高數2復習重點難點例解

高數n復習資料

一.關于二元函數在一點的極限、連續(xù)性和是否存在偏導數的討論

例1.求極限limx-y-ln(x2+y2),

(x,y)f(0,0)

22

解：limx2y2ln(x2+y2)=lim[(x2+y2)2ln(x2+y2)]%y

(x,y)->(0,0)(x,y)->(0.0)U2+y2)2

由limz21nz=0,通過變量代換z=/+),知：lim(x2+y2)2ln(x24-y2)=0,

ZTO(x,y)->(0,0)

r2v21丫22

又,2)2、2工力所以lim[(^2+y2)2ln(x2+y2)]———7^=0,

(x2+y)4*,y)T(o,o)(X2+y2y

即limx2y2ln(x24-y2)=0o

(x,y)->(0,0)

注：多元函數極限可通過變量代換化成一元函數極限，利用一元函數求極限方法求出其極限，一般

都非常簡單。

例2.求極限lim(/+/1我F

XT+0O

y—>4-00

4

x+/(二+】)=。

解：因為lim(孫)4"。=0,lim(x4+y4)e-xy=lim(xy/e^'=lim(xype-'?0

X->+<?XT+8Xf+30(孫)4X->-KOxy

y->+ooy->+ooyT+ooyT+oo

/\-O'

例3.求極限lim

x+y)

y—>4-00xJ/

、町'

孫

解:因<—所以lim—=0,

22一2XT+<?

y->+oo\+V7

例4.求極限lim(x+y)ln(x2+y2)

(x,y)->(0,0)

解:lim(x+y)ln(x2+)/)令x=rcos6,y=rsin0limr(cos0+sin0)Inr2<4|rlnr|,

(x,y)T(0.0)r-?0

而limrlnr=0,于是lim(x+y)ln(x2+y2)=0

r-?0(x,y)->(0,0)

(x+)，)sin(0)2,v2,n

~)i，大十)產u

x+y

例5.y(x,y)=<，

0,x2+y2=0

證明了(x,y)在(0,0)點連續(xù)，且存在偏導數。

證明：lim(x+y)sinUy)=limsin(xy)(x+y)xy

(x?vW(0.0)/+y2(x.*)^(0.0)2

(xy)X+

(x+y)xy/I?(x+y)xy??sin(xy),

而一片一L4|x+y|,所以hmV,7/=0,又lim------—=1因此

JTOO

x+y-o.o)x+y“),)(Xy)

lim(x+?sin,))=0=/(0Q3/(x,y)在(0,0)點連續(xù)。

(x,y)f(0,0)+y2

顯然f(0,0)=lim“x?°)70°)=0,f(0,0)=lim=0,即/(x,y)在(0,0)點存在偏導數。

xx"。'—

XTOxyf0y

例6.分別研究下列二元函數的在(0,0)點的連續(xù)性和可偏導性。

1,xy=0

1)/(x,y)=<

O,xy0

解：.。)加皿―21lim以=0,/(O,O+Ay)-7(O,O)^iiml-l^o

■->0Ay->0

即/(x,y)在(0,0)處的偏導數存在，但

沿x軸(y=0),有l(wèi)im/(x,y)=l；沿直線y=x,有l(wèi)imf(x,y)=limf(x,x)=0

A->0x->0X->0

y=0尸x

即/(x,y)在(0,0)處的不存在極限，從而間斷o

町’,x2+)aw0

2)/(內)=<3+"

