廣東省清遠(yuǎn)市三校2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期4月期中聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣東省清遠(yuǎn)市三校2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期4月期中聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知復(fù)數(shù)z滿足，為虛數(shù)單位，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意可知：，由，可得.故選：B.2.已知向量，，．若與垂直，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B. C.3 D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)椋?，所以，又且與垂直，所以，解得.故選：A.3.下列說法正確的是（）A.各側(cè)面都是正方形的四棱柱一定是正方體B.球的直徑是連接球面上兩點(diǎn)并且經(jīng)過球心的線段C.以直角三角形的一邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐D.用一個(gè)平面截圓錐，得到一個(gè)圓錐和圓臺(tái)〖答案〗B〖解析〗對(duì)于A：雖然各側(cè)面都是正方形，但底面不一定是正方形，所以該四棱柱不一定是正方體，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：球的直徑的定義即為“連接球面上兩點(diǎn)并且經(jīng)過球心的線段”，故B正確；對(duì)于C：以直角三角形的直角邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐，以直角三角形斜邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是兩個(gè)共底面的圓錐組成的幾何體，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：用一個(gè)平行于底面的平面截圓錐，得到一個(gè)圓錐和圓臺(tái)，故D錯(cuò)誤.故選：B.4.如圖所示，點(diǎn)為的邊的中點(diǎn)，為線段上靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)，則（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗.故選：C.5.圖，四邊形的斜二測畫法直觀圖為等腰梯形．已知，，則下列說法正確的是（）A. B.C.四邊形的周長為 D.四邊形的面積為〖答案〗D〖解析〗如圖過作交于點(diǎn)，由等腰梯形且，又，，可得是等腰直角三角形，即，故B錯(cuò)誤；還原平面圖如下圖，則，，，故A錯(cuò)誤；過作交于點(diǎn)，則，由勾股定理得，故四邊形的周長為：，即C錯(cuò)誤；四邊形的面積為：，即D正確.故選：D.6.已知平行四邊形ABCD中，，點(diǎn)P在線段CD上（不包含端點(diǎn)），則的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗∵，，，∴，即，即，以為原點(diǎn)，以所在的直線為軸，以的垂線為軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系，∴，，，，設(shè)，∴，∴，設(shè)，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴，，則的取值范圍是.故選：A.7.已知函數(shù)與x軸交于A，B兩點(diǎn)，且線段AB長度的最小值為，若將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位后恰好為奇函數(shù)，則的值為（）A. B. C. D.或〖答案〗D〖解析〗因?yàn)楹瘮?shù)與x軸交于A，B兩點(diǎn)，且線段AB長度的最小值為，可得函數(shù)的最小正周期為，所以，所以，將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度，得到，又因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，可得，即，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，可得；當(dāng)時(shí)，可得，所以的值為或.故選：D.8.我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)造了一幅“勾股圓方圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”，類比趙爽弦圖，用3個(gè)全等的小三角形拼成了如圖所示的等邊，若，則AC＝（）A.8 B.7 C.6 D.5〖答案〗B〖解析〗在中，，設(shè)，則，由正弦定理可知，，即，則，在中，，，又，則，故.故選：B.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短到原來的，再將所得圖象向右平移是個(gè)單位長度后得到函數(shù)的圖象，則下列說法正確的是（）A.函數(shù)是奇函數(shù) B.函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心是C.若，則 D.函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心是〖答案〗AC〖解析〗因?yàn)?，故A正確；正弦函數(shù)的對(duì)稱中心為，故B錯(cuò)誤；根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換可得：，令，故其對(duì)稱軸為，若，由對(duì)稱性可得，顯然成立，故C正確；令，故其對(duì)稱中心為，顯然無論k取何值，故D錯(cuò)誤.故選：AC.10.