湖南省益陽市2024屆高三下學(xué)期4月教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖南省益陽市2024屆高三下學(xué)期4月教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.設(shè)為虛數(shù)單位，且，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意可得：，所以.故選：D.2.已知，，則是方程的解的充要條件是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗因為，所以函數(shù)的圖象是開口向上的拋物線，且對稱軸為：，函數(shù)的最小值為.若“是方程的解”，則，那么就是函數(shù)的最小值，所以“，”，即“是方程的解”是“，”的充分條件；若“，”，則為函數(shù)的最小值，所以，即，所以“是方程的解”，故“是方程的解”是“，”的必要條件.綜上可知：“是方程的解”的充要條件是“，”.故選：C3.頂角為的等腰三角形，常稱為“最美三角形”．已知，則“最美三角形”的底邊長與腰長的比為（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗如圖，在中，，，點為中點，所以，，又，則，解得或（舍去），即，又，所以，即“最美三角形”的底邊長與腰長的比為.故選：B4.已知數(shù)列滿足且，則（）A.128 B.64 C.32 D.16〖答案〗D〖解析〗因為且，所以，則，，則，，則，，則，，則，，則，，則，則.故選：D5.已知雙曲線與橢圓有相同的焦點，則的最小值為（）A.6 B.7 C.8 D.9〖答案〗D〖解析〗橢圓的焦點為，依題意可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時取等號，故最小值為.故選：D6.2023年的某一天某紅酒廠商為了在線出售其紅酒產(chǎn)品，聯(lián)合小Y哥直播間，邀請某“網(wǎng)紅”來現(xiàn)場帶貨．在帶貨期間，為吸引顧客光臨直播間、增加客流量，發(fā)起了這樣一個活動：如果在直播間進(jìn)來的顧客中，出現(xiàn)生日相同的顧客，則獎勵生日相同的顧客紅酒1瓶．假設(shè)每個隨機來訪的顧客的出生日期都是相互獨立的，并且每個人都等可能地出生在一年（365天）中任何一天（2023年共365天），在遠(yuǎn)小于365時，近似地，，其中．如果要保證直播間至少兩個人的生日在同一天的概率不小于，那么來到直播間的人數(shù)最少應(yīng)該為（）A.21 B.22 C.23 D.24〖答案〗C〖解析〗設(shè)直播間進(jìn)來了個人，則這個人生日的可能性有種，這個人中任意兩個人都不在同一天生日的可能結(jié)果種數(shù)為，設(shè)“這個人中任意兩個不是同一天生日”，根據(jù)古典概型概率公式可得，則其對立事件“這個人中至少有兩個人的生日在同一天”的概率為.由題意：，從而，得，化簡得，即，故.故選：C.7.如圖所示，4個球兩兩外切形成的幾何體，稱為一個“最密堆壘”．顯然，即使是“最密堆壘”，4個球之間依然存在著空隙．材料學(xué)研究發(fā)現(xiàn)，某種金屬晶體中4個原子的“最密堆壘”的空隙中如果再嵌入一個另一種金屬原子并和原來的4個原子均外切，則材料的性能會有顯著性變化．記原金屬晶體的原子半徑為，另一種金屬晶體的原子半徑為，則和的關(guān)系是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意知，四個金屬原子的球心的連線所圍成的圖形為如圖所示的正四面體，設(shè)正四面體的棱長為，高為，外接球球心為，為正三角形的中心，則必有平面且，，三點共線，在正三角形中，易求得，在中，由，可得，在中，由，得，解得，由題意得，所以，所以．故選：D．8.已知的定義域為是的導(dǎo)函數(shù)，且，，則的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗因為，即，構(gòu)造函數(shù)，則，將代入，得.再構(gòu)造函數(shù)，則，易知，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以，由于，所以，所以，所以當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以在單調(diào)遞減.