山東省部分學(xué)校（中昇）2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期開學(xué)摸底大聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

中昇20232024學(xué)年高三開學(xué)摸底大聯(lián)考數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．2．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、座號(hào)、考生號(hào)填寫在答題卡上，并將條形碼橫貼在答題卡的“貼條形碼區(qū)”．3．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上．4．非選擇題必須用直徑0.5毫米黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液，不按以上要求作答的答案無效．5．考生必須保持答題卡的整潔．考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回．一、單選題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.設(shè)集合，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由交集的定義直接求解.【詳解】集合，則.故選：C2.已知復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)表示的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】【分析】由復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算以及共軛復(fù)數(shù)的概念，利用復(fù)數(shù)的幾何意義可求出結(jié)果.【詳解】由可得，，所以在復(fù)平面內(nèi)表示的點(diǎn)坐標(biāo)為位于第三象限，故選：C3.已知非零向量、和實(shí)數(shù)，那么“”是“”的（）A.充分而不必要條件 B.既不充分也不必要條件C.充要條件 D.必要而不充分條件【答案】D【解析】【分析】在等式兩邊平方，結(jié)合平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可求出向量、的夾角的值，再結(jié)合充分條件、必要條件的定義判斷可得出結(jié)論.【詳解】因?yàn)橄蛄?、為非零向量，設(shè)向量、的夾角為，在等式兩邊平方可得，所以，，則，因?yàn)?，所以，，即、方向相反，所以，“”“、方向相反”，“”“、方向相反”，因此，“”是“”的必要而不充分條件.故選：D.4.定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足：當(dāng)時(shí)，，且對(duì)任意實(shí)數(shù)，均有，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求得，計(jì)算出，再由可得出的值.【詳解】對(duì)任意的，，因?yàn)椋瑒t，當(dāng)時(shí)，，則，因?yàn)?，因此?故選：D.5.我們都知道：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比等于定值（不為1）的動(dòng)點(diǎn)軌跡為圓．后來該軌跡被人們稱為阿波羅尼斯圓．已知平面內(nèi)有兩點(diǎn)和，且該平面內(nèi)的點(diǎn)滿足，若點(diǎn)的軌跡關(guān)于直線對(duì)稱，則的最小值是（）A.10 B.20 C.30 D.40【答案】B【解析】【分析】點(diǎn)的軌跡為圓，直線過圓心，得，利用基本不等式求的最小值.【詳解】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)?，則，即，所以點(diǎn)的軌跡方程為，因?yàn)辄c(diǎn)的軌跡關(guān)于直線對(duì)稱，所以圓心在此直線上，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值是.故選：B.6.拋物線的焦點(diǎn)為的準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，過點(diǎn)斜率為的直線與交于點(diǎn)（在軸上方），則（）A. B.2 C.3 D.【答案】C【解析】【分析】由題意可得直線的方程為，聯(lián)立方程，求出兩點(diǎn)的坐標(biāo)，從而求得，由此得解.【詳解】由拋物線，得，則直線的方程為，聯(lián)立，解得或，即，所以，，所以.故選：C.7.已知，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式、二倍角公式化簡可得答案.【詳解】因?yàn)椋?故選：C.8.已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，設(shè)，將數(shù)列中的整數(shù)項(xiàng)組成新的數(shù)列，則（）A.2022 B.2023 C.4048 D.4046【答案】C【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列定義，將代入計(jì)算可得，；可得，再由新數(shù)列的性質(zhì)求出其通項(xiàng)為即可得出結(jié)果.【詳解】令數(shù)列的公比為，，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，即，解得（舍去），所以，即，因?yàn)閿?shù)列中的整數(shù)項(xiàng)組成新的數(shù)列，所以，此時(shí)，即，可得.