2023-2024學(xué)年人教版初中數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè) 18.2.2 菱形同步分層訓(xùn)練培優(yōu)題

2023-2024學(xué)年人教版初中數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)18.2.2菱形同步分層訓(xùn)練培優(yōu)題一、選擇題1．菱形不一定具備的性質(zhì)是（）A．四條邊都相等 B．對(duì)角線相等C．是軸對(duì)稱圖形 D．是中心對(duì)稱圖形2．如圖，四邊形ABCD是菱形，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，AB＝5，AO＝4，則BD等于（）A．4 B．5 C．6 D．73．如圖，已知菱形OABC的邊長(zhǎng)為3，若頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0，4)，則第一象限內(nèi)的頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（）A．(，2) B．(，4) C．(，2) D．(，2)4．如圖，在菱形ABCD中，E是AC的中點(diǎn)，EF∥CB，交AB于點(diǎn)F，如果EF=3，那么菱形ABCD的周長(zhǎng)為（）A．24 B．18 C．12 D．95．如圖，四邊形是平行四邊形，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A．當(dāng)時(shí)，四邊形是矩形B．當(dāng)時(shí)，四邊形是菱形C．當(dāng)時(shí)，四邊形是矩形D．當(dāng)平分時(shí)，四邊形是菱形6．已知菱形ABCD的兩條對(duì)角線長(zhǎng)分別為6和8，M、N分別是邊BC，CD的中點(diǎn)，P是對(duì)角線BD上一點(diǎn)，則的最小值為（）A．3 B．4 C．5 D．67．如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為4，∠DAB＝60°，E為BC的中點(diǎn)，在對(duì)角線AC上存在一點(diǎn)P，使△PBE的周長(zhǎng)最小，則△PBE的周長(zhǎng)的最小值為（）A．2+2 B．4 C．4 D．68．已知：如圖，在菱形ABCD中，F(xiàn)為邊AB的中點(diǎn)，DF與對(duì)角線AC交于點(diǎn)G，過(guò)G作GE⊥AD于點(diǎn)E，若AB=2，且∠1=∠2，則下列結(jié)論正確個(gè)數(shù)的有（）①DF⊥AB；②CG=2GA；③CG=DF+GE；④S四邊形BFGC=-1．A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題9．如圖，在菱形ABCD中，，則.10．如圖，四邊形是菱形，對(duì)角線、相交于點(diǎn)，于點(diǎn)，連接，，則的度數(shù)是。11．如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)．若OE＝3，則菱形ABCD的周長(zhǎng)為．12．如圖，在菱形ABCD中，，點(diǎn)M是AD邊的中點(diǎn)，點(diǎn)N是菱形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，連接MN，BN，且滿足，則菱形ABCD面積的最大值為．13．如圖，在菱形中，分別是的中點(diǎn).相交于點(diǎn)，連接.有下列結(jié)論：①；②；③；④.正確的結(jié)論有.（填加序號(hào)）三、解答題14．如圖，在中，CE平分，交AD于點(diǎn)E，DF平分，交BC于點(diǎn)F，CE與DF交于點(diǎn)，連結(jié)EF，BP（1）求證：四邊形CDEF是菱形.（2）若AB=2，BC=3，∠A=120°，求BP的值.15．如圖，在菱形ABCD中，F(xiàn)為邊AB的中點(diǎn)，F(xiàn)C與對(duì)角線BD相交于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)G作GE⊥BC于點(diǎn)E，∠ADB=∠FCB．求證：（1）AB=2BE；（2）DG=CF+GE．四、綜合題16．如圖，已知四邊形是平行四邊形，對(duì)角線與相交于點(diǎn)F，且平分，延長(zhǎng)，過(guò)點(diǎn)D作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C．（1）求證：四邊形是菱形；（2）若，求四邊形的面積．17．如圖已知：如圖1，在四邊形中，，四邊形是平行四邊形，交于點(diǎn)E，連接．（1）求證：；（2）如圖2，連接交于點(diǎn)G，連接，若．求證：四邊形是菱形．

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：A.菱形的四條邊相等，故A正確

B.菱形對(duì)角線垂直不一定相等，故B錯(cuò)誤

C菱形是軸對(duì)稱圖形，故C正確

D.菱形是中心對(duì)稱圖形，故D正確

故選:B

【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)即可判斷;2．【答案】C【解析】【解答】∵四邊形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，BO=，

∵AB=5，AO=4，

∴BO=，

∴BD=2BO=2×3=6，

故答案為：C.

【分析】先利用勾股定理求出BO的長(zhǎng)，再利用菱形的性質(zhì)求出BD=2BO=2×3=6即可.3．【答案】A【解析】【解答】連接AC，與OB交于點(diǎn)D，如圖所示：

∵菱形OABC，

∴OD=DB，AC⊥OB，

∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，4），

∴OB=4，

∴OD=BD=2，

∵菱形OABC的邊長(zhǎng)為3，

∴CD=，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（，2），

故答案為：A.

