第9章 中心對(duì)稱圖形-平行四邊形（學(xué)生版）

2023-2024學(xué)年蘇科版數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)章節(jié)培優(yōu)復(fù)習(xí)知識(shí)講練第9章中心對(duì)稱圖形—平行四邊形（思維導(dǎo)圖+知識(shí)梳理+九大重點(diǎn)考向舉一反三講練）1.掌握旋轉(zhuǎn)的概念，探索它的基本性質(zhì)，理解對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等、對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心連線所成的角.2.理解中心對(duì)稱圖形的定義和性質(zhì).3.掌握平行四邊形、矩形、菱形、正方形的概念,了解它們之間的關(guān)系.4.探索并掌握平行四邊形、矩形、菱形、正方形的有關(guān)性質(zhì)和常用判別方法,并能運(yùn)用這些知識(shí)進(jìn)行有關(guān)的證明和計(jì)算.5.掌握三角形中位線定理.知識(shí)點(diǎn)01：確定事件與隨機(jī)事件【高頻考點(diǎn)精講】1.不可能事件在一定條件下，有些事情我們事先能肯定它一定不會(huì)發(fā)生，這樣的事情是不可能事件．2.必然事件在一定條件下，有些事情我們事先能肯定它一定會(huì)發(fā)生，這樣的事情是必然事件．必然事件和不可能事件都是確定事件.3.隨機(jī)事件在一定條件下，很多事情我們事先無(wú)法確定它會(huì)不會(huì)發(fā)生，這樣的事情是隨機(jī)事件.【易錯(cuò)點(diǎn)剖析】知識(shí)點(diǎn)01：旋轉(zhuǎn)的概念和性質(zhì)【高頻考點(diǎn)精講】將圖形繞一個(gè)定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)一定的角度，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)稱為圖形的旋轉(zhuǎn).一個(gè)圖形和它經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)所得到的圖形中，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心距離相等，兩組對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別與旋轉(zhuǎn)中心連線所成的角相等.知識(shí)點(diǎn)02：中心對(duì)稱與中心對(duì)稱圖形【高頻考點(diǎn)精講】一個(gè)圖形繞著某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么稱這兩個(gè)圖形關(guān)于這點(diǎn)對(duì)稱，也稱這兩個(gè)圖形成中心對(duì)稱.這個(gè)點(diǎn)叫做對(duì)稱中心．成中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形中，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線經(jīng)過(guò)對(duì)稱中心，且被對(duì)稱中心平分.把一個(gè)圖形繞某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來(lái)的圖形互相重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱圖形，這個(gè)點(diǎn)就是它的對(duì)稱中心．知識(shí)點(diǎn)03：平行四邊形【高頻考點(diǎn)精講】1．定義：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形.2．性質(zhì)：（1）對(duì)邊平行且相等；（2）對(duì)角相等；鄰角互補(bǔ)；（3）對(duì)角線互相平分；（4）中心對(duì)稱圖形.3．面積：4．判定：邊：（1）兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形；（2）兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形；（3）一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．角：（4）兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形；（5）兩組鄰角分別互補(bǔ)的四邊形是平行四邊形．邊與角：（6）一組對(duì)邊平行，一組對(duì)角相等的四邊形是平行四邊形；對(duì)角線：（7）對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形.【易錯(cuò)點(diǎn)剖析】平行線的性質(zhì)：（1）平行線間的距離都相等；（2）等底等高的平行四邊形面積相等.知識(shí)點(diǎn)04：矩形【高頻考點(diǎn)精講】1．定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形.2．性質(zhì)：（1）具有平行四邊形的所有性質(zhì)；（2）四個(gè)角都是直角；（3）對(duì)角線互相平分且相等；（4）中心對(duì)稱圖形，軸對(duì)稱圖形.3．面積：４．判定：（1)有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形.（2）對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形.（3）有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形.知識(shí)要點(diǎn)：由矩形得直角三角形的性質(zhì)：（1）直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；（2）直角三角形中，30度角所對(duì)應(yīng)的直角邊等于斜邊的一半．