歐拉公式是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉創(chuàng)立，該公式將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)集，建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)聯(lián)，在復(fù)變函數(shù)論里面占有非常重要的地位，被譽(yù)為數(shù)學(xué)中的天橋．依據(jù)歐拉公式，下列說法中正確的是（）A.對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限 B.為純虛數(shù)C.的模長等于 D.的共軛復(fù)數(shù)為〖答案〗ACD〖解析〗對(duì)于A項(xiàng)：由題意可得：，則其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，∵，則，∴對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，故A項(xiàng)正確；對(duì)于B項(xiàng)：由題意可得：為實(shí)數(shù)，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C項(xiàng)：由題意可得：，則，故C項(xiàng)正確；對(duì)于D項(xiàng)：由題意可得：，則的共軛復(fù)數(shù)為，故D項(xiàng)正確.故選：ACD.11.已知的內(nèi)角、、所對(duì)的邊分別為、、，則下列四個(gè)命題中正確的命題是（）A.若，則一定是等邊三角形B.若，則一定是等腰三角形C.若，則一定是銳角三角形D.若，則一定是銳角三角形〖答案〗AD〖解析〗對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)?，由正弦定理可得，則，因?yàn)橹辽儆袃蓚€(gè)銳角，從而可得，故為銳角三角形，因?yàn)檎泻瘮?shù)在上為增函數(shù)，故，所以為等邊三角形，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)?，由正弦定理可得，即，因?yàn)?、，所以，，又因?yàn)?、中至少有一個(gè)為銳角，則，則、均為銳角，所以，、，所以，或，即或，為等腰三角形或直角三角形，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，時(shí)，由余弦定理可得，即為銳角，但、是否都是銳角，不能保證，因此不一定是銳角三角形，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)椋?，由、、，所以、、均為銳角，所以為銳角三角形，D正確．故選：AD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知向量，滿足，則向量，的夾角為___________.〖答案〗〖解析〗由題意，可設(shè)向量，的夾角為，向量，滿足，，，由，則，解得：，又，.故〖答案〗為：.13.如圖，一個(gè)直三棱柱形容器中盛有水，且側(cè)棱．若側(cè)面水平放置時(shí)，液面恰好過的中點(diǎn)．當(dāng)?shù)酌嫠椒胖脮r(shí)，液面高為__________．〖答案〗12〖解析〗設(shè)面積為a，底面ABC水平放置時(shí)，液面高為h，側(cè)面水平放置時(shí)，水的體積為，當(dāng)?shù)酌鍭BC水平放置時(shí)，水的體積為，于是，解得，所以當(dāng)?shù)酌嫠椒胖脮r(shí)，液面高為12.故〖答案〗為：12.14.已知中，角、、所對(duì)的邊分別為、、，，的角平分線交于點(diǎn)，且，則的最小值為_______．〖答案〗〖解析〗因?yàn)椋慕瞧椒志€交于點(diǎn)，且，因?yàn)?，即，即，即，所以，所以，，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為.故〖答案〗為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.15.已知平面向量．（1）若，且，求的坐標(biāo)；（2）若與的夾角為銳角，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）由，所以，設(shè)，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，解得，或，所以的坐?biāo)為或.（2）由，所以，因?yàn)榕c的夾角為銳角，所以且與不共線，，解得且，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.16.如圖是一個(gè)獎(jiǎng)杯三視圖.（1）求下部四棱臺(tái)的側(cè)面積；（2）求獎(jiǎng)杯的體積（結(jié)果取整數(shù)，取3）解：（1）由三視圖可知，獎(jiǎng)杯分三部分組成，最下部分是四棱臺(tái)，棱臺(tái)上底面是邊長為8cm，12cm的長方形，下底面是邊長為16cm，24cm的長方形，高為3cm，如圖，四棱臺(tái)前后側(cè)面全等，左右側(cè)面全等，前面?zhèn)让娴母撸覀?cè)面的高，所以四棱臺(tái)側(cè)面的面積.（2）棱臺(tái)體積，中間部分為長，寬，高分別為cm，4cm，20cm的長方體，體積為，最上面一部分是球，直徑為4cm，體積為，所以獎(jiǎng)杯的體積為.17.如圖，在菱形ABCD中，，E，F(xiàn)分別是邊AB，BC上的點(diǎn)，且，，連接ED、AF，交點(diǎn)為G．（1）設(shè)，求t的值；（2）求的余弦值．解：（1），又D，G，E三點(diǎn)共線，則，則，因?yàn)?，不共線，由平面向量基本定理，得且，解得.（2）取，作為平面的一組基底，則，則，，，，．18.已知函數(shù)．（1）若，且，求的值；（2）在銳角中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，若，求的取值范圍．解：（1）因?yàn)?，所以，又，則，所以，又，故.（2）由，又，所以，即，由正弦定理，可得，因?yàn)槭卿J角三角形，所以，即，所以，所以，即的取值范圍為.19.如圖，已知與的夾角為，點(diǎn)C是的外接圓優(yōu)孤上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)A，B）