故選：C二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分．9.下列命題中正確是（）A.中位數(shù)就是第50百分位數(shù)B.已知隨機(jī)變量，且函數(shù)為偶函數(shù)，則C.已知采用分層抽樣得到的高三年級(jí)男生、女生各100名學(xué)生的身高情況為：男生樣本平均數(shù)172，方差為120，女生樣本平均數(shù)165，方差為120，則總體樣本方差為130D.已知隨機(jī)變量，若，則【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)中位數(shù)定義可得A正確，利用函數(shù)奇偶性和正態(tài)分布的對(duì)稱性計(jì)算可得B正確；按分層抽樣樣本方差的計(jì)算公式可得總體樣本方差為，可知C錯(cuò)誤；由二項(xiàng)分布方差計(jì)算公式可得D正確.【詳解】對(duì)于A，中位數(shù)就是第50百分位數(shù)，所以A正確；對(duì)于B，隨機(jī)變量，且函數(shù)為偶函數(shù)，則，即區(qū)間與關(guān)于對(duì)稱，故，即B正確；對(duì)于C，根據(jù)分層抽樣平均數(shù)公式可得，按分層抽樣樣本方差的計(jì)算公式可得，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D，隨機(jī)變量，，即可得，即D正確；故選：ABD10.已知函數(shù)對(duì)都有，若函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，且對(duì)，當(dāng)時(shí)，都有，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.是奇函數(shù)C.是周期為4的周期函數(shù)D.【答案】AC【解析】【分析】B選項(xiàng)，根據(jù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，得到關(guān)于軸對(duì)稱，B錯(cuò)誤；A選項(xiàng)，賦值法得到，結(jié)合求出；C選項(xiàng)，求出，C正確；D選項(xiàng)，先得到在上單調(diào)遞增，結(jié)合函數(shù)的奇偶性和周期性得到.【詳解】B選項(xiàng)，的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故關(guān)于軸對(duì)稱，是偶函數(shù)，B錯(cuò)誤；A選項(xiàng)，中，令得：，因?yàn)椋?，解得：，A正確；C選項(xiàng)，由于，，故，即是周期為4的周期函數(shù)，C正確；D選項(xiàng)，對(duì)，，當(dāng)時(shí)，都有，故在上單調(diào)遞增，又是周期為4的周期函數(shù)，且是偶函數(shù)，故，，因?yàn)?，所以，D錯(cuò)誤.故選：AC11.某同學(xué)根據(jù)著名數(shù)學(xué)家牛頓的物體冷卻模型：若物體原來的溫度為（單位：℃），環(huán)境溫度為（，單位℃），物體的溫度冷卻到（，單位：℃）需用時(shí)t（單位：分鐘），推導(dǎo)出函數(shù)關(guān)系為，k為正的常數(shù)．現(xiàn)有一壺開水（100℃）放在室溫為20℃的房間里，根據(jù)該同學(xué)推出的函數(shù)關(guān)系研究這壺開水冷卻的情況，則（）（參考數(shù)據(jù)：）A.函數(shù)關(guān)系也可作為這壺外水的冷卻模型B.當(dāng)時(shí)，這壺開水冷卻到40℃大約需要28分鐘C.若，則D這壺水從100℃冷卻到70℃所需時(shí)間比從70℃冷卻到40℃所需時(shí)間短【答案】BCD【解析】【分析】對(duì)A，利用指對(duì)互化即可判斷A；對(duì)B，將數(shù)據(jù)代入公式即得到；對(duì)C，根據(jù)，解出值，再代入數(shù)據(jù)即可判斷；對(duì)D，分別代入公式計(jì)算冷卻時(shí)間，作差比價(jià)大小即可.【詳解】對(duì)A，由，得，所以，整理得．A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)B，由題意可知．，B項(xiàng)正確；對(duì)C，由，得，即，則．C項(xiàng)正確；對(duì)D，設(shè)這壺水從100℃冷卻到70℃所需時(shí)間為分鐘，則，設(shè)這壺水從70℃冷卻到40℃所需時(shí)間為分鐘，則，因，所以，D項(xiàng)正確．故選：BCD．12.如圖，在正方體中，，是正方形內(nèi)部(含邊界)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則（）A.存在唯一點(diǎn)，使得B.存在唯一點(diǎn)，使得直線與平面所成的角取到最小值C.若，則三棱錐外接球的表面積為D.若異面直線與所成的角為，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是拋物線的一部分【答案】BCD【解析】【分析】由線面垂直得線線垂直來確定點(diǎn)位置，判斷選項(xiàng)A；幾何法找線面角，當(dāng)角最小時(shí)確定點(diǎn)位置，判斷選項(xiàng)B；為中點(diǎn)時(shí)，求三棱錐外接球的半徑，計(jì)算外接球的表面積，判斷選項(xiàng)C；利用向量法解決異面直線所成角的問題，求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡，判斷選項(xiàng)D.