福建省部分高中2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期中質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1福建省部分優(yōu)質(zhì)高中2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期中質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知復(fù)數(shù)滿足，則的實部為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗設(shè)，由，得，，解得，故的實部為，故選：C.2.在平行四邊形ABCD中，下列結(jié)論中錯誤的是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗如圖，在平行四邊形中，且，A：，故A正確；B：，故B正確；C：由，得，故C錯誤；D：，故D正確.故選：C.3.下列說法中錯誤的是（）A.棱臺的上、下底面是相似且對應(yīng)邊平行的多邊形B.用一個平行于圓錐底面的平面去截圓錐可得到圓臺C.直角三角形繞其任一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體都是圓錐D.在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點，則這兩點的連線不一定是圓柱的母線〖答案〗C〖解析〗由棱臺的結(jié)構(gòu)特征可知，A選項中說法正確；由圓臺的結(jié)構(gòu)特征可知，B選項中說法正確；直角三角形繞斜邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體，不是圓錐，是由兩個同底圓錐組成的幾何體，C選項中的說法錯誤；在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點，這兩點的連線不一定是圓柱的母線，只有當(dāng)這兩點的連線平行于軸時才是母線，D選項中說法正確.故選：C.4.已知向量，，若，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為，，所以，，又，所以，即，整理得.故選：A.5.下列說法錯誤的是（）A. B.，是單位向量，則C.若，則 D.兩個相同的向量的模相等〖答案〗C〖解析〗對于A，，故A正確；對于B，，單位向量，則，故B正確；對于C，若，則不能比較大小，故C錯誤；對于D，兩個相同的向量的模相等，故D正確.故選：C.6.已知為三個不同的平面，為三條不同的直線，若，，，，則下列結(jié)論正確的是（）A.與相交 B.與相交 C. D.與相交〖答案〗C〖解析〗，平面，，，故A錯誤；同理可得，，故B錯誤；由A，B知，故C正確；由A知，平面，平面，，故D錯誤．故選：C.7.第九屆中國國際“互聯(lián)網(wǎng)＋”大學(xué)生創(chuàng)業(yè)大賽于2023年10月16日至21日在天津舉辦，天津市以此為契機，加快推進“5G＋光網(wǎng)”雙千兆城市建設(shè)．如圖，某區(qū)域地面有四個5G基站，分別為A，B，C，D．已知C，D兩個基站建在河的南岸，距離為20km，基站A，B在河的北岸，測得，，，，則A，B兩個基站的距離為（）A.km B.km C.15km D.km〖答案〗A〖解析〗在中，，由正弦定理得，，在中，易知，，所以，所以，由余弦定理得．故選：A.8.我國南北朝時期的著名數(shù)學(xué)家祖晅提出了祖暅原理：“冪勢既同，則積不容異．”意思是：夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意一個平面所截，若截面面積都相等，則這兩個幾何體的體積相等．運用祖暅原理計算球的體積時，構(gòu)造一個底面半徑和高都與球的半徑相等的圓柱，與半球（如圖1）放置在同一平面上，然后在圓柱內(nèi)挖去一個以圓柱下底面圓心為頂點，圓柱上底面為底面的圓錐后得到一新幾何體（如圖2），用任何一個平行于底面的平面去截它們時，可證得所截得的兩個截面面積相等，由此可證明新幾何體與半球體積相等，即．某糧倉如圖3所示，其對應(yīng)的立體圖形是由雙曲線和直線及圍成的封閉圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周后所得到的幾何體（如圖4），類比上述方法，運用祖暅原理可求得該幾何的體積等于（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由雙曲線漸近線為，與的交點為，對于雙曲線上半部，構(gòu)造底面半徑為，高為的圓柱，在圓柱中挖去一個以圓柱下底面圓心為頂點的圓錐，當(dāng)截面與頂點距離為時，小圓錐底面半徑為，則得，此時，雙曲線把代入，即，解得：，陰影部分截面面積：，與所構(gòu)造圓柱底面積相等，故雙曲線繞y軸旋轉(zhuǎn)后，上圖陰影部分所成幾何體的體積與所構(gòu)造圓柱體的體積相等，由祖暅原理得旋轉(zhuǎn)后所得幾何體的體積：.故選：B.