高中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)與典型例題

集合與簡(jiǎn)易邏輯、貝I」AA8=.

并

集

1.元素與集含的關(guān)系：例1下列關(guān)系式中正確的是()例12設(shè)全集U=RA={HXW6},

合

用€或任表示；、

(A)①三{6}(B)0G{O}補(bǔ)則A&A)=____,A@A)=.

2.集合中元素具有

(C)0={(!)}(D)0q{中}例13設(shè)全集U={1,2,3,4,5,6,7,8),

確定性、無(wú)序性、互異性.A={3,4,5}B={4,7,8},

3.集合的分類：例2[x+y=3解集為______求：(CuA)n(CuB),(CuA)U(CuB),

①按元素個(gè)數(shù)分：有限集，無(wú)限集；

[2x-3.y=lCu(AUB),Cu(AAB).

②按元素特征分；數(shù)集，點(diǎn)集。如

例3設(shè)4={-4,2“-1,/},8={9,°-5,1-。},不.

數(shù)集{)1>=幺},表示非負(fù)實(shí)數(shù)集，點(diǎn)I.絕對(duì)值不等式的解法：

集{(X,)汕=幺}表示開口向上，以等

已知A8={9},求實(shí)數(shù)a的值.Nva(a>0)的解集是卜卜a<x<a,a>0}；

y軸為對(duì)球軸的拋物線；式

4.集合的表示法：W>a{a>0)的解集是{小〉a或x<-a,a>0}

①列舉法：用來(lái)表示有限集或具有⑴公式法：(x)|>g(x)o/(x)>g(x)或f(x)<-^(x)?|/(x)|<g(x)<=>-g3</(x)<g(x)?

顯著規(guī)律的無(wú)限集，如N+={0,1,(2)兒何法(3)定義法(利用定義打開絕對(duì)值)(4)兩邊平方

2,3,...}：2、一元二次不等式af+〃x+c>0(。>0)或+力x+c<0(々.>0)的求解原理：利用

②描述法

③字母表示法:常用數(shù)集的符號(hào)：二次函數(shù)的圖象通過(guò)二次函數(shù)與二次不等式的聯(lián)系從而推證出任何一元二次不等式的解

集。

自然數(shù)集N；正整數(shù)集N+或N+；

A>0A=0A<0

整數(shù)集Z；有理數(shù)集Q、實(shí)數(shù)集R;

子

集合與集合的關(guān)系:用1，%=例4設(shè)M={工卜?+x+2=0,x￡/?},?=lg(lg10),y=av2+bx+cy—CIJC+bx-\-cy=a：C+bx+c

集二次函數(shù)

表示;A是B的子集記為AcB；Ay=(uc+bx+cuV

則{〃}與M的關(guān)系是()

是B的真子集記為AIB。(a>0)的

(A){a}=M(B)MU{a}(C){a}qM(D)Mc{nJ

①任何一個(gè)集合是它本身的子集，圖象

例5集合A="k=3h2,%￡Z},B=(.v|y=3n+1,H—x

記為AqA；②空集是任何集合

〃￡Z},S={.y[y=6/〃+l,之間的關(guān)系是()一元二次方

的子集，記為。qA；空集是任有兩相等實(shí)根

(A)SUBUA(B)S=BUA程有兩相異實(shí)根

b無(wú)實(shí)根

何非空集合的真子集；ar+/u+c=0XpXjCtj〈占)

(C)SUB=A(D)SYB=A

③如果同時(shí)BqA,那.>0)的根

例6用適當(dāng)?shù)姆?hào)(￡、仁、二、茯)填空：

么4=B；如果Au&BgC,ax1+&t+c>0

科工v玉或r>X2}R

那么C.④〃個(gè)元素的子集有①?！猀；②{3.14}____Q;③AUR+_____R;(a>0底懈集12/

2”個(gè)；〃個(gè)元素的真子集有2"-1?{x\x=2k+l,kGZ}―{加22一1,〃￡Z}。2

ax+bx+c<0{xjx,<x<r}

個(gè)；〃個(gè)元素的非空真子集有2"例7已知全集U={2,4,1-a},A={2,a2-?+2)(a>0曲解集200

一2個(gè)..如果華4={一1},那么a的值為一.注:分式、高次不等式的解法：標(biāo)根法

不

14不.等式f一公一匕<0的解集是卜|2cx<3},則〃=___,b=

交1交.集AnB={x|x￡A且x￡B};例8設(shè)集合A={xk￡Z且-1),B={Mx￡Z,等

并集AUB={x|x￡A,或.丫￡8};且國(guó)W5},則AUB中的元素個(gè)數(shù)是()式15分.式不等式三2<o的解集為：__________________.

