高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題檢測（十六）計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布列 理（普通生含解析）-人教版高三數(shù)學(xué)試題

專題檢測（十六）計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布列A組——“6＋3＋3”考點落實練一、選擇題1．投籃測試中，每人投3次，至少投中2次才能通過測試．已知某同學(xué)每次投籃投中的概率為0.6，且各次投籃是否投中相互獨立，則該同學(xué)通過測試的概率為()A．0.648 B．0.432C．0.36 D．0.312解析：選A3次投籃投中2次的概率為P(k＝2)＝Ceq\o\al(2,3)×0.62×(1－0.6)，投中3次的概率為P(k＝3)＝0.63，所以通過測試的概率為P(k＝2)＋P(k＝3)＝Ceq\o\al(2,3)×0.62×(1－0.6)＋0.63＝0.648.2．小趙、小錢、小孫、小李到4個景點旅游，每人只去一個景點，設(shè)事件A＝“4個人去的景點不相同”，事件B＝“小趙獨自去一個景點”，則P(A|B)＝()A.eq\f(2,9) B.eq\f(1,3)C.eq\f(4,9) D.eq\f(5,9)解析：選A小趙獨自去一個景點共有4×3×3×3＝108種可能性，4個人去的景點不同的可能性有Aeq\o\al(4,4)＝4×3×2×1＝24種，∴P(A|B)＝eq\f(24,108)＝eq\f(2,9).3．(2018·全國卷Ⅲ)某群體中的每位成員使用移動支付的概率都為p，各成員的支付方式相互獨立．設(shè)X為該群體的10位成員中使用移動支付的人數(shù)，DX＝2.4，P(X＝4)<P(X＝6)，則p＝()A．0.7 B．0.6C．0.4 D．0.3解析：選B由題意可知，10位成員中使用移動支付的人數(shù)X服從二項分布，即X～B(10，p)，所以DX＝10p(1－p)＝2.4，所以p＝0.4或0.6.又因為P(X＝4)<P(X＝6)，所以Ceq\o\al(4,10)p4(1－p)6<Ceq\o\al(6,10)p6(1－p)4，所以p>0.5，所以p＝0.6.4．若eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(a,x)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,x)))5的展開式中各項系數(shù)的和為2，則該展開式中的常數(shù)項為()A．－40 B．－20C．20 D．40解析：選D令x＝1，可得a＋1＝2，a＝1，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,x)))5的展開式中eq\f(1,x)項的系數(shù)為(－1)3Ceq\o\al(3,5)22，x項的系數(shù)為Ceq\o\al(2,5)23，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,x)))5的展開式中的常數(shù)項為(－1)3Ceq\o\al(3,5)22＋Ceq\o\al(2,5)23＝40.故選D.5．(x2＋2x＋3y)5的展開式中x5y2的系數(shù)為()A．60 B．180C．520 D．540解析：選D(x2＋2x＋3y)5可看作5個(x2＋2x＋3y)相乘，從中選2個y，有Ceq\o\al(2,5)種選法；再從剩余的三個括號里邊選出2個x2，最后一個括號選出x，有Ceq\o\al(2,3)·Ceq\o\al(1,1)種選法，所以x5y2的系數(shù)為32Ceq\o\al(2,5)·Ceq\o\al(2,3)·2·Ceq\o\al(1,1)＝540.6．在平面區(qū)域{(x，y)|0≤x≤2，0≤y≤4}內(nèi)隨機投入一點P，則點P的坐標(biāo)(x，y)滿足y≤x2的概率為()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3)C.eq\f(2,3) D.eq\f(3,4)解析：選B不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤2，,0≤y≤4))表示的平面區(qū)域如圖中長方形OABC，其面積為2×4＝8，不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤2，,0≤y≤4，,y≤x2))表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，其面積為eq\i\in(0,2,)x2dx＝eq\f(1,3)x3eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(2,0))＝eq\f(8,3)，因此所求的概率P＝eq\f(\f(8,3),8)＝eq\f(1,3).