第二講 圖形的對稱、平移、旋轉(zhuǎn)與位似含圖形的運動與坐標(biāo)（考點精析+真題精講）（解析版）

備戰(zhàn)2024中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)備戰(zhàn)2024中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第2講圖形的對稱、平移、旋轉(zhuǎn)與位似(含圖形的運動與坐標(biāo)）№考向解讀第2講圖形的對稱、平移、旋轉(zhuǎn)與位似(含圖形的運動與坐標(biāo)）№考向解讀?考點精析?真題精講?題型突破?專題精練第七章圖形的變換第2講圖形的對稱、平移、旋轉(zhuǎn)與位似(含圖形的運動與坐標(biāo)）該板塊知識以考查平面幾何的三大變換的基本運用為主.年年都有考查，分值在8-10分左右。預(yù)計2024年各地中考還將繼續(xù)考查這些知識點，考查形式主要有選填題、作圖題、也可能綜合題結(jié)合出現(xiàn)。這三大變換貫穿于初中所學(xué)的平面幾何之中，利用平移、旋轉(zhuǎn)、對稱能解決三角形、四邊形、圓、二次函數(shù)、反比例函數(shù)的性質(zhì)等問題,利用變換在解決問題時往往能起到化繁為簡的功效，激活思維，讓人茅塞頓開.→?考點精析←→?真題精講←考向一平移考向二對稱考向三旋轉(zhuǎn)考向四位似第2講圖形的對稱、平移、旋轉(zhuǎn)與位似(含圖形的運動與坐標(biāo)）→?考點精析←一、軸對稱圖形與軸對稱軸對稱圖形軸對稱圖形定義如果一個圖形沿著某條直線對折后，直線兩旁的部分能夠完全重合，那么這個圖形就叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸如果兩個圖形對折后，這兩個圖形能夠完全重合，那么我們就說這兩個圖形成軸對稱，這條直線叫做對稱軸性質(zhì)對應(yīng)線段相等AB=ACAB=A′B′，BC=B′C′，AC=A′C′對應(yīng)角相等∠B=∠C∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′對應(yīng)點所連的線段被對稱軸垂直平分區(qū)別(1)軸對稱圖形是一個具有特殊形狀的圖形，只對一個圖形而言；(2)對稱軸不一定只有一條(1)軸對稱是指兩個圖形的位置關(guān)系，必須涉及兩個圖形；(2)只有一條對稱軸關(guān)系(1)沿對稱軸對折，兩部分重合；(2)如果把軸對稱圖形沿對稱軸分成“兩個圖形”，那么這“兩個圖形”就關(guān)于這條直線成軸對稱(1)沿對稱軸翻折，兩個圖形重合；(2)如果把兩個成軸對稱的圖形拼在一起，看成一個整體，那么它就是一個軸對稱圖形1．常見的軸對稱圖形:等腰三角形、矩形、菱形、正方形、圓．2．折疊的性質(zhì):折疊的實質(zhì)是軸對稱，折疊前后的兩圖形全等，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等．【注意】凡是在幾何圖形中出現(xiàn)“折疊”這個字眼時，第一反應(yīng)即存在一組全等圖形，其次找出與要求幾何量相關(guān)的條件量．解決折疊問題時，首先清楚折疊和軸對稱能夠提供我們隱含的且可利用的條件，分析角之間、線段之間的關(guān)系，借助勾股定理建立關(guān)系式求出答案，所求問題具有不確定性時，常常采用分類討論的數(shù)學(xué)思想方法．3．作某點關(guān)于某直線的對稱點的一般步驟1）過已知點作已知直線（對稱軸）的垂線，標(biāo)出垂足；2）在這條直線另一側(cè)從垂足除法截取與已知點到垂足的距離相等的線段，那么截點就是這點關(guān)于該直線的對稱點．4．作已知圖形關(guān)于某直線的對稱圖形的一般步驟1）作出圖形的關(guān)鍵點關(guān)于這條直線的對稱點；2）把這些對稱點順次連接起來，就形成了一個符合條件的對稱圖形．二、圖形的平移1．定義：在平面內(nèi)，一個圖形由一個位置沿某個方向移動到另一個位置，這樣的圖形運動叫做平移．平移不改變圖形的形狀和大?。?．三大要素：一是平移的起點，二是平移的方向，三是平移的距離．3．性質(zhì)：1）平移前后，對應(yīng)線段平行且相等、對應(yīng)角相等；2）各對應(yīng)點所連接的線段平行(或在同一條直線上)且相等；3）平移前后的圖形全等．4．作圖步驟：1）根據(jù)題意，確定平移的方向和平移的距離；2）找出原圖形的關(guān)鍵點；3）按平移方向和平移距離平移各個關(guān)鍵點，得到各關(guān)鍵點的對應(yīng)點；4）按原圖形依次連接對應(yīng)點，得到平移后的圖形．