#?補(bǔ)集CuA={xlxeU,且(A)ll(B)l(C)16(D)15_X+1

集合U表示全集.nj—4Y4-316.求使.回書―有意義的X取侑范圍.

例9已知A={川區(qū)二EZ},B二3±^WN),

補(bǔ)2集.合運(yùn)算中常用結(jié)論：22

①AqBoAB=A;貝1」AAB=_________o

AqBoAB=B例10已知集合M={y|y=f+1,x￡R},N={y|y=x+1,

AB)=(?A)QB);xGR),求MAN。

欷AB)=(“A)(%B)

不.

③card(AB)=card(A)+17.解不等式:|4x-3|>2r+l.

等

card(B)-card(A8)式

交例11若A={(x,y)|y=v+l},B={y|>f=x2+1),

18.解不等式：|X-3|-|A+1|<1.原命題互逆逆命胸

若P則q若q則P

:互

否

z弋

否命題逆否命題

19.解不等式：J—》x+i.若r期卜q互逆若P則”

X--3x+2

①一個(gè)命題的否命題為真，它的逆

命題一定為真.（否命題<=>逆命

題.）②一個(gè)命題為真，則它的逆

否命題一定為真.（原命題。逆

否命題.）

2

20.已知方程2（k+l）x+4k.r+3k-2=0有兩個(gè)負(fù)實(shí)根，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.4.反證法是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要方法。

會(huì)用反證法證明一些代數(shù)命題。

充

充分條件與必要條件例26：X>5_____1>5曲<2.（填=",<=）

分

1定.義：①當(dāng)“若p則q”是真命題

條例27：條件甲：xwl且yw2；條件乙：x+y工3,則乙

時(shí)，p是q的充分條件，q是p的

件是甲的_____條件.

必要條件;②當(dāng)“若p則q”的逆命題

與

為真時(shí)，q是p的充分條件，p是例J28'‘a(chǎn)rp''是850#85廠的（）

必

q的必要條件;③當(dāng)“若p則q”,“若（A）充分不必要條件（B）必要不充分條件

要

則均為真時(shí)，稱是的充要（。充要條件（D）既不充分也不必要條件

條qp”pq

命1.命題分類：真命題與假命題，簡(jiǎn)例21寫出命題：“若x+y=5則X=3且y=2”的逆條件；例29已知〃：方程Y+ax+b=0有且僅有整數(shù)解，1：a,

件

題單命題與復(fù)合命題；命題否命題逆否命題，并判斷它們的真假。2.在判斷充分條件及必要條件時(shí)，〃是整數(shù)，則〃是夕的（）

2.復(fù)合命題的形式：苜先要分清哪個(gè)命題是條件，哪個(gè)（A）充分不必要條件（B）必要不充分條件

p且q,p或q,非p;命題是結(jié)論，其次，結(jié)論要分四種（C）充要條件（D）既不充分又不必要條件

（“或”、“且”、“非”這些詞叫做情況說(shuō)明：充分不必要條件，必要

例22:“若。+6工5,貝必工2或b/3”是___命題.（填

邏輯聯(lián)結(jié)詞；不含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的不充分條件，充分且必要條件，既

真、假）

命題是簡(jiǎn)單命題；由簡(jiǎn)單命題和邏不充分又不必要條件。從集合角度

例23命題“若曲=0,則a、b中至少有一個(gè)為零”的逆

輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、看，若記滿足條件p的所有對(duì)象組

否命題為_____________

“非”構(gòu)成的命題是復(fù)合命題。）。成集合A,滿足條件q的所有對(duì)象

例：用反證法證明：已知小求證

①“p且q”形式復(fù)合命題當(dāng)P與24y￡R,x+y22,組成集合q,則①當(dāng)AqB時(shí)，p

i、y中至少有一個(gè)不小于lo

q同為真時(shí)為真，其他情況時(shí)為假是q的充分條件;②BqA時(shí)，p是

即當(dāng)q、p為真時(shí)，p且q為真；q的充分條件;③A=B時(shí)，p是q的

當(dāng)p、q中有一個(gè)為假時(shí)，p且q充要條件；

為假。

注：⑴當(dāng)p和q互為充要時(shí)，體現(xiàn)

②“p或q”形式復(fù)合命題當(dāng)p與了命題等價(jià)轉(zhuǎn)換的思想。

q同為假時(shí)為假，其他情況時(shí)為真⑵小范圍推出大范圍；大范圍推不

即當(dāng)p、q均為假時(shí)，p或q為假；出小范圍.