【分析】連接AC，與OB交于點(diǎn)D，先利用勾股定理求出CD的長(zhǎng)，再求出點(diǎn)C的坐標(biāo)即可.4．【答案】A【解析】【解答】解：∵E是AC中點(diǎn)，EF∥BC，交AB于點(diǎn)F，∴EF是△ABC的中位線，∴BC=2EF=2×3=6，∴菱形ABCD的周長(zhǎng)是4×6=24，故答案為：A.【分析】利用已知條件可證得EF是△ABC的中位線，利用三角形的中位線定理可求出BC的長(zhǎng)；然后利用菱形的性質(zhì)可得到此菱形的周長(zhǎng).5．【答案】A【解析】【解答】解：四邊形ABCD是平行四邊形，當(dāng)AB=CD時(shí)，四邊形ABCD還是平行四邊形，故該選A符合題意；當(dāng)AC⊥BD時(shí)，四邊形ABCD是菱形，故選項(xiàng)B不符合題意；當(dāng)∠BAD=90°時(shí)，四邊形ABCD是矩形，故選項(xiàng)C不符合題意；∵ABCD，∴∠BAC=∠ACD，∵AC平分∠BAD時(shí)，∴∠BAC=∠DAC，∴∠DAC=∠ACD，∴AD=CD，∴四邊形ABCD是菱形，故選項(xiàng)D不符合題意；故選答案為：A．【分析】根據(jù)矩形、菱形的判定方法，逐項(xiàng)判斷即可．6．【答案】C【解析】【解答】解：作關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，交于，連接，此時(shí)的值最小，連接，四邊形是菱形，，，即在上，，，為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，四邊形是菱形，，，四邊形是平行四邊形，，四邊形是菱形，，，在中，由勾股定理得：，即，，故答案為：C.

【分析】作關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，交于，連接，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可得此時(shí)的值最小，連接，根據(jù)菱形的性質(zhì)求出、，根據(jù)勾股定理求出長(zhǎng)，證出，即可得出答案．7．【答案】A【解析】【解答】連結(jié)BD、DE，如圖

∵BE的長(zhǎng)度固定，

∴要使△PBE的周長(zhǎng)最小只需要PB+PE的長(zhǎng)度最小即可

∵四邊形ABCD是菱形

∴AC與BD互相垂直平分

∴P′D=P′B

∴PB+PE的最小長(zhǎng)度為DE的長(zhǎng)

∵菱形ABCD的邊長(zhǎng)為4，E為BC的中點(diǎn)，∠DAB=60°

∴△BCD是等邊三角形，AE⊥BC

又∵菱形ABCD的邊長(zhǎng)為4

∴BD=4，BE=2，DE=2

∴DE=

=

=2

∴△PBE的最小周長(zhǎng)=BE+DE=2+2

故答案為：A.

【分析】連結(jié)BD、DE，因?yàn)锽E的長(zhǎng)度固定，所以要使△PBE的周長(zhǎng)最小，只需要PB+PE的長(zhǎng)度最小即可；由菱形的性質(zhì)可得AC與BD互相垂直平分，進(jìn)而得到PB+PE的最小長(zhǎng)度為DE的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理求出DE的長(zhǎng)，進(jìn)而可求出△PBE的最小周長(zhǎng)。8．【答案】C【解析】【解答】解：①DF⊥AB；

∵ABCD是菱形

∴AB=AD=2，

∴AG=DG

∴

∵F為邊AB的中點(diǎn)，

∴

∴AF=AE

∴在AGF和AGE中

∴AGF≌AGE(SAS)

∴

即

故①正確

②CG=2GA；

連接BD交AC于O

由①知

∴AFD≌BFD(SAS)

∴AB=BD=AD=2

∴

∴

∴

∵ABCD是菱形

∴

∴在RtAGE中

∴

∴

∴

即CG=2AG

故②正確

③CG=DF+GE；

在RtADF中，

∴

∴

故③正確

④S四邊形BFGC=-1

故④不正確故答案為：C

【分析】①根據(jù)菱形性質(zhì)，由等角找到等腰三角形，根據(jù)三線合一，找到全等條件，得到對(duì)應(yīng)角相等，都是90°，垂直得證；②由上一個(gè)證明的結(jié)論可證ABD是等邊三角形，故可由勾股定理先求出對(duì)角線AC的一半，再求AC，進(jìn)而求出CG和AG的長(zhǎng)，再求它們的比值即可證明是2倍關(guān)系；③計(jì)算DF與GE的和，與CG相等；④經(jīng)過(guò)前三個(gè)選項(xiàng)的證明，易求三角形ABC和AFG的面積，故求得四邊形BFGC的面積。9．【答案】【解析】【解答】解：∵四邊形ABCD為菱形，

∴∠ACD=∠ACB=40°，AB=BC，

∴∠BAC=∠ACB=40°，

∴∠B=180°-40°-40°=100°，故答案為：100°【分析】先根據(jù)菱形的性質(zhì)得到∠ACD=∠ACB=40°，AB=BC，進(jìn)而根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠BAC=∠ACB=40°，從而運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理即可求解。10．【答案】【解析】【解答】四邊形是菱形，，，，，，

