河南省青銅鳴大聯(lián)考2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期4月期中考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河南省青銅鳴大聯(lián)考2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期4月期中考試數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.在四邊形中，與交于點(diǎn)，且，，，則（）A. B.四邊形是梯形C.四邊形是菱形 D.四邊形是矩形〖答案〗D〖解析〗由，知四邊形的對(duì)角線相互平分且相等，所以四邊形為矩形.故選：D.2.兩個(gè)三棱錐、一個(gè)四棱錐拼在一起不可能拼成的是（）A.一個(gè)三棱錐 B.一個(gè)四棱錐C.一個(gè)三棱柱 D.一個(gè)四棱柱〖答案〗D〖解析〗對(duì)于A，三棱錐中，分別取的中點(diǎn)，再取的中點(diǎn)，連接，則三棱錐可拆割成三棱錐和四棱錐，A可能；對(duì)于B，四棱錐，取的中點(diǎn)，則四棱錐可拆割成三棱錐和四棱錐，B可能；對(duì)于C，三棱柱中，取的中點(diǎn)，則三棱柱可拆割為三棱錐和四棱錐，C可能；對(duì)于D，一個(gè)四棱柱割去一個(gè)四棱錐后的幾何體不可能由兩個(gè)三棱錐拼成，D不可能.故選：D.3.已知復(fù)數(shù)，為虛數(shù)單位，當(dāng)時(shí)，（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗依題意，，解得，則，所以.故選：C.4.用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)一個(gè)水平放置的平面圖形，恰為一個(gè)直角邊長(zhǎng)為3的等腰直角三角形（如圖），，則原圖形的面積為（）A. B.18 C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意知，中，，則，由斜二測(cè)畫(huà)法，將直觀圖還原為原圖，如圖所示，則，，所以故選：A.5.已知在中，為的垂心，是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且，則以下正確的是（）A.點(diǎn)為的內(nèi)心 B.點(diǎn)為的外心C. D.為等邊三角形〖答案〗B〖解析〗在中，由為的垂心，得，由，得，則，即，又，顯然，同理得，因此點(diǎn)為的外心，B正確，無(wú)判斷ACD成立的條件.故選：B.6.已知為虛數(shù)單位，若為的共軛復(fù)數(shù)，則（）A.14 B.116 C. D.〖答案〗B〖解析〗由，得，所以，解得，則，所以，所以.故選：B.7.在四邊形中，，且，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，，則且，又，，所以，則，所以四邊形為直角梯形，如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸建立平面直角坐標(biāo)系，則，，，所以，，所以.故選：B.8.多面體歐拉定理是指：若多面體的頂點(diǎn)數(shù)為，面數(shù)為，棱數(shù)為，則滿足.已知某面體各面均為五邊形，且經(jīng)過(guò)每個(gè)頂點(diǎn)的棱數(shù)為3，則（）A.6 B.10 C.12 D.20〖答案〗C〖解析〗設(shè)該多面體的頂點(diǎn)數(shù)為，棱數(shù)為，依題意，，消去得，所以.故選：C.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A.虛部為 B. C. D.為純虛數(shù)〖答案〗AD〖解析〗復(fù)數(shù)，故實(shí)部為，虛部為，故AD錯(cuò)誤；，故B正確；與為方程的兩個(gè)根，可知，所以，，故C正確.故選：AD.10.在平行四邊形中，與交于點(diǎn)為的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于，則（）A.為三角形的外心 B.C. D.〖答案〗BCD〖解析〗在三角形中，為的中點(diǎn)，又與相似，可得：，故點(diǎn)為三角形的重心，故A錯(cuò)誤；由于點(diǎn)為三角形的重心，延長(zhǎng)交于，則為的中點(diǎn)，所以，故B正確；，，故C正確；，故D正確.故選：BCD.11.已知，方程有一個(gè)虛根為為虛數(shù)單位，另一個(gè)虛根為，則（）A. B.該方程的實(shí)數(shù)根為1C. D.〖答案〗AB〖解析〗由是方程的根，得，整理得，而，因此，解得，對(duì)于A，，A正確；對(duì)于BC，方程，變形為，顯然此方程還有一個(gè)實(shí)根1，另一個(gè)虛根，B正確，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，D錯(cuò)誤.故選：AB.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，且，則______.〖答案〗2〖解析〗由，得，所以，解得.故〖答案〗為：2.13.已知復(fù)數(shù)滿足為虛數(shù)單位，在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，定點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)____________.〖答案〗〖解析〗依題意，點(diǎn)的軌跡是復(fù)平面上以點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓，，而，，當(dāng)且僅當(dāng)方向相反時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為.故〖答案〗為：.14.某容器是一個(gè)圓錐和圓柱的組合體（如圖），圓柱的底面直徑為4，高為3，容器內(nèi)放入一個(gè)直徑為4的球后，該球與圓柱的側(cè)面和底面、圓錐的側(cè)面都相切，則該容器的體積為_(kāi)____________.〖答案〗〖解析〗由于圓柱的底面直徑為4，故，高為，所以圓柱的體積為：，軸截面如圖：設(shè)球心為，則與全等，由，得，與同為的補(bǔ)角，故，，故，故，故圓錐的高為，所以圓錐的體積為，故所求體積為.故〖答案〗為：.四、解答題：共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知為虛數(shù)，且.（1）求的值；（2）求的值.解：（1）因?yàn)?，所以，即，由于為虛?shù)，故，所以，故，所以，所以.（2），由于，所以，故.16.在平面直角坐標(biāo)系中，，四邊形是矩形且.（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）與點(diǎn)在同一平面直角坐標(biāo)系中，當(dāng)點(diǎn)到的距離的平方和最小時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo).解：（1）依題意，，由矩形，得，解得或，當(dāng)時(shí)，，不符合題意，而時(shí)，，因此，，顯然，于是得，所以點(diǎn)，點(diǎn).（2）設(shè)，依題意，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.17.已知為單位向量.（1）若，求的夾角；（2）若，求的值.解：（1）由于，所以，兩邊平方得，又為單位向量，所以，設(shè)的夾角為，則，所以，故的夾角為.（2）因?yàn)?，所以，由，故，所以，?18.已知某圓錐的母線長(zhǎng)與底面直徑相等，表面積為.（1）求此圓錐的體積；（2）若此圓錐內(nèi)有一圓柱，該圓柱的下底面在圓錐的底面上，求該圓柱側(cè)面積的最大值.解：（1）設(shè)圓錐底面圓半徑為，依題意，圓錐的母線長(zhǎng)，顯然，解得，圓錐的高，所以圓錐的體積.（2）設(shè)圓錐的內(nèi)接圓柱的底面圓半徑為，高為，則有，即，解得，因此圓柱的側(cè)面積，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以該圓柱側(cè)面積的最大值為.19.已知點(diǎn)滿足的面積