又根據(jù)單位圓可得三角不等式，又，，所以，故.故選：C.二、選擇題9.下列命題中，正確的是（）A.函數(shù)與表示同一函數(shù)B.函數(shù)與是同一函數(shù)C.函數(shù)的圖象與直線的圖象至多有一個交點D.函數(shù)，則0〖答案〗BC〖解析〗對于A：，因為兩函數(shù)的定義域不相同，故不是同一函數(shù)，故A錯誤；對于B：函數(shù)與定義域相同，〖解析〗式一致故是同一函數(shù)，故B正確；對于C：根據(jù)函數(shù)的定義可知，函數(shù)的圖象與直線的圖象至多有一個交點，故C正確；對于D：因為，所以，則，故D錯誤.故選：BC.10.如圖1所示，為曲桿道閘車庫出入口對出人車輛作“放行”或“阻攔”管制的工具．它由轉(zhuǎn)動桿與橫桿組成，為橫桿的兩個端點．在道閘抬起的過程中，橫桿始終保持水平．如圖2所示，以點為原點，水平方向為軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系．若點距水平地面的高度為1米，轉(zhuǎn)動桿的長度為1.6米，橫桿的長度為2米，繞點在與水平面垂直的平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，與水平方向所成的角（）A.則點運動的軌跡方程為（其中）B.則點運動的軌跡方程為（其中）C.若繞點從與水平方向成角勻速轉(zhuǎn)動到與水平方向成角，則橫桿距水平地面的高度為米D.若繞點從與水平方向成角勻速轉(zhuǎn)動到與水平方向成角，則點運動軌跡的長度為米〖答案〗BC〖解析〗對于A：點P的軌跡顯然是以O(shè)為原點，OP為半徑的圓，故點P運動軌跡方程為（其中），故A錯誤；對于B：設(shè)，因為PQ平行于x軸，所以，所以，又因為在加圓上，所以點Q的運動軌跡是以為圓心，1.6為半徑的圓，所以點Q的軌跡方程為（其中），故B正確；對于C：若OP繞點O從與水平方向成角勻速轉(zhuǎn)動到與水平方向成角，橫桿PQ達(dá)到最高點，此時橫桿PQ距水平地面的高度為，故C正確；對于D：因繞點O從與水平方向成角勻速轉(zhuǎn)動到與水平方向成角，故繞點轉(zhuǎn)動的角度與點繞點轉(zhuǎn)動的角度一樣為，所以點Q運動軌跡的長度即為圓（其中）的弧長，等于，故D錯誤.故選：BC.11.在中，角，，所對的邊依次為，，，已知，則下列結(jié)論中正確的是（）A.B.為鈍角三角形C.若．則的面積是D.若的外接圓半徑是，內(nèi)切圓半徑為，則〖答案〗BD〖解析〗因為，由正弦定理，可得，設(shè)，，，則，故A錯誤；由題意可知，最大角，因為，故為鈍角，故B正確；若，則，，，又，所以，所以的面積，故C錯誤；由正弦定理得，，即，由面積公式可得，即，所以，所以，故，故D正確．故選：BD．三、填空題12.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點，若為平面上的一個動點且，則點運動所形成的曲線的方程為______．〖答案〗.〖解析〗設(shè)，則由可得，化簡得.故〖答案〗為：.13.已知，且，則滿足且的的最大值為______．〖答案〗49〖解析〗因為的系數(shù)為，其中，要使得，必須是奇數(shù)且，所以，即，所以的最大值為49.故〖答案〗為：49.14.已知函數(shù)的定義域為．對任意的恒有，且，．則______．〖答案〗〖解析〗由，得，因為，，令，，得，得；令，，得，得；令，，得，得，在中，令，得，令，得，得；令，得，得，．在中，令，，得；令，，得，．依此類推，可得，，因此，，綜上可知．故〖答案〗為：．四、解答題15.已知為正實數(shù)，構(gòu)造函數(shù)．若曲線在點處的切線方程為．（1）求的值；（2）求證：．（1）解：因為，所以，又因為，所以曲線在點處的切線方程為.由題意可知曲線在點處的切線方程為，所以，解得(負(fù)值舍去)，所以.（2）證明：由第1問可知，.要證，即要證，只需證.構(gòu)造函數(shù)，則，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，所以，所以16.新鮮是水果品質(zhì)的一個重要指標(biāo).某品牌水果銷售店，為保障所銷售的某種水果的新鮮度，當(dāng)天所進(jìn)的水果如果當(dāng)天沒有銷售完畢，則第二天打折銷售直至售罄．水果銷售店以每箱進(jìn)貨價50元、售價100元銷售該種水果，如果當(dāng)天賣不完，則剩下的水果第二天將在原售價的基礎(chǔ)上打五折特價銷售，而且要整體支付包裝更換與特別處理等費用30元．