0,x~+y2=0

f+y2

孫

/［tr朵r??3氏1/為V0u，v<r+V=、

2y[x2+y2

(x2+y2Y2

由夾逼定理知1嗝°,―2—r=0=/(0,0),即〃x,y)在(0,0)連續(xù)。

仁…。),+力5

/：(O,O)=limJ3'O)T(。'。)=o,/；(O,O)=lim且)7(°⑼=0,即f(x,y)在(0,0)處的偏導數存在,

AXTOAr)AyfO△)：

‘孫220

3)f(x,y)=\x2+y2'"，

0,x2+y2=0

解：y；(o,o)=lim0(。'。)=0,/；(o,o)=lim/(崢)二/(°。)=0,即/(x,y)在(0,0)存在處偏導數,

Ar—Av>Av—A、，

孫k

但㈣"%》)=崛1沿y=kxlim一,'廠隨k而異,

=^=7x2+k-xT+F

y->0，一>0+r

f(x,y)在(0,0)處極限不存在。所以f(x,y)在(0,0)處不連續(xù)。

(x2+y2)sin1,x2+y2^0

4)/(x,y)={\x'+y,

0,x2+y2=0

解：lim/(x,y)=lim(x2+y2)sin,—4'u=x2+y2limMsin-^==O=f(0,0)

Uj)T(o.o)‘''>J/+/J:“TO7M

即〃x,y)在(0,0)連續(xù)。

f；(O,O)=lim/⑶'。)-/?‘。)=lim—sin，=0,/；(0,0)=lim旭助-/?，。)=nmAysin—=0,

AXTO\yAX->0AYAy->0△),,A>-?0Ay

即/(x,y)在(0,0)處的偏導數存在。

,x2+y2w0

5)/(x,y)=<x2+y2

0,x2+y2=0

由不等式|系卜舞小即知/％急=°=/Q°)'即"3在(°，。)連續(xù)。

解:

f；(O,O)=limQ)-'?'。)=o,/；(o,o)=lim汽。效』f0°)=0,即f(x,y)在(0,0)處的偏導數存在,

'Ar—*0Av,Av—*0A

A、\J「'/I4，(X,y)H(O,O)

6)/億〉)=產+4)，4

[0,(x,y)=(0,0)

4

解：lim”x,y)=lim-^^=3—隨m而變，極限不存在，即/(x,y)在(0,0)不連續(xù)，但

(x,y)->J0.0)x->0y+4,ITl~+4

my2-x

/；(O,O)=lim3，°)二￡(°。)=o,/；(O,O)=lim/(。由-/?,。)=o,即/(x,y)在(0,0)處的偏導數存在,

A—0AxAy->0Ay

二.第二類(對坐標)曲面積分

直接計算方法：“一投、二代、三定號”三步法；間接計算法：用高斯公式將曲面積分轉化為三重積分。

例1.計算：\\-j^==dzdx,其中S是曲面)，=/+[2與y=l,y=2所圍立體表面的外側.

解：曲面S=S+S2+S3,其中5={(x,y),+z2=其投影為Q：/+72

222

邑={(x,>>)|x+z2W2,y=2},其投影為D2:x+Z<2

22

S3={(x,y)|y=x+z,l<y<2},其投影為。3:1W/+342

|j=dzdx-Jj,=dzdx=[dO—rdO-2Qe近兀

s?7x~+y々Yr+z~r

dzdx=-dzdx=_d?—rdr=-2(e^-e)7t,因此

r

/zdx=JHJ+JH&M71

S|S2S3

例2.計算：JJzdxdy.其中Z是橢球面/方+號=1外法線是正向.

解:橢球面￡在xoy坐標面上的投影是橢圓域D：5+為41.在橢圓域D上，橢球面上分為上與下兩部分曲面

22I22

1-三』，Z,：z=-cjl-與-4

Jab\ab~

2外法線與z軸正向的夾角是銳角，4外法線與z軸正向的夾角是鈍角，丁.是

||zdxdy=jjzdxdy+jjzdxdy=cjj

ZZ|S2D

令x=4pcos6,y=/?psin92abcp=:兀abc

例3計算：\\udydz+xydzdx+yzdxdy,.其中2是柱面/+丁=1在第一象限中0<z<l部分的前側.

￡

解：對于=（向前），向yoz面上.投影為。、：WyW1,。WzW1.

^zxdydz=y2dydz=，dzjyjl-y2dy=—.

工％8

對于JJxydzdx,E;y=一/(向右)，向xoz面上投影為￡)必：。工1(L。<ZK1.

z

^xydzdx-|Jx>]l-x2dzdx=fxyjl-x2dx工zdz=—.