當(dāng)p、q中有一個(gè)為箕時(shí)，p或q

（第一章集合與簡(jiǎn)易邏輯）答案

為氨

③“靠p”形式復(fù)合命題的真假與例1選A;

例2填{（2,1）}注:方程組解的集合應(yīng)是點(diǎn)集.

p的真假相反即當(dāng)p為真時(shí)，非p

例3解:??,A8={9},???9w4.⑴若2〃—1=9,貝Ua=5，此時(shí)A={<9,25},B={9,0,T},

為假；當(dāng)p為假時(shí)，非p為真。

A3={9,T}，與已知矛盾，舍去.⑵若a2=9,則以=±3①當(dāng)。=3

命3.四種命題：記“若q則p”為原命例25已知c>0.設(shè)P：函數(shù)y=-在R上單調(diào)遞減.Q：時(shí),A={T,5,9},B={—2,—2,9}.B中有兩個(gè)元素均為-2,與集合中元素的互異性矛盾，應(yīng)舍

題題，則否命題為“若非p則非q”，

不等式x+|x-2c|>l的解集為R,如果尸和Q有且去.②當(dāng)〃二-3時(shí),A={-4,-7,9},B={9,—8,4}，符合題意.綜上所述,a=-3.

逆命題為“若q則p”,逆否命題為“

僅有一個(gè)正確，求C的取值范圍.

若非q則非p%其中互為逆否的［點(diǎn)評(píng)］本題考查集合元素基本特征一確定性、互異性、無(wú)序性，切入點(diǎn)是分類討論思想，由于集

兩個(gè)命題同真假，即u>°合中元素用字母表示，檢驗(yàn)必不可少。

例4B例5c例6①《，②U,③0,④A+1/0

例填例例k-+k-2<0

728c90要原方程有兩個(gè)負(fù)實(shí)根，必須:-2<k<\

例20解:A>04k

例10解：?.?M={y|產(chǎn)』+1,x￡R}=01y2l},N={y|y=x+LxeR}={y|yeR)MAN=M={y|y^l}O<0<=>

A；+X<0k>Q^k<-\

注：在集合運(yùn)算2通，首先要識(shí)別集合，即認(rèn)清集合中元素的特征。M、N均為數(shù)集，不能誤認(rèn)22(A+1)

A(X>>0

為是點(diǎn)集，從而解方程組。其次要化簡(jiǎn)集合。實(shí)際上，從函數(shù)角度看，本題中的M,N分別是二k>-^k<-\

、3

次函數(shù)和一次函數(shù)的值域。一般地，集合{比弓⑺，xWA}應(yīng)看成是函數(shù)產(chǎn)九丫)的值域，通過(guò)求函數(shù)舒。

值域化簡(jiǎn)集合。此集合與集合{(4,y)|y=f+i,x￡R}是有本質(zhì)差異的，后者是點(diǎn)集，表示拋物線2

o_2<k<-l或2<￡<"?實(shí)數(shù)k的取值范圍是國(guó)-2<k<-l或

>=A1上的所有點(diǎn)，屬于圖形范疇。集合中元素特征與代表元素的字母無(wú)關(guān)，例如{y|y》l}={.小

21}。例21解：逆命題：若x=3且y=2則x+y=5(真)

例11填。注：點(diǎn)集與數(shù)集的交集是人否命題：若x+y#5則且)早2(真)

例12埴0,R逆否命題：若XH3或則工+尸5(假)

例13解：VCuA={1,2,6,7,8},CuB={L2,3,5,6),例22答:真解：逆否：。=2且b=3,則a+b=5,成立，所以此命題為真.