知識(shí)點(diǎn)05：菱形【高頻考點(diǎn)精講】1.定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.2．性質(zhì)：（1）具有平行四邊形的一切性質(zhì)；（2）四條邊相等；（3）兩條對(duì)角線互相平分且垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角；（4）中心對(duì)稱圖形，軸對(duì)稱圖形.3．面積：4．判定：（1）一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；（2）對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形；（3）四邊相等的四邊形是菱形.知識(shí)點(diǎn)06：正方形【高頻考點(diǎn)精講】1.定義：四條邊都相等，四個(gè)角都是直角的四邊形叫做正方形.2．性質(zhì)：（1）對(duì)邊平行；（2）四個(gè)角都是直角；（3）四條邊都相等；（4）對(duì)角線互相垂直平分且相等，對(duì)角線平分對(duì)角；（5)兩條對(duì)角線把正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形；（6）中心對(duì)稱圖形，軸對(duì)稱圖形.3．面積：邊長(zhǎng)×邊長(zhǎng)＝×對(duì)角線×對(duì)角線4．判定：（1）有一個(gè)角是直角的菱形是正方形；（2）一組鄰邊相等的矩形是正方形；（3）對(duì)角線相等的菱形是正方形；（4）對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形；（5）對(duì)角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形；（6）四條邊都相等，四個(gè)角都是直角的四邊形是正方形.重點(diǎn)考向01：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)重點(diǎn)考向02：作圖-旋轉(zhuǎn)變換重點(diǎn)考向03：中心對(duì)稱重點(diǎn)考向04：中心對(duì)稱圖形重點(diǎn)考向05：平行四邊形的判定與性質(zhì)重點(diǎn)考向06：矩形的判定與性質(zhì)重點(diǎn)考向07：菱形的判定與性質(zhì)重點(diǎn)考向08：正方形的判定與性質(zhì)重點(diǎn)考向09：三角形中位線定理重點(diǎn)考向01：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)【典例精講】（2023秋?霸州市期末）如圖，將△ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜180°）得到△A'B'C，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A'恰好落在AB邊上，若∠CAB＝65°，則旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)是（）A．65° B．60° C．50° D．45°【變式訓(xùn)練1-1】（2023秋?保定期末）（1）如圖1，△ABD，△AEC都是等邊三角形，線段BE和CD之間的數(shù)量關(guān)系為．（2）如圖2，AO⊥MN，垂足為O，AO＝6，B為直線MN上一動(dòng)點(diǎn)，以AB為邊向右作等邊△ABC，則線段OC的最小值為．【變式訓(xùn)練1-2】（2024?沙坪壩區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）如圖，在△ABC中，∠CAB＝100°，將△ABC繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到△AB'C'，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C′，點(diǎn)C′恰好在BC邊上，且∠C′AB＝3∠ABC′，則∠ABB'角度為．【變式訓(xùn)練1-3】（2023秋?湖北月考）如圖，在△ABC，BA＝BC，∠ABC＝50°，將△ABC點(diǎn)B按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)100°，得到△DBE，連接AD，CE交于點(diǎn)F．（1）求證：△ABD≌△CBE；（2）求∠AFC度數(shù)．重點(diǎn)考向02：作圖-旋轉(zhuǎn)變換【典例精講】（2024?柳州一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A（﹣3，4），B（﹣5，1），C（﹣1，2）．（1）若△A1B1C1與△ABC關(guān)于x軸對(duì)稱，請(qǐng)寫(xiě)出點(diǎn)A1、B1的坐標(biāo)．（2）畫(huà)出△ABC繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后的△A2B2C2，并寫(xiě)出點(diǎn)C2的坐標(biāo)．【變式訓(xùn)練2-1】（2023秋?寧江區(qū)期末）如圖，方格紙中的每個(gè)小方格是邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的正方形．（1）畫(huà)出將Rt△ABC向右平移5個(gè)單位長(zhǎng)度后的Rt△A1B1C1；（2）再將Rt△A1B1C1繞點(diǎn)C1順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，畫(huà)出旋轉(zhuǎn)后的Rt△A2B2C1．【變式訓(xùn)練2-2】（2023春?