二、填空題7．在(x2－4)5的展開式中，含x6的項為________．解析：因為(x2－4)5的展開式的第r＋1項Tr＋1＝Ceq\o\al(r,5)(x2)5－r(－4)r＝(－4)rCeq\o\al(r,5)x10－2r，令10－2r＝6，解得r＝2，所以含x6的項為T3＝(－4)2Ceq\o\al(2,5)x6＝160x6.答案：160x68．已知在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，PA＝AB＝2，現(xiàn)在該四棱錐內(nèi)部或表面任取一點O，則四棱錐O-ABCD的體積不小于eq\f(2,3)的概率為________．解析：當(dāng)四棱錐O-ABCD的體積為eq\f(2,3)時，設(shè)O到平面ABCD的距離為h，則有eq\f(1,3)×22×h＝eq\f(2,3)，解得h＝eq\f(1,2).如圖所示，在四棱錐P-ABCD內(nèi)作平面EFGH平行于底面ABCD，且平面EFGH與底面ABCD的距離為eq\f(1,2).因為PA⊥底面ABCD，且PA＝2，所以eq\f(PH,PA)＝eq\f(3,4)，又四棱錐P-ABCD與四棱錐P-EFGH相似，所以四棱錐O-ABCD的體積不小于eq\f(2,3)的概率為P＝eq\f(V四棱錐P-EFGH,V四棱錐P-ABCD)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(PH,PA)))3＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))3＝eq\f(27,64).答案：eq\f(27,64)9．在一投擲竹圈套小玩具的游戲中，竹圈套住小玩具的全部記2分，竹圈只套在小玩具一部分上記1分，小玩具全部在竹圈外記0分．某人投擲100個竹圈，有50個竹圈套住小玩具的全部，25個竹圈只套在小玩具一部分上，其余小玩具全部在竹圈外，以頻率估計概率，則該人兩次投擲后得分ξ的數(shù)學(xué)期望是________．解析：將“竹圈套住小玩具的全部”，“竹圈只套在小玩具一部分上”，“小玩具全部在竹圈外”分別記為事件A，B，C，則P(A)＝eq\f(50,100)＝eq\f(1,2)，P(B)＝P(C)＝eq\f(25,100)＝eq\f(1,4).某人兩次投擲后得分ξ的所有可能取值為0,1,2,3,4，且P(ξ＝0)＝eq\f(1,4)×eq\f(1,4)＝eq\f(1,16)，P(ξ＝1)＝2×eq\f(1,4)×eq\f(1,4)＝eq\f(1,8)，P(ξ＝2)＝eq\f(1,4)×eq\f(1,4)＋2×eq\f(1,2)×eq\f(1,4)＝eq\f(5,16)，P(ξ＝3)＝2×eq\f(1,4)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,4)，P(ξ＝4)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,4).故ξ的分布列為ξ01234Peq\f(1,16)eq\f(1,8)eq\f(5,16)eq\f(1,4)eq\f(1,4)所以E(ξ)＝0×eq\f(1,16)＋1×eq\f(1,8)＋2×eq\f(5,16)＋3×eq\f(1,4)＋4×eq\f(1,4)＝eq\f(5,2).答案：eq\f(5,2)三、解答題10．(2019屆高三·貴陽摸底考試)某高校學(xué)生社團為了解“大數(shù)據(jù)時代”下畢業(yè)生對就業(yè)情況的滿意度，對20名畢業(yè)生進行問卷計分調(diào)查(滿分100分)，得到如圖所示的莖葉圖，(1)計算男生打分的平均分，觀察莖葉圖，評價男、女生打分的分散程度；(2)從打分在80分以上的畢業(yè)生中隨機抽取3人，求被抽到的女生人數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望．解：(1)男生打分的平均分為eq\f(1,10)×(55＋53＋62＋65＋71＋70＋73＋74＋86＋81)＝69.由莖葉圖知，女生打分比較集中，男生打分比較分散．(2)∵打分在80分以上的畢業(yè)生有3女2男，∴X的可能取值為1,2,3，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(2,2),C\o\al(3,5))＝eq\f(3,10)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,3)C\o\al(1,2),C\o\al(3,5))＝eq\f(3,5)，P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(3,3)C\o\al(0,2),C\o\al(3,5))＝eq\f(1,10)，∴X的分布列為X123Peq\f(3,10)eq\f(3,5)eq\f(1,10)E(X)＝1×eq\f(3,10)＋2×eq\f(3,5)＋3×eq\f(1,10)＝eq\f(9,5).11．