.,.(CuA)n(CuB)={1,2,6),(CuA)U(CuB)={1,2,3,5,6,7,8),例23答:若a、b都不為0,則cib*O

???AUB={3,4,5,7,8},AnB={4},/.CLI(AUB)={1,2,6},Cu(AUB)={1,2,356,7,8)例24解：假設(shè)xvl且yvl,由不等式同向相加的性質(zhì)i+y<2與已知x+y》2矛盾，

例14a=5、b=—6;???假設(shè)不成立???4、y中至少有一個(gè)不小于1

例15原不等式的解集是{x|-7v.t<3}[注]反證法的理論依據(jù)是：欲證“若p則q”為真，先證”若p則非q”為假，因在條件p下，q與非

是對(duì)立事件(不能同時(shí)成立，但必有一個(gè)成立)，所以當(dāng)，若則非為假時(shí)，"若則一定

例16{XE/?|一3Wx<-1?或3VxW3)qpq"pq”

為真。

例25解：函數(shù).丫=-在R上單調(diào)遞減=0<c<l.

例17分析：關(guān)鍵是去掉絕對(duì)值.方法1：原不等式等價(jià)于件一32°或出一3Vo，即

不等式x+1人-2c|>1的解集為R=函數(shù)y=x+1x-2c|在R上恒大于1.

(4x-3>2x+lt-(4x-3)>2x+l

f2*—2，、x2/、

x+\x-2c\=\^'?函數(shù)y=x+|x—2c|在R上的最小值為2c.

12c,x<2c,

或4，.?.x>2或X<-，.?.原不等式的解集為3X>2或x<-}.方法2：(整體換元轉(zhuǎn)化

133不等式gX-2昨1的解集為&->g.如果「正確，且Q不正確,

X>2A<-

法)分析：把右邊看成常數(shù)c,就同>c(c>0)一樣=>4x-3>2x+l或貝|JOvcW[.如果戶不正確，且Q正確，則cN1.所以他勺取值范圍為(0,+oo).

4x-3<-(2.r+l)=>x>2或二原不等式的解集為國(guó)心>2或x<；}.例26答：x>5=>x>5Wtv<2.

例27答既不充分也不必要

例18分析：關(guān)鍵是去掉絕對(duì)值.解:???“若1+)，=3,則工=1或y=2”是假命題,其逆命題也不成立.

方法1：零點(diǎn)分段討論法(利用絕對(duì)值的代數(shù)定義)...逆否命題:喏x*1或)￥2,則X+y*3”是假命題，否命題也不成立.

①當(dāng)xv—1時(shí)，x-3<0,x+l<0/.-(x-3)+(x+l)<lA4<1^>XG^

故x+)，w3是XX1或y豐2的既不充分也不必要條件.

②當(dāng)一1W/<3時(shí)，一(X一3)-@+1)<1=,.\{x||<x<3)

例28選B

例29選A

③當(dāng)x23時(shí)，(x-3)-(x+l)<1=>-4<1=>x￡R{X|工23}

復(fù)習(xí)第二章函數(shù)

綜上，原不等式的解集為{X|X>g}

映映射：設(shè)非空數(shù)集A,B,例1.若A={1,2,3,4},8={4,上°},則4到8

射

也可以這樣寫：若對(duì)集合A中任一元素的映射有個(gè)，B到A的映射有個(gè)；

解：原不等式等價(jià)于①卜<T或②或③卜23，解①的a,在集合B中有唯一元若4={1,2,3},B={a,b,c},則4到B的—映

(-(x-3)+(x+l)<1l-(x-3)-(x+l)<l[(x-3)-(,v+l)<1素b與之對(duì)應(yīng)，則稱從A射有個(gè)。

解集為<p,②的解集為③的解集為3x±3),.?.原不等式的解集為{xL?；).到B的對(duì)應(yīng)為映射，記為例2.設(shè)集合A和集合B都是自然數(shù)集合

/：A-B,/表示對(duì)應(yīng)法則，N,映射了:AfB把集合A中的元素”映射到

b=f(a).春A中不同元素

方法2：數(shù)形結(jié)合:從形的，面考慮，不等式『3Hx+1|<1表示數(shù)軸上到3和-1兩點(diǎn)的距離之差小集合B中的元素2"+〃，則在映射/下，象20

的象也不同，且B中每一的原象是()

于的點(diǎn).T°123".?.原不等式的解集為；

1{x|x>}.個(gè)元素都有原象與之對(duì)(A)2(B)3(C)4(D)5

應(yīng),則稱從A