定陶區(qū)期末）如圖，D是等腰直角三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，BC是斜邊，將△ABD繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到△ACD’的位置，如果AD＝3，那么DD’的長(zhǎng)是．【變式訓(xùn)練2-3】（2021春?安國(guó)市期末）在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，△OA1B1是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，作△B2A2B1與△OA1B1關(guān)于點(diǎn)B1成中心對(duì)稱，再作△B2A3B3與△B2A2B1關(guān)于點(diǎn)B2成中心對(duì)稱，如此作下去，完成下列問(wèn)題：（1）△B4A5B5的頂點(diǎn)A5的坐標(biāo)是；（2）△B2nA2n+1B2n+1（n是正整數(shù)）的頂點(diǎn)A2n+1的坐標(biāo)是．重點(diǎn)考向03：中心對(duì)稱【典例精講】（2023春?市南區(qū)校級(jí)期中）如圖，△ABC與△A′B′C′關(guān)于O成中心對(duì)稱，下列不成立的是（）A．OC＝OC′ B．∠ABC＝∠A′B′C′ C．CC′＝BB′ D．BC∥B′C′【變式訓(xùn)練3-1】（2023秋?長(zhǎng)嶺縣期中）如圖，將△ABC繞點(diǎn)C（0，﹣1）旋轉(zhuǎn)180°得到△A′B′C，若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣4，﹣3），則點(diǎn)A′的坐標(biāo)為．【變式訓(xùn)練3-2】（2023春?豐縣期中）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，點(diǎn)D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，點(diǎn)G、F在BC邊上（均不與端點(diǎn)重合），DG∥EF．將△BDG繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)180°，將△CEF繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)180°，拼成四邊形MGFN，則四邊形MGFN周長(zhǎng)的最小值是．【變式訓(xùn)練3-3】（2023春?雁塔區(qū)校級(jí)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（1，4），（4，2），C（3，5）．（1）請(qǐng)畫(huà)出△A1B1C1，使△A1B1C1與△ABC關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，并寫(xiě)出點(diǎn)A1，B1，C1的坐標(biāo)．（2）求△A1B1C1的面積？重點(diǎn)考向04：中心對(duì)稱圖形【典例精講】（2023春?新田縣期末）習(xí)近平主席在2022年新年賀詞中提到“人不負(fù)青山，青山定不負(fù)人”，一語(yǔ)道出“人與自然和諧共生”的至簡(jiǎn)大道，下列有關(guān)環(huán)保的四個(gè)圖形中，既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練4-1】（2022秋?萊州市期末）如圖，在2×2的正方形格紙中，有一個(gè)以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的△ABC，請(qǐng)你找出格紙中所有與△ABC成中心對(duì)稱且也以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形共有個(gè)；（不包括△ABC本身）【變式訓(xùn)練4-2】（2021春?汝陽(yáng)縣期末）圖1和圖2中所有的小正方形都全等，將圖1的正方形放在圖2中①②③④的某一位置，使它與原來(lái)7個(gè)小正方形組成的圖形是中心對(duì)稱圖形，這個(gè)位置是．【變式訓(xùn)練4-3】（2023春?遵化市期中）如圖，我們給中國(guó)象棋棋盤(pán)建立一個(gè)平面直角坐標(biāo)系（每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1），根據(jù)象棋中“馬”走“日”的規(guī)定，若“馬”的位置在圖中的點(diǎn)P．（1）寫(xiě)出下一步“馬”可能到達(dá)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（寫(xiě)出所有可能的點(diǎn)的坐標(biāo)）；（2）順次連接（1）中的所有點(diǎn)，得到的圖形是圖形（填“中心對(duì)稱”、“旋轉(zhuǎn)對(duì)稱”或“軸對(duì)稱”）；（3）將（2）中得到的圖形的各頂點(diǎn)的坐標(biāo)都乘以1.5，請(qǐng)?jiān)谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中畫(huà)出變化后的圖形，并與原圖形比較，形狀和大小有怎樣的變化？重點(diǎn)考向05：平行四邊形的判定與性質(zhì)【典例精講】（2023?新華區(qū)校級(jí)二模）如圖?ABCD中，要在對(duì)角線BD上找兩點(diǎn)E，F(xiàn)，使四邊形AECF為平行四邊形，現(xiàn)有甲、乙、丙三種方案，甲：只需要滿足BF＝DE乙：只需要滿足AE＝CF丙：只需要滿足AE∥CF則正確的方案是（）A．甲、乙、丙都是 B．只有甲、丙才是 C．只有甲、乙才是 D．只有乙、丙才是【變式訓(xùn)練5-1】（2023春?寬甸縣期末）如圖，分別以Rt△ABC的直角邊AC，斜邊AB為邊向外作等邊△ACD和△ABE，F(xiàn)為AB的中點(diǎn)，連接DF、EF，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，則以下4個(gè)結(jié)論：①AC⊥DF；②四邊形BCDF為平行四邊形；③DA+DF＝BE；④S△ACD：S四邊形BCDE＝1：7，其中正確的是．