.~ABBC：.BteR,^BC=t~AB

：.OC-OB=t(OB-OA)：.OC=(l+t)OB-tOA

令2=l+r,〃=—f,則幾+〃=1,使0C=%0A+〃08.

反之，若存在實數4〃，且4+〃=1,使得反=/l次+〃麗，

則反=丸次+〃麗=/1況+(1—/1)歷=赤+/1/一力礪

：.OC-OB=A(OA-OB)

/.BC—ABA：.BCBA...A,5,B共線

【變式與拓展】平面直角坐標系中，。為坐標原點，已知A(3,1),8(-1,3),若點C滿

足OC=aOA+￡OB,其中且a+￡=l,則點C的軌跡方程為()

A.3x+2y—11=0B.(x—1)~+(_y-2)~=5

C.2x-y=0D.x+2y-5=0

課堂小結

本節(jié)課重點是向量的加減法運算的幾何表示，實數與向量的乘枳的意義，向量共線的

條件，在解題過程中應注意使用數形結合的方法.

反饋型題組

9.D10.A11.D

12.提示:利用向量加法的三角形法則，三角形三邊之間的關系,

14<|a+K|<26.

13.提示：(如圖而+/=2近)D.

14.1.

§3.2向量的正交分解及坐標表示(解答部分)

再現型題組

1.【提示或答案】D

【基礎知識聚焦】本題考查的是基底的概念以及構成基底的條件.

注意：零向量不可作為基底中的向量.

2.【提示或答案】待定系數法

-：c=Aa+^ib：.(-1,0)=2(1,0)+//(1,1)=(2+//,//)

.—1=4+〃.Z=-1

??V??〈

0=〃[〃=0

【基礎知識聚焦】本題考查的是平面向量基本定理的坐標表示.

3.【提示或答案】

已知點A(0,l),5(1,0),C(l,2),￡)(2,1),是判斷向量而和麗的位置關系.

解：V=,CD=(1,-1)AB=CD

ABCD

［基礎知識聚焦】本題考查的是向量共線的條件的坐標表示.

鞏固型題組

4.【解法一】

?"阿=2回AAD==|(2,-4)=(3,-6)

：.^D=AD-AB=(,3,-6)-(4,-7)=(-1,1)

：.AC=AB+2BD=(4,-7)+2(-1,1)=(2,-5)

：.0C=0A+AC=(2,3)+(2,-5)=(4,-2)

【解法二】

?“砌=21西AO是中線

.??G點是AA8C的重心

.r_XA+XB+%、，_yA+yB+yc

??%=-5-，九二一3—

?*.xc=4,yc=-2

【點評】本題考查的是向量線性運算的坐標表示，解法二利用了重心坐標公式，使問題得

到簡化，可見數形結合魅力和善于觀察的重要性.

5.【解法一】

VMvA3/1^0,使江=丸/，即萬+2彼=/1(2。一往)

/.(1-22)a=(2-2)b；.ab

2x=1/.x=—

2

【解法二】

,Zz7=a+2&=(l,2)+2(x,l)=(l+2x,4)

3=2"—B=2(l,2)-(x,l)=(2-x,3)且五v

3(1+2x)=4(2—x)?*-x=~

【點評】本題考查了向量共線的條件的坐標表示.解法已從，0看出了2。，使運算得

到簡化.

1--

6.【提示或答案】左=一一時，Qj+b與萬一36平行，且方向相反.

3

提高型題組

7.【提示或答案】

???表示向量42,4$-21,2(萬-1),2的有向線段首尾相接能構成四邊形

4a+4&-2c+2(a-c)+J=0

d=-6a-4b+4c=-6(1,-3)-4(-2,4)+4(-1,-2)=(-2,-6)

【點評】本題考查的是向量加法的幾何表示，通過幾何表示找出能構成四邊形的條件，又

考查了向量加法的坐標表示.

8.【提示或答案】

——■1-.

設A/(x,y),則AM=/A8

1fx+2-3fx-1

即(x+2,y-l)=—(3,2).72/J2

2[y-l=l[y=2

點的坐標為(―工,2)

57

同樣可求得P點坐標為(-1,§)，。點坐標為(0,§)

【變式與拓展】已知A(—2,1),8(1,3),點P滿足而=4而，求點P的坐標.

課堂小結

本節(jié)課重點是平面向量基本定理，向量線性運算的坐標表示，向量共線的條件的坐標

表示，以及利用向量共線證明三點共線，求定比分點的坐標等，解題過程中應注意使用數形

結合的方法.

反饋型題組

342

9.-110.——)11.k=——

553

21

12.(1)—WkW—時，P在第二象限；

33

⑵不能構成四邊形.

704=(1,2)方=(3—3，,3—3。

???不論，為何值/都不可能和A1平行.

13.y=—,2=——

-23

14.解：設點尸(x,y),R(a,b)

貝ijb=2a-6

?：RA=2AP

(1—a,—b)—2(x—1,y)

.[1-a=2x-2

：.<

-6=2y

.a——2x+3

:.<

b=-2y

，—2y——2(—2x+3)—6

§3.3數量積及其應用(解答部分)

再現型題組

1.【提示或答案】D

【基礎知識聚焦】向量數量積的運算律，向量垂直的條件，向量減法的幾何表示的應用.

2.【提示或答案】人=一1時，5+43與2垂直

【基礎知識聚焦】向量垂直的條件的坐標表示.

3.【提示或答案】(1)6=—；⑵忖+回=小；⑶5.=3月.

【基礎知識聚焦】向量數量枳的定義，求模的方法，求面積公式.

鞏固型題組

4.【提示或答案】

解：???()+2$)?Q—3B)=—彳.B—6b2=一|同x4cos60°—6x16=-72

,同=6

【點評】本題考查了數量積定義的變式，還可以利用數量積定義求夾角.

【變式與拓展】已知同=4,忖=3,(2)-3$)<22+6)=61,求G與3的夾角。.

5.【提示或答案】

解：?.?麗=(3,-3),AC=(8,2),BC=(5,5)

AB

：.AB1BC

二AABC為直角三角形.

【點評】本題考查了數量積的應用.

【變式與拓展】反饋型題組9

6.【提示或答案】

解：*/mInV3cosA-sinA=2sin(y-A)=0

<式

A=—

3