第9章 中心對稱圖形-平行四邊形（學(xué)生版）

2023-2024學(xué)年蘇科版數(shù)學(xué)八年級下冊章節(jié)培優(yōu)復(fù)習(xí)知識講練第9章中心對稱圖形—平行四邊形（思維導(dǎo)圖+知識梳理+九大重點考向舉一反三講練）1.掌握旋轉(zhuǎn)的概念，探索它的基本性質(zhì)，理解對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等、對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心連線所成的角.2.理解中心對稱圖形的定義和性質(zhì).3.掌握平行四邊形、矩形、菱形、正方形的概念,了解它們之間的關(guān)系.4.探索并掌握平行四邊形、矩形、菱形、正方形的有關(guān)性質(zhì)和常用判別方法,并能運用這些知識進(jìn)行有關(guān)的證明和計算.5.掌握三角形中位線定理.知識點01：確定事件與隨機(jī)事件【高頻考點精講】1.不可能事件在一定條件下，有些事情我們事先能肯定它一定不會發(fā)生，這樣的事情是不可能事件．2.必然事件在一定條件下，有些事情我們事先能肯定它一定會發(fā)生，這樣的事情是必然事件．必然事件和不可能事件都是確定事件.3.隨機(jī)事件在一定條件下，很多事情我們事先無法確定它會不會發(fā)生，這樣的事情是隨機(jī)事件.【易錯點剖析】知識點01：旋轉(zhuǎn)的概念和性質(zhì)【高頻考點精講】將圖形繞一個定點轉(zhuǎn)動一定的角度，這樣的圖形運動稱為圖形的旋轉(zhuǎn).一個圖形和它經(jīng)過旋轉(zhuǎn)所得到的圖形中，對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心距離相等，兩組對應(yīng)點分別與旋轉(zhuǎn)中心連線所成的角相等.知識點02：中心對稱與中心對稱圖形【高頻考點精講】一個圖形繞著某一點旋轉(zhuǎn)180°，如果它能夠與另一個圖形重合，那么稱這兩個圖形關(guān)于這點對稱，也稱這兩個圖形成中心對稱.這個點叫做對稱中心．成中心對稱的兩個圖形中，對應(yīng)點的連線經(jīng)過對稱中心，且被對稱中心平分.把一個圖形繞某一個點旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形互相重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點就是它的對稱中心．知識點03：平行四邊形【高頻考點精講】1．定義：兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形.2．性質(zhì)：（1）對邊平行且相等；（2）對角相等；鄰角互補(bǔ)；（3）對角線互相平分；（4）中心對稱圖形.3．面積：4．判定：邊：（1）兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；（2）兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；（3）一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．角：（4）兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；（5）兩組鄰角分別互補(bǔ)的四邊形是平行四邊形．邊與角：（6）一組對邊平行，一組對角相等的四邊形是平行四邊形；對角線：（7）對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.【易錯點剖析】平行線的性質(zhì)：（1）平行線間的距離都相等；（2）等底等高的平行四邊形面積相等.知識點04：矩形【高頻考點精講】1．定義：有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形.2．性質(zhì)：（1）具有平行四邊形的所有性質(zhì)；（2）四個角都是直角；（3）對角線互相平分且相等；（4）中心對稱圖形，軸對稱圖形.3．面積：４．判定：（1)有一個角是直角的平行四邊形是矩形.（2）對角線相等的平行四邊形是矩形.（3）有三個角是直角的四邊形是矩形.知識要點：由矩形得直角三角形的性質(zhì)：（1）直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；（2）直角三角形中，30度角所對應(yīng)的直角邊等于斜邊的一半．知識點05：菱形【高頻考點精講】1.