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)：正方形中，有，正方體中有平面，平面，，又，平面，平面，只要平面，就有，在線段上，有無數(shù)個(gè)點(diǎn)，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)：平面，直線與平面所成的角為，，取到最小值時(shí)，最大，此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合，B選項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)：若，則為中點(diǎn)，為等腰直角三角形，外接圓半徑為，三棱錐外接球的球心到平面的距離為，則外接球的半徑為，所以三棱錐外接球的表面積為，C選項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)：以D為原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S，軸，軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)，則有，，有，化簡得，是正方形內(nèi)部(含邊界)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，所以的軌跡是拋物線的一部分，D選項(xiàng)正確.故選：BCD三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13.展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為______________．【答案】160【解析】【分析】變形為，寫出通項(xiàng)公式，求出，得到答案.【詳解】變形為，故通項(xiàng)公式得，其中的通項(xiàng)公式為，故通項(xiàng)公式為，其中，，令，解得，故.故答案為：16014.現(xiàn)有甲乙兩個(gè)形狀完全相同的四棱臺(tái)容器如圖所示，已知，現(xiàn)按一定的速度勻速往甲容器里注水，當(dāng)水的高度是四棱臺(tái)高度的一半時(shí)用時(shí)7分鐘，如果按照相同的速度勻速往乙容器里注水，當(dāng)水的高度是四棱臺(tái)高度的一半時(shí)用時(shí)________分鐘．【答案】19.【解析】【分析】不妨以正四棱臺(tái)為例，設(shè)正四棱臺(tái)的高為，由題意求得水流速度，再求出乙容器中水的容積，則答可求，【詳解】不妨以正四棱臺(tái)為例，設(shè)正四棱臺(tái)的高為，由，正四棱臺(tái)的中截面是邊長為4的正方形，當(dāng)水的高度是四棱臺(tái)高度的一半時(shí)，甲容器內(nèi)水的容積為設(shè)水流速度為v，則，當(dāng)乙容器中水的高度是四棱臺(tái)高度的一半時(shí)，水的容積為當(dāng)水的高度是四棱臺(tái)高度的一半時(shí)用時(shí)為分鐘.故答案為：19.15.設(shè)函數(shù)在上恰有2個(gè)零點(diǎn)，且的圖象在上恰有2個(gè)最高點(diǎn)，則的取值范圍是________.【答案】【解析】【分析】結(jié)合三角函數(shù)的圖象性質(zhì)，找出到滿足條件的所在的區(qū)間，解不等式組即可作答.【詳解】因?yàn)?，則，而函數(shù)在上恰有2個(gè)零點(diǎn)，且的圖象在上恰有2個(gè)最高點(diǎn)，因此，即，當(dāng)時(shí)，不符合題意，當(dāng)時(shí)，不等式組為，不等式組無解，當(dāng)時(shí)，不等式組為，解得，當(dāng)時(shí)，不等式組無解，所以的取值范圍是.故答案為：16.已知雙曲線，，分別為雙曲線的左?右焦點(diǎn)，為雙曲線上的第一象限內(nèi)的點(diǎn)，點(diǎn)為△的內(nèi)心，點(diǎn)在軸上的投影的橫坐標(biāo)為___________，△的面積的取值范圍為___________.【答案】①.3②.【解析】【分析】先由雙曲線的定義得到點(diǎn)在上垂足為右頂點(diǎn)，設(shè)出漸近線的傾斜角為，則，，則，求出，從而求出，求出△的面積的取值范圍.【詳解】由題意得：，故，設(shè)點(diǎn)，且在上垂足為H，根據(jù)雙曲線定義及切線長定理得：，又，解得：，所以點(diǎn)H坐標(biāo)為，即橫坐標(biāo)為3；漸近線的傾斜角為，則，記，則，所以，即，又，解得：(負(fù)值舍)，所以，則，所以.故答案為：3，【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：雙曲線焦點(diǎn)三角形的內(nèi)切圓圓心位于頂點(diǎn)的正上方或正下方，這個(gè)二級(jí)結(jié)論在雙曲線有關(guān)于內(nèi)切圓的題目時(shí)，經(jīng)常用到，需要掌握.四、解答題：共70分解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17.記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為．（1）證明：；（2）若，求．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由兩角和與差的正弦公式化簡，結(jié)合正弦定理可證明結(jié)論；（2）由已知條件結(jié)合余弦定理求出的值，再由余弦定理求．【小問1詳解】中，由，得，所以，所以，而，結(jié)合正弦定理，所以.【小問2詳解】由（1）知：，所以，即，所以.解得或（舍），所以.18.喜迎新學(xué)期，高三一班、二班舉行數(shù)學(xué)知識(shí)競賽，賽制規(guī)定：共進(jìn)行5輪比賽，每輪比賽每個(gè)班可以從兩個(gè)題庫中任選1題作答，在前兩輪比賽中每個(gè)班的題目必須來自同一題庫，后三輪比賽中每個(gè)班的題目必須來自同一題庫，題庫每題20分，題庫每題30分，一班能正確回答題庫每題的概率分別為、，二班能正確回答題庫每題的概率均為，且每輪答題結(jié)果互不影響．