【變式訓(xùn)練5-2】（2023秋?廣饒縣期末）如圖，?ABCD的對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在OB和OD上．（1）當(dāng)BE，DF滿足什么條件時(shí)，四邊形AECF是平行四邊形？請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）當(dāng)∠AEB與∠CFD滿足什么條件時(shí)，四邊形AECF是平行四邊形？請(qǐng)說(shuō)明理由．重點(diǎn)考向06：矩形的判定與性質(zhì)【典例精講】（2024?市南區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)P為AB邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合），PE⊥OA于點(diǎn)E，PF⊥OB于點(diǎn)F，若AC＝8，BD＝6，則EF的最小值為（）A．3 B．2 C． D．【變式訓(xùn)練6-1】（2023春?隨縣期末）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝9，AC＝12，點(diǎn)D是斜邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D分別作DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，點(diǎn)G為四邊形DEAF對(duì)角線交點(diǎn)，則線段GF的最小值為．【變式訓(xùn)練6-2】2023?澤州縣一模）如圖，在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)在AC上，且AE＝CF，連接BE，ED，DF，F(xiàn)B．若添加一個(gè)條件使四邊形BEDF是矩形，則該條件可以是．（填寫(xiě)一個(gè)即可）【變式訓(xùn)練6-3】（2023春?朝天區(qū)期末）如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，延長(zhǎng)CB到點(diǎn)E，使得BE＝BC．連接AE．過(guò)點(diǎn)B作BF∥AC，交AE于點(diǎn)F，連接OF．（1）求證：四邊形AFBO是矩形；（2）若∠E＝30°，BF＝1，求OF的長(zhǎng)．重點(diǎn)考向07：菱形的判定與性質(zhì)【典例精講】（2023秋?嶗山區(qū)期中）如圖1，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，要在對(duì)角線AC上找兩點(diǎn)E，F(xiàn)，使得四邊形BFDE是菱形，現(xiàn)有如圖2所示的甲、乙兩種方案，則正確的方案是（）A．只有甲對(duì) B．只有乙對(duì) C．甲、乙都對(duì) D．甲、乙都不對(duì)【變式訓(xùn)練7-1】（2023春?黃梅縣月考）如圖，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC、BD交于點(diǎn)O，E為CD延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且CD＝DE，連接BE分別交AC，AD于點(diǎn)F、G，連接OG、AE．則下列結(jié)論：①；②四邊形ABDE是菱形；③S四邊形ODGF＝S△ABF．其中正確的有．【變式訓(xùn)練7-2】（2023春?秦淮區(qū)期中）鄰邊長(zhǎng)分別為1，a（a＞1）的平行四邊形紙片，如圖那樣折一下，剪下一個(gè)邊長(zhǎng)等于1的菱形（稱為第一次操作）；再把剩下的平行四邊形如圖那樣折一下，剪下一個(gè)邊長(zhǎng)等于此時(shí)平行四邊形一邊長(zhǎng)的菱形（稱為第二次操作）；再把剩下的平行四邊形如此反復(fù)操作下去．若在第三次操作后，剩下的平行四邊形為菱形，則a的值重點(diǎn)考向08：正方形的判定與性質(zhì)【典例精講】（2023春?仙桃月考）如圖，已知四邊形ABCD為正方形，，E為對(duì)角線AC上一點(diǎn)，連接DE，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥DE，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，以DE，EF為鄰邊作矩形DEFG，連接CG．下列結(jié)論：①矩形DEFG是正方形；②；③CG平分∠DCF；④CE＝CF．其中正確的是（填序號(hào)）．【變式訓(xùn)練8-1】（2023春?汕頭校級(jí)期中）如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AB＝BC＝4，AD＝3，E是邊AB上一點(diǎn)，且∠DCE＝45°，則DE的長(zhǎng)度是（）A．3.2 B．3.4 C．3.6 D．4【變式訓(xùn)練8-2】（2023春?鄖陽(yáng)區(qū)期末）如圖，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是△ABC三邊的中點(diǎn)，則下列判斷：①四邊形AEDF一定是平行四邊形；②若AD平分∠BAC，則四邊形AEDF是正方形；③若AD⊥BC，則四邊形AEDF是菱形；④若∠BAC＝90°，則四邊形AEDF是矩形．正確的是.（填序號(hào)）【變式訓(xùn)練8-3】（2023春?雄縣期中）如圖，在正方形ABCD和?ECGF中，點(diǎn)B，C，G在同一條直線上，P是線段AF的中點(diǎn)，連接DP，連接EP并延長(zhǎng)，交AD于點(diǎn)Q．請(qǐng)證明：（1）四邊形ECGF是矩形．（2）當(dāng)∠DPE＝90°時(shí)，四邊形ECGF是正方形．重點(diǎn)考向09：三角形中位線定理【典例精講】（2023秋