工以3

對于JJyzdxdy,因為2向xoy面上投影區(qū)域面積為0,所以^yzdxdy=0,

￡￡

于是'jjzxdydz+xydzdx+yzdxdy=/+；.

例4計算：\\xdydz+ydzdx+zdxdy,.其中2是旋轉拋物面z=x2+y?在第一卦限中o?z<1部分的上側.

￡

2

解法一：首先，對于Jjxdydz,E:x=Jz-y?（向后,與x軸的正向相反），向yoz面上投影為Dyz:o<y<I,y<z<1.

z

_____,,______,3,r\5

221

\\xdydz--\\^z-ydydz^-[dy￡^z-y-dz=--(z-yd)，=_f0_y2Pdy

￡%2y2D

A2g4231萬7t

令y=sin,——bcostat-——x—x—x—=---.

3J)34228

其次，由x,y位置對稱性，JJ），dzdx=-工

s8

最后,對于JJzdxdy,X:z='十/(向上)，向xoy面上投影為D^,:o<0<—,0<r<1.

￡2

^zdxdy=jj(x2+y2)dxdy=d0^rydr=—

工%8

于是,{{xdydz+ydzdx+zdxdy=-+—=

J8888

解法二（更換坐標變量，適用于E平面，旋轉拋物面等）：由題設2=/+/，根據公式姓=4也=2迫

-z*F1

dydz=-zdxdy=-2xdxdy,dzdx=-zydxdy=-2ydxdy，于是

^xdydz+ydzdx+zdxdy=jj(-2x2-2y2+x24-y2)dxdy=-jj(x2+y2)clxcly=-JjU2+)dxdy

ZZ

例5計算：JJ（z-3Mxdy,?其中S是旋轉拋物面2z=f+），2介于2WzW3之間部分的下側.

解：S:2z=x2+y2（向下），向xoy面上投影為￡）町,：。肛《痛.（由4?2z=/+y2K6得到）

22[72

JJ（z-3）dxdy=_（'+，——3MMy=j（3-—）rdr=71

z%22

例6計算：^xdydz+ydzdx+zdxdy,.其中2是球面/+/+j=R?在第一卦限部分的上側.

解法一：由對稱性知：Jjxdydz+ydzdx+zdxdy=3Jjzdxdy,

2：Z=J/?2_（x2+y2）（向上），向xoy面上投影域為：O〈ew],0〈r<R.（由x2+y2?R2,x2o,yN0得至IJ）

所以，原積分=3\\zdxdy==3?/^R2-r2rdr=-W

i2

解法二（高斯公式）：補上左：x=0（后側），Z2:y=0（左側），2：3：Z=O（下側），則2與它們圍成的區(qū)域的體積

為球的體積的工，則原積分ffff—+—+—Lv=ff[（l+l+lVv=3xlx-^-/?3=-/?3

8孰8dz）也八尸832

三.運用逐項求導法計算級數的和

產一丫2〃-135

例1求級數一=》+上+上+…的和

占2〃-135

8丫2〃-1

解：它的收斂區(qū)間為（T,l）,對于任意的VX€（-1,1）,設/（x）=￡?—，

2?-1

_co_(..2/1—1

則/‘(x)=z2-2”-2_U1_1

A——T已知/(0)=0,于是，Vxe(-l,l),有

n=lI2〃一.\-q\-x~

/(x)=1/M

5

例2求級數￡（-iyix3r

=X---------1-------------的和

/J=12〃一135

產一丫2〃-13?5

解：設=-=%-—+-——在收斂域［-1,1］內逐項求導，

M2/1-135

161

得f\x)=1-x2+x4-----——2，注意/(0)=0，即得/(X)=［-~別f=arctanx

8丫2”-135

于是，當時W/(x)-V(-1)"-1------x----1-------arctanx

Zi2n-l35

例求級數之二-v.24

31+=上+…的和

￡（2〃）!2!4!