這樣才能保障第二天特價水果售罄，并且不影響正價水果銷售，水果銷售店經(jīng)理記錄了在連續(xù)50天中該水果的日銷售量x（單位：箱）和天數(shù)y（單位：天）如下表所示：日銷售量x（單位：箱）2223242526天數(shù)y（單位：天）10101596（1）為能減少打折銷售份額，決定地滿足顧客需求（即在100天中，大約有70天可以滿足顧客需求）．請根據(jù)上面表格中的數(shù)據(jù)，確定每天此種水果的進(jìn)貨量的值.（以箱為單位，結(jié)果保留一位小數(shù)）（2）以這50天記錄的日需求量的頻率作為日需求量的概率，設(shè)（1）中所求的值滿足，請以期望作為決策依據(jù)，幫銷售店經(jīng)理判斷每天購進(jìn)此種水果是箱劃算還是箱劃算？解：（1）地滿足顧客需求相當(dāng)于估計某類水果日銷售量的分位數(shù).由表可知，把50個日需求量的數(shù)據(jù)從小到大排列，由，日需求量在箱及以下（含箱）的天數(shù)為，可知，可以估計日需求量的第分位數(shù)為，所以能地滿足顧客的需求，估計每天應(yīng)該進(jìn)貨量為箱.（2）由（1）知，即，設(shè)每天的進(jìn)貨量為箱的利潤為，由題設(shè)，每天的進(jìn)貨量為箱，當(dāng)天賣完的概率為，當(dāng)天賣不完剩下箱的概率為，當(dāng)天賣不完剩下箱的概率為，若當(dāng)天賣完元，若當(dāng)天賣不完剩下箱，元，若當(dāng)天賣不完剩下箱，元，所以元.設(shè)每天的進(jìn)貨量為箱的利潤為，由題設(shè)，每天的進(jìn)貨量為箱，當(dāng)天賣完的概率為，當(dāng)天賣不完剩下箱的概率為，當(dāng)天賣不完剩下箱的概率為，當(dāng)天賣不完剩下箱的概率為，若當(dāng)天賣完元，當(dāng)天賣不完剩下箱，則元，當(dāng)天賣不完剩下箱，則元，當(dāng)天賣不完剩下箱，則元，所以元，由于，顯然每天的進(jìn)貨量箱的期望利潤小于每天的進(jìn)貨量為箱的期望利潤，所以每天購進(jìn)此種水果箱劃算一些.17.如圖所示，四邊形為梯形，，，，以為一條邊作矩形，且，平面平面．（1）求證：；（2）甲同學(xué)研究發(fā)現(xiàn)并證明了這樣一個結(jié)論：如果兩個平面所成的二面角為，其中一個平面內(nèi)的圖形在另一個平面上的正投影為，它們的面積分別記為和，則．乙同學(xué)利用甲的這個結(jié)論，發(fā)現(xiàn)在線段上存在點，使得．請你對乙同學(xué)發(fā)現(xiàn)的結(jié)論進(jìn)行證明．（1）證明：如圖所示的等腰梯形中，過點，分別作，，垂足為，，則為矩形，，在中，，，所以，則，在中，，∴，∴，∴．又∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，又平面，所以.（2）解：由（1）可知平面，又，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，設(shè)，，則，，設(shè)平面的一個法向量為，則，取，又平面的一個法向量為，所以，因為，，所以，設(shè)平面與平面所成的角為，則，又，所以存在使得，易知平面，平面，所以是在平面上的正投影，，由，所以，所以在線段上存在點，使得.18.已知直線與橢圓相交于點，點在第一象限內(nèi)，分別為橢圓的左、右焦點．（1）設(shè)點到直線的距離分別為，求的取值范圍；（2）已知橢圓在點處的切線為．（i）求證：切線的方程為；（ii）設(shè)射線交于點，求證：為等腰三角形．（1）解：因為、為直線與橢圓的交點，且點在第一象限，所以、關(guān)于原點成中心對稱，不妨設(shè)，則，又、分別為橢圓的左、右焦點由題意可得，因為點到直線的距離分別為，可得，，又因為，因為，所以，所以；（2）證明：（i）首先證明橢圓上一點處的切線方程為，①當(dāng)切線斜率存在時，設(shè)過點的切線方程為，聯(lián)立方程，得，，即，，又，把代入中，得，，化簡得.②當(dāng)切線斜率不存在時，過的切線方程為，滿足上式.綜上，橢圓上一點的切線方程為.故橢圓點處的切線的方程為.（ii）如圖所示，設(shè)直線的傾斜角為，直線的傾斜角為，直線的傾斜角為，因為，，橢圓點處的切線的方程為，所以，則，，因為，，，所以，，所以，又、，所以，所以為等腰三角形.19.我們知道，二維空間（平面）向量可用二元有序數(shù)組表示；三維空間向盤