三、圖形的旋轉(zhuǎn)1．定義：在平面內(nèi)，一個圖形繞一個定點沿某個方向(順時針或逆時針)轉(zhuǎn)過一個角度，這樣的圖形運動叫旋轉(zhuǎn)．這個定點叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)過的這個角叫做旋轉(zhuǎn)角．2．三大要素：旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角度．3．性質(zhì)：1）對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；2）每對對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；3）旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等．4．作圖步驟：1）根據(jù)題意，確定旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向及旋轉(zhuǎn)角；2）找出原圖形的關(guān)鍵點；3）連接關(guān)鍵點與旋轉(zhuǎn)中心，按旋轉(zhuǎn)方向與旋轉(zhuǎn)角將它們旋轉(zhuǎn)，得到各關(guān)鍵點的對應(yīng)點；4）按原圖形依次連接對應(yīng)點，得到旋轉(zhuǎn)后的圖形．【注意】旋轉(zhuǎn)是一種全等變換，旋轉(zhuǎn)改變的是圖形的位置，圖形的大小關(guān)系不發(fā)生改變，所以在解答有關(guān)旋轉(zhuǎn)的問題時，要注意挖掘相等線段、角，因此特殊三角形性質(zhì)的運用、銳角三角函數(shù)建立的邊角關(guān)系起著關(guān)鍵的作用．四、中心對稱圖形與中心對稱中心對稱圖形中心對稱圖形定義如果一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180°后能與它自身重合，我們就把這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點叫做它的對稱中心如果一個圖形繞某點旋轉(zhuǎn)180°后與另一個圖形重合，我們就把這兩個圖形叫做成中心對稱性質(zhì)對應(yīng)點點A與點C，點B與點D點A與點A′，點B與點B′，點C與點C′對應(yīng)線段AB=CD，AD=BCAB=A′B′，BC=B′C′，AC=A′C′對應(yīng)角∠A=∠C∠B=∠D∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′區(qū)別中心對稱圖形是指具有某種特性的一個圖形中心對稱是指兩個圖形的關(guān)系聯(lián)系把中心對稱圖形的兩個部分看成“兩個圖形”，則這“兩個圖形”成中心對稱把成中心對稱的兩個圖形看成一個“整體”，則“整體”成為中心對稱圖形常見的中心對稱圖形平行四邊形、矩形、菱形、正方形、正六邊形、圓等．注意：圖形的“對稱”“平移”“旋轉(zhuǎn)”這些變化,是圖形運動及延伸的重要途徑,研究這些變換中的圖形的“不變性”或“變化規(guī)律”.五、位似圖形1．定義：如果兩個圖形不僅是相似圖形而且每組對應(yīng)點的連線交于一點，對應(yīng)邊互相平行（或在同一條直線上），那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心，相似比叫做位似比．2．性質(zhì)：1）在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點為中心，相似比為k，那么位似圖形對應(yīng)點的坐標(biāo)的比等于k或–k；2）位似圖形上任意一對對應(yīng)點到位似中心的距離之比等于位似比或相似比．3．找位似中心的方法：將兩個圖形的各組對應(yīng)點連接起來，若它們的直線或延長線相交于一點，則該點即是位似中心．4．畫位似圖形的步驟：1）確定位似中心；2）確定原圖形的關(guān)鍵點；3）確定位似比，即要將圖形放大或縮小的倍數(shù)；4）作出原圖形中各關(guān)鍵點的對應(yīng)點；5）按原圖形的連接順序連接所作的各個對應(yīng)點．→?真題精講←考向一平移1．（2023·四川南充·統(tǒng)考中考真題）如圖，將沿向右平移得到，若，，則的長是（