為調(diào)查大學(xué)生這個微信用戶群體中每人擁有微信群的數(shù)量，現(xiàn)從某市大學(xué)生中隨機抽取300位同學(xué)進行調(diào)查，結(jié)果如下：微信群數(shù)量0至5個6至10個11至15個16至20個20個以上合計頻數(shù)09090x15300頻率00.30.3yz1(1)求x，y，z的值；(2)以這300人的樣本數(shù)據(jù)估計該市的總體數(shù)據(jù)且以頻率估計概率，若從全市大學(xué)生(數(shù)量很大)中隨機抽取3人，記X表示抽到的是微信群個數(shù)超過15的人數(shù)，求X的分布列、數(shù)學(xué)期望和方差．解：(1)由已知得0＋90＋90＋x＋15＝300，解得x＝105，所以y＝eq\f(105,300)＝0.35，z＝eq\f(15,300)＝0.05.(2)依題意可知，微信群個數(shù)超過15的概率為P＝eq\f(105＋15,300)＝eq\f(2,5).X的所有可能取值為0,1,2,3.依題意得，X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(2,5))).所以P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))3－k(k＝0,1,2,3)．所以X的分布列為X0123Peq\f(27,125)eq\f(54,125)eq\f(36,125)eq\f(8,125)所以E(X)＝3×eq\f(2,5)＝eq\f(6,5)，D(X)＝3×eq\f(2,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,5)))＝eq\f(18,25).12．在10件產(chǎn)品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品．從這10件產(chǎn)品中任取3件，求：(1)取出的3件產(chǎn)品中一等品件數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望．(2)取出的3件產(chǎn)品中一等品件數(shù)多于二等品件數(shù)的概率．解：(1)由于從10件產(chǎn)品中任取3件的結(jié)果為Ceq\o\al(3,10)，從10件產(chǎn)品中任取3件，其中恰有k件一等品的結(jié)果數(shù)為Ceq\o\al(k,3)Ceq\o\al(3－k,7)，那么從10件產(chǎn)品中任取3件，其中恰有k件一等品的概率為P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,3)C\o\al(3－k,7),C\o\al(3,10))，k＝0,1,2,3.所以隨機變量X的分布列是X0123Peq\f(7,24)eq\f(21,40)eq\f(7,40)eq\f(1,120)所以X的數(shù)學(xué)期望E(X)＝0×eq\f(7,24)＋1×eq\f(21,40)＋2×eq\f(7,40)＋3×eq\f(1,120)＝eq\f(9,10).(2)設(shè)“取出的3件產(chǎn)品中一等品件數(shù)多于二等品件數(shù)”為事件A，“恰好取出1件一等品和2件三等品”為事件A1，“恰好取出2件一等品”為事件A2，“恰好取出3件一等品”為事件A3，由于事件A1，A2，A3彼此互斥，且A＝A1∪A2∪A3而P(A1)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(2,3),C\o\al(3,10))＝eq\f(3,40)，P(A2)＝P(X＝2)＝eq\f(7,40)，P(A3)＝P(X＝3)＝eq\f(1,120)，所以取出的3件產(chǎn)品中一等品件數(shù)多于二等品件數(shù)的概率為P(A)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝eq\f(3,40)＋eq\f(7,40)＋eq\f(1,120)＝eq\f(31,120).B組——大題專攻補短練1．(2019屆高三·阜陽質(zhì)檢)從某市的高一學(xué)生中隨機抽取400名同學(xué)的體重進行統(tǒng)計，得到如圖所示的頻率分布直方圖．(1)估計從該市高一學(xué)生中隨機抽取一人，體重超過60kg的概率；(2)假設(shè)該市高一學(xué)生的體重X服從正態(tài)分布N(57，σ2)．①利用(1)的結(jié)論估計該高一某個學(xué)生體重介于54～57kg之間的概率；②從該市高一學(xué)生中隨機抽取3人，記體重介于54～57kg之間的人數(shù)為Y，利用(1)的結(jié)論，求Y的分布列及E(Y)．解：(1)這400名學(xué)生中，體重超過60kg的頻率為(0.04＋0.01)×5＝eq\f(1,4)，由此估計從該市高一學(xué)生中隨機抽取一人，體重超過60kg的概率為eq\f(1,4).