在中，.故答案為：．【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)得，，，已知，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，得，再根據(jù)三角形內(nèi)角和即可求出的度數(shù)．11．【答案】24【解析】【解答】解：∵O為BD中點(diǎn)，E為CD中點(diǎn)，∴BC=2OE=6

又∵菱形的四邊相等，∴ABCD的周長(zhǎng)=6×4=24

故答案為：24

【分析】根據(jù)三角形的中位線求出菱形的邊長(zhǎng)，即可求出菱形周長(zhǎng)。12．【答案】【解析】【解答】解：連接BD，BM，如圖：∵四邊形ABCD是菱形，

∴AB=AD，

∵∠A=60°，

∴△ABD是等邊三角形，

又∵點(diǎn)M是AD邊的中點(diǎn)，

∴MB是△AMD的中線，

∴，BM⊥AD，

故在Rt△ABM中，，

即，

又∵菱形ABCD的面積，

∴求菱形ABCD面積的最大值，即求BM的最大值，

∵，

∴BM最大值為，

∴菱形ABCD的面積最大為：.

故答案為：.【分析】根據(jù)菱形的四條邊都相等可得AB=AD，根據(jù)有一個(gè)角是60度角的等腰三角形是等邊三角形可得△ABD是等邊三角形，根據(jù)三角形中線的定義可的MB是△AMD的中線，根據(jù)等邊三角形三線合一的性質(zhì)可得，BM⊥AD，根據(jù)勾股定理求得，求得菱形ABCD的面積，即可推得當(dāng)BM取最大值時(shí)，菱形ABCD的面積最大，結(jié)合題意可得，即可求得BM的最大值，即可求解.13．【答案】①②④【解析】【解答】解：①由菱形的性質(zhì)得：和為等邊三角形，

∴則①正確；

②∵

∴

∴

∴則②正確；

③∵

∴和不全等，則③錯(cuò)誤；

④∴

由勾股定理得：

∴則④正確；

綜上所述，正確的有：①②④，故答案為：①②④.【分析】先判斷和為等邊三角形，然后根據(jù)等邊三角形三心合一的性質(zhì)結(jié)合菱形的對(duì)角線平分一組對(duì)角，再結(jié)合三角形的定理這個(gè)判斷即可.14．【答案】（1）證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠EDF=∠DFC.∵DF平分∠ADC，∴∠EDF=∠CDF，∴∠DFC=∠CDF，∴CD=CF，同理可得CD=DE，∴CF=DE，且CF∥DE，∴四邊形CDEF為菱形.（2）解：如圖，過(guò)P作PG⊥BC于G.

∵AB=2，BC=3，∠A=120°，且四邊形CDEF為菱形，∴CF=EF=CD=AB=為等邊三角形，.在Rt中，由勾股定理可得，即的值為.【解析】【分析】（1）先利用平行四邊形的性質(zhì)和角平分線的定義可求得CD＝CF，同理可得CD=DE，又因?yàn)镃F∥DE，根據(jù)有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形得出結(jié)論；（2）過(guò)P作PG⊥BC于G，先在Rt△PGC中求得PG和CG的長(zhǎng)，從而求得BG的長(zhǎng)，在Rt△BPG中，根據(jù)勾股定理可求得BP的長(zhǎng)即可解答．15．【答案】（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，

∴AB=BC，AD∥BC，

∴∠ADB=∠DBC．

∵∠ADB=∠FCB，

∴∠FCB=∠DBC，

∴GB=GC．

又∵GE⊥BC，

∴BC=2BE，

∴AB=2BE；（2）證明：如圖，延長(zhǎng)CF，DA交于點(diǎn)H，∵四邊形ABCD是菱形，

∴AD∥BC，∠ADB=∠DBC，

∴∠H=∠FCB，∴∠H=∠ADB，

∴DG=HG．

∵點(diǎn)F是AB的中點(diǎn)，

∴AF=BF，AB=2BF．又由（1）得AB=2BE，

∴BF=BE．在△AFH和△BFC中，

，

∴△AFH≌△BFC(AAS)，∴CF=FH．在△BGF和△BGE中，

，

∴△BGF≌△BGE(SAS)，

∴FG=CE，∴DG=HG=HF+FG=CF+GE．【解析】【分析】（1）由菱形得性質(zhì)可得AB=BC，AD∥BC，結(jié)合已知條件可得GB=GC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得BC=2BE，即可得解；

（2）延長(zhǎng)CF，DA交于點(diǎn)H，先用AAS證明△AFH≌△BFC，可得CF=FH，進(jìn)而再用SAS證明△BGF≌△BGE，可得FG=CE，由線段得和差運(yùn)算可得結(jié)論.16．【答案】（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∵平分，∴，∴，∴，∴平行四邊形是菱形；（2）解：∵，，∴四邊形是平行四邊形，∴，∵四邊形是菱形，∴，，在中，，，∴由勾股定理得，∴四邊形的面積．【解析】【分析】本題考查菱形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)與判定和勾股定理。

（1）根據(jù)四邊形是平行四邊形得，則有；根據(jù)平分得，則有，得，即平行四邊形是菱形