）

A．2 B． C．3 D．5【答案】A【分析】利用平移的性質(zhì)得到，即可得到的長．【詳解】解：∵沿方向平移至處．∴，故選：A．【點睛】本題考查了平移的性質(zhì)：把一個圖形整體沿某一直線方向移動，會得到一個新的圖形，新圖形與原圖形的形狀和大小完全相同；新圖形中的每一點，都是由原圖形中的某一點移動后得到的，這兩個點是對應(yīng)點．連接各組對應(yīng)點的線段平行（或共線）且相等．2．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，．點F是中點，連接，把線段沿射線方向平移到，點D在上．則線段在平移過程中掃過區(qū)域形成的四邊形的周長和面積分別是(

)

A．16，6 B．18，18 C．16.12 D．12，16【答案】C【分析】先論證四邊形是平行四邊形，再分別求出、、，繼而用平行四邊形的周長公式和面積公式求解即可．【詳解】由平移的性質(zhì)可知：，∴四邊形是平行四邊形，在中，，，，∴在中，，，點F是中點∴∵，點F是中點∴，，∴點D是的中點，∴∵D是的中點，點F是中點，∴是的中位線，∴∴四邊形的周長為：，四邊形的面積為：．故選：C．【點睛】本題考查平移的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，平行線分線段成比例，三角形中位線定理等知識，推導(dǎo)四邊形是平行四邊形和是的中位線是解題的關(guān)鍵．考向二對稱3．（2023·山東聊城·統(tǒng)考中考真題）如圖，在直角坐標(biāo)系中，各點坐標(biāo)分別為，，．先作關(guān)于x軸成軸對稱的，再把平移后得到．若，則點坐標(biāo)為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】三點，，的對稱點坐標(biāo)為，，，結(jié)合，得到平移規(guī)律為向右平移3個單位，向上平移4個單位，計算即可．【詳解】∵三點，，的對稱點坐標(biāo)為，，，結(jié)合，∴得到平移規(guī)律為向右平移3個單位，向上平移4個單位，故坐標(biāo)為．故選：B．【點睛】本題考查了關(guān)于x軸對稱，平移規(guī)律，熟練掌握軸對稱的特點和平移規(guī)律是解題的關(guān)鍵．4．（2023·安徽·統(tǒng)考中考真題）如圖，在由邊長為1個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，點均為格點（網(wǎng)格線的交點）．

(1)畫出線段關(guān)于直線對稱的線段；(2)將線段向左平移2個單位長度，再向上平移1個單位長度，得到線段，畫出線段；(3)描出線段上的點及直線上的點，使得直線垂直平分．【答案】見解析【分析】（1）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)找到關(guān)于直線的對稱點，，連接，則線段即為所求；（2）根據(jù)平移的性質(zhì)得到線段即為所求；（3）勾股定理求得，，則證明得出，則，則點即為所求．【詳解】（1）解：如圖所示，線段即為所求；