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知復(fù)數(shù)，滿足，，則（）A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗，，，，所以，，故選：ABD.10.下列說法正確的是（）A.B.若，則與的夾角是鈍角C.向量能作為平面內(nèi)所有向量的一個基底D.若，則在上的投影向量為〖答案〗AD〖解析〗，A正確；當(dāng)與反向時，，此時與的夾角為，B不正確；因為，所以，所以向量不能作為基底，C不正確；在上的投影向量為，D正確.故選：AD.11.六氟化硫，化學(xué)式為，在常壓下是一種無色、無臭、無毒、不燃的穩(wěn)定氣體，有良好的絕緣性，在電器工業(yè)方面具有廣泛用途．六氟化硫結(jié)構(gòu)為正八面體結(jié)構(gòu)，如圖所示，硫原子位于正八面體的中心，6個氟原子分別位于正八面體的6個頂點，若相鄰兩個氟原子之間的距離為m，則（）A.該正八面體結(jié)構(gòu)的表面積為B.該正八面體結(jié)構(gòu)的體積為C.該正八面體結(jié)構(gòu)的外接球表面積為D.該正八面體結(jié)構(gòu)的內(nèi)切球表面積為〖答案〗ACD〖解析〗對A：由題知，各側(cè)面均為邊長為的正三角形，故該正八面體結(jié)構(gòu)的表面積，故A正確；對B：連接，則，底面，故該正八面體結(jié)構(gòu)的體積，故B錯誤；對C：底面中心到各頂點的距離相等，故為外接球球心，外接球半徑，故該正八面體結(jié)構(gòu)的外接球表面積，故C正確；對D：該正八面體結(jié)構(gòu)的內(nèi)切球半徑，故內(nèi)切球的表面積，故D正確.故選：ACD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，是兩個不共線的向量，，，若與共線，則______．〖答案〗〖解析〗由向量，不共線，得，由向量與共線，得，則，所以.故〖答案〗：.13.若向量分別表示復(fù)數(shù)，則=__________．〖答案〗〖解析〗因為，又向量分別表示復(fù)數(shù)，所以表示復(fù)數(shù)，所以.故〖答案〗為：.14.若一個圓錐的側(cè)面展開圖是圓心角為，半徑為1的扇形，則這個圓錐的表面積與側(cè)面積的比是______.〖答案〗〖解析〗設(shè)圓錐底面圓的半徑為r，則底面圓的周長為，即展開后的扇形弧長為，又扇形的圓心角為，半徑為1，所以，所以，故圓錐的側(cè)面積為，表面積為，所以這個圓錐的表面積與側(cè)面積的比為，即這個圓錐表面積與側(cè)面積的比是.故〖答案〗為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點的坐標(biāo)為，且為純虛數(shù)（是z的共軛復(fù)數(shù)）.（1）求m的值；（2）復(fù)數(shù)在復(fù)平面對應(yīng)的點在第一象限，求實數(shù)a的取值范圍.解：（1）由題意，復(fù)數(shù)，所以，則，因為為純虛數(shù)，所以，解得.（2）復(fù)數(shù)，因為復(fù)數(shù)在復(fù)平面對應(yīng)的點在第一象限，所以，解得.16.已知與的夾角為.（1）求在方向上的投影向量;（2）求的值;（3）若向量與的夾角為銳角，求實數(shù)的取值范圍.解：（1）在方向上的投影向量為.（2）.（3）因為向量與的夾角為銳角，所以，且與不共線，對于，得，解得，若與共線，則存在，得，解得，所以若向量與的夾角為銳角，實數(shù)的取值范圍為.17.在中，角的對邊分別是，且．（1）求角的大??；（2）若，且，求的面積．解：（1）因為，所以根據(jù)正弦定理得，因為，所以，即，即，因為，所以，因為，所以．（2），因為，所以①，因為，所以②，聯(lián)立①②可得，解得（負(fù)根舍去），故的面積為．18.如圖，在梯形中，，在平面內(nèi)過點作，以為軸旋轉(zhuǎn)一周得到一個旋轉(zhuǎn)體．（1）求此旋轉(zhuǎn)體的表面積．（2）求此旋轉(zhuǎn)體的體積．解：（1）在梯形中，，，且，，，，，．以為軸將梯形旋轉(zhuǎn)一周后，形成的幾何體為圓柱中挖去一個倒放的與圓柱等高的圓錐，且圓柱高為，底面半徑為，圓錐的母線長為，底面半徑為，圓柱的側(cè)面積，圓錐的側(cè)面積，圓柱的底面積，圓錐的底面積，組合體上底面積，旋轉(zhuǎn)體的表面積．（2）由題意知，形成的幾何體的體積為一個圓柱的體積減去一個圓錐的體積，圓柱的體積，圓錐的體積，旋轉(zhuǎn)體的體積．19.十七世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家、被譽為業(yè)余數(shù)學(xué)家之王的皮埃爾·德·費馬提出的一個著名的幾何問題：“已知一個三角形，求作一點，使其與這個三角形的三個頂點的距離之和最小”它的〖答案〗是：“當(dāng)三角形的三個角均小于時，所求的點為三角形的正等角中心，即該點與三角形的三個頂點的連線兩兩成角；當(dāng)三角形有一內(nèi)角大于或等于時，所求點為三角形最大內(nèi)角的頂點．在費馬問題中所求的點稱為費馬點．已知a，b，c分別是三個內(nèi)角A，B，C的對邊，且，