定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.2．性質(zhì)：（1）具有平行四邊形的一切性質(zhì)；（2）四條邊相等；（3）兩條對角線互相平分且垂直，并且每一條對角線平分一組對角；（4）中心對稱圖形，軸對稱圖形.3．面積：4．判定：（1）一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；（2）對角線互相垂直的平行四邊形是菱形；（3）四邊相等的四邊形是菱形.知識點06：正方形【高頻考點精講】1.定義：四條邊都相等，四個角都是直角的四邊形叫做正方形.2．性質(zhì)：（1）對邊平行；（2）四個角都是直角；（3）四條邊都相等；（4）對角線互相垂直平分且相等，對角線平分對角；（5)兩條對角線把正方形分成四個全等的等腰直角三角形；（6）中心對稱圖形，軸對稱圖形.3．面積：邊長×邊長＝×對角線×對角線4．判定：（1）有一個角是直角的菱形是正方形；（2）一組鄰邊相等的矩形是正方形；（3）對角線相等的菱形是正方形；（4）對角線互相垂直的矩形是正方形；（5）對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形；（6）四條邊都相等，四個角都是直角的四邊形是正方形.重點考向01：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)重點考向02：作圖-旋轉(zhuǎn)變換重點考向03：中心對稱重點考向04：中心對稱圖形重點考向05：平行四邊形的判定與性質(zhì)重點考向06：矩形的判定與性質(zhì)重點考向07：菱形的判定與性質(zhì)重點考向08：正方形的判定與性質(zhì)重點考向09：三角形中位線定理重點考向01：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)【典例精講】（2023秋?霸州市期末）如圖，將△ABC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜180°）得到△A'B'C，點A的對應(yīng)點A'恰好落在AB邊上，若∠CAB＝65°，則旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)是（）A．65° B．60° C．50° D．45°【變式訓(xùn)練1-1】（2023秋?保定期末）（1）如圖1，△ABD，△AEC都是等邊三角形，線段BE和CD之間的數(shù)量關(guān)系為．（2）如圖2，AO⊥MN，垂足為O，AO＝6，B為直線MN上一動點，以AB為邊向右作等邊△ABC，則線段OC的最小值為．【變式訓(xùn)練1-2】（2024?沙坪壩區(qū)校級開學(xué)）如圖，在△ABC中，∠CAB＝100°，將△ABC繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到△AB'C'，點C的對應(yīng)點為C′，點C′恰好在BC邊上，且∠C′AB＝3∠ABC′，則∠ABB'角度為．【變式訓(xùn)練1-3】（2023秋?湖北月考）如圖，在△ABC，BA＝BC，∠ABC＝50°，將△ABC點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)100°，得到△DBE，連接AD，CE交于點F．（1）求證：△ABD≌△CBE；（2）求∠AFC度數(shù)．重點考向02：作圖-旋轉(zhuǎn)變換【典例精講】（2024?柳州一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△ABC的三個頂點分別為A（﹣3，4），B（﹣5，1），C（﹣1，2）．（1）若△A1B1C1與△ABC關(guān)于x軸對稱，請寫出點A1、B1的坐標(biāo)．（2）畫出△ABC繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)90°后的△A2B2C2，并寫出點C2的坐標(biāo)．【變式訓(xùn)練2-1】（2023秋?寧江區(qū)期末）如圖，方格紙中的每個小方格是邊長為1個單位長度的正方形．（1）畫出將Rt△ABC向右平移5個單位長度后的Rt△A1B1C1；（2）再將Rt△A1B1C1繞點C1順時針旋轉(zhuǎn)90°，畫出旋轉(zhuǎn)后的Rt△A2B2C1．【變式訓(xùn)練2-2】（2023春?