（2）解：如圖所示，線段即為所求；

（3）解：如圖所示，點即為所求

如圖所示，

∵，，∴，又，∴，∴，又，∴∴，∴垂直平分．【點睛】本題考查了軸對稱作圖，平移作圖，勾股定理與網(wǎng)格問題，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．5．（2023·四川廣安·統(tǒng)考中考真題）將邊長為2的正方形剪成四個全等的直角三角形，用這四個直角三角形拼成符合要求的四邊形，請在下列網(wǎng)格中畫出你拼成的四邊形（注：①網(wǎng)格中每個小正方形的邊長為1；②所拼的圖形不得與原圖形相同；③四邊形的各頂點都在格點上）．

【答案】見解析（答案不唯一，符合題意即可）【分析】根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的性質(zhì)進(jìn)行作圖即可．【詳解】解：①要求是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形，則可作等腰梯形，如圖四邊形即為所求；②要求是中心對稱圖形但不是軸對稱圖形，則可作一般平行四邊形，如圖四邊形即為所求；③要求既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，則可作菱形、矩形等，如圖四邊形即為所求；④要求既不是軸對稱圖形又不是中心對稱圖形，則考慮作任意四邊形，如圖四邊形即為所求．

【點睛】本題考查軸對稱圖形和中心對稱圖形的概念及作圖，軸對稱圖形：把一個圖形沿著某條直線折疊，能夠與另一個圖形重合；中心對稱圖形：把一個圖形繞著某個點旋轉(zhuǎn)能夠和原圖形重合．考向三旋轉(zhuǎn)6．（2023·山東棗莊·統(tǒng)考中考真題）銀杏是著名的活化石植物，其葉有細(xì)長的葉柄，呈扇形．如圖是一片銀杏葉標(biāo)本，葉片上兩點B，C的坐標(biāo)分別為，將銀杏葉繞原點順時針旋轉(zhuǎn)后，葉柄上點A對應(yīng)點的坐標(biāo)為___________．

【答案】【分析】根據(jù)點的坐標(biāo)，確定坐標(biāo)系的位置，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵B，C的坐標(biāo)分別為，∴坐標(biāo)系的位置如圖所示：

∴點的坐標(biāo)為：，連接，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)后，如圖，葉柄上點A對應(yīng)點的坐標(biāo)為；故答案為：【點睛】本題考查坐標(biāo)與旋轉(zhuǎn)．解題的關(guān)鍵是確定原點的位置，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．7．（2023·江蘇無錫·統(tǒng)考中考真題）如圖，中，，將逆時針旋轉(zhuǎn)得到，交于F．當(dāng)時，點D恰好落在上，此時等于（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)可得，再結(jié)合旋轉(zhuǎn)角即可求解．【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得：，，∵，∴，，∴，故選：B．【點睛】本題考查了幾何—旋轉(zhuǎn)問題，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是關(guān)鍵．8．（2023·四川宜賓·統(tǒng)考中考真題）如圖，和是以點為直角頂點的等腰直角三角形，把以為中心順時針旋轉(zhuǎn)，點為射線、的交點．若，．以下結(jié)論：①；②；③當(dāng)點在的延長線上時，；④在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)線段最短時，的面積為．其中正確結(jié)論有（）

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【分析】證明即可判斷①，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)得出②，證明得出，即可判斷③；以為圓心，為半徑畫圓，當(dāng)在的下方與相切時，的值最小，可得四邊形是正方形，在中，然后根據(jù)三角形的面積公式即可判斷④．【詳解】解：∵和是以點為直角頂點的等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴，，故①正確；設(shè)，∴,∴，∴，故②正確；當(dāng)點在的延長線上時，如圖所示