(2)①∵X～N(57，σ2)，由(1)知P(X>60)＝eq\f(1,4)，∴P(X<54)＝eq\f(1,4)，∴P(54<X<60)＝1－2×eq\f(1,4)＝eq\f(1,2)，∴P(54<X<57)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,4)，即高一某個學(xué)生體重介于54～57kg之間的概率是eq\f(1,4).②∵該市高一學(xué)生總體很大，所以從該市高一學(xué)生中隨機抽取3人，可以視為獨立重復(fù)試驗，其中體重介于54～57kg之間的人數(shù)Y～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(1,4)))，P(Y＝i)＝Ceq\o\al(i,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))ieq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))3－i，i＝0,1,2,3.∴Y的分布列為Y0123Peq\f(27,64)eq\f(27,64)eq\f(9,64)eq\f(1,64)E(Y)＝3×eq\f(1,4)＝eq\f(3,4).2．(2018·長春質(zhì)檢)某種植園在芒果臨近成熟時，隨機從一些芒果樹上摘下100個芒果，其質(zhì)量分別在[100,150)，[150,200)，[200,250)，[250,300)，[300,350)，[350,400](單位：克)中，經(jīng)統(tǒng)計得頻率分布直方圖如圖所示．(1)現(xiàn)按分層抽樣的方法，從質(zhì)量為[250,300)，[300,350)的芒果中隨機抽取9個，再從這9個中隨機抽取3個，記隨機變量X表示質(zhì)量在[300,350)內(nèi)的芒果個數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X)；(2)以各組數(shù)據(jù)的中間數(shù)代表這組數(shù)據(jù)的平均值，將頻率視為概率，某經(jīng)銷商來收購芒果，該種植園中還未摘下的芒果大約還有10000個，經(jīng)銷商提出如下兩種收購方案：A：所有芒果以10元/千克收購；B：對質(zhì)量低于250克的芒果以2元/個收購，高于或等于250克的以3元/個收購．通過計算確定種植園選擇哪種方案獲利更多？解：(1)由頻率分布直方圖可得，隨機抽取的9個芒果中，質(zhì)量在[250,300)和[300,350)內(nèi)的分別有6個和3個．則X的可能取值為0,1,2,3.P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(3,6),C\o\al(3,9))＝eq\f(20,84)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(2,6)C\o\al(1,3),C\o\al(3,9))＝eq\f(45,84)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(1,6)C\o\al(2,3),C\o\al(3,9))＝eq\f(18,84)，P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(3,3),C\o\al(3,9))＝eq\f(1,84).所以X的分布列為X0123Peq\f(20,84)eq\f(45,84)eq\f(18,84)eq\f(1,84)X的數(shù)學(xué)期望E(X)＝0×eq\f(20,84)＋1×eq\f(45,84)＋2×eq\f(18,84)＋3×eq\f(1,84)＝1.(2)設(shè)選擇方案A可獲利y1元，則y1＝(125×0.002＋175×0.002＋225×0.003＋275×0.008＋325×0.004＋375×0.001)×50×10000×10×0.001＝25750.設(shè)選擇方案B，從質(zhì)量低于250克的芒果中獲利y2元；從質(zhì)量高于或等于250克的芒果中獲利y3元，則y2＝(0.002＋0.002＋0.003)×50×10000×2＝7000.y3＝(0.008＋0.004＋0.001)×50×10000×3＝19500.y2＋y3＝7000＋19500＝26500.由于25750<26500，故B方案獲利更多，應(yīng)選B方案．3．2017年央視3·15晚會曝光了一些飼料企業(yè)瞞天過海地往飼料中非法添加各種“禁藥”，包括“人用西藥”，讓所有人驚出一身冷汗．某地區(qū)質(zhì)量監(jiān)督部門對該地甲、乙兩家畜牧用品生產(chǎn)企業(yè)進行了突擊抽查，若已知在甲企業(yè)抽查了一次，抽中某種動物飼料的概率為eq\f(3,4)，用數(shù)字1表示抽中該動物飼料產(chǎn)品，用數(shù)字0來表示沒有抽中；在乙企業(yè)抽查了兩次，每次抽中該動物飼料的概率為eq\f(2,3)，用數(shù)字2表示抽中該動物飼料產(chǎn)品，用數(shù)字0來表示沒有抽中．