定陶區(qū)期末）如圖，D是等腰直角三角形ABC內(nèi)一點，BC是斜邊，將△ABD繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到△ACD’的位置，如果AD＝3，那么DD’的長是．【變式訓(xùn)練2-3】（2021春?安國市期末）在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，△OA1B1是邊長為2的等邊三角形，作△B2A2B1與△OA1B1關(guān)于點B1成中心對稱，再作△B2A3B3與△B2A2B1關(guān)于點B2成中心對稱，如此作下去，完成下列問題：（1）△B4A5B5的頂點A5的坐標(biāo)是；（2）△B2nA2n+1B2n+1（n是正整數(shù)）的頂點A2n+1的坐標(biāo)是．重點考向03：中心對稱【典例精講】（2023春?市南區(qū)校級期中）如圖，△ABC與△A′B′C′關(guān)于O成中心對稱，下列不成立的是（）A．OC＝OC′ B．∠ABC＝∠A′B′C′ C．CC′＝BB′ D．BC∥B′C′【變式訓(xùn)練3-1】（2023秋?長嶺縣期中）如圖，將△ABC繞點C（0，﹣1）旋轉(zhuǎn)180°得到△A′B′C，若點A的坐標(biāo)為（﹣4，﹣3），則點A′的坐標(biāo)為．【變式訓(xùn)練3-2】（2023春?豐縣期中）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，點D、E分別是AB、AC的中點，點G、F在BC邊上（均不與端點重合），DG∥EF．將△BDG繞點D旋轉(zhuǎn)180°，將△CEF繞點E旋轉(zhuǎn)180°，拼成四邊形MGFN，則四邊形MGFN周長的最小值是．【變式訓(xùn)練3-3】（2023春?雁塔區(qū)校級期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個頂點坐標(biāo)分別為A（1，4），（4，2），C（3，5）．（1）請畫出△A1B1C1，使△A1B1C1與△ABC關(guān)于原點成中心對稱，并寫出點A1，B1，C1的坐標(biāo)．（2）求△A1B1C1的面積？重點考向04：中心對稱圖形【典例精講】（2023春?新田縣期末）習(xí)近平主席在2022年新年賀詞中提到“人不負(fù)青山，青山定不負(fù)人”，一語道出“人與自然和諧共生”的至簡大道，下列有關(guān)環(huán)保的四個圖形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練4-1】（2022秋?萊州市期末）如圖，在2×2的正方形格紙中，有一個以格點為頂點的△ABC，請你找出格紙中所有與△ABC成中心對稱且也以格點為頂點的三角形共有個；（不包括△ABC本身）【變式訓(xùn)練4-2】（2021春?汝陽縣期末）圖1和圖2中所有的小正方形都全等，將圖1的正方形放在圖2中①②③④的某一位置，使它與原來7個小正方形組成的圖形是中心對稱圖形，這個位置是．【變式訓(xùn)練4-3】（2023春?遵化市期中）如圖，我們給中國象棋棋盤建立一個平面直角坐標(biāo)系（每個小正方形的邊長均為1），根據(jù)象棋中“馬”走“日”的規(guī)定，若“馬”的位置在圖中的點P．（1）寫出下一步“馬”可能到達(dá)的點的坐標(biāo)為（寫出所有可能的點的坐標(biāo)）；（2）順次連接（1）中的所有點，得到的圖形是圖形（填“中心對稱”、“旋轉(zhuǎn)對稱”或“軸對稱”）；（3）將（2）中得到的圖形的各頂點的坐標(biāo)都乘以1.5，請在平面直角坐標(biāo)系中畫出變化后的圖形，并與原圖形比較，形狀和大小有怎樣的變化？重點考向05：平行四邊形的判定與性質(zhì)【典例精講】（2023?新華區(qū)校級二模）如圖?ABCD中，要在對角線BD上找兩點E，F(xiàn)，使四邊形AECF為平行四邊形，現(xiàn)有甲、乙、丙三種方案，甲：只需要滿足BF＝DE乙：只需要滿足AE＝CF丙：只需要滿足AE∥CF則正確的方案是（）A．甲、乙、丙都是 B．只有甲、丙才是 C．只有甲、乙才是 D．只有乙、丙才是【變式訓(xùn)練5-1】（2023春?寬甸縣期末）如圖，分別以Rt△ABC的直角邊AC，斜邊AB為邊向外作等邊△ACD和△ABE，F(xiàn)為AB的中點，連接DF、EF，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，則以下4個結(jié)論：①AC⊥DF；②四邊形BCDF為平行四邊形；③DA+DF＝BE；④S△ACD：S四邊形BCDE＝1：7，其中正確的是．【變式訓(xùn)練5-2】（2023秋?