∵，，∴∴∵，．∴，∴∴，故③正確；④如圖所示，以為圓心，為半徑畫圓，

∵，∴當(dāng)在的下方與相切時，的值最小，∴四邊形是矩形，又，∴四邊形是正方形，∴，∵，∴，在中，∴取得最小值時，∴故④正確，故選：D．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)，勾股定理，切線的性質(zhì)，垂線段最短，全等三角形的性質(zhì)與判定，正方形的性質(zhì)，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．9．（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考中考真題）以正五邊形的頂點C為旋轉(zhuǎn)中心，按順時針方向旋轉(zhuǎn)，使得新五邊形的頂點落在直線上，則正五邊旋轉(zhuǎn)的度數(shù)至少為______°．【答案】【分析】依據(jù)正五邊形的外角性質(zhì)，即可得到的度數(shù)，進(jìn)而得出旋轉(zhuǎn)的角度．【詳解】解：∵五邊形是正五邊形，∴，∴新五邊形的頂點落在直線上，則旋轉(zhuǎn)的最小角度是，故答案為：．【點睛】本題主要考查了正多邊形、旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握正多邊形的外角和公式的運用．10．（2023·湖南張家界·統(tǒng)考中考真題）如圖，為的平分線，且，將四邊形繞點逆時針方向旋轉(zhuǎn)后，得到四邊形，且，則四邊形旋轉(zhuǎn)的角度是______．

【答案】【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，求得，即可求得旋轉(zhuǎn)的角度．【詳解】∵為的平分線，，∴，∵將四邊形繞點逆時針方向旋轉(zhuǎn)后，得到四邊形，∴，，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟練掌握以上性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．11．（2023·江西·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)角（）得到，連接，．當(dāng)為直角三角形時，旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為_______．

【答案】或或【分析】連接，根據(jù)已知條件可得，進(jìn)而分類討論即可求解．【詳解】解：連接，取的中點，連接，如圖所示，

∵在中，，∴，∴是等邊三角形，∴，，∴∴，∴∴，如圖所示，當(dāng)點在上時，此時，則旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為，

當(dāng)點在的延長線上時，如圖所示，則

當(dāng)在的延長線上時，則旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為，如圖所示，∵，，∴四邊形是平行四邊形，∵∴四邊形是矩形，∴即是直角三角形，

綜上所述，旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為或或故答案為：或或．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的性質(zhì)與判定，矩形的性質(zhì)與判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．12．（2023·湖南郴州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，．將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，得到，若點的對應(yīng)點恰好落在線段上，則點的運動路徑長是___________cm（結(jié)果用含的式子表示）．

【答案】【分析】由于旋轉(zhuǎn)到，故C的運動路徑長是的圓弧長度，根據(jù)弧長公式求解即可．【詳解】以A為圓心作圓弧，如圖所示．

在直角中，，則，則．∴．由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，，又，∴是等邊三角形．∴．由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)知，．故弧的長度為：；故答案為：【點睛】本題考查了含角直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、弧長公式等知識點，解題的關(guān)鍵是明確C點的運動軌跡．13．（2023·北京·統(tǒng)考中考真題）在中、，于點M，D是線段上的動點（不與點M，C重合），將線段繞點D順時針旋轉(zhuǎn)得到線段．

(1)如圖1，當(dāng)點E在線段上時，求證：D是的中點；(2)如圖2，若在線段上存在點F（不與點B，M重合）滿足，連接，，直接寫出的大小，并證明．【答案】(1)見解析(2)，證明見解析【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，，利用三角形外角的性質(zhì)求出，可得，等量代換得到即可；（2）延長到H使，連接，，可得是的中位線，然后求出，設(shè)，，求出，證明，得到，再根據(jù)等腰三角形三線合一證明即可．【詳解】（1）證明：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，，∵，∴，∴，∴，∴，即D是的中點；（2）；證明：如圖2，延長到H使，連接，，∵，∴是的中位線，∴，，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，，∴，∵，∴，是等腰三角形，∴，，設(shè)，，則，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，即．

【點睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，三角形中位線定理以及全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，作出合適的輔助線，構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．考向四位似14．（2023·四川遂寧·統(tǒng)考中考真題）在方格圖中，以格點為頂點的三角形叫做格點三角形．在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，格點成位似關(guān)系，則位似中心的坐標(biāo)為（

）

A． B