設/(x)=￡x2"

解:在收斂域(-8,+8)內逐項求導,

n=0(2〃)!2!4!

V3V5V2V3

fr(x)=x+—+—+???,于是/(x)-/'(尤)=1-X+—-—H(1)

23

f(^)+fXx)=^~^~—=e'，(2)

dx2nx2r4PxaP~x

交(1)+(2)得,f(x)=V----=Id----!>—+???=--------=chx(X€(-00,+oo))

白(2〃)！2!4!2

例4求級數之上一的和

解：它的收斂區(qū)間為[-1,1],對于任意的設/(外=之一一

M〃(〃+D

00〃+1

首先討論xe(-l,l),用x乘等式兩端各項，有0Xx)=Z」一

念〃5+1)

>1+\'8Y”“8(n\00

[V(X)]'=￡x4一1

H(x)/=Zj=ZX-

〃(〃+1),〃=inn1-X

于是，Vxe(-l,l),有工獷⑺]”力==>[/(，)]]；=-ln(l—x)nH(x)[=—ln(l—x)

=>j"—jln(l—=>=(1-x)ln(1-x)+x=>(x)=(1-x)ln(1-x)+x

1—X

從而，當xwO時,/(x)=——ln(l-x)+l

X

81

當X=1時,直接得/⑴2而丁

古建殂rz八6(T)“111八1、/A/A

當x=—l時,宜接得/(-1)=V------=----+--------+…=-(1—)+(----)—(-----)+???

￡〃(〃+1)12233422334

23n

111xxx

—2(—14------1-----)+1=1—21n2(根據ln(l+x)=x-----1------+(-1)/?---1"…得ln2)

23423n

當x=0時，直接得/(0)=0

l-x

——ln(l-x)+l,當異[-1,1),x豐0,

8YnX

于是，~~~={1,當x=i

?=in(n+l)八、匕八

四.二階常系數齊次線性微分方程y"+py'+qy=0(p,q為常數)的解

特征方程：y"+py'+qy=O(p,q為常數)r2+pr+q-0

rxv

通解：①特征方程有不相等的二實根：y=C,e'+C2e

rx

②特征方程有相等的二實根r：y=(C]+C2x)e

a

③特征方程有共甄復根a土甲:y=e\Clcos(3x+C2sin外)

例1-—2y，=0的通解為。

解；特征方程為「一/一2r=0,解得4=0,弓=-"=2,故通解為y=G

例2具有特解弘=0，%=2泥，%=3"的三階常系數齊次線性微分方程為。

解；由題設知特征為：r=-1-1,1,特征方程為"+1)2(「-1)=/+尸一「一1=。

故方程為y"'+y"-y-l=0

例3y"+4y'+4y=0的通解為。

解：特征方程為：/+"+4=0n(r+2)2=0,有兩相等實根r=-2,通解為y=(G+。2幻""

例4y“)+),"+>，+y=。的通解為0

解：特征方程為：r4+r3+r+l=0^(r+l)2(r2-r+l)=0,有兩相等實根r=T,及共甄復根;士乎i

x

通解為y=y=(C,+C2x)e^+e^'(C3cosx+C4sinx)