（1）若一班前兩輪選題庫，后三輪選題庫，求其總分不少于100分的概率；（2）若一班和二班在前兩輪比賽中均選了題庫，而且一班兩輪得分60分，二班兩輪得分30分，一班后三輪換成題庫，二班后三輪不更換題庫，設(shè)一班最后的總分為，求的分布列，并從每班總分的均值來判斷，哪個(gè)班贏下這場比賽？【答案】（1）（2）分布列見解析，一班贏下這場比賽.【解析】【分析】（1）由概率的乘法公式與加法公式求解；（2）由題意求出兩個(gè)班的總分可能取值，然后求出對(duì)應(yīng)的概率，進(jìn)而列出分布列，并根據(jù)期望的概念求出期望，比較大小即可判斷.【小問1詳解】由條件知，若一班在前兩輪得20分，后三輪得90分，總分為110分，其概率為，若一班在前兩輪得40分，后三輪得60分或90分，總分為100或130分，其概率為，于是一班總分不少于100分的概率為.【小問2詳解】由條件知，隨機(jī)變量X可能取值為60，80，100，120，，，，．所以X的分布列為：X6080100120P，設(shè)二班最后的總分為Y，Y可能取值為30，60，90，120，，，，，的分布列：，因?yàn)?，所以從總分的均值來判斷，一班贏下這場比賽.19.如圖，在四棱錐中，底面四邊形為菱形，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，為邊的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）若側(cè)面底面，且，，求平面與平面的夾角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）作出輔助線，證明出四邊形為平行四邊形，，從而求出線面平行；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各點(diǎn)坐標(biāo)，利用空間向量求解兩平面夾角的余弦值.【小問1詳解】取線段的中點(diǎn)，連接，，∵，分別為，的中點(diǎn)，∴且，∵底面是菱形，且為中點(diǎn)，∴且，∴且.∴四邊形為平行四邊形，∴.又∵平面，平面，∴平面.【小問2詳解】連接，由得是等邊三角形，∴，∵側(cè)面底面，側(cè)面底面，底面，∴側(cè)面，因?yàn)?，，由余弦定理的：，解得：，以為原點(diǎn)建立空間坐標(biāo)系，如圖所示.則，，，，則，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，即，令，則.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，解得：，令，則，故，∴，所以平面與平面的夾角的余弦值為.20.已知數(shù)列{an}，{bn}滿足a1=b1=1，是公差為1的等差數(shù)列，是公差為2的等差數(shù)列．（1）若b2=2，求{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；（2）若，，證明：．【答案】（1）；（2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)已知求得，，通過累加法求得，進(jìn)而求得；（2）根據(jù)已知求得，構(gòu)造，求導(dǎo)后得，結(jié)合得，又，從而求得，進(jìn)而證得結(jié)論．【小問1詳解】解：因?yàn)槭枪顬?的等差數(shù)列，所以，即，且，所以，累加得，所以，則；【小問2詳解】解：因?yàn)?，累加得，所以，則，則，令，且，所以，且，所以，所以，且，從而，所以，當(dāng)時(shí)，時(shí)，，所以．21.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）答案見解析（2）【解析】【分析】（1）求得函數(shù)定義域?yàn)?，，通過分類討論即可得到答案；（2）首先得到的范圍，將原式轉(zhuǎn)化為對(duì)恒成立，即對(duì)恒成立，通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)最值即可得到答案.【小問1詳解】定義域?yàn)椋?，①?dāng)時(shí)，令，得，此時(shí)單調(diào)遞增，令，得，此時(shí)單調(diào)遞減；②當(dāng)時(shí)，令，得，此時(shí)單調(diào)遞增，令，得，此時(shí)單調(diào)遞減；綜上所述，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.【小問2詳解】記，由（1）知，當(dāng)時(shí)，，則，則，當(dāng)時(shí)，恒成立，即對(duì)恒成立，即對(duì)恒成立，則，即對(duì)恒成立，令，對(duì)恒成立，則在單調(diào)遞增，所以，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查導(dǎo)數(shù)的同構(gòu)問題.要善于通過轉(zhuǎn)化的方法，將原式的形式統(tǒng)一，進(jìn)而進(jìn)行換元，進(jìn)而將恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，結(jié)合導(dǎo)數(shù)與函數(shù)關(guān)系求得答案.22.已知橢圓，且其右焦點(diǎn)為，過點(diǎn)且與坐標(biāo)軸不垂直的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)．（1）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，線段上是否存在點(diǎn)，使得？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由；（2）過點(diǎn)且不垂直于軸的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，試證明：直線過定點(diǎn)．【答案】（1）存在，（2）證明見解析【解析】【分析】（1）設(shè)