廣饒縣期末）如圖，?ABCD的對角線AC與BD相交于點O，點E，F(xiàn)分別在OB和OD上．（1）當(dāng)BE，DF滿足什么條件時，四邊形AECF是平行四邊形？請說明理由；（2）當(dāng)∠AEB與∠CFD滿足什么條件時，四邊形AECF是平行四邊形？請說明理由．重點考向06：矩形的判定與性質(zhì)【典例精講】（2024?市南區(qū)校級開學(xué)）如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，點P為AB邊上一動點（不與點A，B重合），PE⊥OA于點E，PF⊥OB于點F，若AC＝8，BD＝6，則EF的最小值為（）A．3 B．2 C． D．【變式訓(xùn)練6-1】（2023春?隨縣期末）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝9，AC＝12，點D是斜邊BC上的一個動點，過點D分別作DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F，點G為四邊形DEAF對角線交點，則線段GF的最小值為．【變式訓(xùn)練6-2】2023?澤州縣一模）如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，點E，F(xiàn)在AC上，且AE＝CF，連接BE，ED，DF，F(xiàn)B．若添加一個條件使四邊形BEDF是矩形，則該條件可以是．（填寫一個即可）【變式訓(xùn)練6-3】（2023春?朝天區(qū)期末）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，延長CB到點E，使得BE＝BC．連接AE．過點B作BF∥AC，交AE于點F，連接OF．（1）求證：四邊形AFBO是矩形；（2）若∠E＝30°，BF＝1，求OF的長．重點考向07：菱形的判定與性質(zhì)【典例精講】（2023秋?嶗山區(qū)期中）如圖1，在菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，要在對角線AC上找兩點E，F(xiàn)，使得四邊形BFDE是菱形，現(xiàn)有如圖2所示的甲、乙兩種方案，則正確的方案是（）A．只有甲對 B．只有乙對 C．甲、乙都對 D．甲、乙都不對【變式訓(xùn)練7-1】（2023春?黃梅縣月考）如圖，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC、BD交于點O，E為CD延長線上的一點，且CD＝DE，連接BE分別交AC，AD于點F、G，連接OG、AE．則下列結(jié)論：①；②四邊形ABDE是菱形；③S四邊形ODGF＝S△ABF．其中正確的有．【變式訓(xùn)練7-2】（2023春?秦淮區(qū)期中）鄰邊長分別為1，a（a＞1）的平行四邊形紙片，如圖那樣折一下，剪下一個邊長等于1的菱形（稱為第一次操作）；再把剩下的平行四邊形如圖那樣折一下，剪下一個邊長等于此時平行四邊形一邊長的菱形（稱為第二次操作）；再把剩下的平行四邊形如此反復(fù)操作下去．若在第三次操作后，剩下的平行四邊形為菱形，則a的值重點考向08：正方形的判定與性質(zhì)【典例精講】（2023春?仙桃月考）如圖，已知四邊形ABCD為正方形，，E為對角線AC上一點，連接DE，過點E作EF⊥DE，交BC的延長線于點F，以DE，EF為鄰邊作矩形DEFG，連接CG．下列結(jié)論：①矩形DEFG是正方形；②；③CG平分∠DCF；④CE＝CF．其中正確的是（填序號）．【變式訓(xùn)練8-1】（2023春?汕頭校級期中）如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AB＝BC＝4，AD＝3，E是邊AB上一點，且∠DCE＝45°，則DE的長度是（）A．3.2 B．3.4 C．3.6 D．4【變式訓(xùn)練8-2】（2023春?鄖陽區(qū)期末）如圖，點D，E，F(xiàn)分別是△ABC三邊的中點，則下列判斷：①四邊形AEDF一定是平行四邊形；②若AD平分∠BAC，則四邊形AEDF是正方形；③若AD⊥BC，則四邊形AEDF是菱形；④若∠BAC＝90°，則四邊形AEDF是矩形．正確的是.（填序號）【變式訓(xùn)練8-3】（2023春?雄縣期中）如圖，在正方形ABCD和?ECGF中，點B，C，G在同一條直線上，P是線段AF的中點，連接DP，連接EP并延長，交AD于點Q．請證明：（1）四邊形ECGF是矩形．（2）當(dāng)∠DPE＝90°時，四邊形ECGF是正方形．重點考向09：三角形中位線定理【典例精講】（2023秋