五.第二類曲線積分

1掌握第二類曲線積分的計算方法

(1)把積分曲線的參數方程代入曲線積分中，使之化為定積分再計算：

①曲線?由方程x=x(f),y=y(r),z=z(f)(a?f<4)給出，則

[P(x,y)dx+Q(x,y)dy=J1P(x(f),y(f))x'(f)+Q(x(r),y(t))y\t)]dt

②曲線i由方程y=/(x)(aVx<b)給出，則

Jp(x,y)dr+Q(x,y)dy=/[P(xJ(x))+Q(x,/(x))/'(x)]dr

③曲線/由x=g(y)(c〈yWd)給出，貝U

[p(x,)，)dx+Q(x,y)dy=f[P(g(y),y)g'(y)+Q(g(y),y)y]dy

(2)用格林公式將曲線積分化為二重積分計算：

其中/為逆時針方向，。為/圍成的平面區(qū)域。

使用該公式時要注意：①/必須是封閉的期限，且為正向；②被積函數在/及。上有一階連續(xù)偏導數，如果上述條

件不滿足，可創(chuàng)造條件使其滿足。例如可適當添加輔助曲線，使積分曲線成為封閉曲線，或用“挖補法”去掉偏導不

連續(xù)的點。

(3)利用曲線積分與路徑無關的條件，選擇最簡單的積分路徑(如平行于坐標軸的折線)計算積分。

2.理解曲線積分與路徑無關的條件，知道用曲線積分可表示平面圖形的面積：

S--ydx

3.掌握平面曲線積分與路徑無關的充要條件：若P(x,y),Q(x,y)在單連通區(qū)域。內有一階連續(xù)偏導數，則

，P(x,y)dx+Q(x,y)dy與路徑無關o孚=縱,(苞y)e￡)。

Jexdy

8Q_8P

例1若對任意的x,y有，設C是有向閉曲線，則《Pck+Qdy=

dxdy

解：由格林公式將

dP

)drdy

其中。為C圍成的平面區(qū)域，及條件絲三絲知，應該填寫：0

dxdy

例2.j-ydx+xdy,其中/是延圓周(x—l)2+(y—=1正向一周.

解：因為圓周(x-l)2+(y-1-=1所圍圓面積。為：1??乃，由格林公式得：J-ydx+xdy=Jj(l+l)dxdy=2笈,

D

應該填寫：2〃

例3若P(x,y)及。(x,y)在單連通域。內有連續(xù)的一階偏導數，則在。內，曲線積分［Pdx+Qdy與路徑無

關的充分必要條件是().

B.在域。內恒有絲=土

A.在域。內恒有——=—

dxdydxdy

C.在。內任一條閉曲線/'上,曲線積分4Pdx+QdywO

D.在。內任一條閉曲線/'上,曲線積分j/dr+Ody=0

解：若P(x,y),Q(x,y)在單連通區(qū)域。內有一階連續(xù)偏導數，則Jp(x,y)dr+Q(x,y)dy與路徑無關

o絲衛(wèi),(x,y)皿

所以選擇：B

dxdy

例4設C是平面上有向曲線，下列曲線積分中，()是與路徑無關的.

2

A.[3yx2dx+犬@B.|ydx-xdyC.^2x)>dx-xdyD.13yx&+

因為選項A中，2=0。)獷)=3/,絲=^2=3,,由曲線積分與路徑無關的充分必要條件知道，正

解:

dydydxdx

確選擇:A

例5設積分路徑,(a?f4/)，那么第二類曲線積分計算公式[>(x,y)dx+Q(x,y)dy=().

[V="⑴J

A.，[尸(e(f),〃⑺)9'a)+Q(eQ)"(f))/(f)]dfB.[]P(9⑺M(f))+Q(9(f)，Mf))]“Q)df

C.門戶(夕⑺，以f))+Q(°⑺，以f))]/⑺出D.[[P(夕”),”《))+Q(e(f),“(r))]山

解：因為積分曲線的路徑由參數方程/4"=""),(avrv/?)給出，把參數方程代入曲線積分中，得：

y=勿⑺

工[P(°Q),"(f))*'?)+。(9?),〃?))”'?)]山所以正確選擇：A

rc[x—COSt

例6計算[(eAsiny-3y+x2)dr+(eAcosy-x)dy,其中/為由點A(3,0)經橢圓《的上半弧到點

J[y=2sinZ

B(—3,0)再沿直線回到A的路徑.

解：由于?/為封閉曲線，故原式可寫成

j(e"siny-3y+x2)dr+(eAcosy-x)dy

A

其中P=e"siny—3y+X?,Q=ecosy-x,由格林公式

J

原式二，(e"siny—3y+Y)心+(eCosy-x)dy

JJ[(e*cosy-l)-(eAcosy-3]drdy=JJ2dxdy=2.L4?3?2=64

DD2