該部門每次抽查的結(jié)果相互獨立．假設(shè)該部門完成以上三次抽查．(1)求該部門恰好有一次抽中動物飼料這一產(chǎn)品的概率；(2)設(shè)X表示三次抽查所記的數(shù)字之和，求隨機變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．解：記“恰好抽中一次動物飼料這一產(chǎn)品”為事件A，“在甲企業(yè)抽中”為事件B，“在乙企業(yè)第一次抽中”為事件C，“在乙企業(yè)第二次抽中”為事件D，則由題意知P(B)＝eq\f(3,4)，P(C)＝P(D)＝eq\f(2,3).(1)因為A＝Beq\x\to(C)eq\x\to(D)＋eq\x\to(B)Ceq\x\to(D)＋eq\x\to(B)eq\x\to(C)D，所以P(A)＝P(Beq\x\to(C)eq\x\to(D)＋eq\x\to(B)Ceq\x\to(D)＋eq\x\to(B)eq\x\to(C)D)＝P(Beq\x\to(C)eq\x\to(D))＋P(eq\x\to(B)Ceq\x\to(D))＋P(eq\x\to(B)eq\x\to(C)D)＝P(B)P(eq\x\to(C))P(eq\x\to(D))＋P(eq\x\to(B))P(C)·P(eq\x\to(D))＋P(eq\x\to(B))P(eq\x\to(C))P(D)＝eq\f(3,4)×1－eq\f(2,3)×1－eq\f(2,3)＋1－eq\f(3,4)×eq\f(2,3)×1－eq\f(2,3)＋1－eq\f(3,4)×1－eq\f(2,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(7,36).(2)根據(jù)題意，X的所有可能取值為0,1,2,3,4,5.所以P(X＝0)＝P(eq\x\to(B)eq\x\to(C)eq\x\to(D))＝[1－P(B)][1－P(C)]·[1－P(D)]＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))＝eq\f(1,36).P(X＝1)＝P(Beq\x\to(C)eq\x\to(D))＝P(B)[1－P(C)][1－P(D)]＝eq\f(3,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))＝eq\f(1,12)，P(X＝2)＝P(eq\x\to(B)Ceq\x\to(D)＋eq\x\to(B)eq\x\to(C)D)＝P(eq\x\to(B)Ceq\x\to(D))＋P(eq\x\to(B)eq\x\to(C)D)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))×eq\f(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))×eq\f(2,3)＝eq\f(1,9).P(X＝3)＝P(BCeq\x\to(D)＋Beq\x\to(C)D)＝P(BCeq\x\to(D))＋P(Beq\x\to(C)D)＝eq\f(3,4)×eq\f(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))＋eq\f(3,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))×eq\f(2,3)＝eq\f(1,3)，P(X＝4)＝P(eq\x\to(B)CD)＝[1－P(B)]P(C)P(D)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))×eq\f(2,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(1,9)，P(X＝5)＝P(BCD)＝P(B)P(C)P(D)＝eq\f(3,4)×eq\f(2,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(1,3).故X的分布列為X012345Peq\f(1,36)eq\f(1,12)eq\f(1,9)eq\f(1,3)eq\f(1,9)eq\f(1,3)所以E(X)＝0×eq\f(1,36)＋1×eq\f(1,12)＋2×eq\f(1,9)＋3×eq\f(1,3)＋4×eq\f(1,9)＋5×eq\f(1,3)＝eq\f(41,12).4．某地政府?dāng)M在該地一水庫上建造一座水電站，用泄流水量發(fā)電．如圖是根據(jù)該水庫歷年的日泄流量的水文資料畫成的日泄流量X(單位：萬立方米)的頻率分布直方圖(不完整)，已知X∈[0,120]，歷年中日泄流量在區(qū)間[30,60)的年平均天數(shù)為156，一年按364天計．(1)請把頻率分布直方圖補充完整；(2)該水電站希望安裝的發(fā)